专题13 直线与圆的方程（客观题）（新高考地区专用）（解析版）

这是一份专题13 直线与圆的方程（客观题）（新高考地区专用）（解析版），共41页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题等内容，欢迎下载使用。
专题13 直线与圆的方程（客观题）
一、单选题
1．从直线：上的动点作圆的两条切线，切点分别为，，则四边形(为坐标原点)面积的最小值是
A． B．
C． D．2
【试题来源】陕西省宝鸡市2020-2021学年高三上学期高考模拟检测（一）（文）
【答案】B
【分析】由题意可得当点P与圆心的距离最小时，切线长PC、PD最小，此时四边形的面积最小，由距离公式和面积公式求解可得．
【解析】因为圆的圆心为，半径，当点P与圆心的距离最小时，切线长PC、PD最小，此时四边形的面积最小，所以圆心到直线的距离，所以，所以四边形的面积．故选B．
【名师点睛】明确四边形的面积何时最小是解决问题的关键，借助切线与过切点的半径垂直即可求出四边形的面积．
2．过点作圆与圆的切线，切点分别为､，若，则的最小值为
A． B．
C． D．
【试题来源】陕西省宝鸡市2020-2021学年高三上学期高考模拟检测（一）（理）
【答案】B
【分析】首先根据，圆与的半径相等，为直角三角形，得到，进而得到点在线段的垂直平分线上；然后求出此平分线表达式，得到点的只含有的坐标，代入，得到二次函数，求其最小值即可．
【解析】如图所示，由圆的切线的性质得，
在中有，由题知，
，所以点在线段的垂直平分线上；
由题知，所以与的中点的坐标为，
与所在直线的斜率为，所在直线的斜率为，
直线的方程为，即，
点在，所以点的坐标满足，
所以，故选B．

【名师点睛】本题主要考查直线与圆相切的性质及函数的最值；解题方法是根据已知条件，将表示为只含有一个未知数的函数，然后根据二次函数的特征求出其最小值；解题的关键点是找出点所在的一条直线，进而用一个未知数表示出其坐标，进而求得的最小值．
3．过圆上的动点作圆的两条切线，两个切点之间的线段称为切点弦，则圆内不在任何切点弦上的点形成的区域的面积为
A． B．
C． D．
【试题来源】安徽省淮北市2020-2021学年高三上学期第一次模拟考试（理）
【答案】A
【分析】作出图形，过圆上一动点作圆的两条切线、，切点分别为、，计算出圆的圆心到直线的距离为，可知圆内不在任何切点弦上的点形成以原点为圆心，半径为的圆的内部，利用圆的面积公式可求得结果．
【解析】如下图所示，过圆上一动点作圆的两条切线、，切点分别为、，

则，，，
则，且为锐角，所以，同理可得，
所以，，则为等边三角形，连接交于点，
为的角平分线，则为的中点，，
且，，
若圆内的点不在任何切点弦上，则该点到圆的圆心的距离应小于，
即圆内的这些点构成了以原点为圆心，半径为的圆的内部，
因此，圆内不在任何切点弦上的点形成的区域的面积为．故选A．
【名师点睛】解本题的关键在于确定圆内不切点弦上的点所构成的区域，为此需要计算出圆的圆心到切点弦的距离，找出临界位置进行分析．
4．若直线与曲线和圆都相切，则的方程为
A． B．
C． D．
【试题来源】河南省郑州市2020-2021学年高三上学期第一次质量检测（理）
【答案】A
【分析】根据题意将曲线的切线方程表示出来，根据解出，即可得出答案．
【解析】法一：设曲线的切点，
根据导数几何意义可得点处的切线斜率，
所以切线方程，即，
因为切线也与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即，
解得或（舍去）．所以切线方程为故选A．

法二：画出曲线和圆的图形如下：

结合图形可得要使直线与曲线和圆都相切，
则直线，横截距，纵截距，B， C， D均不符合，故选A．
【名师点睛】若已知曲线过点，求曲线过点的切线方程的方法
（1）当点是切点时，切线方程为．
（2）当点不是切点时，可分以下几步完成：
第一步：设出切点坐标；
第二步：写出过点的切线方程；
第三步：将点的坐标代入切线方程求出；
第四步：将的值代入方程可得过点的切线方程．
5．已知直线上有两点，，且，已知若，且，满足，则这样的点 A个数为
A．1 B．2
C．3 D．4
【试题来源】浙江省杭州高级中学钱江校区2020-2021学年高三上学期12月月考
【答案】B
【分析】设和的夹角为，由已知条件可得出 或，由正弦定理可得外接圆的半径为，由此可以求出圆心到直线的距离为 ，进而推出外接圆圆心所在直线的方程，由圆心到原点的距离也是半径，可以求出圆心的个数，一个圆心对应一个点，从而可以求出点的个数．
【解析】因为直线上有两点，，且，
设和的夹角为，则，，，
，，
所以即转化为，
因为，所以，
解得，因为，所以或，
若，由正弦定理可得外接圆的半径为，
设外接圆的圆心为，则到直线的距离为 ，
所以圆心在与直线平行且距离为的两条平行直线，上，且到原点的距离为，
原点到直线的距离为 ，
所以直线上面不存在这样的点，
原点到直线的距离为 ，
所以直线上存在两个这样的点到原点的距离为，
一个点对应一个点，所以这样的点有2个，故选B
6．直线被圆所截得的弦长为，则
A． B．
C． D．
【试题来源】陕西省汉中市2020-2021学年高三上学期第一次模拟（文）
【答案】A
【分析】可将圆的一般方程化为标准方程，得出圆心坐标和半径．再根据垂径定理算得圆心到直线的距离，用点到直线距离公式建立方程求解即可．
【解析】，即，该圆圆心为，半径为，直线截圆所得的弦长为，则圆心到直线的距离为，，解得，故选A.
【名师点睛】本题主要考查圆的方程及圆的弦长问题，属于中档题． 求圆的弦长有两种方法：一是利用弦长公式，结合根与系数关系求解；二是利用半弦长，弦心距，圆半径构成直角三角形，利用勾股定理求解．优先采用几何法．
7．直线被圆所截得的弦长为2，则
A． B．1
C．0 D．
【试题来源】云南省楚雄州2021届高三上学期期中教学质量检测（文）
【答案】C
【分析】由题意可得圆心到直线的距离为1，再利用点到直线的距离公式可得，从而可求出的值
【解析】因为直线被圆所截得的弦长为2，圆的圆心为，半径为，所以，即，解得，故选C.
8．垂直于直线且与圆相切于第三象限的直线方程是
A． B．
C． D．
【试题来源】江西省新余市第一中学2021届高三第四次模拟考试（文）
【答案】B
【分析】由垂直设所求方程为，保证直线过第三象限，然后由圆心到切线的距离等于半径求出参数．
【解析】设所求方程为，圆心到直线的距离为，
因为，所以．故选B．
9．已知圆，若直线与圆交于两点，则的最小值为
A． B．
C． D．
【试题来源】北京市铁路第二中学2021届高三上学期期中考试
【答案】B
【分析】由圆的方程，求得圆心坐标和半径，再由直线方程，得到直线恒过定点，结合圆的性质，以及弦长公式，即可求解．
【解析】由题意，圆，可化为圆，
可得圆心坐标为，半径为，又由直线，可得直线恒过定点，
则，根据圆的性质，要使得弦最小，此时直线，
如图所示，所以的最小值为．故选B．

10．已知直线，圆，则圆C上到直线的距离为的点共有
A．1 B．2个
C．3 D．4
【试题来源】湖南省五市十校2020-2021学年高三上学期第二次大联考
【答案】C
【分析】根据圆心到直线的距离，结合半径求解．
【解析】如图所示：由圆，得圆心，半径，

又圆心到直线的距离为，
因为半径为，所以圆C上到直线的距离为的点共有3个，故选C.
11．若圆心在（3，2）的圆与y轴相切，则该圆与直线3x＋4y-2＝0的位置关系是
A．相离 B．相切
C．相交 D．不确定
【试题来源】重庆市第八中学2021届高三上学期高考适应性月考（三）
【答案】B
【分析】求出圆的方程，利用圆心到直线的距离与半径的关系，判断即可．
【解析】由题意得该圆的圆心为（3，2），半径为3，所以圆的方程为，
圆心到直线3x＋4y-2＝0的距离，故该圆与直线相切．故选B．
【名师点睛】先求出该圆的方程，再利用点到直线的距离公式进行判断．
12．在平面直角坐标系中，为坐标原点双曲线的右焦点为，则以为圆心且与双曲线的渐近线相切的圆方程为
A． B．
C． D．
【试题来源】江苏省南通市如皋市2020-2021学年高三上学期期中
【答案】D
【分析】求得双曲线的a， b，c，可得焦点坐标和渐近线方程，运用点到直线的距离公式可得圆的半径，得到圆的方程即可求解．
【解析】由双曲线得，所以，则焦点F(2，0) ，
双曲线的渐近线方程为，由题意可得F到渐近线的距离为，
即圆F的半径为，圆心为(2，0) ，则所求圆的方程为，
可化为，故选D.
13．已知直线与圆交于，两点，则的最小值为
A． B．
C． D．
【试题来源】江苏省苏州市常熟市2020-2021学年高三上学期阶段性抽测二
【答案】A
【分析】先求得直线恒过的定点，当定点与原点的连线与直线l垂直时，最小，根据直线被圆所截弦长公式，即可求得答案．
【解析】直线l可变形为，即直线l恒过定点（-2，1），
根据题意，当定点（-2，1）与原点的连线与直线l垂直时，最小，
此时原点到直线l的距离，即为原点到定点（-2，1）的距离，
即，所以，故选A.
14．已知两点，，若直线上存在点满足，则实数的取值范围是
A． B．
C． D．
【试题来源】安徽省六安市第一中学2020-2021学年高三上学期第四次月考（文）
【答案】C
【分析】根据，求出点P的轨迹是圆，再由点P在直线上，由圆心到直线的距离不大于半径求解．
【解析】设，则，因为，所以，则点P的轨迹是以原点为圆心，以1为半径的圆，又点P在直线上，则圆心到直线的距离不大于半径，即，解得，故选C.
15．过点P(-1，1)作圆C：的两条切线，切点分别为点A、B，则四边形ACBP的面积为
A． B．6
C． D．3
【试题来源】江西省名校2021届高三上学期第二次联考（文）
【答案】B
【分析】先由圆的一般方程求得圆的圆心和半径，在利用切线的性质和三角形的面积公式计算得出选项．
【解析】因为圆C：，所以圆C的标准方程为，则圆心，半径，四边形ACBP的面积可以看作与的面积的和，且与全等，所以四边形ACBP的面积故选B．

16．直线与圆：相交于，两点，且，则
A． B．
C． D．
【试题来源】四川省绵阳南山中学2020-2021学年高三上学期11月月考（理）
【答案】A
【分析】求出圆半径，由余弦定理求得，然后由数量积的定义求得数量积．
【解析】圆标准方程为，圆心半径为，
中，
所以．故选A．
17．圆分别交x轴､y轴的正半轴于A，B两点，则
A．5 B．10
C．15 D．25
【试题来源】河北省张家口市2021届高三上学期期末教学质量监测
【答案】A
【分析】先求得AB的坐标，再求得 的坐标，然后利用数量积坐标运算求解
【解析】由题意得，令得，则，
令得，则，又，所以 ，
所以，故选A.
18．已知直线与圆相交于两点，且，那么实数k的取值范围是
A． B．
C．或 D．
【试题来源】北京市昌平区2021届高三年级上学期期末质量抽测
【答案】D
【解析】圆化简为标准方程为，圆心到直线的距离，，解得．故选D.
19．已知圆：，设：；：圆上至少有个点到直线的距离为，则是的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【试题来源】百师联盟2021届高三一轮复习联考（一） （文）全国卷II试题
【答案】C
【分析】先判断出圆心到直线的距离为，再分类讨论r与的关系，进一步确定圆上点与直线的距离关系即可
【解析】圆的圆心为，其到直线的距离为，
当时，圆上没有点到直线的距离为；当时，圆上有个点到直线的距离为；当时，圆上有上点到直线的距离为；当时，圆上有点到直线的距离为；当时，圆上有个点到直线的距离为；要使圆上至少有个点到直线的距离为，则，所以是的充要条件，故选C．
20．已知半径为的圆经过点，则其圆心到点的距离的最小值为
A． B．
C． D．
【试题来源】内蒙古赤峰市松山区2020-2021学年高三第一次统一模拟考试（理）
【答案】D
【分析】计算出点到点的距离，由圆心在上可求得圆心到点的距离的最小值．
【解析】记点，则，
设圆心为点，则，所以，，
当且仅当点在线段上时，取得最小值．故选D．
21．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是已知动点M与两个定点A、B的距离之比为（，），那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆．若已知圆O：和点，点，M为圆O上的动点，则的最小值为
A． B．
C． D．
【试题来源】黑龙江省哈尔滨市道里区第三中学校2020-2021学年高三上学期期末
【答案】B
【解析】设，令，则，
由题知圆是关于点A、C的阿波罗尼斯圆，且，
设点，则，整理得
，比较两方程可得，，
，即，，点，当点M位于图中、的位置时，
的值最小，最小为．故选B．

【名师点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，圆上动点问题，考查两点间线段最短．
22．已知实数，满足，则的最小值为
A． B．1
C． D．2
【试题来源】河南省洛阳市汝阳县2020-2021学年高三上学期联考（理）
【答案】B
【分析】用几何意义求解，设为圆上的任意一点，点到直线的距离，点到原点的距离．圆在直线 的右下方，，这样待求式．要使得最小，只要求出过原点与圆相切的直线斜率即可得结论．
【解析】设为上的任意一点，则点到直线的距离，点到原点的距离．
，设圆与直线相切，则，解得或，结合图形可知的最小值为30°，故，故选B．

【名师点睛】本题考查求最值问题，解题关键是确定题中式子的几何意义，设，动点在已知圆上，引入直线，所求式变为到直线的距离与到原点的距离之比的2倍，再由直角三角形变为三角函数，这样由图形可得什么时候取得最小值，完成求解．
23．曲线与直线有两个相异交点，则k的取值范围是
A． B．
C． D．
【试题来源】辽宁省朝阳市凌源市第二高级中学2020-2021学年高三上学期期中
【答案】C
【分析】曲线表示半圆，作出半圆，直线过定点，由直线与圆的位置关系，通过图形可得结论．
【解析】曲线是半圆，圆心是，圆半径为2，直线过定点，作出半圆与过的点直线，如图，与圆相切，由，解得，即，，，所以．故选C．

【名师点睛】本题考查直线与圆的位置关系，数形结合思想是解题关键，由于题中曲线是半圆，因此作出图形，便于观察得出结论．
24．以椭圆上任意一点与焦点所连接的线段为直径的圆与以长轴为直径的圆的位置关系是
A．内切 B．相交
C．相离 D．无法确定
【试题来源】北京市第一六一中学2021届高三上学期期中考试
【答案】A
【分析】画出图形，分别是椭圆的左右焦点，点是椭圆上的任意一点，则，以为直径的圆的圆心是C，连接、，然后根据由三角形中位线定理可得出两圆圆心的长，进而判断出位置关系．
【解析】分别是椭圆的左右焦点，点是椭圆上的任意一点，则，
以为直径的圆的圆心是C，连接、，由三角形中位线定理可得，
即两圆的圆心距离等于两圆的半径之差，因此，以椭圆上任意一点与焦点所连线的线段为直径的圆与以长轴为直径的圆的位置关系是内切．故选A．

【名师点睛】两圆的位置关系的判定方法：设两个圆的半径为R和r，圆心距为d，
（1）d>R+r 两圆外离， （2）d=R+r 两圆外切； （3）d=R-r两圆内切，（4）d