初中数学1 锐角三角函数精品教案及反思

这是一份初中数学1 锐角三角函数精品教案及反思，共20页。教案主要包含了教师准备，学生准备，总结提升，基础巩固，能力提升，拓展探究，答案与解析，学生活动等内容，欢迎下载使用。

1　锐角三角函数





1.经历探索直角三角形中边角之间关系的过程.
2.理解锐角三角函数(正切、正弦、余弦)的意义,并能够举例说明.
3.能够运用tan A,sin A,cos A表示直角三角形中两边的比.
4.能够根据直角三角形中的边角关系进行简单的计算.

1.经历三个锐角三角函数的探索过程,确信三角函数的合理性,体会数形结合的数学思想.
2.在探索锐角三角函数的过程中,初步体验探索、讨论、验证对学习数学的重要性.

1.通过锐角三角函数概念的建立,使学生经历从特殊到一般的认识过程.
2.让学生在探索、分析、论证、总结获取新知识的过程中体验成功的喜悦,从解决实际问题中感悟数学的实用性,培养学生学习数学的兴趣.

【重点】
1.理解锐角三角函数的意义.
2.能利用三角函数解三角形的边角关系.
【难点】　能根据直角三角形的边角关系进行简单的计算.

第课时



1.经历探索直角三角形中边角关系的过程.理解正切的意义和与现实生活的联系.
2.能够用tan A表示直角三角形中两直角边的比,表示生活中物体的倾斜程度、坡度等,能够用正切进行简单的计算.
3.理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义,加强数学与生活的联系.

1.体验数形之间的联系,逐步学习利用数形结合思想分析问题和解决问题.提高解决实际问题的能力.
2.体会解决问题的策略多样性,发展实践能力和创新精神.

1.积极参与数学活动,对数学产生好奇心和求知欲.
2.形成实事求是的态度以及独立思考的习惯.

【重点】
1.从现实情境中探索直角三角形的边角关系.
2.理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义,加强数学与生活的联系.
【难点】　理解正切的意义,并用它来表示生活中物体的倾斜程度、坡度等.

【教师准备】　多媒体课件.
【学生准备】
1.自制4个直角三角形纸板.
2.复习直角三角形相似的判定和直角三角形的性质.


导入一:
课件出示:

你知道图中建筑物的名字吗?是的,它就是意大利著名的比萨斜塔,是世界著名建筑奇观,位于意大利托斯卡纳省比萨城北面的奇迹广场上,是奇迹广场三大建筑之一,也是意大利著名的标志之一,它从建成之日起便由于土层松软而倾斜.
【引入】　应该如何来描述它的倾斜程度呢?学完本节课的知识我们就能解决这个问题了.
[设计意图]　创设新颖、有趣的问题情境,以比萨斜塔的倾斜程度激发学生的学习兴趣,从而自然引出课题,并且为学生探究梯子的倾斜程度埋下伏笔.
导入二:
课件出示:
四个规模不同的滑梯A,B,C,D,它们的滑板长(平直的)分别为300 cm,250 cm,200 cm,200 cm;滑板与地面所成的角度分别为30°,45°,45°,60°.

【问题】　四个滑梯中哪个滑梯的高度最高?
[设计意图]　利用学生所熟悉的滑梯进行引导,使学生有亲切感,滑梯与课本中引用梯子比较类似,学生的探究思路会比较顺畅.

　　[过渡语]　梯子是我们日常生活中常见的物体.我们经常听人们说这个梯子放的“陡”,那个梯子放的“平缓”,人们是如何判断的呢?“陡”和“平缓”是用来描述梯子什么的?
一、正切的定义
(一)探究新知
请同学们看下图,并回答问题.

探究一:
问题1
课件出示:
在下图中,梯子AB和EF哪个更陡?你是怎样判断的?你有几种判断方法?

小组讨论后展示结果:
1组:梯子AB较陡.我们组是借助量角器量倾斜角,发现∠ABC>∠EFD,根据倾斜角越大,梯子就越陡,可以得到梯子AB较陡.
师:哪组还有不同的判定方法?
2组:我们也是认为梯子AB较陡.我们组是分别计算AC与BC的比,ED与FD的比,发现前者的比值大,根据铅直高度与水平宽度的比越大,梯子就越陡,可以得到梯子AB较陡.
3组:我们组的方法和1组的大致相同,借助倾斜角来判断,不过不是测量,我们是过E作EG∥AB交FD于G,就可以清晰比较∠ABC与∠EFD的大小了.
4组:我们组发现这两架梯子的高度相同,水平宽度越小,梯子就越陡,所以我们也认为梯子AB较陡.
探究二:
问题2
课件出示:
在下图中,梯子AB和EF哪个更陡?你是怎样判断的?

学生会类比问题1给出的四种判断方法,只要说得合理即可.
问题3
课件出示:
在下图中,梯子AB和EF哪个更陡?你是怎么判断的?

多给学生思考和讨论的时间.
代表发言:AB和EF的倾斜度一样.由于两个直角三角形的两直角边的比值相等,再加上夹角相等,可以判定两个直角三角形相似,根据相似三角形的对应角相等,可以证明两个倾斜角相等,所以AB和EF的倾斜度一样.
教师引导:我们发现当直角三角形的两直角边的比值相等时,梯子的倾斜度一样,请大家判断一下在问题2与问题3中,两直角边的比值与倾斜度有什么关系?请继续探究下面的问题.
问题4
课件出示:
在下图中,梯子AB和EF哪个更陡?你是怎样判断的?

教师引导:我们观察上图直观判断梯子的倾斜程度,即哪一个更陡,可能就比较困难了.能不能从上面的探究中得到什么启示呢?
生讨论后得出:
思路1:梯子EF较陡,因为∠EFD>∠ABC,根据倾斜角越大,梯子就越陡.
思路2:梯子EF较陡,因为>,根据铅直高度与水平宽度的比越大,梯子就越陡.
师生共同总结:在日常的生活中,我们判断哪个梯子更陡,应该从梯子AB和EF的倾斜角大小,或垂直高度和水平宽度的比的大小来判断.
做一做:请通过计算说明梯子AB和EF哪一个更陡呢?
生独立解答,代表展示:
∵==,==,<,
∴梯子EF比梯子AB更陡.
[设计意图]　通过探究逐层深入的问题,让学生经历由简单到复杂、由特殊到一般的探究过程,既对已学知识和生活经验进行了回味和运用,也让学生的思想逐步向本节课的中心“两直角边之比”靠近.
[知识拓展]　梯子的倾斜程度的判定方法:(1)梯子的倾斜程度和倾斜角有关系,倾斜角越大,梯子就越陡.(2)梯子的倾斜程度和铅直高度与水平宽度的比有关系,铅直高度与水平宽度的比越大,梯子就越陡.
(二)再探新知
　　[过渡语]　在日常生活中,我们判断哪个梯子更陡,应该从梯子AB和EF的倾斜角大小,或垂直高度和水平宽度的比的大小来判断.可是小明和小亮在判断梯子AB1的倾斜程度时发生了矛盾,我们来看一看.
课件出示:
【想一想】　如图所示,小明想通过测量B1C1及AC1,算出它们的比,来说明梯子的倾斜程度;而小亮则认为,通过测量B2C2及AC2,算出它们的比,也能说明梯子的倾斜程度.你同意小亮的看法吗?

(1)直角三角形AB1C1和直角三角形AB2C2有什么关系?
生很容易得出两个三角形相似.
由生说明理由:∵∠B2AC2=∠B1AC1,∠B2C2A=∠B1C1A=90°,∴Rt△AB1C1∽Rt△AB2C2.
(2)和有什么关系?
由于Rt△AB1C1∽Rt△AB2C2,所以有=.
(3)如果改变B2在梯子上的位置呢?由此你得出什么结论?
生先独立思考后分组讨论.
生得出结论:改变B2在梯子上的位置,铅直高度与水平宽度的比始终相等.
想一想:现在如果改变∠A的大小,∠A的对边与邻边的比值会改变吗?
生讨论得出:∠A的大小改变,∠A的对边与邻边的比值会改变.∠A的对边与邻边的比只与∠A的大小有关系,而与它所在直角三角形的大小无关.
【总结提升】　由于直角三角形中的锐角A确定以后,它的对边与邻边的比也随之确定,因此我们有如下定义:

如图所示,在Rt△ABC中,如果锐角A确定,那么∠A的对边与邻边之比便随之确定,这个比叫做∠A的正切(tangent),记作tan A,即tan A=.
当锐角A变化时,tan A的值也随之变化.
能力提升:如果∠A+∠B=90°,那么tan A与tan B有什么关系?
生讨论得出结论:
tan A=,即任意锐角的正切值与它的余角的正切值互为倒数.
【议一议】　前面我们讨论了梯子的倾斜程度,在课本图1-3中,梯子的倾斜程度与tan A有关系吗?
学生思考后,统一答案:
tan A的值越大,梯子越陡.(反之,梯子越陡,tan A的值越大)
[设计意图]　此环节的设计是为了突出概念的形成过程,帮助学生理解概念.通过让学生参与、动手操作,让学生学会由特殊到一般、数形结合及函数的思想方法,提高学生分析问题和解决问题的能力.
[知识拓展]　正切的注意事项:(1)tan A是一个完整的符号,它表示∠A的正切,记号里习惯省去角的符号“∠”.(2)tan A没有单位,它表示一个比值,即直角三角形中∠A的对边与邻边的比.(3)tan A不表示“tan”乘以“A”.(4)初中阶段,我们只学习直角三角形中锐角的正切.
(三)例题解析
　　[过渡语]　通过探究我们了解了正切的概念,下面就来进行“实战演习”,检验一下我们的理解能力.
课件出示:
(教材例1)如图所示表示甲、乙两个自动扶梯,哪一个自动扶梯比较陡?

想一想:要判断哪个自动扶梯比较陡,只需求出什么即可?
生思考后得出:比较甲、乙两个自动扶梯哪一个陡,只需分别求出tan α,tan β的值进行比较大小即可,正切值越大,扶梯就越陡.
要求学生独立解答,代表展示:
解:甲梯中,tan α==.
乙梯中,tan β==.
因为tan α>tan β,所以甲梯更陡.
[设计意图]　通过对例题的解答让学生初步学会运用“正切”这一数学工具判断梯子的倾斜程度,同时规范学生的解题步骤,培养良好的解题习惯.
二、正切的应用
　　[过渡语]　正切在日常生活中的应用很广泛,例如,在建筑、工程技术中,经常用正切描述山坡的坡度.

课件出示:
如图所示,有一山坡在水平方向上每前进100 m就升高60 m,那么山坡的坡度 (即tan α)就是: i=tan α==.
结论:坡面与水平面的夹角(α)称为坡角,坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度(或坡比),tan α=,即坡度等于坡角的正切.
[设计意图]　正切在日常生活中的应用很广泛,通过正切刻画梯子的倾斜程度及坡度的数学意义,密切数学与生活的联系,使学生明白学习数学就是为了更好地应用数学,为生活服务.
[知识拓展]　坡度与坡面的关系:坡度越大,坡面越陡.

(1)正切的定义:tan A=.
(2)梯子的倾斜程度与tan A的关系(∠A和tan A之间的关系):tan A的值越大,梯子越陡.
(3)坡度(或坡比)的定义:i=tan α=.

1.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=13,AC=12,则tan A等于 (　　)
A. B. C. D.
解析:∵在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=13,AC=12,∴BC=5,∴tan A=.故选B.

2.如图所示,将∠AOB放置在5×5的正方形网格中,则tan∠AOB的值是 (　　)
A. B.
C. D.
解析:认真读图,在以∠AOB的O为顶点的直角三角形里求tan∠AOB的值,由图可得tan∠AOB=.故选B.
3.(温州中考)如图所示,在△ABC中,∠C=90°,AC=2,BC=1,则tan A的值是　　　　. 
解析:tan A==.故填.

4.河堤横断面如图所示,堤高BC=5 m,迎水坡AB的坡度是1∶(坡度是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比),则AB的长是　　　　. 

解析:在Rt△ABC中,BC=5,tan A=1∶,∴AC=5,∴AB==10(m).故填10 m.

第1课时
(1)正切的定义:tan A=.
(2)梯子的倾斜程度与tan A的关系(∠A和tan A之间的关系):tan A的值越大,梯子越陡.
(3)坡度(或坡比)的定义:i=tan α=.

一、教材作业
【必做题】
1.教材第4页随堂练习第1,2题.
2.教材第4页习题1.1第1,2题.
【选做题】
教材第4页习题1.1第3,4题.
二、课后作业
【基础巩固】

1.如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,则tan A的值为 (　　)
A. B.
C. D.
2.小明沿着坡度为1∶2的山坡向上走了1000 m,则他升高了(　　)
A.500 m B.200 m
C.500 m D.1000 m
3.已知斜坡的坡度为i=1∶5,如果这一斜坡的高度为2 m,那么这一斜坡的水平距离为　　　　m. 
【能力提升】

4.(山西中考)如图所示,在网格中,小正方形的边长均为1,点A,B,C都在格点上,则∠ABC的正切值是 (　　)
A.2 B.
C. D.
5.如图所示,将以A为直角顶点的等腰直角三角形ABC沿直线BC平移得到△A'B'C',使点B'与C重合,连接A'B,则tan∠A'BC'的值为　　　　. 

6.如图所示,在锐角三角形ABC中,AB=10 cm,BC=9 cm,△ABC的面积为27 cm2.求tan B的值.

7.某商场为方便顾客使用购物车,准备将滚动电梯的坡面坡度由1∶1.8改为1∶2.4(如图所示).如果改动后电梯的坡面长为13 m,求改动后电梯水平宽度增加部分BC的长.

【拓展探究】
8.如图所示,在△ABC中,AB=AC,BD是AC边上的中线,若AB=13,BC=10,试求tan∠DBC的值.

【答案与解析】
1.D(解析:∵在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,∴tan A===.故选D.)
2.B(解析:设铅直高度为x m,∵坡度为1∶2,∴水平宽度为2x m,由勾股定理得x2+(2x)2=10002,解得x=200.∴他升高了200 m.故选B.)
3.10(解析:∵斜坡的坡比是1∶5,∴=.∴=,∴斜坡的水平距离为=10 m.故填10.)

4.D(解析:如图所示,连接AC,由勾股定理,得AC=,AB=2,BC=,∴△ABC为直角三角形,∴tan B==.故选D.)

5.(解析:如图所示,过A'作A'D⊥BC',垂足为D.在等腰直角三角形A'B'C'中,易知A'D是底边上的中线,∴A'D=B'D=.∵BC=B'C',∴tan∠A'BC'===.故填.)

6.解:如图所示,过点A作AH⊥BC于H,∵S△ABC=27,∴×9×AH=27,∴AH=6.∵AB=10,∴BH===8,∴tan B===.
7.解:在Rt△ADC中,AD∶DC=1∶2.4,AC=13,由AD2+DC2=AC2,得AD2+(2.4AD)2=132,∴AD=±5(负值不合题意,舍去),∴DC=12.在Rt△ABD中,∵AD∶BD=1∶1.8,∴BD=5×1.8=9,∴BC=DC-BD=12-9=3(m).答:改动后电梯水平宽度增加部分BC的长为3 m.

8.解:如图所示,过点A,D分别作AH⊥BC,DF⊥BC,垂足分别为点H,F.∵BC=10,AH⊥BC,AB=AC,∴BH=5.∵AB=13,∴AH==12,在Rt△ACH中,AH=12,易知AH∥DF,且D为AC中点,∴DF=AH=6,∴BF=BC=,∴在Rt△DBF中,tan∠DBC==.


本节课是三角函数部分的第一节概念教学,教学内容比较抽象,学生不易理解.为此结合初中学生身心发展的特点,运用实验教学、直观教学,唤起和加深学生对教学内容的体会和了解,并培养和发展学生的观察、思维能力,这是贯彻“从生动的直观到抽象的思维,并从抽象的思维到实践”的认识规律,能使学生学习数学的过程成为积极的、愉快的和富有想象的过程,使学习数学的过程不再是令人生畏的过程.概念教学由学生熟悉的实例入手,引导学生观察、分析、动手、动脑、动口多种感官参与,并组织学生积极参与小组成员间合作交流.通过由特殊到一般、具体到抽象的探索过程,紧紧围绕着函数概念,引出正切概念,再通过相应的典型题组练习巩固概念.并且在教学过程中,注重了阶段性的反思小结,使学生能够及时总结知识和方法.

本节课的开放性还不够,探究梯子倾斜程度时,学生的一些奇思妙想没有给予展示机会.第一个环节内容设计多了一些,所以导致后面的教学处理上稍显仓促.

对第一个环节的处理力求更加简洁,并大胆放手让学生去探索、去发现,真正让学生成为学习的主人.

随堂练习(教材第4页)
1.解:能.tan C====.
2.解:根据题意,得AB=200,BC=55,则AC===5,所以山的坡度为=≈0.286.
习题1.1(教材第4页)
1.解:∵BC===12,∴tan A==,tan B==.
2.解:∵tan A==,BC=3,∴AC=BC=.
4.tan A=.


学生学习时首先通过情境题了解本节课学习的主要任务,做到有的放矢,然后利用“由一般到特殊”的数学思想,通过三个探究活动逐步得出梯子的倾斜程度与tan A的关系(∠A和tan A之间的关系),在探究的过程中可以通过自主探究与合作交流的方式抓住重点,突破难点.学生在运用正切解决问题时,一定要注意其前提条件——在直角三角形中,找准直角是解题的关键.而有些题目需要作辅助线构造直角三角形,也可以通过角度的转化进行求解,同时还要注意数形结合思想的运用.

　如图所示,设计建造一条道路,路基的横断面为梯形ABCD,设路基高为h,两侧的坡角分别为α,β.已知h=2 m,α=45°,tan β=,CD=10 m.求路基底部AB的宽.

〔解析〕　如图所示,过D,C分别作下底AB的垂线,垂足分别为E,F.在Rt△ADE和Rt△BCF中,可根据h的长以及坡角的度数或坡比的值,求出AE,BF的长,进而可求得AB的值.

解:如图所示,过D作DE⊥AB于E,过C作CF⊥AB于F,∴DE∥CF.
∵四边形ABCD为梯形,
∴AB∥CD,∴EF=CD=10 m.
∴四边形DCFE为矩形.
在Rt△ADE中,α=45°,DE=h=2 m,∴CF=DE=h=2 m.
在Rt△BCF中,tan β=,CF=2 m,∴BF=2CF=4(m).
故AB=AE+EF+BF=AE+CD+BF=2+10+4=16(m).
答:路基底部AB的宽为16 m.
[解题策略]　此题主要考查了坡度问题的应用,求坡度、坡角问题通常要转换为解直角三角形的问题,必要时应添加辅助线,构造出直角三角形.
第课时



1.经历探索直角三角形中边角关系的过程.理解正弦、余弦及三角函数的意义和与现实生活的联系.
2.能够用sin A,cos A表示直角三角形中直角边与斜边的比,能够用正弦、余弦进行简单的计算.

1.体验数形之间的联系,逐步学习利用数形结合的思想分析问题和解决问题.提高解决实际问题的能力.
2.体会数学来源于生活又服务于生活的理念.

1.在探究新知的过程中,培养与他人合作的意识.
2.激发学生探究新知的兴趣,让他们体会学习数学的快乐,培养应用数学的意识.

【重点】
1.理解锐角三角函数正弦、余弦的意义,并能举例说明.
2.能用sin A,cos A表示直角三角形两边的比.
3.能根据直角三角形的边角关系进行简单的计算.
【难点】　类比正切,用函数思想理解正弦和余弦.

【教师准备】　多媒体课件.
【学生准备】　复习tan A的定义以及利用tan A表示直角三角形两边比的方法.


导入一:

如图所示,AC是旗杆AB的一根拉线,测得AB=6 m,∠ACB=α,同学们,你能用α表示出拉线AC的长度吗?
【问题】　边AB和AC分别是∠ACB的什么边?和我们上节课学习的正切一样吗?
[设计意图]　通过与正切的对比,引出本节课要探究的问题,让学生体会类比思想的重要性.
导入二:
课件出示:

如图所示,我们在上一节课学习了直角三角形中的一种边与角之间的关系——正切.由正切定义我们知道正切是一个比值,并且得出了当Rt△ABC中的一个锐角A确定时,其对边与邻边的比值便随之确定.
【问题】　此时,其他边之间的比值也确定吗?
[设计意图]　引导学生回忆上节课学的正切后,开门见山,直入正题,让学生的思维很快进入今天的学习内容.

　　[过渡语]　在直角三角形ABC中,除了两条直角边的比之外,还有没有利用其他边的比值来表示梯子AB的倾斜程度的情况呢?
一、正弦、余弦、三角函数的定义
问题1
课件出示:

如图所示,在直角三角形中,除了两直角边的比值外还有其他边之间的比值吗?
生观察后思考得出:还可以用直角边比斜边或斜边比直角边.(这里学生可能会提到多种情况,只要学生回答的有道理就予以肯定和表扬)
教师引导:如果以∠A为例,总结一下共有几种情况.
【学生活动】　同伴交流,总结归纳出两种类型:对边与斜边的比、邻边与斜边的比.
【教师点评】　在Rt△ABC中,如果锐角A确定,那么∠A的对边与斜边的比和邻边与斜边的比也随之确定.
【师生活动】　共同总结:
∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦(sine),记作sin A,即sin A=.
∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦(cosine),记作cos A,即cos A=.
锐角A的正弦、余弦和正切都是∠A的三角函数.
提示:当锐角A变化时,相应的正弦、余弦和正切值也随之变化.
[设计意图]　通过探究,引导学生类比正切的概念总结出正弦、余弦及三角函数的概念,为下面的学习打下良好的基础.
二、sin A,cos A与梯子倾斜程度的关系
　　[过渡语]　通过上节课的学习我们知道了梯子的倾斜程度与tan A有关系:tan A的值越大,梯子越陡.由此我们想到梯子的倾斜程度是否也和sin A,cos A有关系呢?如果有关系,是怎样的关系?
问题2
【想一想】　在教材图1-3中,梯子的倾斜程度与sin A和cos A有关系吗?
【教师活动】　要求小组合作交流,统一答案.
【学生活动】　小组同学认真思考,热烈讨论,积极总结.
思路一
教师引导学生分析:

如图所示,AB=A1B1,在Rt△ABC中,sin A=,在Rt△A1B1C1中,sin A1=.
∵AB=A1B1,∴<,即sin A ∴梯子的倾斜程度与sin A有关系.sin A的值越大,梯子越陡.正弦值也能反映梯子的倾斜程度.　　
思路二
学生互相交流,类比分析过程:
cos A=,cos A1=.∵AB=A1B1,∴>,即cos A>cos A1,
∴梯子的倾斜程度与cos A也有关系.cos A的值越小,梯子越陡.
【师生总结】　梯子的倾斜程度与sin A,cos A的关系:sin A的值越大,梯子越陡;cos A的值越小,梯子越陡.
[设计意图]　此环节的设计是为了突出概念的形成过程,帮助学生理解概念.通过学生的参与、动手操作让学生学会“由特殊到一般”“数形结合”的思想方法,提高分析问题和解决问题的能力.
例题解析
　　[过渡语]　通过探究我们掌握了正弦、余弦的定义,下面就通过例题检验一下我们对新知的理解能力.
课件出示:

(教材例2)如图所示,在Rt△ABC中,∠B=90°,AC=200,sin A=0.6,求BC的长.
【师生活动】　生独立解答,师巡视观察学生解题的情况,随时进行指导.
解:在Rt△ABC中,∵sin A=,即=0.6,∴BC=200×0.6=120.
想一想:你还能求出cos A,sin C和cos C的值吗?
生认真思考,独立写解题过程.
代表展示:cos A=0.8,sin C=0.8,cos C=0.6.
[设计意图]　例题的安排既对学生学习的内容加以巩固,也让学生体会严谨的做题思路,并通过拓展得出直角三角形的三角函数之间的关系.
[知识拓展]　1.若∠A+∠B=90°,一个锐角的正弦等于它余角的余弦,sin A=cos B;一个锐角的余弦等于它余角的正弦,cos A=sin B.
2.锐角三角函数之间的关系:
(1)同一个角:①商的关系:tan A=;②平方关系:sin2A+cos2A=1.
(2)互余两角:若∠A+∠B=90°,则sin A=cos B,cos A=sin B.
三、三角函数的运用
　　[过渡语]　灵活运用三角函数能提高我们的解题效率.
课件出示:
【做一做】　如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,cos A=,AC=10,AB等于多少?sin B呢?

【学生活动】　要求学生独立完成,代表展示解题过程.
代表展示:
解:在Rt△ABC中,
∵cos A===,
∴AB==.
∴sin B===.
[设计意图]　在学习前边知识的基础上,巩固运用正弦、余弦及正切表示直角三角形中两边的比,体验数形之间的联系,学习利用数形结合思想分析问题和解决问题,提高解决实际问题的能力.

(1)三角函数的概念:正弦:sin A=.余弦:cos A=.
锐角A的正弦、余弦和正切都是∠A的三角函数.
(2)梯子的倾斜度与三角函数之间的关系:
sin A的值越大,梯子越陡;cos A的值越小,梯子越陡.
(3)锐角三角函数之间的关系:
(1)同一个角:①商的关系:tan A=;②平方关系:sin2A+cos2A=1.
(2)互余两角:若∠A+∠B=90°,则sin A=cos B,cos A=sin B.


1.如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=6,cos B=,则BC的长为 (　　)
A.4 B.2
C. D.
解析:∵cos B=,∴=.∵AB=6,∴CB=×6=4.故选A.
2.在Rt△ABC中,∠C=90°,若cos A=,则tan B的值是 (　　)
A. B. C. D.
解析:∵在Rt△ABC中,∠C=90°,∴cos A=,tan B=,AC2+BC2=AB2.∵cos A=,∴设AC=2x(x>0),则AB=3x,BC=x,∴tan B==.故选A.

3.如图所示,在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的中线,已知CD=2,AC=3,则sin B的值是　　　　. 
解析:∵在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的中线,CD=2,∴AB=2CD=4,∴sin B==.故填.

4.如图所示,△ABC的顶点都在方格纸的格点上,则sin A=　　　　. 
解析:过C作CD⊥AB交AB的延长线于点D,如图所示,设小方格的边长为1,在Rt△ACD中,AC==2,∴sin A==.故填.

5.如图所示,∠ACB=90°,DE⊥AB,垂足为点E,AB=10,BC=6,求∠BDE的三个三角函数值.
解:∵∠C=∠BED=90°,∠B=∠B,
∴△ACB∽△DEB,∴∠BDE=∠A,
∴sin∠BDE=sin A=,cos∠BDE=cos A=,tan∠BDE=tan A=.

第2课时
1.三角函数的概念:
(1)∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦,即sin A=.∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦,即cos A=.锐角A的正弦、余弦和正切都是∠A的三角函数.
2.梯子的倾斜度与三角函数之间的关系:sin A的值越大,梯子越陡;cos A的值越小,梯子越陡.

一、教材作业
【必做题】
1.教材第6页随堂练习第1,2题.
2.教材第6页习题1.2第1,2,3,4题.
【选做题】
教材第7页习题1.2第5题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.(温州中考)如图所示,在△ABC中,∠C=90°,AB=5,BC=3,则cos A的值是 (　　)
A. B.
C. D.

2.(广西中考)如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=13,BC=12,则下列三角函数表示正确的是 (　　)
A.sin A= B.cos A=
C.tan A= D.tan B=

3.在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=3,BC=4,则sin A=　　　　. 

4.如图所示,在直角坐标系中,P是第一象限内的点,其坐标是(3,m),且OP与x轴正半轴的夹角α的正切值是,则sin α的值为　　　　. 
【能力提升】

5.(乐山中考)如图所示,已知△ABC的三个顶点均在格点上,则cos A的值为 (　　)
A. B.
C. D.
6.在△ABC中,∠C=90°,BC=6,sin A=,则AB边的长是　　　　. 
7.如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,sin A=,求BC的长和tan B的值.

8.如图所示,在正方形ABCD中,M是AD的中点,BE=3AE.求sin∠ECM的值.

【拓展探究】
9.(贺州中考)网格中的每个小正方形的边长都是1,△ABC每个顶点都在网格的交点处,则sin A=　　　　. 

【答案与解析】
1.D(解析:∵AB=5,BC=3,∴AC=4,∴cos A==.故选D.)
2.A(解析:∵∠ACB=90°,AB=13,BC=12,∴AC===5.A,sin A==,故本选项正确;B,cos A==,故本选项错误;C,tan A==,故本选项错误;D,tan B==,故本选项错误.故选A.)
3.(解析:首先由勾股定理求得斜边AC=5,然后由锐角三角函数的定义知sin A=,最后将相关线段的长度代入计算即可.)

4.(解析:如图所示,过点P作PE⊥x轴于点E,则可得OE=3,PE=m,在Rt△POE中,tan α==,解得m=4,则OP==5,故sin α=.)

5.D(解析:过B点作BD⊥AC,如图所示,由勾股定理,得AB==,AD==2,∴cos A===.故选D.)
6.9(解析:∵BC=6,sin A=,∴=,解得AB=9.故填9.)
7.解:在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,sin A==,∴BC=4,根据勾股定理,得AC==2,则tan B===.
8.解:设AE=x(x>0),则BE=3x,BC=4x,AM=2x,CD=4x,∴CE==5x,EM==x,CM==2x,∴EM2+CM2=CE2,∴△CEM是直角三角形,∠EMC=90°,∴sin∠ECM===.

9.(解析:如图所示,作AD⊥BC于D,CE⊥AB于E,由勾股定理得AB=AC=2,BC=2,AD=3,易知△ABC是等腰三角形,由面积相等可得BC·AD=AB·CE,∴CE==,∴sin∠CAE===.故填.)


上节课已经学习了三角函数中的正切,所以这节课根据初中学生身心发展的特点,运用了类比教学法,想唤起和加深学生对教学内容的体会和了解,并培养和发展学生的观察、思维能力,运用直观教学,能使学生学习数学的过程成为积极的、愉快的和富有想象的过程,使学习数学的过程不再是令人生畏的过程.用函数的观点理解正弦、余弦和正切,是本节课的一个难点.为了更好地突破难点,在教学时发动学生及时进行讨论,产生的效果较好.在探讨梯子的倾斜程度与sin A和cos A的关系时,鼓励学生利用类比tan A的方法进行探究,可以比较直观地得出结论,学生比较容易接受.课堂练习题及检测题题量适中且有针对性,课后作业有分层,适合不同程度的同学.在整个教学过程中,学生探究活动始终处于主导地位,培养了学生独立思考、合作探究及分析问题、解决问题的能力.

在处理梯子的倾斜度与三角函数的关系的问题时,时间安排的不是很科学,导致后面的例题以及做一做的处理稍显仓促.

在以后的教学中注意科学合理地安排课堂时间,并且大部分的知识让学生利用类比tan A的方法进行自主探究.

随堂练习(教材第6页)
1.解:过A点作AD⊥BC,垂足为D,BD=BC=3,AD===4,∴sin B==,cos B==,tan B==.
2.解:∵sin A=,∴AB===25,则AC===15,∴△ABC的周长=AB+BC+AC=25+20+15=60,△ABC的面积=AC·BC=×15×20=150.
习题1.2(教材第6页)
1.解:∵x=　=9　=,∴sin α=cos β==,cos α=sin β==,tan α==,tan β==.
2.提示:倾斜角的正弦值、正切值越大,梯子越陡;倾斜角的余弦值越小,梯子越陡.
3.解:如图所示,∵sin A=,cos B=,∴sin A=cos B.

4.解:如图所示,∵CD是AB边上的中线,且CD=5,∴AB=2CD=10.∵BC=8,∴AC==6,∴sin A===.过点D作DE⊥AC于E,∵sin A=,∴DE=5sin A=4,∴AE==3,∴CE=6-3=3,∴sin∠ACD==,cos∠ACD==,tan∠ACD==.

5.解:当∠BAC>90°时,CD=10,sin C=.当∠BAC<90°时,CD=16,sin C=.


本节课的学习,学生可以类比上节课所学的正切的探究方法对正弦、余弦的知识进行探究.在探究的过程中要及时进行总结,得出直角三角形中的三个三角函数之间的关系,这也是本节课的难点,其突破方法就是在自主探究和合作交流的过程中寻求它们之间的联系,而熟练运用三角函数进行相关的计算是对所学知识的巩固提高.当然和上节课一样,在探究的过程中数形结合思想和转化思想的运用可以使问题得以简化.

容易混淆sin 和cos 的概念.
　在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=3,BC=2,则cos A的值是　　　　. 
【错解】　
【错解分析】　容易把sin A和cos A的概念颠倒而得出相反的结论.
【正解】　
【正解分析】　在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=3,BC=2,∴AC==,∴cos A==.