初中数学北师大版九年级下册4 解直角三角形精品教学设计及反思

这是一份初中数学北师大版九年级下册4 解直角三角形精品教学设计及反思，共10页。教案主要包含了教师准备，学生准备，师生活动，学生活动，教师小结，教师设疑，教师点评，师生总结等内容，欢迎下载使用。

4　解直角三角形





1.了解解直角三角形的概念,使学生理解直角三角形中五个元素的关系.
2.经历解直角三角形的过程,掌握运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形的方法.

1.在研究问题的过程中思考如何把实际问题转化为数学问题,进而把数学问题具体化.
2.通过利用三角函数解决实际问题的过程,进一步提高学生的逻辑思维能力和解决问题能力.

1.在解决问题的过程中引导学生形成数形结合的数学思想,体会数学与实践生活的紧密联系.增强学生的数学应用意识,激励学生敢于面对数学学习中的困难.
2.通过获取成功的体验和克服困难的经历,增进学生学习数学的信心,养成学生良好的学习习惯.

【重点】　理解并掌握直角三角形边角之间的关系,运用直角三角形的两锐角互余、勾股定理及锐角三角函数求直角三角形中的未知元素.
【难点】　从已知条件出发,正确选用适当的边角关系或三角函数解题.

【教师准备】　多媒体课件.
【学生准备】　复习三角函数和勾股定理的相关知识.


导入一:
课件出示:

在日常生活中,我们常常遇到与直角三角形有关的问题,知道直角三角形的边可以求出角,知道角也可以求出相应的边.如图所示,在Rt△ABC中共有几个元素?我们如何利用已知元素求出其他的元素呢?
【师生活动】　复习直角三角形的性质(两锐角互余和勾股定理)和三角函数的概念.
【学生活动】　通过独立思考和与同伴交流,分析出Rt△ABC中的6个元素,并尝试利用已知元素求未知元素.
[设计意图]　在学生分析直角三角形6个元素的过程中,学生自然而然地会想到直角三角形的相关性质,在复习旧知的同时,又为学习新知奠定了良好的基础.
导入二:
课件出示:

如图所示,AC是电线杆AB的一根拉线,测得拉线AC=12 m,AB=6 m,你能求出拉线底端到电线杆底端的长度BC吗?能求出拉线AC与地面BC所成角的度数和拉线AC与电线杆AB所成角的度数吗?
学生分析:可以利用勾股定理求拉线AC的长度,易知拉线与地面所成角为∠BCA,拉线与电线杆所成角为∠BAC,利用三角函数知识和计算器即可求出∠BCA和∠BAC的度数.
【引入】　这节课我们就综合运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数的知识探究直角三角形中的边和角的求解方法.
[设计意图]　通过生活中实际情境的引入,使学生对本节课的学习任务一目了然,学生在探究的过程中就可以抓住重点和难点.

　　[过渡语]　我们已经了解了直角三角形中6个元素分别是三条边和三个角,那么至少要知道几个元素,才可以求出其他元素呢?下面我们进行分类探究.
一、已知两条边解直角三角形
【做一做】　在Rt△ABC中,如果已知其中两边的长,你能求出这个三角形的其他元素吗?
课件出示:
(教材例1)在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,且a=,b=,求这个三角形的其他元素.
思路一
教师引导学生分析:
1.直角三角形中已知两边可以利用　　　　定理求出第三条边. 
2.直角三角形中,已知两边可以利用　　　　求∠A(或∠B)的度数. 
3.再利用　　　　求∠B(或∠A)的度数. 
【师生活动】　教师引导学生分析,得出解直角三角形的方法,理清解题思路.
【学生活动】　得出结论:1.勾股定理　2.三角函数　2.两锐角互余
解:在Rt△ABC中,a2+b2=c2,a=,b=,∴c===2.
在Rt△ABC中,sin B===,
∴∠B=30°,∴∠A=60°.
思路二
分组探究,思考下面的问题:
1.由两个已知条件a=,b=能不能求出其中的一个锐角?
2.如何再求出另外一个锐角的度数?
3.如何再求出第三条边的长?
【师生活动】　学生先独立思考,然后小组讨论.教师巡视,及时发现问题,予以纠正.完成后各小组展示解题的方法和步骤,师生共同验证.
解:在Rt△ABC中,a=,b=,
∴tan A===,
∴∠A=60°,∴∠B=30°.
在Rt△ABC中,sin B=sin 30°=,
即=,∴c=2.
【教师小结】　解直角三角形的概念:由直角三角形中已知的元素,求出所有的未知元素的过程,叫做解直角三角形.
[设计意图]　通过对直角三角形6个元素的分析及对猜测的探究活动,自然而然地引出解直角三角形的概念,并让学生及时总结解题方法,加深对概念的理解.
[知识拓展]　已知直角三角形两条边求其他元素的方法:
方法1:已知两条边的长度,可以先利用勾股定理求出第三边,然后利用锐角三角函数求出其中一个锐角,再根据直角三角形两锐角互余求出另外一个锐角.
方法2:已知两条边的长度,可以先利用锐角三角函数求出其中一个锐角,然后根据直角三角形中两锐角互余求出另外一个锐角,再利用锐角三角函数求出第三条边.
二、导入题再现
　　[过渡语]　你现在可以解决导入二中的问题了吗?
【师生活动】　要求学生独立完成,进行小组比赛,找代表板演,师生共同订正.
解:在Rt△ABC中,AC=12,AB=6,由勾股定理得BC=6.
在Rt△ABC中,tan∠BCA===,
∴∠BCA=60°,∴∠BAC=30°.
∴拉线底端到电线杆底端的长度BC是6 m,∠BCA和∠BAC的度数分别是60°和30°.
[设计意图]　通过对导入题的解答,加深学生对解直角三角形概念的理解,提高解题的综合能力.
三、已知一条边和一个角解直角三角形
　　[过渡语]　在Rt△ABC中,如果已知一边和一个锐角,你能求出这个三角形的其他元素吗?请看下面的问题:
(教材例2)在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,且b=30,∠B=25°.求这个三角形的其他元素(边长精确到1).
〔解析〕　在直角三角形中可以利用两锐角互余求另外一个锐角的度数,然后利用与锐角∠B和边b有关的三角函数先求出其中一条边a或c,再利用三角函数或勾股定理求出第三条边c或a.
解:在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=25°,
∴∠A=65°.
∵sin B=,b=30,∴c==≈71.
∵tan B=,b=30,∴a==≈64.
【教师设疑】　此题还有其他解法吗?
【学生活动】　学生相互交流他们的解法.
[设计意图]　通过对学习活动的探究,学生逐步掌握了解直角三角形所要具备的条件,并在探究的过程中及时总结归纳出解直角三角形的思路和方法,为后面的练习和应用打下了良好的基础.
[知识拓展]　已知直角三角形一条边和一个锐角求其他元素的方法:
已知一个锐角的度数,先根据直角三角形两锐角互余求出另外一个锐角的度数;又知道一条边的长度,根据三角函数的定义可以求出另外两条边的长度;也可以先利用三角函数的定义求出其中一条边的长度,再利用三角函数或勾股定理求出第三条边的长度.
四、解直角三角形需要满足的条件
　　[过渡语]　除了已知“两边”和“一边一角”解直角三角形外,还有其他的情况解直角三角形吗?
问题1
在Rt△ABC中,如果已知两个锐角,可以解直角三角形吗?
【学生活动】　学生先独立判断,再分组讨论.
学生小结:只知道角度是无法求出直角三角形的边长的.
问题2
只给出一条边长这一个条件,可以解直角三角形吗?
学生小结:只给出一条边长,不能解直角三角形.
【教师点评】　解直角三角形必须满足的一个条件是已知“一条边”.
【师生总结】　解直角三角形需要满足的条件:
在直角三角形的6个元素中,直角是已知元素,如果再知道一条边和第三个元素,那么这个三角形的所有元素就都可以确定下来.
【教师提示】　第三个元素既可以是角也可以是边.
[知识拓展]　解直角三角形的思路和方法:
在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,则有:
(1)三边之间的关系:a2+b2=c2(勾股定理).
(2)锐角之间的关系:∠A+∠B=90°.
(3)边角之间的关系:sin A=,cos A=,tan A=,sin B=,cos B=,tan B=.
(4)面积的不同表示法:S△ABC=ab=ch(h为斜边上的高).

1.解直角三角形的概念:
由直角三角形中已知的元素,求出所有未知元素的过程,叫做解直角三角形.
2.解直角三角形的类型:
(1)已知直角三角形两条边求其他元素.
(2)已知直角三角形一条边和一个锐角求其他元素.
3.解直角三角形需要满足的条件:
除直角外,再知道一条边和第三个元素,就可以解直角三角形.

1.如图所示的是教学用直角三角板,边AC=30 cm,∠C=90°,tan∠BAC=,则边BC的长为 (　　)
A.5 cm 　　B.10 cm
C.20 cm 　　D.30 cm
解析:在直角三角形ABC中,根据三角函数定义可知tan∠BAC=,∵AC=30 cm,tan∠BAC=,∴BC=AC·tan∠BAC=30×=10(cm).故选B.

2.如图所示,在Rt△ABO中,斜边AB=1.若OC∥BA,∠AOC=36°,则 (　　)
A.点B到AO的距离为sin 54°
B.点B到AO的距离为tan 36°
C.点A到OC的距离为sin 36°·sin 54°
D.点A到OC的距离为cos 36°·sin 54°

解析:根据图形得出点B到AO的距离是指BO的长,根据锐角三角函数定义得出BO=ABsin 36°,即可判断A,B错误;过A作AD⊥OC于D,则AD的长是点A到OC的距离,根据锐角三角函数定义得出AD=AOsin 36°,AO=AB·sin 54°,所以AD=sin 36°·sin 54°,即可判断C正确,D错误.故选C.

3.如图所示,已知在Rt△ABC中,斜边BC上的高AD=4,cos B=,则AC=　　　　. 
解析:∵在Rt△ABC中,cos B==,∴sin B==,tan B==.∵在Rt△ABD中,AD=4,∴AB===.∵tan B==,∴AC=ABtan B=×=5.故填5.
4.如图所示,在△ABC中,AB=AC=5,sin∠ABC=0.8,则BC=　　　　. 
解析:如图所示,过点A作AD⊥BC于D,∵AB=AC,∴BD=CD,在Rt△ABD中,∵sin∠ABC==0.8,∴AD=5×0.8=4,则BD==3,∴BC=2BD=6.故填6.

5.如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,cos A=,求BC的长和tan B的值.

解:在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,cos A===,∴AC=4,
根据勾股定理,得BC==6,
∴tan B===.

4　解直角三角形
解直角三角形:


一、教材作业
【必做题】
教材第17页习题1.5第1,2题.
【选做题】
教材第18页习题1.5第3,4题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.在直角三角形ABC中,已知∠C=90°,∠A=50°,BC=5,则AC等于 (　　)
A.3sin 50° B.3sin 40°
C.3tan 50° D.3tan 40°
2.如图所示,已知在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,tan A=,则AB的长是 (　　)
A.2 B.8 C.2 D.4

3.(桂林中考)如图所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=8,BC=6,CD⊥AB,垂足为D,则tan∠BCD的值是　　　　. 

4.要用8 m长的梯子爬到4 m高的墙上,则梯子与地面的夹角为　　　　度. 
【能力提升】
5.如图所示的是一张简易活动餐桌,测得OA=OB=30 cm,OC=OD=50 cm,B点和O点是固定的.为了调节餐桌高矮,A点有3处固定点,分别使∠OAB为30°,45°,60°,则这张餐桌调节到最低时桌面离地面的高度是(不考虑桌面厚度) (　　)
A.40 cm B.40 cm
C.30 cm D.30 cm

6.如图所示,在△ABC中,cos B=,sin C=,AC=5,则△ABC的面积是　　　　. 

7.(湖北中考)如图所示,AD是△ABC的中线,tan B=,cos C=,AC=,求:
(1)BC的长;
(2)sin∠ADC的值.

8.张大爷家有一块三角形土地如图所示,测得∠A=30°,∠B=45°,BC=20 m.请你帮助张大爷计算这块土地有多少平方米.

9.如图所示,沿AC方向开山修一条公路,为了加快施工速度,要在小山的另一边寻找点E同时施工.从AC上的一点B取∠ABD=127°,沿BD的方向前进,取∠BDE=37°,测得BD=520 m,并且AC,BD和DE在同一平面内.
(1)施工点E离D多远正好能使A,C,E成一条直线(结果保留整数)?
(2)在(1)的条件下,若BC=80 m,求公路段CE的长(结果保留整数).(参考数据:sin 37°≈0.60,cos 37°≈0.80,tan 37°≈0.75)

【拓展探究】
10.(宁波中考)如图所示,从A地到B地的公路需经过C地,图中AC=10 km,∠CAB=25°,∠CBA=37°,因城市规划的需要,将在A,B两地之间修建一条笔直的公路.
(1)求改直的公路AB的长;
(2)公路改直后比原来缩短了多少千米?(参考数据:sin 25°≈0.42,cos 25°≈0.91,sin 37°≈0.60,tan 37°≈0.75)

【答案与解析】
1.D(解析:∵在直角三角形ABC中,∠C=90°,∠A=50°,∴∠B=90°-∠A=90°-50°=40°.∵tan B=,∴AC=BC·tan B=3tan 40°.故选D.)
2.C(解析:在Rt△ABC中,∵∠C=90°,∴tan A=.∵AC=4,tan A=,∴BC=AC·tan A=2,∴AB===2.故选C.)
3.(解析:在Rt△ABC与Rt△BCD中,∠A+∠B=90°,∠BCD+∠B=90°,∴∠A=∠BCD,∴tan∠BCD=tan A===.故填.)
4.60(解析:要用8 m长的梯子爬到4 m高的墙上,梯子、地面和墙正好构成直角三角形,∴梯子与地面的夹角的正弦值为=.∵sin 60°=,∴梯子与地面的夹角为60°.故填60.)
5.B(解析:过点D作DE⊥AB于点E,易知∠OAB=30°时,桌面离地面最低,∴DE的长即为最低长度.∵OA=OB=30 cm,OC=OD=50 cm,∴AD=OA+OD=80 cm.在Rt△ADE中,∵∠OAB=30°,AD=80 cm,∴DE=AD=40 cm.故选B.)

6.(解析:过点A作AD⊥BC,∵在△ABC中,cos B=,sin C=,AC=5,∴cos B==,∴∠B=45°.∵sin C===,∴AD=3,∴在Rt△ADC中,CD==4,∴在等腰直角三角形ADB中,BD=AD=3,则△ABC的面积是×BC×AD=×(3+4)×3=.故填.)
7.解:过点A作AE⊥BC于点E,∵cos C=,∴∠C=45°.在Rt△ACE中,CE=AC·cos C=1,∴AE=CE=1.在Rt△ABE中,tan B=,即=,∴BE=3AE=3,∴BC=BE+CE=4.
(2)由(1)知BC=4,∵AD是△ABC的中线,∴CD=BC=2,∴DE=CD-CE=1.∵AE⊥BC,DE=AE,∴∠ADC=45°,∴sin∠ADC=.

8.解:如图所示,过点C作CD⊥AB于D.易知CD=BD=BC·sin 45°=20×=10,∴AD===10,∴AB=AD+BD=10(+),∴S△ABC=AB·CD=×10(+)×10≈273.2(m2).答:这块土地约有273.2 m2.
9.解:(1)若使A,C,E成一条直线,则需∠ABD是△BDE的外角,∴∠BED=∠ABD-∠D=127°-37°=90°,∴DE=BD·cos 37°≈520×0.80=416(m),∴施工点E离D距离约为416 m时,正好能使A,C,E成一条直线.　(2)由(1)得在Rt△BED中,∠BED=90°,∵∠D=37°,∴BE=BD·sin 37°≈520×0.60=312(m).∵BC=80 m,∴CE=BE-BC≈312-80=232(m),∴公路段CE的长约为232 m.

10.解:(1)如图所示,过点C作CH⊥AB于H.在Rt△ACH中,CH=AC·sin∠CAB=AC·sin 25°≈10×0.42=4.2(km),AH=AC·cos∠CAB=AC·cos 25°≈10×0.91=9.1(km),在Rt△BCH中,BH=CH÷tan∠CBA≈4.2÷tan 37°≈4.2÷0.75=5.6(km),∴AB=AH+BH≈9.1+5.6=14.7(km).故改直的公路AB的长约为14.7 km.　(2)在Rt△BCH中,BC=CH÷sin∠CBA≈4.2÷sin 37°≈4.2÷0.60=7(km),则AC+BC-AB≈10+7-14.7=2.3(km).答:公路改直后比原来缩短了约2.3 km.


为使学生迅速掌握本节课的知识,上课开始就对解直角三角形所用到的知识点:直角三角形中三边之间的关系,两锐角之间的关系,边角之间的关系等知识点进行了复习回顾,因为合理选用这些关系是正确、迅速解直角三角形的关键.解直角三角形的方法很多,灵活多样,学生完全可以自己解决,但例题具有示范作用.因此,在处理例题时,首先,应让学生独立完成,培养学生分析问题、解决问题的能力,同时渗透数形结合思想.本节课力求给学生更多自主探索的时间,让其在宽松和谐的氛围中学习,使他们学得更主动、更轻松,力求在探索知识的过程中培养学生探索能力、创新精神、合作精神,激发学生学习数学的积极性、主动性.同时,在学生选择解直角三角形的诸多方法的过程中,鼓励学生通过多种解法去解答.

在选用合适的三角函数解决问题时,要引导学生总结出分析问题的方法,巧妙联系已知和未知之间的函数关系,选取合适的三角函数求解.

再教时,增加解实际问题中直角三角形的例题的练习,因为学生对把实际问题转化成数学问题的能力还不太强.

随堂练习(教材第17页)
(1)c=4,∠A≈27°,∠B≈63°.　(2)a=,c=,∠A=30°.　(3)a=10,b=10,∠B=30°.
习题1.5(教材第17页)
1.(1)b=19,∠A=45°,∠B=45°.　(2)c=12,∠A=30°,∠B=60°.
2.(1)a=10,b=10,∠B=45°.　(2)b=12,c=24,∠A=60°.
3.解:tan∠ACD==,∴∠ACD≈27.5°,∠ACB=2∠ACD≈2×27.5°=55°.
4.解:(1)墙高=6sin 75°≈6×0.966≈5.8(m).　(2)cos α=,解得α≈66°.∵50°<66°<75°,∴此时人能够安全使用这个梯子.


本节课学生学习的重点是解直角三角形的方法,所以理解解直角三角形的概念是掌握解直角三角形方法的前提,而熟练运用勾股定理、两锐角互余以及锐角三角函数的定义则是解直角三角形的关键,学生要做好复习和预习工作,把握好各个元素之间的关系.此外,在没有直角三角形的图形中,通过作垂线或其他辅助线构造直角三角形也是学生要重点掌握的能力和技巧.

解非直角三角形时,构造直角三角形的方法:
(1)利用作高构造直角三角形,如下图所示.

(2)利用勾股定理或逆定理构造直角三角形,如下图所示.

(3)利用已知角构造直角三角形,如下图所示.