初中数学北师大版九年级下册2 二次函数的图像与性质优秀教案及反思

这是一份初中数学北师大版九年级下册2 二次函数的图像与性质优秀教案及反思，共34页。教案主要包含了教师准备，学生准备，学生分析，师生活动，学生活动，教师点评，教师明确，教师活动等内容，欢迎下载使用。

2　二次函数的图象与性质





1.经历探索二次函数的图象的画法和性质的过程,获得利用图象研究函数性质的经验.
2.能根据描点法画出二次函数的图象,并能根据图象认识和理解二次函数的性质.
3.建立二次函数表达式与图象之间的联系,理解表达式中的系数对图象的影响.
4.能利用二次函数图象的对称轴和顶点坐标公式解决问题.

1.渗透解析几何、数形结合、函数等数学思想,培养学生发现问题、解决问题及逻辑思维的能力.
2.通过学生合作交流解决问题,培养学生合作交流的能力及观察、分析、归纳、总结的能力.

1.通过数形结合理解二次函数的性质,体验函数具体解决现实问题的功能.
2.充分理解并认识到二次函数图象可运动变化的和谐美,通过数学思维的审美活动,提高对数学美的追求.

【重点】　
1.画出二次函数的图象,并根据图象探究二次函数的性质.
2.能利用二次函数图象的对称轴和顶点坐标公式解决问题.
【难点】　掌握并运用二次函数的图象与性质解决实际问题.
第课时



1.经历探索二次函数y=x2的图象的作法和性质的过程,获得利用图象研究函数性质的经验.
2.能够利用描点法作出函数y=x2的图象,能根据图象认识和理解二次函数y=x2的性质.
3.能够作出二次函数y=-x2的图象,并能够比较它与y=x2图象的异同,初步建立二次函数表达式与图象之间的联系.

1.在讨论函数图象的过程中,进一步提高学生运用描点法画函数图象的能力.
2.充分运用函数图象认识和理解二次函数的性质,提高发现问题、分析问题和解决问题的能力.

1.激发学生学习数学的兴趣,体会学习数学的快乐.
2.通过学生之间互相交流合作,让学生学会与人合作,并能与他人交流思维的过程,培养学生的合作交流意识.

【重点】　作出函数y=±x2的图象,并根据图象认识和理解二次函数y=±x2的性质.
【难点】　类比函数y=x2的图象及性质学习y=-x2的图象及性质,并能比较出它们的异同点.

【教师准备】　多媒体课件.
【学生准备】　复习利用描点法画函数图象的方法及一次函数和反比例函数的图象与性质.


导入一:
课件出示:
【引入】　在你打篮球或观看篮球比赛时,你是否注意投篮时篮球的运行路线是什么样的?

【学生分析】　运行路线先高后低,有一定的弧度,整体是弧形.
【引入】　这种运行路线所形成的图形在我们日常生活中无处不在,比如喷泉流经过的路线、一些拱形桥的桥拱的形状、导弹运行的路线等.

问题
这和我们以前所学的函数图象一样吗?
[设计意图]　通过学生生活中常见的一些物体的运动轨迹引出二次函数的图象,激发学生学习兴趣,提出本节课学习的内容,课堂效果非常好.
导入二:
思考下面的问题:
在二次函数y=x2中,y随x的变化而变化的规律是什么?你想直观地了解它的性质吗?
【师生活动】　复习一次函数与反比例函数中y随x的变化而变化的规律及其性质.
【学生活动】　猜想二次函数的图象及其性质,并与其他同学进行交流.
[设计意图]　开门见山,直入正题,既揭示了本节课的主题,又通过对旧知识的复习,明确了本节课的探究任务.

　　[过渡语]　我们在前面学习了正比例函数、一次函数的图象都是一条直线,反比例函数的图象是双曲线,那么二次函数的图象是什么样的呢?
一、画二次函数y=x2的图象
老师引导学生回忆:画函数图象的一般步骤是什么?
【学生活动】　
1.回忆画函数图象的步骤:列表,描点,连线.
2.按上面的步骤画出y=x2的图象.
代表展示:
(1)列表.
x
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
y=x2
…
9
4
1
0
1
4
9
…
(2)在直角坐标系中描点.

(3)用光滑的曲线连接各点.
【师生活动】　共同订正学生画图过程中所出现的错误.
二、二次函数y=x2的性质
课件出示:
【议一议】　对于二次函数y=x2的图象:
(1)你能描述图象的形状吗?与同伴进行交流.
(2)图象与x轴有交点吗?如果有,交点坐标是什么?
(3)当x<0时,随着x值的增大,y的值如何变化?当x>0时呢?
(4)当x取什么值时,y的值最小?最小值是什么?你是如何知道的?
(5)图象是轴对称图形吗?如果是,它的对称轴是什么?请你找出几对对称点,并与同伴进行交流.
思路一
【师生活动】　要求学生认真观察图象,分组完成5个问题.
【学生活动】　先独立解决问题后与同伴交流,然后小组内统一答案.代表依次发言.
【教师点评】　二次函数y=x2的图象是一条抛物线,它的开口方向向上,且关于y轴对称.
对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点,它是图象的最低点.
思路二
【教师明确】　二次函数的性质基本上从:开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性、最值这五个方面研究.
【师生活动】　根据对5个问题的探究,完成下面的表格.
二次函数y=x2的性质
函数表达式
y=x2
大致图象

开口方向
向上
对称轴
y轴(或直线x=0)
顶点坐标
原点(0,0)
增减性
当x<0时,y随x的增大而减小;当x>0时,y随x的增大而增大
最值
当x=0时,y有最小值,最小值是0
[设计意图]　让学生结合图象回答问题,在图象中找出答案,有助于理解和记忆,体会数形结合思想.此外,通过小组交流解决问题,进一步培养了团结协作能力.
三、再探新知
　　[过渡语]　我们知道了二次函数y=x2的图象的形状,那么二次函数y=-x2的图象又是什么样的呢?
【做一做】　二次函数y=-x2的图象是什么形状?先想一想,然后画出它的图象.它与二次函数y=x2的图象有什么关系?与同伴进行交流.
【学生活动】　要求学生类比画y=x2图象的操作步骤,独立画出函数y=-x2的图象.代表板演.

【教师活动】　出示下面四种不同类型的图象,学生找出正确的图象,并指出其他图象的错误.

【师生总结】　画二次函数图象的注意事项:
(1)列表时,选取的自变量的值,应以O为中心,左边取-1,-2,-3,右边对应取1,2,3(取互为相反数的一对数),不要一边多,一边少,不对称.
(2)描点时要严格按照表中所列的对应值描点,绝对不能把点的位置描错.
(3)按自变量从小到大的顺序依次画线,连线时用光滑的曲线连接各点,不能用折线连接.
(4)图象是延伸的,不要画成有明确的端点.
【类比归纳】　类比y=x2的性质总结出y=-x2的性质.
函数表达式
y=-x2
大致图象

开口方向
向下
对称轴
y轴(或直线x=0)
顶点坐标
原点(0,0)
增减性
当x<0时,y随x的增大而增大;当x>0时,y随x的增大而减小
最值
当x=0时,y有最大值,最大值是0
[设计意图]　利用类比的方法,让学生根据前面所作图象,用表格的形式归纳总结出二次函数y=-x2的图象及性质,训练学生分析问题、解决问题的能力,并学会数学中最常用到的数学思想——类比思想.
[知识拓展]　二次函数y=x2的图象与二次函数y=-x2的图象的关系:(1)二次函数y=x2的图象与二次函数y=-x2的图象关于x轴对称.(2)如果把两个图象看成一个图形,这个图形是中心对称图形,对称中心是坐标原点.

1.二次函数y=x2与二次函数y=-x2的图象及其性质.
2.二次函数y=x2与二次函数y=-x2的图象的异同点.

1.下列说法正确的是 (　　)
A.二次函数y=x2图象上的点,其纵坐标的值随着x值的增大而增大
B.二次函数y=-x2图象上的点,其纵坐标的值随着x值的增大而增大
C.二次函数y=x2与y=-x2的图象开口方向不同,其对称轴都是y轴,y值都随着x值的增大而增大
D.当x<0时,y=x2中y随x的增大而减小;当x>0时,y=-x2中y随x的增大而减小
解析:二次函数y=±x2的函数图象在对称轴左右两边的增减性是不一样的,所以A,B,C均不正确.故选D.
2.已知点A(2,a),B(b,9)在抛物线y=x2上,则a=　　　　,b=　　　　. 
解析:分别把x=2和y=9代入y=x2,解得a=4,b=±3.
答案:4　±3
3.通过列表、描点、连线的方法画函数y=-x2的图象.
解:列表:
x
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
y
…
-9
-4
-1
0
-1
-4
-9
…
描点,连线,如图所示.


第1课时
函数
y=x2
y=-x2
开口方向
向上
向下
对称轴
y轴(或直线x=0)
顶点坐标
原点(0,0)
最值
当x=0时,有最小值,为0
当x=0时,有最大值,为0
增减性
当x>0时,y随x的增大而增大;当x<0时,y随x的增大而减小
当x>0时,y随x的增大而减小;当x<0时,y随x的增大而增大

一、教材作业
【必做题】
教材第34页习题2.2第1,2题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.抛物线y=x2与y=-x2的关系是 (　　)
A.开口方向不同,顶点相同,对称轴相同
B.开口方向不同,顶点不同,对称轴相同
C.开口方向相同,顶点相同,对称轴相同
D.开口方向相同,顶点不同,对称轴不同

2.如图所示,A,B分别为抛物线y=x2上两点,且线段AB⊥y轴,若AB=6,则直线AB的表达式为 (　　)
A.y=3 B.y=6
C.y=9 D.y=36
3.函数y=x2与y=-x2的图象关于　　　　对称,也可以认为函数y=-x2的图象是函数y=x2的图象绕　　　　旋转得到. 
4.若二次函数y=-x2的图象过A(-2,y1),B(-1,y2),C(5,y3)三点,判断y1,y2,y3的大小关系.
【能力提升】
5.二次函数y=-x2和一次函数y=x-1在同一坐标系的大致图象为 (　　)

6.已知a<-1,点(a-1,y1),(a,y2),(a+1,y3)都在函数y=x2的图象上,则 (　　)
A.y1 C.y3 7.二次函数y=m的图象有最高点,则m=　　　　. 
8.函数y=mx|m|+1是关于x的二次函数.
(1)求满足条件的m值;
(2)m为何值时,抛物线有最低点?求出这个最低点.这时,当x为何值时,y随x的增大而增大?
(3)m为何值时,函数有最大值?最大值是多少?这时,当x为何值时,y随x的增大而减小?
【拓展探究】
9.二次函数y=x2与一次函数y=2x+3的图象交于A,B两点,在下面的直角坐标系中画出图象,并求S△AOB.

【答案与解析】
1.A(解析:∵抛物线y=x2与y=-x2的二次项系数互为相反数,∴其开口方向相反,顶点相同,对称轴相同.)
2.C(解析:∵线段AB⊥y轴,且AB=6,∴由抛物线的对称性,可知B点横坐标为3,当x=3时,y=x2=32=9,∴直线AB的表达式为y=9.)
3.x轴　原点
4.解法1:根据增减性,因为-2<-1<0,所以y1︱-2︱,所以y3 5.A(解析:y=-x2的图象开口向下,而y=x-1的图象经过第一、三、四象限.故选A.)
6.C(解析:∵a<-1,∴a-1,a,a+1都小于0.根据增减性,∵a-1 7.-1(解析:∵函数为二次函数,∴m2+1=2,解得m=±1.又∵二次函数y=m的图象有最高点,∴m=-1.)
8.解:(1)根据题意,得|m|+1=2,解得m1=1,m2=-1,所以满足条件的m的值为±1.　(2)当m=1时,抛物线解析式为y=x2,抛物线有最低点,为(0,0).当x>0时,y随x的增大而增大.　(3)当m=-1时,抛物线解析式为y=-x2,抛物线开口向下,所以函数有最大值,是0.这时,当x>0时,y随x的增大而减小.

9.解:函数图象如图所示,点A(-1,1),B(3,9),设直线y=2x+3与y轴的交点为C,则C(0,3),S△AOB=S△AOC+S△BOC=×3×1+×3×3=+=6.


本节课首先利用生活中学生所熟悉的抛物线图片,让学生感受到抛物线的美与实用性,激发了学生的学习欲望与积极性,因而学生很投入.学生已经掌握了画函数图象的一般步骤(列表,描点,连线),为本节课的教学奠定了良好的基础.本节课的一个难点是用光滑的曲线连接各点.初学时,学生会感觉有难度,往往会画成折线,所以通过设置一些问题让学生进一步讨论交流:列表时注意对称取点,用光滑曲线连接各点,注意图象的对称性等过程后就可以突破这一难点了.对于y=-x2的图象与性质,利用类比y=x2的图象与性质的方法进行探究,取得了非常好的效果.最后可以利用表格形式让学生对本节课进行小结,目的是对本节课知识进行回顾,同时也便于比较两个图象的异同.

在“用光滑的曲线连线”时老师没有进行演示,所以学生对光滑的理解不透彻,连出的图象成了折线.

利用几何画板或者课件进行演示二次函数图象的画法,让学生加深对“光滑”的理解.

习题2.2(教材第34页)
1.解:S=a2(a>0).
①列表如下:
a
…

1

2

…
S
…

1

4

…
②描点、连线,作出图象如图所示.

2.解:点A在二次函数y=x2的图象上.B(2,-4),C(-2,4),D(-2,-4).点C在二次函数y=x2的图象上,点B,D都在二次函数y=-x2的图象上.


本节课学生可以首先通过复习回顾画函数图象的步骤,然后利用这个步骤探究y=x2的图象,与所学过的反比例函数图象类似,连线时要用光滑的曲线连接.性质的得出则可以利用数形结合思想,并通过与同伴交流进行总结,重点从开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性、最值这五个方面去掌握其性质.而对于二次函数y=-x2的图象与性质,则可以类比二次函数y=x2的图象与性质进行探究.

　如图所示,边长为2的正方形ABCD的中心在直角坐标系的原点O,AD∥x轴,以O为顶点且过A,D两点的抛物线与以O为顶点且过B,C两点的抛物线将正方形分割成几部分,则图中阴影部分的面积是　　　　. 

〔解析〕　根据图示及抛物线、正方形的性质不难判断出阴影部分的面积即为正方形面积的一半,即S阴影=S正方形=×2×2=2.故填2.
第课时



1.会画y=ax2和y=ax2+c的图象,并能比较它们与y=x2的图象的异同,理解a与c对二次函数图象的影响.
2.能说出y=ax2+c与y=ax2图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.

1.经历探索二次函数y=ax2和y=ax2+c的图象的画法和性质的过程,进一步获得将表格、表达式、图象三者联系起来的经验.
2.通过画图活动,体验数形结合的数学思想.

1.通过图象的对称和平移发现数学的规律美.
2.在探究活动中,体验获得成功后的喜悦感.

【重点】　二次函数y=ax2,y=ax2+c的图象和性质以及两种函数图象的关系.
【难点】　由函数图象概括出y=ax2,y=ax2+c的性质,由性质来分析函数图象的形状和位置.

【教师准备】　多媒体课件.
【学生准备】　复习y=±x2的图象和性质.


导入一:
观察下面的二次函数表达式:
(1)y=x2;(2)y=-x2;(3)y=-2x2;(4)y=3x2;(5)y=x2.
它们有什么共同点和不同点?(3)(4)(5)与我们学习过的(1)(2)又有什么不同点?
【学生活动】　观察后,独立思考,分析相同点和不同点,并猜想未学的函数的图象和性质.
[设计意图]　通过对比二次函数表达式的不同点,引出新的问题,造成学生认知上的冲突,提高了学生探究新知的学习兴趣.
导入二:
有研究表明,晴天在某段公路上行驶时,速度为v(km/h)的汽车的刹车距离s(m)可以由公式s=v2确定;雨天行驶时,这一公式为s=v2.

问题
刹车距离s与速度v之间的关系是二次函数吗?它们的图象与y=x2,y=-x2的图象一样吗?
学生分析得出:s=v2和s=v2与y=x2,y=-x2它们都是二次函数,且都是只含二次项的二次函数,所以它们有相同之处.又因为它们中的a值的不同,所以它们肯定还有区别.
[设计意图]　通过学生生活中常见的汽车行驶的图片引出本节学习内容,由这些问题引发学生的思考,使知识间的过渡自然、轻松、直观.

　　[过渡语]　上节课我们探究了y=±x2的图象和性质,本节课我们继续探究二次函数的图象与性质.
一、二次函数y=ax2的图象与性质
探究活动一:画二次函数y=2x2的图象
【师生活动】　回忆:画二次函数y=±x2的图象的步骤.
【学生活动】　
(1)完成下表:
x







y







(2)在课本图2 - 4中画出y=2x2的图象.

【师生活动】　要求学生独立完成,同伴相互检查.教师巡视,对基础比较薄弱的学生进行指导,等学生完成后出示下列问题:
(3)二次函数y=2x2的图象是什么形状?它与二次函数y=x2的图象有什么相同和不同?它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么?

【师生活动】　学生观察后分析,师生共同小结:
1.二次函数y=2x2的图象是抛物线.
2.二次函数y=2x2的图象与二次函数y=x2的图象的相同点:(1)开口方向相同,都向上.(2)对称轴都是y轴(或直线x=0).(3)顶点都是原点,坐标为(0,0).(4)在y轴左侧,y值随x值的增大而减小;在y轴右侧,y值随x值的增大而增大.(5)都有最低点,即原点.函数都有最小值.
3.二次函数y=2x2的图象与二次函数y=x2的图象的不同点:两个函数图象的开口大小不同,y=2x2的图象在y=x2的图象的内侧,开口较小,它的函数值的增长速度较快.
【想一想】　在同一坐标系中作二次函数y=-x2和y=-2x2的图象,会是什么样?
探究活动二:画出y=x2的图象
【想一想】　在课本图2 - 4中画出y=x2的图象.
【师生活动】　要求学生独立完成,同伴相互检查.教师巡视,对基础比较薄弱的学生进行指导,师课件出示y=x2的图象供学生参考.
【问题】　它与二次函数y=x2,y=2x2的图象有什么相同和不同?
【学生活动】　生观察后小结:
1.相同点:(1)开口方向相同,都向上.(2)对称轴都是y轴(或直线x=0).(3)顶点都是原点,坐标为(0,0).(4)在y轴左侧,y值随x值的增大而减小;在y轴右侧,y值随x值的增大而增大.(5)都有最低点,即原点.函数都有最小值.
2.不同点:y=x2的图象在y=2x2和y=x2的图象的外侧,开口较大.y=x2中函数值的增长速度较慢.
【讨论】　通过观察,你能总结出二次函数y=ax2(a≠0)中,二次项系数a的作用吗?
【师生活动】　学生独立思考后,小组讨论,师参与到学生的讨论当中去.
【教师点评】　二次函数y=ax2(a≠0)中,二次项系数a的作用:(1)a确定了抛物线的开口方向:①a>0时,开口向上;②a<0时,开口向下.(2)a确定了抛物线的开口大小:①︱a︱越大,开口越小,函数值变化得越快;②︱a︱越小,开口越大,函数值变化得越慢.
[设计意图]　在探究过程中采用猜想、比较、方法选择等方法引导学生探究问题,从而提高学生分析问题、解决问题的能力.理解二次函数中二次项系数a的作用,领会研究二次函数图象的方法,培养学生运用数形结合与转化等数学思想方法解决问题的能力,提高运算和作图能力.
[知识拓展]　二次函数y=ax2的图象和性质:
1.当a>0时:(1)开口向上.(2)对称轴都是y轴(或直线x=0).(3)顶点都是原点,坐标为(0,0).(4)在y轴左侧,y值随x值的增大而减小;在y轴右侧,y值随x值的增大而增大.(5)当x=0时,y最小=0.
2.当a<0时:(1)开口向下.(2)对称轴都是y轴(或直线x=0).(3)顶点都是原点,坐标为(0,0).(4)在y轴左侧,y值随x值的增大而增大;在y轴右侧,y值随x值的增大而减小.(5)当x=0时,y最大=0.
二、二次函数y=ax2+c的图象与性质
　　[过渡语]　通过上面的探究我们知道了二次函数y=ax2的图象与性质,那么二次函数y=ax2+c的图象与性质又是怎样的呢?
课件出示:
【做一做】　画二次函数y=2x2+1的图象,你是怎样画的?与同伴进行交流.
【师生活动】　要求学生在同一直角坐标系内作出函数y=2x2与y=2x2+1的图象.学生独立完成,课件展示图象如下:

结合图象解决下面的问题:
【议一议】　二次函数y=2x2+1的图象与二次函数y=2x2的图象有什么关系?它是轴对称图形吗?它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么?
【学生活动】　学生观察思考后小结:
二次函数y=2x2+1的图象与二次函数y=2x2的图象的关系:
1.相同点:(1)它们的图象都是抛物线,且形状相同,开口方向都向上.(2)它们都是轴对称图形,且对称轴都是y轴.(3)在y轴左侧,y随x的增大而减小;在y轴右侧,y随x的增大而增大.(4)都有最低点,y都有最小值.
2.不同点:(1)它们的顶点不同:y=2x2的顶点在原点,顶点坐标为(0,0);y=2x2+1的顶点在y轴上,顶点坐标为(0,1).(2)最小值不同,y=2x2的最小值为0,y=2x2+1的最小值为1.
【师生活动】　二次函数y=2x2-1的图象与二次函数y=2x2的图象有什么关系?学生类比y=2x2+1的图象的性质进行小结,师生共同订正.
【师生小结】　二次函数y=2x2,y=2x2+1,y=2x2-1的图象之间的关系:二次函数y=2x2,y=2x2+1,y=2x2-1的图象都是抛物线,并且形状相同,只是位置不同.将函数y=2x2的图象向上平移1个单位长度,就得到函数y=2x2+1的图象;将函数y=2x2的图象向下平移1个单位长度,就得到函数y=2x2-1的图象.
[设计意图]　让学生作出完整的二次函数图象,通过类比学习,进一步体验二次函数的系数对图象的影响.初步完成对二次函数性质的巩固与拓展,从图象直观理解函数图象之间的平移关系,培养学生的动态思维和自觉学习的意识,顺其自然地完成本节课的学习任务.
[知识拓展]　
1.二次函数图象的平移规律:y=ax2+c的图象可以看成是由y=ax2的图象整体上下移动得到的,当c>0时,向上移动|c|个单位长度;当c<0时,向下移动|c|个单位长度.简记为:“上加下减”.
2.二次函数y=ax2和y=ax2+c的性质:
函数
开口
方向
对称轴
顶点
坐标
增减性
最值
y=ax2
a>0时,开口向上;
a<0时,开口向下
y轴
(0,0)
(1)a>0:
x>0时,y随x的增大而增大;x<0时,y随x的增大而减小;
(2)a<0:
x>0时,y随x的增大而减小;x<0时,y随x的增大而增大
a>0,y最小=0;
a<0,y最大=0
y=ax2+c
a>0时,开口向上;
a<0时,开口向下
y轴
(0,c)
a>0,y最小=c;
a<0,y最大=c
y=ax2+c与y=ax2的图象的关系
y=ax2+c的图象可以看成是由y=ax2的图象整体上下移动得到的,当c>0时,向上移动|c|个单位长度,当c<0时,向下移动|c|个单位长度

1.二次函数y=ax2和y=ax2+c的图象及性质.
2.二次函数y=ax2和y=ax2+c图象的平移规律:“上加下减”.

1.下列函数中,当x>0时,y随x的增大而增大的是 (　　)
A.y=-x+1 B.y=x2-1
C.y= D.y=-x2+1
解析:A,y=-x+1,一次函数,k<0,故y随着x的增大而减小,错误;B,y=x2-1(x>0),故图象在对称轴右侧,y随着x的增大而增大,而在对称轴左侧(x<0),y随着x的增大而减小,正确.C,y=,k=1>0,在每个象限里,y随x的增大而减小,错误;D,y=-x2+1(x>0),故图象在对称轴右侧,y随着x的增大而减小,而在对称轴左侧(x<0),y随着x的增大而增大,错误.故选B.
2.抛物线y=-2x2+1的对称轴是 (　　)
A.直线x= B.直线x=-
C.y轴 D.直线x=2
解析:抛物线y=-2x2+1的对称轴是y轴(或直线x=0).故选C.
3.如果抛物线y=(2-a)x2的开口方向向下,那么a的取值范围是　　　　. 
解析:因为抛物线y=(2-a)x2的开口方向向下,所以2-a<0,即a>2.故填a>2.
4.抛物线y=4x2与抛物线y=-4x2的图象关于　　　　轴对称. 
解析:抛物线y=4x2与抛物线y=-4x2的图象形状、大小、顶点坐标都一样,只是开口方向相反,所以它们关于x轴对称.故填x.
5.在同一个直角坐标系中作出y=x2,y=x2-1的图象,比较它们的异同,并找出它们的关系.
解:列表:
x
…
-2
-1
0
1
2
…
y=x2
…
2

0

2
…
x
…
-2
-1
0
1
2
…
y=x2-1
…
1
-
-1
-
1
…
描点、连线,图象如图所示.

由图象可知两个函数图象的开口大小、方向和对称轴相同,只有顶点的位置不同.

第2课时
二次函数y=ax2和y=ax2+c的图象及性质.
函数
开口
方向
对称轴
顶点
坐标
增减性
最值
y=ax2
a>0时,开口向上;
a<0时,开口向下
y轴
(0,0)
(1)a>0:
x>0时,y随x的增大而增大;x<0时,y随x的增大而减小;
(2)a<0:
x>0时,y随x的增大而减小;x<0时,y随x的增大而增大
a>0,y最小=0;
a<0,y最大=0
y=ax2+c
a>0时,开口向上;
a<0时,开口向下
y轴
(0,c)
a>0,y最小=c;
a<0,y最大=c
y=ax2+c与y=ax2的图象的关系
y=ax2+c的图象可以看成是由y=ax2的图象整体上下移动得到的,当c>0时,向上移动|c|个单位长度,当c<0时,向下移动|c|个单位长度

一、教材作业
【必做题】
1.教材第36页随堂练习第1,2题.
2.教材第36页习题2.3第1,2,3题.
【选做题】
教材第36页习题2.3第4,5题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.(锦州中考)在同一坐标系中,一次函数y=ax+2与二次函数y=x2+a的图象可能是 (　　)

2.如果将抛物线y=x2+2的图象向下平移1个单位长度,那么所得新抛物线的表达式是 (　　)
A.y=x2-1 B.y=x2+2
C.y=x2+1 D.y=x2+3

3.如图所示,四个函数图象对应的解析式分别是:①y=ax2,②y=bx2,③y=cx2,④y=dx2,则a,b,c,d的大小关系是　　　　. 
4.已知正方形的面积为y cm2,周长为x cm.
(1)请写出y与x的函数关系式;
(2)判断y是否为x的二次函数.
【能力提升】
5.(宁夏中考)函数y=与y=-kx2+k(k≠0)在同一直角坐标系中的图象可能是 (　　)

6.已知抛物线y=ax2+c(a>0)过A(-3,y1),B(-7,y2),C(4,y3)三点,把y1,y2,y3按从小到大的顺序排列为　　　　. 
7.已知抛物线y=ax2+n与抛物线y=-2x2的形状相同,且其图象上与x轴最近的点到x轴的距离为3.
(1)求a,n的值;
(2)在(1)的情况下,指出抛物线y=ax2的开口方向、对称轴及顶点坐标.
8.已知函数y=(m+2)-1是关于x的二次函数,求:
(1)满足条件的m值;
(2)m为何值时,抛物线的开口向下?并求出此时抛物线的对称轴;
(3)m为何值时,抛物线有最低点?并求出这个最低点的坐标.
【拓展探究】
9.抛物线y=2x2+n与直线y=2x-1交于点(m,3).
(1)求m和n的值;
(2)y=2x2+n与y=2x-1的图象还有其他交点吗?若有,请求出来;若没有,说明理由.
【答案与解析】
1.C(解析:当a<0时,二次函数图象的顶点在y轴负半轴,且开口向上,一次函数图象经过第一、二、四象限;当a>0时,二次函数图象的顶点在y轴正半轴,且开口向上,一次函数图象经过第一、二、三象限.故选C.)
2.C(解析:∵抛物线y=x2+2的图象向下平移1个单位长度,∴所得抛物线的解析式为y=x2+2-1,即y=x2+1.故选C.)
3.a>b>c>d(解析:由图易知a,b>0,c,d<0,由图象的开口大小知a>b,c>d,所以a>b>c>d.)
4.解:(1)∵正方形的周长为x cm,∴正方形的边长为x cm,∴y与x的函数关系式为y=x×x=x2.　(2)利用二次函数的定义得出y是x的二次函数.
5.B(解析:由解析式y=-kx2+k可得抛物线对称轴为直线x=0.A,由双曲线的两支分别位于第二、四象限,可得k<0,则-k>0,抛物线开口方向向上、抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上,本图象与k的取值相矛盾,故A错误;B,由双曲线的两支分别位于第一、三象限,可得k>0,则-k<0,抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上,本图象符合题意,故B正确;C,由双曲线的两支分别位于第一、三象限,可得k>0,则-k<0,抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上,本图象与k的取值相矛盾,故C错误;D,由双曲线的两支分别位于第一、三象限,可得k>0,则-k<0,抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上,本图象与k的取值相矛盾,故D错误.故选B.)
6.y10,∴抛物线开口向上,∵点A,B,C到对称轴的距离分别为3,7,4,∴y1,y2,y3从小到大的排列顺序为y1 7.解:(1)∵抛物线y=ax2+n与抛物线y=-2x2的形状相同,∴a=±2.∵抛物线y=ax2+n与抛物线y=-2x2的形状相同,且其图象上与x轴最近的点到x轴的距离为3,∴n=±3.　(2)当a=2时,抛物线为y=2x2,开口向上,对称轴是直线x=0,顶点坐标是(0,0);当a=-2时,抛物线为y=-2x2,开口向下,对称轴是直线x=0,顶点坐标是(0,0).
8.解:(1)∵函数y=(m+2)-1是关于x的二次函数,∴m2+m-4=2,m+2≠0,∴m1=-3,m2=2.　(2)当m=-3时,抛物线的开口向下,对称轴为y轴.　(3)当m=2时,抛物线有最低点,这个最低点为(0,-1).
9.解:(1)∵抛物线y=2x2+n与直线y=2x-1交于点(m,3),∴将点(m,3)代入y=2x-1,得3=2m-1,解得m=2,则将(2,3)代入y=2x2+n,得3=8+n,解得n=-5.　(2)根据(1)得出y=2x2
-5,将y=2x-1与y=2x2-5组成方程组,得解得故y=2x2+n与y=2x-1的图象还有其他交点,为(-1,-3).


本节课首先借助晴天和雨天刹车距离的不同,引出本节课所要探究的二次函数,让学生感受到数学就在我们身边,激起学生探究新知的兴趣.并且本节课以几个探究活动的形式出现,利用数形结合思想探究对比了y=x2与y=2x2的图象的相同点与不同点,了解了y=ax2+c的图象可以看成是由y=ax2的图象整体上下移动得到的,突出重点、分散难点.大量使用多媒体辅助教学,既能体现知识的背景材料,又能一下子引起学生的注意力,有效地节省了时间,增大了课堂容量.生动形象的动画演示,动感强,直观性好,既加深了学生的理解,又培养了学生的抽象思维能力,同时也向学生渗透了归纳类比、数形结合的数学思想方法.

由于部分学生的作图能力比较差,作图所用时间较多,导致课堂时间分配没能按计划进行,前松后紧.

再教时,不要求学生把所有的二次函数图象都画出来,老师可以利用课件进行展示.

随堂练习(教材第36页)
1.解:二次函数y=3x2的图象与二次函数y=3x2-的图象都是抛物线,并且形状相同,只是位置不同.将二次函数y=3x2的图象向下平移个单位长度就得到二次函数y=3x2-的图象.是轴对称图形,它的开口向上,对称轴是y轴,顶点坐标为.
2.解:二次函数y=-2x2-的图象与二次函数y=-2x2+的图象都是抛物线,并且形状相同,只是位置不同.将二次函数y=-2x2+的图象向下平移1个单位长度就得到二次函数y=-2x2-的图象.
习题2.3(教材第36页)
1.解:相同之处:两个函数图象都是抛物线,开口都向上,对称轴都是y轴,顶点坐标都是(0,0).不同之处:它们的开口大小不同,函数y=3x2的图象在函数y=x2的图象的内侧,说明y=3x2函数值的增长速度较快.
2.解:二次函数y=-3x2的图象与二次函数y=3x2的图象都是抛物线,并且形状相同,函数y=-3x2的图象与函数y=3x2的图象关于x轴对称;二次函数y=-3x2的图象是轴对称图形,它的开口向下,对称轴是y轴,顶点坐标为(0,0).二次函数y=-x2的图象与二次函数y=x2的图象都是抛物线,并且形状相同,函数y=-x2的图象与函数y=x2的图象关于x轴对称;二次函数y=-x2的图象是轴对称图形,它的开口向下,对称轴是y轴,顶点坐标为(0,0).
3.解:二次函数y=5x2-3的图象与二次函数y=5x2的图象都是抛物线,并且形状相同,只是位置不同;将二次函数y=5x2的图象向下平移3个单位长度,就得到二次函数y=5x2-3的图象.二次函数y=5x2-3的图象是轴对称图形,它的开口向上,对称轴是y轴,顶点坐标为(0,-3).二次函数y=-5x2-2的图象与二次函数y=-5x2+3的图象都是抛物线,并且形状相同,只是位置不同;将二次函数y=-5x2-2的图象向上平移5个单位长度,就得到二次函数y=-5x2+3的图象.
4.答案不唯一.如:y=4x2与y=-4x2,y=4x2与y=-4x2-1等.
5.答案不唯一.如:y=x2和y=x2+1,y=x2和y=2x2等.


1.利用类比画二次函数y=x2的图象的方法画出y=2x2,y=2x2+1,y=2x2-1的图象.
2.再利用数形结合思想,从开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性、最值这五个方面去掌握其性质.
3.及时总结二次项系数a的作用以及二次函数y=ax2的图象与二次函数y=ax2+c的图象之间的平移规律.

　将二次函数y=2x2-1的图象沿y轴向上平移2个单位长度,所得图象对应的函数表达式为　　　　. 
〔解析〕　∵二次函数y=2x2-1的图象沿y轴向上平移2个单位长度,∴所得图象对应的函数表达式为y=2x2-1+2=2x2+1.故填y=2x2+1.
[解题策略]　此题主要考查了二次函数与几何变换,熟练掌握平移规律是解题关键.
第课时



1.能够画出函数y=a(x-h)2和函数y=a(x-h)2+k的图象,并能够理解它们与y=ax2的图象的关系,理解a,h和k对二次函数图象的影响.
2.能正确说出y=a(x-h)2+k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.
3.探索函数y=a(x-h)2和函数y=a(x-h)2+k的图象与二次函数y=ax2的图象的关系,理解抛物线的平移规律.

1.通过对二次函数y=a(x-h)2与y=a(x-h)2+k的性质及抛物线的平移规律的探索,让学生经历观察、分析、比较、抽象概括等数学活动过程,渗透运动变化和数形结合的思想.
2.进一步培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力.

1.培养学生探索、观察、发现的良好品质以及克服困难的毅力,并学会总结自己的结论,体会成功的喜悦,加强继续学习的兴趣.
2.通过细心画图,培养学生严谨细致的学习态度,通过图象之间的平移变换渗透数学美感.

【重点】　能够作出y=a(x-h)2和y=a(x-h)2+k的图象,并能理解它与y=ax2的图象的关系,理解a,h和k对二次函数图象的影响.
【难点】　体会并理解y=a(x-h)2,y=a(x-h)2+k与y=ax2的图象之间的关系.能借助数形结合思想,正确表达y=a(x-h)2+k的有关性质.

【教师准备】　多媒体课件.
【学生准备】　复习二次函数y=ax2与y=ax2+k的图象与性质.


导入一:
观察如图所示的两个抛物线,和我们前面所学的抛物线y=ax2和y=ax2+k在位置上发生了怎样的变化?

学生回忆得出:我们原来所学的抛物线y=ax2和y=ax2+k的顶点都在y轴上,图象的位置只是发生上下平移.而图中左边的抛物线发生左右平移,右边的图象则上下左右都发生了平移.
问题
这又是一种什么样的二次函数呢?
[设计意图]　通过函数图象的运动变化,自然而然地引出本节课所要探究的函数模型,使学生一目了然,能更有针对性地进行探究学习.
导入二:
如图所示,小明同学在做一游戏,他制作了一张画有一条拋物线的透明胶片,且拋物线上有一点P,他首先把透明胶片放在了平面直角坐标系中的左图的位置,他得到了此时点P的坐标为(2,4).然后他将此透明胶片向上、向右移动后,他得拋物线的顶点坐标为(7,2),你能帮助他求出此时点P的坐标吗?

【师生活动】　回忆二次函数y=ax2+c的图象与y=ax2的图象的平移变化规律,并观察胶片的变化规律.
【学生活动】　学生独立思考后,与同伴交流,分析胶片的平移变化规律与原来所学的平移变化规律的区别.
[设计意图]　由具体情境回顾上节课所学的y=ax2和y=ax2+c(a≠0)型的图象之间的平移规律,使学生从已有的认知基础出发进行学习,“温故”而欲“知新”,为新课的学习打好基础.

　　[过渡语]　我们已经认识了二次函数y=2x2的图象,那么二次函数y=2(x-1)2的图象与y=2x2的图象有什么关系?
一、二次函数y=a(x-h)2的图象与性质
课件出示:画二次函数y=2(x-1)2的图象.
(1)完成下表:
x
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
2x2









2(x-1)2









(2)在课本图2-5中画出y=2(x-1)2的图象.

【师生活动】　要求独立完成,同伴相互检查.教师巡视,对作图能力差的学生进行指导.
师课件出示:函数y=2(x-1)2的图象如图.(供学生参考)

【学生活动】　与同伴交流画函数图象的步骤和方法.
观察所画的图象,解决以下问题:
课件出示:
【议一议】　二次函数y=2(x-1)2的图象与二次函数y=2x2的图象有什么关系?它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么?当x取哪些值时,y的值随x值的增大而增大?当x取哪些值时,y的值随x值的增大而减小?
学生观察后小结:
二次函数y=2(x-1)2的图象也是抛物线.
1.相同点:(1)开口方向相同,开口大小相同.
(2)在对称轴的左侧,都是y值随x值的增大而减小;在对称轴的右侧,都是y值随x值的增大而增大.
(3)都有最低点,即函数都有最小值.
2.不同点:(1)对称轴:y=2x2的图象的对称轴是y轴(或直线x=0),y=2(x-1)2的图象的对称轴是直线x=1.
(2)顶点坐标:y=2x2图象的顶点坐标是(0,0),y=2(x-1)2图象的顶点坐标是(1,0).
(3)最值:y=2x2,当x=0时,y最小=0,而y=2(x-1)2,当x=1时,y最小=0.
3.图象之间的关系:二次函数y=2(x-1)2的图象是由二次函数y=2x2的图象向右平移1个单位长度得到的.
【类比探究】　类似地,你能发现二次函数y=2(x+1)2的图象与二次函数y=2x2的图象有什么关系吗?
【师生活动】　学生自己动手画出二次函数y=2(x+1)2的图象后,师课件出示图象,供学生参考.学生通过观察,类比总结二次函数y=2(x+1)2的图象与二次函数y=2x2的图象之间的关系.
【总结】　(1)形如y=a(x-h)2的二次函数的图象与性质.
(2)二次函数y=a(x-h)2的图象与y=ax2的图象的关系.
【师生活动】　学生小组交流后,代表发言,师出示表格,帮助学生记忆.
函数
开口
方向
对称轴
顶点
坐标
增减性
最值
y=ax2
a>0时,开口向上;
a<0时,开口向下
y轴
(0,0)
(1)a>0:
x>0时,y随x的增大而增大;x<0时,y随x的增大而减小
(2)a<0:
x>0时,y随x的增大而减小;x<0时,y随x的增大而增大
a>0,y最小=0;
a<0,y最大=0
y=a(x-h)2
a>0时,开口向上;
a<0时,开口向下
直线
x=h
(h,0)
(1)a>0:
x>h时,y随x的增大而增大;x (2)a<0:
x>h时,y随x的增大而减小;x a>0,y最小=0;
a<0,y最大=0
y=a(x-h)2与y=ax2的图象的关系
y=a(x-h)2的图象可以看成是由y=ax2的图象整体左右移动得到的,当h>0时,向右移动|h|个单位长度,当h<0时,向左移动|h|个单位长度,平移规律:“左加右减”
[设计意图]　让学生经历独立画图、观察、探究的完整过程,能加深学生对函数性质的理解,培养学生的动手能力、探究能力、归纳抽象能力.
二、二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
课件展示:
【想一想】　由二次函数y=2x2的图象,你能得到二次函数y=2x2-,y=2(x+3)2,y=2(x+3)2-的图象吗?你是怎样得到的?与同伴进行交流.
【学生活动】　学生根据前面的探究,先独立思考,再与同伴交流.代表发言:
(1)将二次函数y=2x2的图象向下平移个单位长度,就得到二次函数y=2x2-的图象.
(2)将二次函数y=2x2的图象向左平移3个单位长度,就得到二次函数y=2(x+3)2的图象.
(3)将二次函数y=2x2的图象先向下平移个单位长度,再向左平移3个单位长度(或先向左平移3个单位长度,再向下平移个单位长度),就得到二次函数y=2(x+3)2-的图象.
【议一议】　二次函数y=a(x-h)2+k与y=ax2的图象有什么关系?
【师生活动】　学生小组交流后,代表发言,师生共同总结:
一般地,平移二次函数y=ax2的图象便可以得到二次函数y=a(x-h)2+k的图象.因此,二次函数y=a(x-h)2+k的图象是一条抛物线,它的开口方向、对称轴和顶点坐标与a,h,k的值有关.
二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质:
抛物线
y=a(x-h)2+k(a>0)
y=a(x-h)2+k(a<0)
顶点坐标
(h,k)
(h,k)
对称轴
直线x=h
直线x=h
开口方向
向上
向下
增减性
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小;在对称轴的右侧,y随着x的增大而增大
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大;在对称轴的右侧,y随着x的增大而减小
最值
当x=h时,y最小=k
当x=h时,y最大=k
[设计意图]　让学生通过类比学习,利用数形结合进一步体验二次函数的系数对图象的影响,加强对二次函数性质的巩固与拓展,从图象直观理解函数图象之间的平移关系,培养学生的动态思维和自觉学习的意识,顺其自然地完成本节课的学习任务.
[知识拓展]　
1.二次函数图象之间的平移规律:“左右平移在括号,上下平移在末梢,左加右减须牢记,上加下减错不了”.简记为“上加下减,左加右减”.
2.二次函数的关系式:y=a(x-h)2+k被称之为“顶点式”.

1.二次函数y=a(x-h)2和y=a(x-h)2+k的图象.
2.二次函数y=a(x-h)2+k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标与a,h,k之间的关系.
3.二次函数图象之间的平移规律.

1.(沈阳中考)在平面直角坐标系中,二次函数y=a(x-h)2(a≠0)的图象可能是 (　　)

解析:二次函数y=a(x-h)2(a≠0)的图象的顶点坐标为(h,0),它的顶点坐标在x轴上.故选D.
2.(河池中考)将抛物线y=x2向右平移2个单位长度,再向上平移3个单位长度后,所得抛物线的解析式为 (　　)
A.y=(x+2)2+3
B.y=(x-2)2+3
C.y=(x+2)2-3
D.y=(x-2)2-3
解析:∵将抛物线y=x2向上平移3个单位长度,再向右平移2个单位长度,∴平移后的抛物线的解析式为y=(x-2)2+3.故选B.
3.(长沙中考)抛物线y=3(x-2)2+5的顶点坐标是　　　　. 
解析:∵抛物线y=3(x-2)2+5,∴顶点坐标为(2,5).故填(2,5).
4.在二次函数y=-2(x-3)2+1中,若y随x的增大而增大,则x的取值范围是　　　　. 
解析:∵a=-2<0,∴二次函数图象开口向下,又对称轴是直线x=3,∴当x<3时,函数图象在对称轴的左边,y随x的增大而增大.故填x<3.
5.画出函数y=-(x-1)2+2的图象,观察图象回答下列问题.
(1)求顶点坐标与对称轴;
(2)当x取何值时,y随x的增大而增大?当x取何值时,y随x的增大而减小?
(3)当x取何值时,函数有最大值或最小值,其值是多少?
解:如图所示.

(1)顶点坐标为(1,2),对称轴为直线x=1.
(2)当x<1时,y随x的增大而增大,当x>1时,y随x的增大而减小.
(3)当x=1时,二次函数有最大值,为2.

第3课时
1.y=a(x-h)2+k的图象与性质:
抛物线
y=a(x-h)2+k(a>0)
y=a(x-h)2+k(a<0)
顶点
(h,k)
(h,k)
对称轴
直线x=h
直线x=h
开口方向
向上
向下
增减性
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小;在对称轴的右侧,y随着x的增大而增大
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大;在对称轴的右侧,y随着x的增大而减小
最值
当x=h时,有最小值,为k
当x=h时,有最大值,为k
2.二次函数图象的平移规律:上加下减,左加右减.

一、教材作业
【必做题】
1.教材第38页随堂练习.
2.教材第39页习题2.4第1,2题.
【选做题】
教材第39页习题2.4第3,4题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.已知二次函数y=2(x-3)2+1.下列说法:①其图象的开口向下;②其图象的对称轴为直线x=-3;③其图象的顶点坐标为(3,-1);④当x<3时,y随x的增大而减小.其中说法正确的有 (　　)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.(攀枝花中考)将抛物线y=-2x2+1向右平移1个单位长度,再向上平移1个单位长度所得的抛物线解析式为 (　　)
A.y=-2(x+1)2 B.y=-2(x+1)2+2
C.y=-2(x-1)2+2 D.y=-2(x-1)2+1
3.(漳州中考)已知二次函数y=(x-2)2+3,当x　　　　时,y随x的增大而减小. 
4.如图所示的是二次函数y=a(x+1)2+2图象的一部分,该图象在y轴右侧与x轴交点的坐标是　　　　. 

【能力提升】
5.(益阳中考)若抛物线y=(x-m)2+(m+1)的顶点在第一象限,则m的取值范围为 (　　)
A.m>1 B.m>0
C.m>-1 D.-1
6.在平面直角坐标系中,点A是抛物线y=a(x-3)2+k与y轴的交点,点B是这条抛物线上的另一点,且AB∥x轴,则以AB为边的等边三角形ABC的周长为　　　　. 
7.已知:抛物线y=-(x+1)2.
(1)写出抛物线的顶点坐标和对称轴;
(2)完成下表;
x
…
-7

-3

1
3

…
y
…
-9



-1


…
(3)在下面的坐标系中描点画出抛物线的图象.

8.已知抛物线y=a(x-3)2+2经过点(1,-2).
(1)求a的值;
(2)若点A(m,y1),B(n,y2)(m 9.二次函数y=x2的图象如图所示,请将此图象向右平移1个单位长度,再向下平移2个单位长度.

(1)画出经过两次平移后所得到的图象,并写出该函数的解析式;
(2)求经过两次平移后的图象与x轴的交点坐标,并指出当x满足什么条件时,函数值大于0?
【拓展探究】

10.(泉州中考)如图所示,已知二次函数y=a(x-h)2+的图象经过原点O(0,0),A(2,0).
(1)写出该函数图象的对称轴;
(2)若将线段OA绕点O逆时针旋转60°到OA',试判断点A'是否为该函数图象的顶点.
【答案与解析】
1.A(解析:①∵2>0,∴图象的开口向上,故错误;②图象的对称轴为直线x=3,故错误;③其图象的顶点坐标为(3,1),故错误;④当x<3时,y随x的增大而减小,正确.综上所述,说法正确的为④,共1个.故选A.)
2.C(解析:∵抛物线y=-2x2+1向右平移1个单位长度,∴平移后解析式为y=-2(x-1)2+1,∴再向上平移1个单位长度所得的抛物线解析式为y=-2(x-1)2+2.故选C.)
3.<2(解析:在y=(x-2)2+3中,a=1,∵a>0,∴开口向上,由于函数图象的对称轴为直线x=2,故当x<2时,y的值随着x值的增大而减小;当x>2时,y的值随着x值的增大而增大.故填<2.)
4.(1,0)(解析:由y=a(x+1)2+2的图象可知对称轴为直线x=-1,根据对称性及图象在对称轴左侧与x轴交点为(-3,0),知该图象在对称轴右侧与x轴交点的坐标是(1,0).)
5.B(解析:由于y=(x-m)2+(m+1)的顶点在第一象限,所以可得所以m的取值范围为m>0.故选B.)
6.18(解析:∵抛物线y=a(x-3)2+k的对称轴为直线x=3,且AB∥x轴,∴AB=2×3=6,∴等边三角形ABC的周长=3×6=18.)
7.解:(1)抛物线的顶点坐标是(-1,0),对称轴为直线x=-1.　(2)填表如下:
x
…
-7
-5
-3
-1
1
3
5
…
y
…
-9
-4
-1
0
-1
-4
-9
…
(3)描点作图如下:

8.解:(1)∵抛物线y=a(x-3)2+2经过点(1,-2),∴-2=a(1-3)2+2,解得a=-1.　(2)由(1)得抛物线y=-(x-3)2+2的对称轴为直线x=3,∴A(m,y1),B(n,y2)(m 9.解:(1)画图如图所示.依题意,得y=(x-1)2-2=x2-2x+1-2=x2-2x-1,∴平移后所得图象的解析式为y=x2-2x-1.　(2)当y=0时,x2-2x-1=0,即(x-1)2=2,∴x-1=±,即x1=1-,x2=1+.∴平移后的图象与x轴交于两点,坐标分别为(1-,0)和(1+,0).由图可知,当x<1-或x>1+时,二次函数y=(x-1)2-2的函数值大于0.

10.解:(1)∵二次函数y=a(x-h)2+的图象经过原点O(0,0),A(2,0),∴抛物线的对称轴为直线x=1.　(2)点A'是该函数图象的顶点.理由如下:如图所示,作A'B⊥x轴于点B,∵线段OA绕点O逆时针旋转60°到OA',∴OA'=OA=2,∠A'OA=60°.在Rt△A'OB中,∠OA'B=30°,∴OB=OA'=1,∴A'B=OB=,∴点A'的坐标为(1,),由(1)知h=1,∴点A'为抛物线y=a(x-1)2+的顶点.



本节课是对二次函数图象及性质的进一步探究,所以本节课画函数图象仍是重点.在教学过程中,给学生留足了时间,让他们一边作图,一边发现,而不是教师直接给出图象让学生观察,进一步养成了学生自主发现问题的良好习惯.在归纳二次函数性质的时候,充分相信学生,鼓励学生大胆用自己的语言进行归纳,因为学生自己的发现远远比老师直接讲解掌握的要深刻得多.对于学生,可能会归纳得比较片面或者没有找出关键点,老师引导学生从多个角度进行考虑,并组织学生展开充分的讨论,从而分散了重点,突破了难点.

学生容易混淆所学的几种二次函数的图象,对各自的性质把握的也不是太清楚.

多利用课件给学生展示所学的几种二次函数在同一坐标系中的图象,让学生进行对比,加深印象.

随堂练习(教材第38页)
解:(1)二次函数y=-3(x+2)2的图象与二次函数y=-3x2的图象都是抛物线,并且形状相同,开口方向都向下,都是轴对称图形,但对称轴和顶点坐标不同.函数y=-3(x+2)2的对称轴是直线x=-2,顶点坐标为(-2,0).将二次函数y=-3x2的图象向左平移2个单位长度,就可以得到二次函数y=-3(x+2)2的图象.　(2)当x<-2时,y随x的增大而增大;当x>-2时,y随x的增大而减小.
习题2.4(教材第39页)
1.解:(1)开口向上,直线x=3,(3,-5).　(2)开口向下,直线x=-1,(-1,0).　(3)开口向下,直线x=0(y轴),(0,-1).　(4)开口向上,直线x=2,(2,5).　(5)开口向上,直线x=-4,(-4,2).　(6)开口向下,直线x=3,(3,0).
2.解:二次函数y=-3的图象与二次函数y=-3x2的图象都是抛物线,并且形状相同,开口方向都向下,都是轴对称图形,但对称轴和顶点坐标不同.函数y=-3的图象的对称轴是直线x=,顶点坐标为.将二次函数y=-3x2的图象向右平移个单位长度,就可以得到二次函数y=-3的图象.
3.解:将二次函数y=2x2的图象先向右平移1个单位长度,再向上平移3个单位长度就得到二次函数y=2(x-1)2+3的图象.当x>1时,y值随x的增大而增大;当x<1时,y值随x的增大而减小.
4.提示:(1)答案不唯一.如:y=2(x-3)2+4和y=(x+5)2+8等.一般地,形如y=a(x-h)2+k(a>0,k≥0)的函数图象都不经过第三、四象限.　(2)答案不唯一.如:y=4(x+1)2+2,y=4(x+1)2-3.当a,h取值相同,k取值不同时,都符合要求.


对抛物线的平移规律把握不清.
　把抛物线y=x2-1的图象先向右平移1个单位长度,再向下平移2个单位长度,得到的抛物线的解析式为 (　　)
A.y=(x+1)2-3 B.y=(x-1)2-3
C.y=(x+1)2+1 D.y=(x-1)2+1
【错解】　A
【错解分析】　抛物线的平移规律为:左加右减,上加下减,往往会误认为:右加左减,上加下减.
【正解】　B
【正解分析】　抛物线y=x2-1的顶点坐标为(0,-1),∵先向右平移1个单位长度,再向下平移2个单位长度,∴平移后的抛物线的顶点坐标为(1,-3),∴得到的抛物线的解析式为y=(x-1)2-3.

　已知二次函数y=-(x-2)2+4.
(1)填写表格,并在所给直角坐标系中描点,画出该函数图象.
x
…





…
y=-(x-2)2+4
…





…
(2)填空.
①该函数图象与x轴的交点坐标是　　　　. 

②当x>2时,y随x的增大而减小;
③当x<0或x>4时,y<0;
④若将抛物线y=-(x-2)2+4的图象先向　　　　平移　　　　个单位长度,再向　　　　平移　　　　个单位长度后可得抛物线y=-x2. 
解:(1)如下表.
x
…
0
1
2
3
4
…
y=-(x-2)2+4
…
0
3
4
3
0
…


(2)①(4,0),(0,0)　④左　2　下　4(或下　4　左　2)
第课时



1.体会建立二次函数对称轴和顶点坐标公式的必要性.
2.能够利用二次函数的对称轴和顶点坐标公式解决问题.

1.经历二次函数对称轴和顶点坐标公式的探究过程,提高学生知识的转化能力.
2.通过解决实际问题,训练学生把数学知识运用于实践的能力.

通过数学活动,产生好奇心.培养学生独立思考问题的习惯,锻炼克服困难的意志,建立学好数学的自信心.

【重点】　
1.掌握运用配方法把一般式转化成顶点式的方法.
2.能利用二次函数的对称轴和顶点坐标公式解决实际问题.
【难点】　用配方法推导y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴和顶点坐标公式.

【教师准备】　多媒体课件.
【学生准备】　复习配方法和二次函数顶点式的有关知识.


导入一:
某商场以每件30元的价格购进一种商品,试销中发现,这种商品每天的销售量m(件)与每件的销售价x(元)满足一次函数关系:m=162-3x.请写出商场卖这种商品每天的销售利润y(元)与每件的销售价x(元)之间的函数关系式.
学生分析数量关系:由题意,得每件商品的销售利润为(x-30)元,那么m件的销售利润为y=m(x-30).又∵m=162-3x,∴y=(x-30)(162-3x),即y=-3x2+252x-4860.
问题
这个二次函数关系式:y=-3x2+252x-4860与我们前面学的形如y=a(x-h)2+k(顶点式)的形式一样吗?
[设计意图]　通过两种函数表达式的对比,让学生产生认知冲突,初步感知一般式与顶点式之间的关系,为下面两者之间的转化打下了良好的基础.
导入二:
神舟十号是中国神舟号系列飞船之一,主要由推进舱(服务舱)、返回舱、轨道舱和附加段组成.神舟十号在酒泉卫星发射中心“921工位”,于2013年6月11日17时38分02.666秒,由长征二号F改进型运载火箭(遥十)“神箭”成功发射.在轨飞行十五天左右,加上发射与返回,其中停留天宫一号十二天,共搭载三位航天员——聂海胜、张晓光、王亚平.6月13日与天宫一号进行对接.6月26日回归地球.

如下图所示,某种火箭被竖直向上发射时,它的高度h(m)与时间t(s)的关系可以用公式h=-5t2+150t+10表示.

问题
公式h=-5t2+150t+10和我们前面学过的二次函数的关系式一样吗?这样的函数的图象和性质又是怎样的呢?
[设计意图]　通过一些图片的欣赏,让学生感受国家的强大,身为一名中学生应树立“少年强,中国强”的意识,立志为建设强大的祖国努力学习.承接创设的问题情境,借助“火箭升空”问题引出本节课的内容,使学生的学习更有针对性,做到有的放矢.

　　[过渡语]　我们已经学过的顶点式:y=a(x-h)2+k的最明显的特征是能直接看出开口方向、对称轴、顶点坐标,所以探究二次函数的图象与性质时,最好把二次函数的表达式转化成顶点式.
一、探究一般式与顶点式的转化
问题
你能研究二次函数y=2x2-4x+5的图象和性质吗?
【学生活动】　学生独立思考后,统一答案:研究二次函数y=2x2-4x+5的图象和性质的关键是把二次函数y=2x2-4x+5转化成y=a(x-h)2+k的形式.
【师生活动】　要求学生独立解决,师巡视,及时发现问题.代表展示,师生共同订正:
解:y=2x2-4x+5=2(x2-2x)+5=2(x2-2x+1)+5-2=2(x-1)2+3.
[设计意图]　通过学生复习顶点式y=a(x-h)2+k,增强学生利用顶点式的意识,学生自然而然地要把y=2x2-4x+5转化成顶点式y=a(x-h)2+k的形式,为下面例题的解决奠定了良好的基础.
二、探究一般形式的二次函数的性质
　　[过渡语]　我们了解了如何把一般式转化为顶点式,下面我们就运用这种方法求二次函数的相关性质.
　求二次函数y=2x2-8x+7图象的对称轴和顶点坐标.
解析:根据上面的分析,要求y=2x2-8x+7图象的对称轴和顶点坐标,首先要利用配方法把y=2x2-8x+7转化成顶点式y=a(x-h)2+k的形式.
【学生活动】　要求学生先独立解决,然后同伴交流,相互订正.代表展示:
解:y=2x2-8x+7
=2(x2-4x)+7
=2(x2-4x+4)-8+7
=2(x-2)2-1.
因此,二次函数y=2x2-8x+7图象的对称轴是直线x=2,顶点坐标为(2,-1).
【做一做】　确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标:
(1)y=3x2-6x+7;　　(2)y=2x2-12x+8.
【学生活动】　学生独立解答,代表展示,师生共同订正.
解:(1)y=3x2-6x+7=3(x2-2x)+7=3(x2-2x+1)+7-3=3(x-1)2+4.
因此,二次函数y=3x2-6x+7图象的对称轴是直线x=1,顶点坐标为(1,4).
(2)y=2x2-12x+8=2(x2-6x)+8=2(x2-6x+9)+8-18=2(x-3)2-10.
因此,二次函数y=2x2-12x+8图象的对称轴是直线x=3,顶点坐标为(3,-10).
[设计意图]　让学生在解题的过程中去总结、发现解决问题的方法和步骤,熟练掌握利用配方法求二次函数图象的对称轴和顶点坐标的方法.
三、一般式y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标公式的推导
　　[过渡语]　你感觉利用上面的方法求二次函数图象的对称轴和顶点坐标的方法好吗?如果每次都采取“配方”,岂不是很麻烦?有没有更好的办法呢?下面我们就来一起探究形如y=ax2+bx+c(a≠0)的二次函数图象的对称轴和顶点坐标.
　求二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴和顶点坐标.
【师生活动】　学生小组讨论后,代表说明解题思路和方法,师生共同解答.
解:把二次函数y=ax2+bx+c的右边配方,得
y=ax2+bx+c
=a+c
=a+c
=a+.
因此,二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴是直线x=-,顶点坐标是.
【教师点评】
1.形如y=a(x-h)2+k的二次函数能够直接说出顶点坐标,所以我们把它叫做顶点式.
2.至此,整个初中阶段的所有的二次函数的形式我们就都讨论过了.
[设计意图]　引导学生利用自己所掌握的配方法的思想逐步把二次函数的一般式转化为顶点式,使学生在推理转化的过程中体会不同形式之间的联系.感受数学的变换和迷人的魅力,从而更加喜欢数学.
四、一般式y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标公式的实际应用
　　[过渡语]　我们已经掌握了求二次函数图象的顶点坐标的方法,现在同学们就来在现实情境中检验一下谁理解的更为透彻吧!
【做一做】　如图所示,桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线形状,按照图中的直角坐标系,左面的一条抛物线可以用y=x2+x+10表示,而且左、右两条抛物线关于y轴对称.

(1)钢缆的最低点到桥面的距离是多少?
(2)两条钢缆最低点之间的距离是多少?
你有哪些计算方法?与同伴交流.
解析:解决实际应用问题的关键是什么.
学生思考后回答:解决实际应用问题的关键是把实际问题转化为数学问题.
【教师活动】　提示学生本题可以运用不同的方法进行解答.
【学生活动】　学生讨论后,得出两种方法:(1)运用配方法转化成顶点式;(2)总结运用公式.
解法1:y=x2+x+10
=(x2+40x)+10
=(x2+40x+400-400)+10
=(x+20)2+1.
∴对称轴为直线x=-20,顶点坐标为(-20,1).
(1)钢缆的最低点到桥面的距离是1 m.
(2)两条钢缆最低点之间的距离是2×20=40(m).
解法2:这里a=,b=,c=10,
∴-=-=-20,
===1,
∴对称轴是直线x=-20,顶点坐标为(-20,1).
(1)钢缆的最低点到桥面的距离是1 m.
(2)两条钢缆最低点之间的距离是2×20=40(m).
[设计意图]　让学生学会从数学角度提出问题、分析问题,并能综合运用所学知识和技能解决问题,发展学生的应用意识,让学生进一步体会在实际问题中利用数学模型来解决实际问题的过程.

求二次函数图象的对称轴和顶点坐标的方法:
(1)配方法:y=ax2+bx+cy=a(x-h)2+k.
(2)公式法:①对称轴是直线x=-;②顶点坐标是.

1.(新疆中考改编)对于二次函数y=(x-1)2+2的图象,下列说法正确的是 (　　)
A.开口向下
B.对称轴是直线x=-1
C.顶点坐标是(1,2)
D.与x轴有公共点
解析:二次函数y=(x-1)2+2的图象开口向上,顶点坐标为(1,2),对称轴为直线x=1,抛物线与x轴没有公共点.故选C.
2.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则一次函数y=ax+b与反比例函数y=在同一平面直角坐标系中的大致图象为 (　　)

解析:∵二次函数图象开口方向向上,∴a>0.∵对称轴为直线x=->0,∴b<0.∵与y轴的正半轴相交,∴c>0,∴y=ax+b的图象经过第一、三象限,且与y轴的负半轴相交,反比例函数y=的图象在第一、三象限,只有B选项图象符合.故选B.
3.若抛物线y=ax2+bx+c经过点(-1,10),则a-b+c=　　　　. 
解析:将(-1,10)代入y=ax2+bx+c,得a-b+c=10.故填10.

4.某市政府大楼前广场有一喷水池,水从地面喷出,喷出水的路径是一条抛物线.如果以水平地面为x轴,建立如图所示的平面直角坐标系,水在空中划出的曲线是抛物线y=-x2+4x(单位:m)的一部分,则水喷出的最大高度是　　　　m. 
解析:∵水在空中喷出的曲线是抛物线y=-x2+4x的一部分,∴喷水的最大高度就是水在空中喷出的抛物线y=-x2+4x的顶点坐标的纵坐标,∵y=-x2+4x=-(x-2)2+4,∴顶点坐标为(2,4),∴水喷出的最大高度为4 m.故填4.
5.写出下面抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标.
(1)y=-2x2+6x;　　(2)y=x2+2x-3.
解:(1)y=-2x2+6x=-2(x2-3x)=-2+=-2+,开口向下,对称轴是直线x=,顶点坐标为.
(2)y=x2+2x-3=(x2+4x)-3=(x2+4x+4)-2-3=(x+2)2-5,开口向上,对称轴是直线x=-2,顶点坐标为(-2,-5).

第4课时
求二次函数图象的对称轴和顶点坐标的方法:
1.配方法:
一般式:y=ax2+bx+c顶点式:y=a(x-h)2+k.
2.公式法:
二次函数y=ax2+bx+c:
①对称轴是直线x=-;②顶点坐标是.

一、教材作业
【必做题】
1.教材第41页随堂练习.
2.教材第41页习题2.5第1,2,3题.
【选做题】
教材第41页习题2.5第4,5题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.二次函数y=ax2+bx+c图象上部分点的坐标满足下表:
x
…
-3
-2
-1
0
1
…
y
…
-3
-2
-3
-6
-11
…
则该函数图象的顶点坐标为 (　　)
A.(-3,-3) B.(-2,-2)
C.(-1,-3) D.(0,-6)

2.(黔西南中考改编)二次函数y=x2-2x-3的图象如图所示,下列说法中错误的是 (　　)
A.函数图象与y轴的交点坐标是(0,-3)
B.顶点坐标是(1,-3)
C.函数图象过点(3,0),(-1,0)
D.当x<0时,y随x的增大而减小
3.(常州中考)二次函数y=-x2+2x-3图象的顶点坐标是　　　　. 
4.已知抛物线y=-x2+2x+2.
(1)该抛物线的对称轴是直线　　　　,顶点坐标为　　　　; 
(2)选取适当的数据填入下表,并在下图的直角坐标系内描点画出该抛物线;
x







y








(3)若该抛物线上两点A(x1,y1),B(x2,y2)的横坐标满足x1>x2>1,试比较y1与y2的大小.
【能力提升】
5.(荆州中考)将抛物线y=x2-2x+3向上平移2个单位长度,再向右平移3个单位长度后,得到的抛物线的解析式为 (　　)
A.y=(x-1)2+4 B.y=(x-4)2+4
C.y=(x+2)2+6 D.y=(x-4)2+6

6.二次函数y=-x2+bx+c的图象如图所示,则一次函数y=bx+c的图象不经过第　　　　象限. 

7.一名男生推铅球,铅球行进高度y(单位:m)与水平距离x(单位:m)之间的关系是y=-x2+x+,铅球运行路线如图所示.
(1)求铅球推出的水平距离;
(2)通过计算说明铅球行进高度能否达到4 m.

8.已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(1,0),B(3,0),且过点C(0,-3).
(1)求抛物线的解析式和顶点坐标;
(2)请你写出一种平移的方法,使平移后抛物线的顶点落在直线y=-x上,并写出平移后抛物线的解析式.
【拓展探究】
9.(绍兴中考)若二次函数的二次项系数为1,则此二次函数可表示为y=x2+px+q,我们称[p,q]为此函数的特征数,如函数y=x2+2x+3的特征数是[2,3].
(1)若一个函数的特征数为[-2,1],求此函数图象的顶点坐标.
(2)探究下列问题:
①若一个函数的特征数为[4,-1],将此函数的图象先向右平移1个单位长度,再向上平移1个单位长度,求得到的图象对应的函数的特征数;
②若一个函数的特征数为[2,3],则此函数的图象经过怎样的平移,才能使得到的图象对应的函数的特征数为[3,4]?
【答案与解析】
1.B(解析:∵x=-3和-1时的函数值都是-3,相等,∴二次函数图象的对称轴为直线x=-2,∴顶点坐标为(-2,-2).)
2.B(解析:A,∵y=x2-2x-3,∴当x=0时,y=-3,∴函数图象与y轴的交点坐标是(0,-3),故本选项说法正确;B,∵y=x2-2x-3=(x-1)2-4,∴顶点坐标是(1,-4),故本选项说法错误;C,∵y=x2-2x-3,∴当y=0时,x2-2x-3=0,解得x=3或x=-1,∴函数图象过点(3,0),(-1,0),故本选项说法正确;D,∵y=x2-2x-3=(x-1)2-4,∴对称轴为直线x=1,又∵a=1>0,图象开口向上,∴当x<1时,y随x的增大而减小,∴当x<0时,y随x的增大而减小,故本选项说法正确.故选B.)
3.(1,-2)(解析:∵y=-x2+2x-3=-(x2-2x+1)-2=-(x-1)2-2,∴顶点坐标是(1,-2).故填(1,-2).)
4.解:(1)x=1　(1,3)　(2)填表及画抛物线如下:
x
…
-1
0
1
2
3
…
y
…
-1
2
3
2
-1
…

(3)因为在对称轴直线x=1右侧,y随x的增大而减小,又x1>x2>1,所以y1 5.B(解析:将y=x2-2x+3化为顶点式,得y=(x-1)2+2.将抛物线y=x2-2x+3向上平移2个单位长度,再向右平移3个单位长度后,得到的抛物线的解析式为y=(x-4)2+4.故选B.)
6.四(解析:根据图象得:a<0,b>0,c>0,故一次函数y=bx+c的图象不经过第四象限.)
7.解:(1)当y=0时,-x2+x+=0,解得x1=10,x2=-2(不合题意,舍去),所以铅球推出的水平距离是10 m.　(2)y=-x2+x+=-(x2-8x+16-16)+=-(x2-8x+16)++=-(x-4)2+3.当x=4时,y取最大值3,所以铅球行进高度不能达到4 m,最高能达到3 m.
8.解:(1)∵抛物线与x轴交于点A(1,0),B(3,0),∴可设抛物线解析式为y=a(x-1)(x-3),把C(0,-3)代入,得3a=-3,解得a=-1,故抛物线解析式为y=-(x-1)(x-3),即y=-x2+4x-3.∵y=-x2+4x-3=-(x-2)2+1,∴顶点坐标为(2,1).　(2)答案不唯一,如:先向左平移2个单位长度,再向下平移1个单位长度,得到的抛物线的解析式为y=-x2,平移后抛物线的顶点为(0,0),落在直线y=-x上.
9.解:(1)由题意可得出y=x2-2x+1=(x-1)2,∴此函数图象的顶点坐标为(1,0).　(2)①由题意可得出:y=x2+4x-1=(x+2)2-5,∴将此函数的图象先向右平移1个单位长度,再向上平移1个单位长度后,得到y=(x+1)2-4=x2+2x-3的图象,∴图象对应的函数的特征数为[2,-3].　②∵一个函数的特征数为[2,3],∴函数解析式为y=x2+2x+3=(x+1)2+2.∵一个函数的特征数为[3,4],∴函数解析式为y=x2+3x+4=+,∴将原函数的图象先向左平移个单位长度,再向下平移个单位长度就可以得到.


本节课的内容较多,整体上难度较大,所以需要学生比以往的课更要集中精力,所以上课伊始就设计一些情境,吸引了学生的注意力,充分调动学生学习的热情,并对学生进行爱国主义教育,以达到触动学生心灵的目的,从而更好地进入学习状态.本节课的重点是用配方法求二次函数图象的对称轴及顶点坐标,对学生来说会感觉有难度,所以可以要求学生在上课前对配方法进行复习,以简化配方法的难度.通过对实际应用题的解答让学生初步体会二次函数在实际生活中的运用,再次感悟数学源于生活又服务于生活.

在学生归纳二次函数性质的时候,由于引导不力,学生归纳得比较片面或者没有找出关键点.

教师要注意引导学生从多个角度进行考虑,而且要组织学生展开充分的讨论,对大家的观点集中考虑,这样有利于训练学生的归纳能力.

随堂练习(教材第41页)
解:(1)直线x=3;(3,-15).　(2)直线x=8;(8,1).　(3)直线x=1.25;(1.25,-1.125).　(4)直线x=0.75;(0.75,9.375).
习题2.5(教材第41页)
1.解:(1)开口向上,对称轴:直线x=2,顶点坐标为(2,5).　(2)开口向上,对称轴:直线x=1,顶点坐标为(1,-3).　(3)开口向上,对称轴:直线x=1,顶点坐标为(1,-1).　(4)开口向下,对称轴:直线x=-6,顶点坐标为(-6,27).
2.解:y=x2-2x+1=(x-1)2,将二次函数y=(x-1)2的图象向上平移2个单位长度,再向左平移3个单位长度就得到二次函数y=(x+2)2+2的图象.y=(x+2)2+2=x2+4x+6,所以b=4,c=6.这条抛物线的开口向上,对称轴为直线x=-2,顶点坐标为(-2,2).
3.解:∵h=-5t2+150t+10=-5(t2-30t-2)=-5[(t-15)2-227]=-5(t-15)2+1135.∴当t=15时,h最大=1135,即经过15 s时,火箭到达它的最高点,最高点的高度是1135 m.
4.解:(1)当0≤x<13时,学生的接受能力逐渐增强;当13≤x≤30时,学生的接受能力逐渐降低. 　(2)经过13 min,学生的接受能力最强.
5.提示:y=(x-20)2+1,即y=x2-x+10.


1.由于本节课的重点是利用配方法把二次函数的一般式y=ax2+bx+c转化成顶点式y=a(x-h)2+k,所以课前对一元二次方程中配方法知识的复习就显得尤为重要.
2.本节课整体难度较大,只靠学生自己的能力达不到最好的效果,所以要引导学生积极、主动地与其他同学进行合作交流,并加强对配方法的巩固练习,为公式法的得出奠定良好的基础.
3.对于公式法的推导,由于难度较大,所以可以采用师生合作的方式共同完成.

　已知:二次函数y=-x2+2x+3.
(1)求抛物线的对称轴和顶点坐标.
(2)画出函数图象.
(3)根据图象:
①写出函数值y为正数时,自变量x的取值范围;
②写出当-2
〔解析〕　(1)配方后即可确定顶点坐标及对称轴.(2)确定顶点坐标及对称轴、与坐标轴的交点坐标即可作出函数图象.(3)根据图象利用数形结合的方法确定答案即可.
解:(1)y=-x2+2x+3=-(x2-2x+1-4)=-(x-1)2+4,
对称轴为直线x=1,顶点坐标为(1,4).
(2)抛物线与x轴交于(-1,0)和(3,0),与y轴交于点(0,3),故图象如下图所示:

(3)①当y为正数时,-1 ②当-2 [解题策略]　本题考查了二次函数的性质,解题的关键是确定对称轴及顶点坐标并作出图象.