人教数学·八年级下册：期中综合检测试卷

期中综合检测试卷

(第十六章～第十八章)

(满分：120分)

一、选择题(每小题3分，共30分)

1．若是二次根式，那么x的取值范围是(　C　)

A．x≥1　　　B．x≤1　　　C．x＞1　　　D．x＜1

2．下列各式运算正确的是(　D　)

A.÷2＝2　　　B．3－＝3

C.＝2　　　  D.×＝

3．△ABC的三边分别为a、b、c，下列条件：①∠A＝∠B－∠C；②a2＝(b＋c)(b－c)；③a∶b∶c＝3∶4∶5.其中能判断△ABC是直角三角形的条件个数有(　D　)

A．0　　　B．1　　　C．2　　　D．3

4．若a＝(＋)，b＝(－)，那么a2－ab＋b2的值为(　A　)

A.　　　B.　　　C.　　　D.－1

5．如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，若AC＋BD＝10，BC＝4，则△BOC的周长为(　B　)

A．8　　　B．9　　　C．10　　　D．14

6．如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边AB、BC上，AF＝DE，AF和DE相交于点G，则图形中与∠AED相等的角有(　B　)

A．4个　　　B．3个　　　C．2个　　　D．1个

7．平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，已知下列条件：①AB∥DC；②AB＝DC；③AC＝BD；④∠ABC＝90°；⑤OA＝OC；⑥OB＝OD，则不能使四边形ABCD成为矩形的是(　C　)

A．①②③　　　B．②③④　　　C．①②⑤⑥　　　D．④⑤⑥

8．如图，小明准备测量一段水渠的深度，他把一根竹竿AB竖直插到水底，此时竹竿AB离岸边点C处的距离CD＝1.5米，竹竿高出水面的部分AD长0.5米．如果把竹竿的顶端A拉向岸边点C处，竿顶和岸边的水面刚好相齐，那么水渠的深度BD为(　A　)

A．2米　　　B．2.5米　　　C．2.25米　　　D．3米

9．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F分别是AD、CD边上的中点，连接EF.若EF＝，BD＝2，则菱形ABCD的面积为(　A　)

A．2　　　B.　　　C．6　　　D．8

10．如图，四边形ABCD与四边形OEFG都是正方形，O是正方形ABCD的中心，OE交BC于点M，OG交CD于点N，下列结论：①△ODG≌△OCE；②GD＝CE；③OG⊥CE；④若正方形ABCD的边长为2，则四边形OMCN的面积等于1.其中正确的结论有(　C　)

A．1个　　　B．2个　　　C．3个　　　D．4个

二、填空题(每小题3分，共18分)

11．已知△ABC的三边长为a、b、c，化简|a＋b－c|－|c－a＋b|＋＝　3a－b－c　.

12．如图，在▱ABCD中，∠D＝100°，∠DAB的平分线AE交DC于点E，连接BE.若AE＝AB，则∠EBC的度数为　30°　.

13．《九章算术》勾股卷有一题目：今有垣高一丈．依木于垣，上于垣齐．引木却行四尺，其木至地，问木长几何？意即：一道墙髙一丈，一根木棒靠于墙上，木棒上端与墙头齐平，若木棒下端向后退，则木棒上端会随着往下滑，当木棒下端向后退了四尺时，木棒上端恰好落到地上，则木棒长　14.5　尺．(1丈＝10尺)

14．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6.若DE是△ABC的中位线，延长DE交△ABC的外角∠ACM的平分线于点F，则线段DF的长为　8　.

15．已知正方形ABCD、正方形CEFG、正方形PQFH如图放置，且正方形CEFG的边长为4，A、G、P三点在同一条直线上，连接AE、EP，那么△AEP的面积是　16　.

16．如图，四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，且AC＝8，BD＝4，各边中点分别为A1、B1、C1、D1，顺次连接得到四边形A1B1C1D1，再取各边中点A2、B2、C2、D2，顺次连接得到四边形A2B2C2D2，…，以此类推，这样得到四边形AnBnCnDn，则四边形AnBnCnDn的面积为　(或24－n)　.

三、解答题(共72分)

17．(6分)计算：

(1)2×(1－)＋；

解：原式＝2－2＋2＝2.

(2)(1＋)2＋3×(1＋)(1－)．

解：原式＝1＋2＋2＋3×(1－2)＝2.

18．(6分)如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，BC＝5，D为AC上一点，且BD＝4，CD＝3.

(1)求证：BD⊥AC；

(2)求AB的长．

(1)证明：∵CD＝3，BC＝5，BD＝4，∴CD2＋BD2＝9＋16＝25＝BC2，∴△BCD是直角三角形，且∠BDC＝90°，∴BD⊥AC.

(2)解：设AD＝x，则AC＝x＋3.∵AB＝AC，∴AB＝x＋3.∵∠BDC＝90°，∴∠ADB＝90°，∴AB2＝AD2＋BD2，即(x＋3)2＝x2＋42，解得x＝，∴AB＝＋3＝.

19．(6分)已知x、y、a满足＋＝＋，求长度分别为x、y、a的三条线段组成的三角形的面积．

解：根据二次根式的意义，得解得x＋y＝8，∴＋＝0.根据二次根式的非负性，得解得又∵32＋42＝52，∴以长度分别为x、y、a的三条线段可以组成直角三角形，面积为×3×4＝6.

20．(8分)如图，在离水面高8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17米，此人以1米每秒的速度收绳，7秒后船移动到点D的位置，问船向岸边移动了多少米？(假设绳子是直的，结果保留根号)

解：在Rt△ABC中，∵∠CAB＝90°，BC＝17米，AC＝8米，∴AB＝＝15(米)．∵此人以1米每秒的速度收绳，7秒后船移动到点D的位置，∴CD＝17－ 1×7＝10(米)，∴AD＝＝＝6(米)，∴BD＝AB－AD＝15－6＝9(米)．即船向岸边移动了9米．

21．(8分)如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点D作对角线BD的垂线交BA的延长线于点E.

(1)证明：四边形ACDE是平行四边形；

(2)若AC＝8，BD＝6，求△ADE的周长．

(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AC⊥BD，∴AE∥CD，∠AOB＝90°.∵DE⊥BD，∴∠EDB＝90°，∴∠AOB＝∠EDB，∴DE∥AC，∴四边形ACDE是平行四边形．

(2)解：∵四边形ABCD是菱形，AC＝8，BD＝6，∴AO＝4，DO＝3，AC⊥BD，∴AD＝＝＝5.∵四边形ACDE是平行四边形，∴AE＝CD＝AD＝5，DE＝AC＝8，∴△ADE的周长为AD＋AE＋DE＝5＋5＋8＝18.

22．(8分)计算并观察下列式子，探索它们的规律，并解决问题．

(＋)(－)＝　2　；

(＋)(－)＝　2　；

(＋)(－)＝　2　；

……

(1)试用正整数n表示这个规律，并加以证明；

(2)求＋＋＋…＋的值．

(1)解：(＋)·(－)＝2.证明：(＋)·(－)＝()2－()2＝2n＋1－(2n－1)＝2.

(2)原式＝＋＋＋…＋＝(－1＋－＋－＋…＋－)＝(－1)＝5.

23．(8分)如图，矩形ABCD中，AD＝6，DC＝8，菱形EFGH的三个顶点E、G、H分别在矩形ABCD的边AB、CD、DA上，AH＝2.

(1)已知DG＝6，求AE的长；

(2)已知DG＝2，求证：四边形EFGH为正方形．

(1)解：∵AD＝6，AH＝2，∴DH＝AD－AH＝4.∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠D＝90°，∴HG2＝DH2＋DG2，HE2＝AH2＋AE2.∵四边形EFGH是菱形，∴HG＝HE，∴DH2＋DG2＝AH2＋AE2，即42＋62＝22＋AE2，∴AE＝4.

(2)证明：∵AH＝2，DG＝2，∴AH＝DG.∵四边形EFGH是菱形，∴HG＝HE.在Rt△DHG和Rt△AEH中，∴Rt△DHG≌Rt△AEH(HL)，∴∠DHG＝∠AEH.∵∠AEH＋∠AHE＝90°，∴∠DHG＋∠AHE＝90°，∴∠GHE＝90°.∵四边形EFGH是菱形，∴四边形EFGH是正方形．

24．(10分)在▱ABCD中，连接对角线BD，AB＝BD，E为线段AD上一点，AE＝BE，F为射线BE上一点，DE＝BF，连接AF.

(1)如图1，若∠BED＝60°，CD＝2，求EF的长；

(2)如图2，连接DF并延长交AB于点G，若AF＝2DE，求证：DF＝2GF.

(1)解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD＝2.∵AB＝BD，∴BD＝2.∵EA＝EB，∴∠EAB＝∠EBA.∵∠DEB＝60°，∠DEB＝∠EAB＋∠EBA，∴∠BAD＝∠EBA＝∠ADB＝30°，∴∠EBD＝90°，∴BE＝2，DE＝2BE＝4.∵BF＝DE，∴BF＝4，∴EF＝BF－BE＝4－2＝2.

(2)证明：如图，延长CB交DG的延长线于点H.∵EA＝EB，BA＝BD，∴∠EAB＝∠EBA＝∠ADB.∵BF＝DE，∴△ABF≌△BDE(SAS)，∴BE＝AF.∵AF＝2DE，∴BE＝2DE＝2BF，∴EF＝FB.∵HC∥AD，∴∠HBF＝∠FED，∠BFH＝∠EFD，∴△HBF≌△DEF(ASA)，∴HB＝DE，HF＝DF.∵BF＝DE，∴HB＝BF，∴△BFH是等腰三角形．∵BH∥AD，∴∠HBA＝∠BAD.∵∠DAB＝∠EBA，∴∠HBA＝∠EBA，∴HG＝GF.又∵HF＝DF，∴DF＝2FG.

25．(12分)如图，以△ABC的各边为边长，在边BC的同侧分别作正方形ABDI，正方形BCFE，正方形ACHG，连接AD、DE、EG.

(1)求证：△BDE≌△BAC；

(2)①设∠BAC＝α，请用含α的代数式表示∠EDA、∠DAG；

②求证：四边形ADEG是平行四边形；

(3)当△ABC满足什么条件时，四边形ADEG是正方形？请说明理由．

(1)证明：∵四边形ABDI、四边形BCFE、四边形ACHG都是正方形，∴AC＝AG，AB＝BD，BC＝BE，∠GAC＝∠EBC＝∠DBA＝90°.又∵∠ABC＋∠EBA＝90°，∠EBD＋∠EBA＝90°，∴∠ABC＝∠EBD.在△BDE和△BAC中，∴△BDE≌△BAC(SAS)．

(2)①解：∵△BDE≌△BAC，∠ADB＝45°，∴∠EDA＝α－45°，∠DAG＝360°－45°－90°－α＝225°－α.②证明：∵△BDE≌△BAC，∴DE＝AC＝AG，∠BAC＝∠BDE.∵AD是正方形ABDI的对角线，∴∠BDA＝∠BAD＝45°.∵∠EDA＝∠BDE－∠BDA＝∠BDE－45°，∠DAG＝360°－∠GAC－∠BAC－∠BAD＝360°－90°－∠BAC－45°＝225°－∠BAC，∴∠EDA＋∠DAG＝∠BDE－45°＋225°－∠BAC＝180°，∴DE∥AG，∴四边形ADEG是平行四边形．

(3)解：当∠BAC＝135°且AC＝AB时，四边形ADEG是正方形．理由：由②知，四边形ADEG是平行四边形．由①知，当∠BAC＝135°时，∠DAG＝90°，∴四边形ADEG是矩形．∵四边形ABDI是正方形，∴AD＝AB.又∵四边形ACHG是正方形，∴AG＝AC＝AB，∴AD＝AG，∴四边形ADEG是正方形．即当∠BAC＝135°且AC＝AB时，四边形ADEG是正方形．