人教数学·八年级下册：期末综合检测试卷

期末综合检测试卷

(满分：120分)

一、选择题(每小题3分，共30分)

1．已知x＝＋1，y＝－1，则x2＋xy＋y2的值为(　A　)

A．10　　　B．8　　　C．6　　　D．4

2．已知x、y为正数，且|x2－4|＋(y2－3)2＝0.如果以x、y为直角边的长作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为(　C　)

A．5　　　B．25　　　C．7　　　D．15

3．如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC＝10，BD＝6，AD＝4，则▱ABCD的面积是(　C　)

A．12　　　B．12　　　C．24　　　D．30

4．如图，已知P是正方形ABCD对角线BD上一点，且BP＝BC，则∠ACP的度数是(　B　)

A．45°　　　B．22.5°　　　C．30°　　　D．27.5°

5．如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝2 cm，E、F分别是BC、CD的中点，连接AE、EF、AF，则△AEF的周长为(　B　)

A．2 cm　　　B．3 cm　　　C．4 cm　　　D．3 cm

　6．如图，直线y＝－x＋m与y＝nx＋3n(n≠0)的交点的横坐标为－1，则关于x的不等式－x＋m＞nx＋3n＞0的整数解为(　D　)

A．－1　　　B．－5　　　C．－4　　　D．－2

7．小明调查了班级里20位同学本学期购买课外书的花费情况，并将结果绘制成了如图的统计图．在这20位同学中，本学期购买课外书的花费的众数和中位数分别是(　A　)

A．50,50　　　B．50,30　　　C．80,50　　　D．30,50

8．小兰和小琳约好在公共汽车站一起乘车去博物馆，小兰从家出发步行到车站，等小琳到了以后两人一起乘公共汽车到博物馆．图中的折线表示小兰距离博物馆的路程y(km)与所用时间x(min)之间的函数关系．下列说法错误的是(　D　)

A．小兰从家到公共汽车站步行了1 km

B．小兰在公共汽车站等汽车用了15 min

C．公共汽车的平均速度为30 km/h

D．小兰和小琳乘公共汽车用了55 min

9．四个全等的直角三角形按图示方式围成正方形ABCD，过各较长直角边的中点作垂线，围成面积为S的小正方形EFGH.已知AM为Rt△ABM 较长直角边，AM＝2EF，则正方形ABCD的面积为(　C　)

A．12S　　　B．10S　　　C．9S　　　D．8S

10．如图，直线l：y＝x＋1交y轴于点A1，在x轴正方向上取点B1，使OB1＝OA1.过点B1作A2B1⊥x轴，交l于点A2，在x轴正方向上取点B2，使B1B2＝B1A2；过点B2作A3B2⊥x轴，交l于点A3，在x轴正方向上取点B3，使B2B3＝B2A3；….记△OA1B1的面积为S1，△B1A2B2的面积为S2，△B2A3B3的面积为S3，…，则S2020等于(　D　)

A．24034　　　B．24035　　　C．24036　　　D．24037

二、填空题(每小题3分，共18分)

11．一次函数y＝－kx＋6的图象经过第一、二、四象限，则k的取值范围为　k>0　.

12．一组数据3,4,6,8，x的中位数是x，且x是满足不等式组的整数，则这组数据的平均数是　5　.

13．一食堂需要购买盒子存放食物，盒子有A、B两种型号，单个盒子的容量和价格如表．现有15升食物需要存放且要求每个盒子要装满，由于A型号盒子正做促销活动：购买三个及三个以上可一次性返还现金4元，则一次性购买盒子所需要的最少费用为　29　元.

14.如图是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM＝4米，AB＝8米，∠MAD＝45°，∠MBC＝30°，则警示牌的高CD为　2.9　米. (结果精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73)

15．如图，在矩形ABCD中，M、N分别是边AD、BC的中点，E、F分别是边BM、CM的中点．当AB∶AD＝　1∶2　时，四边形MENF是正方形．

16．如图，分别以Rt△ABC的斜边AB、直角边AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，F为AB的中点，DE与AB交于点G，EF与AC交于点H，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°.给出如下结论：①EF⊥AC；②四边形ADFE为菱形；③AD＝4AG；④FH＝BD.其中正确的结论为　①③④　.(请将所有正确结论的序号都填上)

三、解答题(共72分)

17．(6分)计算：

(1)(－)×＋|－2|－－1；

解：原式＝－＋2－－2＝－2－＝－3.

(2)(7＋4)(7－4)－(3－1)2.

解：原式＝72－(4)2－(45－2×3＋1)＝1－45＋6－1＝6－45.

18．(6分)某市江边的景观区内有一块四边形空地，如图所示．景区管理人员想在这块空地上铺满观赏草坪，需要测量其面积，经技术人员测量，∠ABC＝90°，AB＝20米，BC＝15米，CD＝7米，AD＝24米．

(1)请你帮助管理人员计算出这个四边形对角线AC的长度；

(2)请你用学过的知识帮助管理员计算出这块空地的面积．

解：(1)连接AC.在Rt△ABC中，∵∠ABC＝90°，AB＝20，BC＝15，∴AC＝＝＝25(米)．故四边形对角线AC的长度为25米．

(2)在△ADC中，∵CD＝7，AD＝24，AC＝25，∴AD2＋CD2＝242＋72＝625＝252＝AC2，∴△ADC为直角三角形，且∠ADC＝90°，∴S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ADC＝×15×20＋×7×24＝234(平方米)，∴这块空地的面积为234平方米．

19．(6分)如图，在△ABC中，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交CE的延长线于点F，连接BF.

(1)判断并证明四边形AFBD的形状；

(2)当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？证明你的结论．

解：(1)四边形AFBD是平行四边形．理由：∵点E是AD的中点，∴AE＝DE.又∵AF∥BD，∴∠FAE＝∠CDE.又∵∠FEA＝∠CED，∴△AFE≌△DCE(ASA)，∴AF＝CD.又∵D是BC的中点，∴BD＝CD，∴AF＝BD.∵AF∥BD，∴四边形AFBD是平行四边形．

(2)当AB＝AC时，四边形AFBD是矩形．理由如下：∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°.∵四边形AFBD为平行四边形，∴四边形AFBD为矩形．

20．(8分)某校在学习贯彻十九大精神“我学习，我践行”的活动中，计划组织全校1300名师生到林业部门规划的林区植树，经研究，决定租用当地租车公司提供的A、B两种型号客车共50辆作为交通工具．下表是租车公司提供给学校有关两种型号客车的载客量与租金信息.

注：载客量指的是每辆客车最多可载该校师生的人数．

(1)设租用A型号客车x辆，租车总费用为y元，求y与x的函数解析式，并直接写出x的取值范围；

(2)若要使租车总费用不超过13 980元，一共有几种租车方案？哪种租车方案最省钱？

解：(1)根据题意，得y＝300x＋240(50－x)＝60x＋12 000.∵30x＋20(50－x)≥1300，∴x≥30，∴y与x的函数解析式为y＝60x＋12 000(x≥30，x为整数)．

(2)根据题意，得60x＋12 000≤13 980，解得x≤33.又∵x≥30，∴30≤x≤33，即共有4种租车方案．方案1：租A型号客车30辆，B型号客车20辆；方案2：租A型号客车31辆，B型号客车19辆；方案3：租A型号客车32辆，B型号客车18辆；方案4：租A型号客车33辆，B型号客车17辆．∵60＞0，∴y随x的增大而增大，∴租车方案1最省钱．

21．(8分)像(＋2)(－2)＝1、·＝a(a≥0)、(＋1)(－1)＝b－1(b≥0)……这样的两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如：与，＋1与－1,2＋3与2－3等都是互为有理化因式．进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．请完成下列问题：

(1)化简：；

(2)计算：＋；

(3)比较－与－的大小，并说明理由．

解：(1)＝＝.

(2)＋＝＋＝2＋＋＋＝2＋2＋.

(3)－<－.理由：∵－＝，－＝，＋>＋，∴<，∴－<－.

22．(8分)如图，直线l1的解析式为y＝2x－2，且直线l1与x轴交于点D，直线l2与y轴交于点A，且经过点B(3,1)，直线l1、l2交于点C(2，m)．

(1)求直线l2的解析式；

(2)根据图象，求四边形OACD的面积．

解：(1)∵点D是直线l1：y＝2x－2与x轴的交点，∴令y＝0，即0＝2x－2，解得x＝1，∴D(1,0)．将点C(2，m)代入直线l1：y＝2x－2，得m＝2×2－2＝2，∴C(2,2)．设直线l2的解析式为y＝kx＋b.∵点C(2,2)、B(3,1)在直线l2上，∴解得∴直线l2的解析式为y＝－x＋4.　

(2)过点C作x轴的平行线交y轴于点G.∵点A是直线l2与y轴的交点，∴令x＝0，∴y＝4，∴A(0,4)．∵C(2,2)，∴AG＝2，CG＝2，GO＝2，∴S四边形OACD＝S梯形ODCG＋S△AGC＝×(1＋2)×2＋×2×2＝5.

23．(8分)某中学举行“中国梦——校园好声音”歌手大赛，初、高中部根据初赛成绩，各选出5名选手组成初中代表队和高中代表队参加学校决赛，两个队各选出的5名选手的决赛成绩如图所示．

(1)根据图示将表格补充完整；

(2)结合两队决赛成绩的平均数和中位数进行分析，哪个队的决赛成绩较好？

(3)计算两队决赛成绩的方差，并判断哪一个代表队选手成绩较为稳定．

(2)解：∵两队成绩的平均数相同，初中代表队的中位数较大，∴在平均数相同的情况下，中位数较大的初中代表队的决赛成绩较好．　

(3)解：s＝[(75－85)2＋(80－85)2＋(85－85)2＋(85－85)2＋(100－85)2]＝70，s＝[(70－85)2＋(100－85)2＋(100－85)2＋(75－85)2＋(80－85)2]＝160.∵s＜s，∴初中代表队选手成绩较为稳定．

24．(10分)如图，在平面直角坐标系中，直线y＝－x＋b分别与x轴、y轴交于点A、B，且点A的坐标为(8,0)，四边形ABCD是正方形．

(1)b＝　6　；

(2)求点D的坐标；

(3)点M是线段AB上的一个动点(点A、B除外)，试探索在x轴上方是否存在另一个点N，使得以O、B、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

(2)解：如图1，过点D作DE⊥x轴于点E，则∠AOB＝∠DEA＝90°.∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝DA，∠BAD＝90°，∴∠1＋∠2＝90°.∵∠2＋∠3＝90°，∴∠1＝∠3.在△AOB和△DEA中，∵∴△AOB≌△DEA(AAS)，∴OA＝DE＝8，OB＝AE＝6，∴OE＝OA＋AE＝8＋6＝14，∴点D的坐标为(14,8)．

(3)解：存在．①如图2，当OM＝MB＝BN＝NO时，四边形OMBN为菱形．连接NM，交OB于点P，则NM与OB互相垂直平分，∴OP＝OB＝3.当y＝3时，－x＋6＝3，解得x＝4.∴点M的坐标为(4,3)，∴点N的坐标为(－4,3)．②如图3，当OB＝BN＝NM＝MO＝6时，四边形BOMN为菱形．延长NM交x轴于点P，则MP⊥x轴．∵点M在直线y＝－x＋6上，∴设点M的坐标为(0<a<8)．在Rt△OPM中，OP2＋PM2＝OM2，即a2＋2＝62.整理得a2－9a＝0.∵0<a<8，∴a－9＝0，解得a＝.∴点M的坐标为，∴点N的坐标为.综上所述，满足条件的x轴上方的点N有两个，分别为(－4,3)和.

图1                          图2                         图3

25．(12分)已知四边形ABCD是正方形，点P在直线BC上，点G在直线AD上(点P、G都不与正方形的顶点重合，且在CD的同侧)，PD＝PG，DF⊥PG于点H，交直线AB于点F.将线段PG绕点P逆时针旋转90°得到线段PE，连接EF.

(1)如图1，当点P与点G分别在线段BC与线段AD上时．

①求证：DG＝2PC；

②求证：四边形PEFD是菱形；

(2)如图2，当点P与点G分别在线段BC与线段AD的延长线上时，请猜想四边形PEFD是怎样的特殊四边形，并证明你的猜想．

(1)证明：①作PM⊥DG于点M.∵PD＝PG，∴MG＝MD.∵四边形ABCD为正方形，∴四边形PCDM为矩形，∴PC＝MD，∴DG＝2PC.　②∵四边形ABCD为正方形，∴AD＝AB.∵四边形ABPM为矩形，∴AB＝PM，∴AD＝PM.∵DF⊥PG，∴∠DHG＝90°，∴∠GDH＋∠DGH＝90°.∵∠MGP＋∠MPG＝90°，∴∠GDH＝∠MPG.在△ADF和△MPG中，∵∴△ADF≌△MPG(ASA)，∴DF＝PG.∵PD＝PG，∴DF＝PD.∵线段PG绕点P逆时针旋转90°得到线段PE，∴∠EPG＝90°，PE＝PG，∴PE＝PD＝DF.∵DF⊥PG，∴DF∥PE，∴四边形PEFD为平行四边形．又∵DF＝PD，∴四边形PEFD为菱形．

(2)解：四边形PEFD是菱形．证明：作PM⊥DG于点M.易得△ADF≌△MPG，∴DF＝PG.∵PD＝PG，∴DF＝PD.∵线段PG绕点P逆时针旋转90°得到线段PE，∴∠EPG＝90°，PE＝PG，∴PE＝PD＝DF.又∵DF⊥PG，∴DF∥PE.