人教数学·九年级上册：期末综合检测试卷

期末综合检测试卷

(满分：120分)

一、选择题(每小题3分，共30分)

1．用配方法解一元二次方程x2－4x＋3＝0时可配方得(　B　)

A．(x－2)2＝7　 B．(x－2)2＝1

C．(x＋2)2＝1　 D．(x＋2)2＝2

2．以下说法合理的是(　D　)

A．小明做了3次掷图钉的试验，发现2次钉尖朝上，由此他说钉尖朝上的概率是

B．某彩票的中奖概率是5%，那么买100张彩票一定有5张中奖

C．某运动员射击一次只有两种可能的结果：中靶与不中靶，所以他击中靶的概率是

D．下表记录了一名球员在罚球线上罚篮的结果：

由此频率表可知，这名球员投篮一次，投中的概率约是0.6

3．已知圆的半径为3，扇形的圆心角为120°，则扇形的面积为(　C　)

A．π　 B．2π　

C．3π　 D．4π

4．将抛物线y＝4x2先向右平移3个单位，再向下平移5个单位，得到的抛物线解析式为(　D　)

A．y＝4(x＋3)2＋5　 B．y＝4(x＋3)2－5

C．y＝4(x－3)2＋5　 D．y＝4(x－3)2－5

5．要组织一次篮球比赛，赛制为主客场形式(每两队之间都需在主客场各赛一场)，计划安排30场比赛，设邀请x支球队参加比赛，根据题意可列方程为(　A　)

A．x(x－1)＝30　 B．x(x＋1)＝30

C．＝30　 D．＝30

6．如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O外一点，CA、CD是⊙O的切线，A、D为切点，连接BD、AD．若∠ACD＝30°，则∠DBA的大小是(　D　)

A．15°　 B．30°　

C．60°　 D．75°

7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，BC＝2.将△ABC绕点C顺时针旋转得到△A′B′C，连接AB′.若点A、B′、A′在同一条直线上，则AA′的长为(　A　)

A．6　 B．4　

C．3　 D．3

8．正六边形ABCDEF内接于⊙O，正六边形的周长是12，则⊙O的半径是(　B　)

A．　 B．2　

C．2　 D．2

9．如图所示是一个抛物线形桥拱的示意图，在所给出的平面直角坐标系中，当水位在AB位置时，水面宽度为10 m，此时水面到桥拱的距离是4 m，则抛物线的函数关系式为(　C　)

A．y＝x2　 B．y＝－x2

C．y＝－x2　 D．y＝x2

10．如图，在边长为4的正方形 ABCD中，动点 P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿 AB向点B运动，同时动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿 B→ C→ D方向运动，当点P运动到点B时，P、Q两点同时停止运动．设点P运动的时间为 t秒，△APQ的面积为S，则表示S与 t之间的函数关系图象大致是(　A　)

二、填空题(每小题3分，共18分)

11．已知△ABC的三边长a＝3，b＝4，c＝5，则它的内切圆半径是__1__.

12．已知关于x的一元二次方程x2＋mx＋n＝0的两个实数根分别为x1＝－2，x2＝4，则m＋n＝__－10__.

13．已知关于x的一元二次方程x2＋x－1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是__k≥1__.

14．如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，EC与⊙O相切于点C，∠ECB＝35°，则∠D的度数是__125°__.

15．等腰三角形ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知点A(－6,0)，点B在原点，CA＝CB＝5，把等腰三角形ABC沿x轴正半轴作无滑动顺时针翻转，第一次翻转到位置①，第二次翻转到位置②……依此规律，第15次翻转后点C的横坐标是__77__.

16．如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A(－3,0)，对称轴为直线x＝－1，给出以下结论：①abc＜0 ；②b2－4ac＞0；③4b＋c＜0 ；④若B、C为函数图象上的两点，则y1＞y2 ；⑤当－3≤x≤1时，y≥0.其中，正确的结论是__②③⑤__.(填序号)

三、解答题(共72分)

17．(6分)解方程：

(1)x2－8x－1＝0；

解：x1＝4＋，x2＝4－.

(2)(x－2)2－6(x－2)＋8＝0.

解：x1＝4，x2＝6.

18．(6分)已知关于x的二次函数的图象的顶点坐标为(－1,2)，且图象过点(1，－3)．

(1)求这个二次函数的解析式；

(2)写出它的开口方向、对称轴．

解：(1)设函数解析式为y＝a(x＋1)2＋2.把点(1，－3)代入解析式，得4a＋2＝－3，解得a＝－，所以这个二次函数的解析式为y＝－(x＋1)2＋2.

(2)由函数解析式，得抛物线的开口向下，对称轴为直线x＝－1.

19．(7分)如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(3,3)，点B(4,0)，点C(0，－1)．以点C为中心，将△ABC逆时针旋转90°.

(1)画出旋转后的图形，并写出点B′的坐标；

(2)求点A经过的路径的长(结果保留π)．

解：(1)如图所示，△A′B′C即为所求，B′(－1,3)．

(2)∵AC＝＝5，∠ACA′＝90°，∴点A经过的路径的长为＝.

20．(7分)用4张相同的小纸条做成甲、乙、丙、丁4支签，放在一个盒子中，搅匀后先从盒子中任意抽出1支签(不放回)，再从剩余的3支签中任意抽出1支签．

(1)用树状图或列表等方法列出所有可能出现的结果；

(2)求抽出的两支签中，1支为甲签、1支为丁签的概率．

解：(1)画树状图表示所有可能出现的结果如下：

(2)所有等可能的情况有12种，其中1支为甲签、1支为丁签的情况有2种，故P(1支为甲签、1支为丁签)＝＝.

21．(8分)已知关于x的一元二次方程x2－(2m＋3)x＋m2＋2＝0.

(1)若方程有实数根，求实数m的取值范围；

(2)若方程两实数根分别为x1、x2，且满足x＋x＝31＋|x1x2|，求实数m的值．

解：(1)∵关于x的一元二次方程x2－(2m＋3)x＋m2＋2＝0有实数根，∴Δ≥0，即(2m＋3)2－4(m2＋2)≥0，∴m≥－.

(2)由根与系数的关系，得x1＋x2＝2m＋3，x1x2＝m2＋2.∵x＋x＝31＋|x1x2|，∴(x1＋x2)2－2x1x2＝31＋|x1x2|，即(2m＋3)2－2(m2＋2)＝31＋m2＋2，解得m1＝2，m2＝－14(舍去)，∴m＝2.

22．(8分)如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D是的中点，DE⊥AC于点E，DF⊥AB于点F.

(1)判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；

(2)若OF＝4，求AC的长度．

解：(1)DE与⊙O相切．证明：如图，连接OD、AD．∵D是的中点，∴＝，∴∠DAO＝∠DAC．∵OA＝OD，∴∠DAO＝∠ODA，∴∠DAC＝∠ODA，∴OD∥AE.∵DE⊥AC，∴DE⊥OD．∵OD是⊙O的半径，∴DE与⊙O相切．

(2)如图，连接BC交OD于点H，延长DF交⊙O于点G.由垂径定理可得OH⊥BC，＝＝，∴＝，∴DG＝BC，∴弦心距OH＝OF＝4.∵AB是直径，∴BC⊥AC．∵OH⊥BC，∴OH∥AC．∵O是AB的中点，∴OH是△ABC的中位线，∴AC＝2OH＝8.

23．(8分)某广告公司设计一幅周长为16米的矩形广告牌，广告设计费为每平方米2000元．设矩形一边长为x米，面积为S平方米．

(1)求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

(2)设计费能达到24 000元吗？为什么？

(3)当x是多少时，设计费最多？最多是多少元？

解：(1)∵矩形的一边长为x米，周长为16米，∴另一边长为(8－x)米，∴S＝x(8－x)＝－x2＋8x，其中0＜x＜8.

(2)能，理由：当设计费为24 000元时，面积为24 000÷2000＝12(平方米)，即－x2＋8x＝12，解得x1＝2或x2＝6，∴设计费能达到24 000元．

(3)∵S＝－x2＋8x＝－(x－4)2＋16，∴当x＝4时，矩形的最大面积为16平方米，设计费最多，最多是16×2000＝32 000(元)．

24．(10分)在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°.将线段CA绕着点C逆时针旋转得到线段CD，旋转角为α，且0°＜α＜360°，连接AD、BD．

(1)如图1，当α＝60°时，求∠CBD的度数；

(2)如图2，当α＝20°时，∠CBD的度数．(提示：可以作点D关于直线BC的对称点)

图1

解：(1)∵∠BAC＝100°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝40°，当α＝60°时，由旋转的性质得AC＝CD，∴△ACD是等边三角形，∴∠DAC＝60°，∴∠BAD＝∠BAC－∠DAC＝100°－60°＝40°.∵AB＝AC，AD＝AC，∴AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB＝(180°－∠BAD)＝70°，∴∠CBD＝∠ABD－∠ABC＝70°－40°＝30°.

(2)如图，作点D关于BC的对称点M，连接AM、BM、CM.则△CBD≌△CBM，∴∠BCM＝∠BCD＝∠ACD＝20°，CD＝CA＝CM，∴∠ACM＝60°，∴△ACM是等边三角形，∴AM＝AC＝AB，∠MAC＝60°，∴∠BAM＝40°.∵∠CAD＝∠CDA＝(180°－20°)＝80°，∴∠BAD＝∠MAD＝20°.∵AD＝AD，∴△DAB≌△DAM，∴BD＝DM.∵BD＝BM，∴BD＝DM＝BM，∴∠DBM＝60°，∴∠DBC＝∠CBM＝30°.

图2

25．(12分)若两条抛物线的顶点相同，则称它们为“友好抛物线”，抛物线C1：y1＝－2x2＋4x＋2与C2：y2＝－x2＋mx＋n为“友好抛物线”．

(1)求抛物线C2的解析式；

(2)点A是抛物线C2上在第一象限的动点，过A作AQ⊥x轴，Q为垂足，求AQ＋OQ的最大值；

(3)设抛物线C2的顶点为C，点B的坐标为(－1,4)，问在C2的对称轴上是否存在点M，使线段MB绕点M逆时针旋转90°得到线段MB′，且点B′恰好落在抛物线C2上？若存在求出点M的坐标，不存在说明理由．

解：(1)∵y1＝－2x2＋4x＋2＝－2(x－1)2＋4，∴抛物线C1的顶点坐标为(1,4)．∵抛物线C1与C2顶点相同，∴＝1，－1＋m＋n＝4.解得m＝2，n＝3.∴抛物线C2的解析式为y2＝－x2＋2x＋3.

(2)如图1所示，设点A的坐标为(a，－a2＋2a＋3)．∵AQ＝－a2＋2a＋3，OQ＝a，∴AQ＋OQ＝－a2＋2a＋3＋a＝－a2＋3a＋3＝－2＋，∴当a＝时，AQ＋OQ有最大值，最大值为.

(3)如图2所示，连接BC，过点B′作B′D⊥CM，垂足为点D．∵B(－1,4)，C(1,4)，抛物线的对称轴为直线x＝1，∴BC⊥CM，BC＝2.∵∠BMB′＝90°，∴∠BMC＋∠B′MD＝90°.∵B′D⊥MC，∴∠MB′D＋∠B′MD＝90°，∴∠MB′D＝∠BMC．在△BCM和△MDB′中，∴△BCM≌△MDB′，∴BC＝MD，CM＝B′D．设点M的坐标为(1，a)，则B′D＝CM＝4－a，MD＝CB＝2，∴点B′的坐标为(a－3，a－2)，∴－(a－3)2＋2(a－3)＋3＝a－2.整理，得a2－7a＋10＝0.解得a＝2或5.当a＝2时，点M的坐标为(1,2)；当a＝5时，点M的坐标为(1,5)．综上所述，当点M的坐标为(1,2)或(1,5)时，点B′恰好落在抛物线C2上．

图1　                              图2