2020--2021年中考数学一轮突破 基础过关 第9讲分式方程

这是一份2020--2021年中考数学一轮突破 基础过关 第9讲分式方程，共12页。试卷主要包含了定义，分式方程的解法，列分式方程解应用题等内容，欢迎下载使用。

一、定义
分式方程：________中含有未知数的方程叫做分式方程．
二、分式方程的解法
1. 解分式方程的基本思路：把分式方程转化为________方程．
2. 具体步骤和方法
(1)去分母：方程两边同时乘以____________，将分式方程化为整式方程．
(2)按解整式方程的步骤求出未知数的值．
(3)验根：求出未知数的值后必须验根，因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根．验根时把整式方程的根代入____________，如果最简公分母等于0，这个根就是增根，否则这个根就是原分式方程的根．若解出的根是增根，则原分式方程无解．
三、列分式方程解应用题
在列分式方程解应用题时，不仅要检验所得的解是否满足方程式，还要检验是否符合题意．
eq \a\vs4\al(),
解分式方程
(2018·北部湾经济区，第20小题，6分)
解分式方程：eq \f(x,x－1)－1＝eq \f(2x,3x－3).
【思路点拨】将分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，检验x是否为分式方程的解．
[2019·梧州，第21小题，6分]
解分式方程：eq \f(x2＋2,x－2)＋1＝eq \f(6,x－2).
eq \a\vs4\al(),
分式方程的实际应用
(2020·贵港，第23小题，8分)
在今年新冠肺炎防疫工作中，某公司购买了A、B两种不同类型的口罩，已知A型口罩的单价比B型口罩的单价多1.5元，且用8 000元购买A型口罩的数量与用5 000元购买B型口罩的数量相同．
(1)A、B两种型号口罩的单价各是多少个？
(2)根据疫情发展情况，该公司还需要增加购买一些口罩，增加购买B型口罩数量是A型口罩数量的2倍，若总费用不超过3 800元，则增加购买A型口罩的数量最多是多少个？
【思路点拨】设B型口罩的单价是x元，则A型口罩的单价是(x＋1.5)元，根据“用8 000元购买A型口罩的数量与用5 000元购买B型口罩的数量相同”，可以找到等量关系．
(2018·百色，第24小题，10分)
班级组织同学乘大巴车前往“研学旅行”基地开展爱国教育活动，基地离学校有90公里，队伍8：00从学校出发．苏老师因有事情，8：30从学校自驾小车以大巴1.5倍的速度追赶，追上大巴后继续前行，结果比队伍提前15分钟到达基地．问：
(1)大巴与小车的平均速度各是多少？
(2)苏老师追上大巴的地点到基地的路程有多远？
(2020·玉林，第24小题，8分)
南宁至玉林高速铁路已于去年开工建设，玉林良睦隧道是全线控制性工程，首期打通共有土石方总量600千立方米，设计划平均每天挖掘土石方x千立方米，总需用时间y天，且完成首期工程限定时间不超过600天．
(1)求y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围；
(2)由于工程进度的需要，实际平均每天挖掘土石方比原计划多0.2千立方米，工期比原计划提前了100天完成，求实际挖掘了多少天才能完成首期工程？
(2016·桂林，第24小题，8分)
五月初，我市多地遭遇了持续强降雨的恶劣天气，造成部分地区出现严重洪涝灾害．某爱心组织紧急筹集了部分资金，计划购买甲、乙两种救灾物品共2 000件送往灾区．已知每件甲种物品的价格比每件乙种物品的价格贵10元，用350元购买甲种物品的件数恰好与用300元购买乙种物品的件数相同．
(1)求甲、乙两种救灾物品每件的价格各多少元？
(2)经调查，灾区对乙种物品件数的需求量是甲种物品件数的3倍，若爱心组织按照此需求量的比例购买这2 000件物品，需筹集资金多少元？
1. 下面是四位同学解方程eq \f(2,x－1)＋eq \f(x,1－x)＝1的过程中去分母的一步，其中正确的是( )
A．2＋x＝x－1 B．2－x＝1
C．2＋x＝1－x D．2－x＝x－1
2. 分式方程eq \f(x－3,x－2)＋1＝eq \f(3,2－x)的解是( )
A．2 B．1
C．－1 D．－2
3. 对于非零的两个实数a，b，规定a⊕b＝eq \f(1,b)－eq \f(1,a)，若2⊕(2x－1)＝1，则x的值为( )
A.eq \f(5,6) B.eq \f(5,4) C.eq \f(3,2) D．－eq \f(1,6)
4. (2020·柳州) 甲、乙两人做某种机械零件，已知每小时甲比乙多做6个，甲做90个所用的时间和乙做60个所用的时间相等，设乙每小时做x个零件，以下所列方程正确的是( )
A.eq \f(90,x－6)＝eq \f(60,x) B. eq \f(90,x)＝eq \f(60,x＋6)
C.eq \f(90,x＋6)＝eq \f(60,x) D.eq \f(90,x)＝eq \f(60,x－6)
5. (2020·北部湾经济区) 甲、乙两地相距600 km，提速前动车的速度为v km/h，提速后动车的速度是提速前的1.2倍，提速后行车时间比提速前减少20 min，则可列方程为( )
A.eq \f(600,v)－eq \f(1,3)＝eq \f(600,1.2v) B.eq \f(600,v)＝eq \f(600,1.2v)－eq \f(1,3)
C.eq \f(600,v)－20＝eq \f(600,1.2v) D.eq \f(600,v)＝eq \f(600,1.2v)－20
6. (2020·南京)方程eq \f(x,x－1)＝eq \f(x－1,x＋2)的解是__________．
7. 当x＝________时，eq \f(1,x－2)＝1.
8. 已知x＝1是分式方程eq \f(1,x＋1)＝eq \f(3k,x)的根，则实数k＝________.
9. 关于x的分式方程eq \f(m,x－1)＋eq \f(3,1－x)＝1无解，则m的值是________．
10. 关于x的分式方程eq \f(m,x＋1)＝－1的解是负数，则m的取值范围是__________．
11. 某市今年起调整居民用水价格，每立方米水费上涨20%，小方家去年12月份的水费是26元，而今年5月份的水费是50元．已知小方家今年5月份的用水量比去年12月份多8立方米，设去年居民用水价格为x元/立方米，则所列方程为____________．
12. 解方程：eq \f(5x－4,x－3)＋eq \f(1,3)＝eq \f(6x＋5,3x－9).
13. (2020·常州)解方程：eq \f(x,x－1)＋eq \f(2,1－x)＝2.
14. (2019·济南)为提高学生的阅读兴趣，某学校建立了共享书架，并购买了一批书籍．其中购买A种图书花费了3 000元，购买B种图书花费了1 600元，A种图书的单价是B种图书的1.5倍，购买A种图书的数量比B种图书多20本．
(1)求A和B两种图书的单价；
(2)书店在“世界读书日”进行打折促销活动，所有图书都按8折销售．学校当天购买了A种图书20本和B种图书25本，共花费多少元？
15. 某商店经销一种商品，4月份的营业额为2 000元，为扩大销售量，5月份该商品打九折销售，结果销售量增加20件，营业额增加700元．
(1)求该商品4月份的销售价格；
(2)若4月份销售这种商品获利800元，5月份销售这种商品获利多少元？
第9讲 分式方程
【基础梳理】
一、分母 二、1.整式 2.(1)最简公分母 (3)最简公分母
【重点突破】
[例1]解：方程左右两边同乘3(x－1)，得3x－3(x－1)＝2x.
去括号，得3x－3x＋3＝2x.
移项，合并同类项，得2x＝3.系数化为1，得x＝eq \f(3,2).
检验：当x＝eq \f(3,2)时，3(x-1)≠0.
所以原分式方程的解为x= eq \f(3,2).
[变式1]解：去分母得：x2＋2＋x－2＝6.
解得x1＝－3，x2＝2.
检验：当x＝－3时，x－2≠0；当x＝2时，x－2＝0.
所以原分式方程的解为x＝－3.
[例2]解：(1)设B型口罩的单价是x元，则A型口罩的单价是(x＋1.5)元，根据题意，得
eq \f(8 000,x＋1.5)＝eq \f(5 000,x)，解得 x＝2.5.
经检验，x＝2.5是原分式方程的根，且符合题意．
∴x＋1.5＝4.
答：A型口罩的单价是4元，B型口罩的单价是2.5元．
(2)设增加购买A型口罩m个，根据题意，得
4m＋2.5×2m≤3 800.解得 m≤422eq \f(2,9).
∵m是正整数，∴m的最大值是422.
答：增加购买A型口罩的数量最多是422个．
[变式2]解：(1)设大巴的平均速度为x公里/小时，则小车的平均速度为1.5x公里/小时．
依题意，得：eq \f(90,x)＝eq \f(90,1.5x)＋eq \f(1,2)＋eq \f(1,4)，解得：x＝40.
经检验：x＝40是原方程的解．
∴1.5x＝60.
答：大巴的平均速度为40公里/小时，小车的平均速度为60公里/小时．
(2)法一：设苏老师赶上大巴的地点到基地的路程有y公里．
根据题意，得：eq \f(1,2)＋eq \f(90－y,60)＝eq \f(90－y,40)，解得：y＝30.
法二：设苏老师在出发t小时后追上大巴．
则：60t＝40(t＋eq \f(1,2))，解得t＝1，∴60t＝60.
90－60＝30.
答：苏老师追上大巴的地点到基地的路程有30公里．
[变式3]解：(1)根据题意，得y＝eq \f(600,x)，
∵y≤600，∴eq \f(600,x)≤600.∴x≥1.∴y＝eq \f(600,x)(x≥1)．
(2)根据题意，得eq \f(600,x)－eq \f(600,x＋0.2)＝100，
化简得 5x2＋x－6＝0，解得x1 ＝－1.2(舍去)，x2 ＝1，
经检验，x2＝1是分式方程的解，且符合题意，
∴x＋0.2＝1.2.
即实际每天挖掘1.2千立方米，
挖掘天数为 600÷1.2＝500(天)．
答：实际挖掘了500天才能完成首期工程．
[变式4]解：(1)设乙种物品价格为x元，则甲种物品价格为(x＋10)元，由题意得：eq \f(350,x＋10)＝eq \f(300,x)，解得：x＝60.
经检验：x＝60是原分式方程的解，则x＋10＝70.
答：甲种物品价格为70元、乙种物品价格为60元．
(2)设购买甲种物品m件，则购买乙种物品3m件，由题意得：m＋3m＝2 000.
解得：m＝500，则3m＝1 500.
需筹集资金共70×500＋60×1 500＝125 000(元)．
答：需筹集资金125 000元．
【达标检测】
1．D 2.B 3.A 4.C 5.A 6.x＝eq \f(1,4) 7. 3 8.eq \f(1,6)
9．3 10.m>－1且m≠0 11.eq \f(50,（1＋20%）x)－eq \f(26,x)＝8
12．解：原分式方程化为eq \f(5x－4,x－3)＋eq \f(1,3)＝eq \f(6x＋5,3（x－3）)，去分母，得3(5x－4)＋(x－3)＝6x＋5，去括号，得15x－12＋x－3＝6x＋5，移项，得15x＋x－6x＝12＋3＋5，合并同类项，得10x＝20，系数化为1，得x＝2.检验：当x＝2时，3(x－3)≠0，所以原分式方程的解为x＝2.
13．解：方程两边都乘以(x－1)，得x－2＝2(x－1)，
解得x＝0.
检验：当x＝0时，x－1≠0.
所以，原分式方程的解为x＝0.
14．解：(1)设B种图书的单价为x元，则A种图书的单价为1.5x元．依题意，得：eq \f(3000,1.5x)－eq \f(1600,x)＝20.解得：x＝20.
经检验，x＝20是所列分式方程的解．
∴1.5x＝30.
答：A种图书的单价为30元，B种图书的单价为20元．
(2)30×0.8×20＋20×0.8×25＝880(元)．
答：共花费880元．
15．解：(1)设该种商品4月份的销售价格为x元，
根据题意得：eq \f(2 000,x)＝eq \f(2 000＋700,0.9x)－20，解得x＝50.
经检验，x＝50是原分式方程的解．
答：该种商品4月份的销售价格是50元．
(2)由(1)知4月份销售件数为eq \f(2 000,50)＝40(件)，
∴4月份每件盈利eq \f(800,40)＝20(元)．
5月份销售件数为40＋20＝60(件)，且每件售价为50×0.9＝45(元)，每件比4月份少盈利5元，为15元，所以5月份销售这种商品获利60×15＝900(元)．
课标要求
(1)能根据具体问题中的数量关系列出方程，体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型．
(2)能解可化为一元一次方程的分式方程．
(3)能根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理.
考情分析
该内容主要是以选择题、填空题、解答题的形式来考查，解答题居多，分值为3～8分．主要考点为解分式方程，列分式方程解应用题．预测2021年中考以上考点依然会出现，建议掌握解法，熟练运用，并加以练习巩固.
小结
解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定要注意验根.
小结
列分式方程解应用题的步骤：
(1)分析题意；(2)设未知数；(3)找相等关系并列方程；(4)解方程；(5)检验；(6)答．其中找到合适的等量关系是解决问题的关键.