2020--2021年中考数学一轮突破 基础过关 第5讲因式分解

第5讲　因式分解

一、定义

1. 因式分解：把一个多项式化为几个________的________的形式，叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．

2. 公因式：一个多项式每一项都含有的________的因式叫做这个多项式的公因式．

确定公因式的方法：公因式的系数应取各项系数的________公因数；字母取各项的________字母，而且各字母的指数取次数最________的．

二、分解因式的方法

1. 提公因式法：一般地，如果多项式的各项有________，可以把这个________提到括号外面，将多项式写成因式______________________的形式，这种分解因式的方法叫________法，即ma＋mb＋mc＝____________.

2. 运用公式法：如果把乘法公式反过来，就可以用它来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做________法．

(1)运用平方差公式：a2－b2＝____________.

两项式能用平方差公式分解因式具备的特征：

①系数能平方；(系数是完全平方数)

②字母指数要成双；(指数是偶数)

③两项符号相反．(两项一正一负)

(2)运用完全平方公式：a2±2ab＋b2＝________.

多项式能用完全平方公式分解因式具备的特征：

①它是一个三项式；

②其中有两项是某两数的平方和；

③第三项是这两数积的二倍．

三、注意

1. 因式分解和整式乘法是整式恒等变形的正、逆过程，整式乘法的结果是整式，因式分解的结果是乘积式．

2. 提出多项式的公因式以后，另一个因式的确定方法是：用原来的多项式除以公因式所得的商就是另一个因式．

3. 如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“－”号，使括号内的第一项的系数是正的，在提出“－”号时，多项式的各项都要变号．

4. 用平方差公式分解因式的关键：把每一项写成平方的形式，并能正确地判断出a，b分别等于什么．

5. 因式分解要进行到每个多项式因式都不能再分解为止．结果中若有相同的因式，应写成幂的形式.

因式分解

1．直接提取公因式

(2020·贺州，第7小题，3分)

多项式2a2b3＋8a4b2因式分解为(　　)

A．a2b2(2b＋8a2)  B．2ab2(ab＋4a3)

C．2a2b2(b＋4a2)  D．2a2b(b2＋4a2b)

【思路点拨】用提公因式法分解因式.

(2017·桂林，第13小题，3分)

分解因式：x2－x＝________．

2．利用公式分解因式

(2019·贺州，第8小题，3分)把多项式4a2－1分解因式，结果正确的是(　　)

A．(4a＋1)(4a－1) 

B．(2a＋1)(2a－1)

C．(2a－1)2 

D．(2a＋1)2

【思路点拨】用平方差公式分解因式.

(2020·柳州，第11小题，3分)

下列多项式中，能用平方差公式进行因式分解的是(　　)

A．a2－b2　　　　  B．－a2－b2

C．a2＋b2   D. a2＋2ab＋b2

3．提取公因式后利用公式分解因式

(2020·贵港，第14小题，3分)

因式分解：ax2－2ax＋a＝________.

【思路点拨】先提取公因式，再用完全平方公式进行因式分解．

(2020·梧州，第14小题，3分)

分解因式：2a2－8＝________.

1. 下列式子变形是因式分解的是(　　)

A．x2＋5x＋6＝x＋6

B．x2＋5x＋6＝

C.＝x2＋5x＋6

D．x2＋5x＋6＝

2. (2020·桂林) 因式分解a2－4的结果是(　　)

A．(a＋2)(a－2)  B．(a－2)2

C．(a＋2)2   D. a(a－2)

3. (2019·潍坊)下列因式分解正确的是(　　)

A．3ax2－6ax＝3(ax2－2ax)

B．x2＋y2＝(－x＋y)(－x－y)

C．a2＋2ab－4b2＝(a＋2b)2

D．－ax2＋2ax－a＝－a(x－1)2

4. 若a4－b4＝，a2＋b2＝，a－b＝，则a＋b的值为(　　)

A．－  B.  C．1  D．2

5. (2020·百色) 因式分解：2ab－a＝________ .

6. 分解因式：x2－4＝____________.

7. 因式分解：a2＋2a＋1＝____________.

8. 分解因式：x3－x＝____________.

9. (2019·东营)因式分解：x(x－3)－x＋3＝________．

10. 分解因式：mn2＋6mn＋9m＝____________.

11．(2019·威海)分解因式：2x2－2x＋＝________．

12．(2020·雅安)若(x2＋y2)2－5(x2＋y2)－6＝0，则x2＋y2＝________．

13. (2019·河池)分解因式：(x－1)2＋2(x－5)．

14. 阅读理解：用“十字相乘法”分解因式2x2－x－3的方法．

(1)二次项系数2＝1×2；

(2)常数项－3＝－1×3＝1×(－3)，验算：“交叉相乘之和”；

　1×3＋2×(－1)＝1　 1×(－1)＋2×3＝5

1×(－3)＋2×1＝－1 　1×1＋2×(－3)＝－5

(3)发现第③个“交叉相乘之和”的结果1×(－3)＋2×1＝－1，等于一次项系数－1.

即(x＋1)(2x－3)＝2x2－3x＋2x－3＝2x2－x－3，则2x2－x－3＝(x＋1)(2x－3)．

像这样，通过十字交叉线帮助，把二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．仿照以上方法，分解因式：3x2＋5x－12＝____________．

第5讲　因式分解

【基础梳理】

一、1.整式　积　2.公共　最大　相同　小

二、1.公因式　公因式　与另一个因式的乘积　提公因式

m(a＋b＋c)　2.公式　(1)(a＋b)(a－b)　(2)(a±b)2

【重点突破】

[例1]C　[变式1]x(x－1)

[例2]B　[变式2]A

[例3]a(x－1)2　[变式3]2(a＋2)(a－2)

【达标检测】

1．D　2.A　3.D　4.B　5.a(2b－1)　6.(x＋2)(x－2)　

7．(a＋1)2　8.x(x＋1)(x－1)　9.(x－1)(x－3)　

10．m(n＋3)2　11.2　12.6

13．(x－1)2＋2(x－5)＝x2－2x＋1＋2x－10＝x2－9

＝(x＋3)(x－3)

14．(x＋3)(3x－4)