专题16 数列（客观题）（新高考地区专用）（原卷版）

专题16   数 列（客观题）

一、单选题

1．在等差数列中，首项，公差，是其前项和，若，则

A．15  B．16

C．17  D．18

2．设等差数列的前n项和为，且，则

A．9  B．6

C．3  D．0

3．九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜．据明代杨慎《丹铅总录》记载：“两环互相贯为一，得其关捩，解之为二，又合面为一“．在某种玩法中，用表示解下个圆环所需的移动最少次数，若．且，则解下6个环所需的最少移动次数为

A．13  B．16

C．31  D．64

4．数列，满足，，则

A．-2  B．-1

C．2  D．

5．在前n项和为的等差数列中，若，则

A．24  B．12

C．16  D．36

6．若数列为等差数列，且，，则

A．  B．

C．  D．

7．在1和2两数之间插入个数，使它们与1，2组成一个等差数列，则当时，该数列的所有项和为

A．15  B．16

C．17  D．18

8．已知是公差为d的等差数列，为其前n项和．若，则

A．  B．

C．1  D．2

9．在等差数列中，若，则

A．  B．

C．  D．

10．《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半．”题意是有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙．大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半．如果墙足够厚，第天后大老鼠打洞的总进度是小老鼠的4倍，则的值为

A．5  B．4

C．3  D．2

11．等比数列的前项和为，若，，，，则

A．  B．

C．  D．

12．已知数列的前项和为，满足，（均为常数），且．设函数，记，则数列的前项和为

A．  B．

C．  D．

13．已知数列是正项等比数列，且，又，，成等差数列，则的通项公式为

A．  B．

C．  D．

14．已知数列满足，设，为数列的前n项和．若对任意恒成立，则实数t的最小值为

A．1  B．2

C．  D．

15．已知为等差数列的前项和，，，则下列数值中最大的是

A． B．

C． D．

16．已知正项等比数列中，，，，则

A．  B．

C．  D．

17．设数列的前项和为，且，若，则的值为

A． B．

C． D．

18．已知数列，它的前n项和，则的值为

A．13  B．14

C．15  D．16

19．古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日五尺，问日织几何?”意思是“女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这名女子每天分别织布多少?”某数学兴趣小组依托某制造厂用织布机完全模拟上述情景，则从第一天开始，要使织布机织布的总尺数为165尺，则所需的天数为

A．7  B．8

C．9  D．10

20．已知等比数列的前项和为，设，那么数列的前15项和为

A．16  B．80

C．120  D．150

21．为正项等差数列的前项和，，则

A．3  B．

C．2  D．

22．等比数列中，，，则的前8项和为

A．90  B．

C．  D．72

23．斐波那契数列又称“黄金分割数列”，因数学家莱昂纳多斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”．此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用．斐波那契数列可以用如下方法定义：．若此数列各项除以4的余数依次构成一个新数列，则

A．1  B．2

C．3  D．5

24．等差数列的首项为，公差不为，若、、成等比数列，则前项的和为

A．  B．

C．  D．

25．已知一个等比数列的公比，且前5项和为，，则

A．2  B．24

C．8  D．4

26．天干地支纪年法，源于中国，中国自古便有十天干与十二地支．十天干即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，以此类推．排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，…，以此类推． 在戊戌年你们来到成都七中，追逐那光荣的梦想． 在1980年庚申年，我国正式设立经济特区，请问：在100年后的2080年为

A．辛丑年  B．庚子年

C．己亥年  D．戊戌年

27．在等差数列中，，则

A．5  B．8

C．11  D．14

28．已知数列为等差数列，首项为2，公差为3，数列为等比数列，首项为2，公比为2，设，为数列的前项和，则当时，的最大值是

A．8  B．9

C．10  D．11

29．已知数列满足，且，则当取得最大值时，

A．  B．

C．  D．

30．若，则、、、中值为的共有

A．个  B．个

C．个  D．个

31．已知正项等比数列的首项为，且．记为数列的前n项的积，若中仅有最大，则实数m的取值范围为

A．  B．

C．  D．

32．记为数列的前项和，已知点在直线上，若有且只有两个正整数n满足，则实数k的取值范围是

A． B．

C． D．

33．若数列满足，则称为“梦想数列”，已知正项数列为“梦想数列”，且，则

A．  B．

C．  D．

34．《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次为小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分．清明、谷雨、立夏、小满、芒种，这十二个节气，其日影长依次成等差数列，若冬至、立春、春分日影长之和为尺，前九个节气日影长之和为尺，则谷雨日影长为

A．  B．

C．  D．

35．设为数列的前项和，，则数列的前项和为

A．  B．

C．  D．

36．已知数列的前项和为，且满足，则

A． B．

C． D．

37．已知数列满足，设，且，则数列的首项的值为

A．  B．

C．  D．

38．已知函数，给出三个条件：①；②；③．从中选出一个能使数列成等比数列的条件，在这个条件下，数列的前项和

A．  B．

C．  D．

39．已知公差不为0的等差数列的前n项和，，是和的等比中项，则

A．有最大值9  B．有最大值25

C．没有最小值  D．有最小值-24

40．已知数列是首项为，公差为1的等差数列，数列满足．若对任意的，都有成立，则实数的取值范围是

A．  B．

C．  D．

二、多选题

1．定义表示大于x的最小整数，例如，则下列命题中正确的是

A．函数的值域是

B．若数列是等差数列，则数列也是等差数列

C．若数列是等比数列，则数列也是等比数列

D．若，则方程有2018个根

2．在数列中，若（为常数），则称为“等差比数列”，下列对“等差比数列”的判断错误的是

A．不可能为 B．“等差比数列”中的项不可能为

C．等差数列一定是“等差比数列” D．等比数列一定是“等差比数列”

3．已知各项均为正数且单调递减的等比数列满足，，成等差数列，其前项和为，且，则

A． B．

C． D．

4．记为等差数列的前项和．已知，，则

A．  B．

C．  D．

5．已知数列的前项和为，下列说法正确的是

A．若，则是等差数列

B．若，则是等比数列

C．若是等差数列，则

D．若是等比数列，且，，则

6．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．关于这个问题，下列说法正确的是

A．甲得钱是戊得钱的倍 B．乙得钱比丁得钱多钱

C．甲、丙得钱的和是乙得钱的倍 D．丁、戊得钱的和比甲得钱多钱

7．已知为等比数列，下面结论中错误的是

A． B．

C．若，则 D．若，则

8．已知数列的前项和为，且满足，则下列结论正确的是

A．若，则是等差数列

B．若，则数列的前项和为

C．若，则是等比数列

D．若，则

9．等差数列的前项和为，若，公差，则

A．若，则 B．若，则是中最大的项

C．若，则 D．若，则

10．南宋杨辉在他1261年所著的《详解九章算术》一书中记录了一种三角形数表，称之为“开方作法本源”图，即现在著名的“杨辉三角”．下图是一种变异的杨辉三角，它是将数列各项按照上小下大，左小右大的原则写成的，其中是集合，且，中所有的数从小到大排列的数列，，，，，…下列结论正确的是

A．第四行的数是17，18，20，24 B．

C． D．

三、填空题

1．已知等差数列的前n项和为，公差，，是与的等比中项，当时，n的最大值为__________．

2．已知数列是等差数列，，，，则的最大值是__________．

3．已知数列的前n项和为，且，若，则数列的前n项和__________．

4．已知数列的前n项和为，且，若，则数列的前项和为__________．

5．数列的前项和为，，数列满足，则数列的前10项和为__________．

6．我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：今有良马和驽马发长安至齐，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，九日后二马相逢，则齐去长安__________里．

7．在《九章算术》中有一个古典名题“两鼠穿墙”问题：今有垣厚若千尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，大意是有两只老鼠从墙的两边分别打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍，小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半，若垣厚33尺，则两鼠__________日可相逢．

8．被人们常常津津乐道的兔子数列是指这样的一个事例：一对幼兔正常情况下一年后可长成成兔，再过一年后可正常繁殖出一对新幼兔，新幼兔又如上成长，若不考虑其他意外因素，按此规律繁殖，则每年的兔子总对数可构成一奇妙的数列，兔子数列具有许多有趣的数学性质，该数列在西方又被称为斐波拉契数列，它最初记载于意大利数学家斐波拉契在1202年所著的《算盘全书》．现有一兔子数列，，若将数列的每一项除以2所得的余数按原来项的顺序构成新的数列，则数列的前2020项和为__________．

9．设等差数列的前项和为，若，则__________．

10．已知数列是等差数列，是其前项和．若，，则的值是__________．

11．已知等比数列中，各项都是正数，前项和为，且成等差数列，，则__________．

12．数列中，，若，则__________．

13．记为等比数列的前项和．设，，则__________．

14．已知数列和均为等差数列，前n项和分别为，，且满足：，，则__________．

15．已知数列的前项和为，，且对任意的，都有，则__________．

16．记为等差数列的前n项和，若，则的最大值为__________．

17．记为等差数列的前n项和，若，且，则__________．

18．若数列满足：，，则__________．

19．记为数列在区间中的项的个数，则数列的前项的和_________．

20．设为数列的前项和，，，且，则______．

四、双空题

1．复印纸幅面规格只采用系列和系列，其中系列的幅面规格为①所有规格的纸张的幅宽（以表示）和长度（以表示）的比例关系都为；②将纸张沿长度方向对开成两等分，便成为规格；纸张沿长度方向对开成两等分，便成为规格；…；如此对开至规格．现有纸各一张．若纸的幅宽为，则纸的面积为__________，这张纸的面积之和等于__________．

2．记为等比数列的前项和．设，，则公比__________，__________．

3．设等比数列的公比为，前项和为．若，则__________，__________．

4．数列的前项和为，且，，．则__________；__________．

5．设等差数列的公差为非零常数，且，若，，成等比数列，则公差__________﹔数列的前100项和__________．

6．设等差数列的前项和为．若，，则__________，的最小值为__________．

7．已知数列，满足：，，，则数列_________；记为数列的前项和，_________．

8．九连环是中国的一种古老智力游戏，它环环相扣，趣味无穷．长期以来，这个益智游戏是数学家及现代电子计算机专家们用于教学研究的课题和例子．中国的末代皇帝溥仪(1906–1967)也曾有一个精美的由九个翡翠缳相连的银制的九连环(如图)．现假设有个圆环，用表示按某种规则解下个圆环所需的最小移动次数．已知数列满足下列条件：，，，记的前项和为，则：（1）__________；（2）__________．