专题26 双曲线（解答题）（新高考地区专用）（解析版）

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专题26 双曲线（解答题）
1．已知中心在原点的双曲线的右焦点为，实轴长为2．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）若直线：与双曲线的左支交于､两点，求的取值范围．
【试题来源】宁夏长庆高级中学2020-2021学年高二上期期中考试（文）
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）由条件可得，，然后可得答案；
（2）联立直线与双曲线的方程消元，然后可得，解出即可．
【解析】（1）设双曲线方程为(，)．由已知得，，
再由，所以，所以双曲线方程为．
（2）设，，将代入，
得，由题意知解得．
所以当时，l与双曲线左支有两个交点．
2．已知双曲线．
（1）求与双曲线有共同的渐近线，且过点的双曲线的标准方程；
（2）若直线与双曲线交于A、B两点，且A、B的中点坐标为（1，1），求直线的斜率．
【试题来源】江西省南昌市第十中学2020-2021学年高二上学期期中考试（文）
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）设所求双曲线方程为，代入点坐标，求得k，即可得答案；
（2）设，利用点差法，代入A、B的中点坐标为（1，1），即可求得斜率．
【解析】（1）因为所求双曲线与双曲线有共同的渐近线，
所以设所求双曲线方程为，代入，得，
所以所求双曲线方程为；
（2）设，因为、在双曲线上，
所以，（1）-（2）得，
因为A、B的中点坐标为（1，1），即，
所以．
3．已知点和，动点到，两点的距离之差的绝对值为2，记点的轨迹为．
（1）求轨迹的方程；
（2）设与直线交于两点，，求线段的长度．
【试题来源】福建省南平市高级中学2020-2021学年高二上学期期中考试
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）设，由于，，利用双曲线的定义求解即可；（2）直线和双曲线方程联立消，利用根与系数关系以及弦长公式求解即可．
【解析】（1）设，则，
所以点的轨迹为双曲线，且，，
则，，所以轨迹的方程为；
（2）由，得，
因为，所以直线与双曲线有两个交点，
设，，则，，
故．
所以线段的长度为．
4．已知中心在原点的双曲线的一个焦点，一个顶点为．
（1）求双曲线的方程；
（2）若直线与双曲线的左右两支各有一个交点，求的取值范围．
【试题来源】四川省雅安市雅安中学2020-2021学年高二上学期期中
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）由题可得，求出即得双曲线方程；
（2）联立直线与双曲线方程，利用判别式和根与系数关系即可求出．
【解析】（1）双曲线的一个焦点，一个顶点为，
双曲线的焦点在x轴上，且，，
双曲线的方程为；
（2）联立直线与双曲线方程，可得，
直线与双曲线的左右两支各有一个交点，
，解得．
5．已知双曲线的中心在原点，焦点，在坐标轴上，离心率为，且过点
（1）求双曲线的方程；
（2）设双曲线两条渐近线分别为，已知直线交，于两点，若直线与轨迹有且只有一个公共点，求的面积
【试题来源】四川省成都市树德中学2020-2021学年高二上学期12月月考数（文）学试题
【答案】（1）；（2）2．
【分析】（1）设方程为，将点代入方程即可求解．（2）求出直线与的交点， 再求出，由 即可求解．
【解析】（1）因为双曲线的离心率为，故该双曲线为等轴双曲线，
设方程为，代入点，
得，故双曲线的方程为
（2）在直线方程中，令，得，
故，联立，得，
由题意得，故，
联立，得；联立，得，
因此.
6．在平面直角坐标系中，设椭圆与双曲线的离心率分别为，，其中．
（1）求的值；
（2）若双曲线渐近线的斜率小于，求和的取值范围．
【试题来源】江苏省苏州市2020-2021学年高二上学期1月学业质量阳光指标调研
【答案】（1）；（2），．
【分析】（1）根据两曲线的方程分别计算和，即可求出的值；（2）根据双曲线渐近线的斜率小于，得，再由椭圆与双曲线的性质，即可计算出离心率的范围．
【解析】（1）因为椭圆的离心率为，
双曲线的离心率为，
所以；
（2）因为双曲线的渐近线方程为，
若双曲线渐近线的斜率小于，则，所以，
因此，
，
又，分别为椭圆与双曲线的离心率，所以，，
因此，．
7．已知双曲线经过点且实轴长是半焦距的．
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）若直线l与双曲线C交于P，Q两点，且线段PQ的中点为，求直线l的方程．
【试题来源】陕西省商洛市2020-2021学年高二上学期期末（文）
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）根据题意可得，再根据双曲线过点，再结合，代入即可求得，，即可得到双曲线C的标准方程；（2）先设出P，Q的坐标，根据中点坐标公式即可求得，，将P，Q两点代入双曲线方程，两式相减即可得到斜率为，再利用点斜式即可求出直线l的方程．
【解析】（1）因为实轴长是半焦距的倍，所以，即，
因为双曲线C经过点，，
因为，所以，，
故双曲线C的标准方程为；
（2）设P，Q的坐标分别为，，
因为线段PQ的中点为，所以，，
因为，，所以，
整理得，即直线l的斜率为，
所以直线l的方程为，即．
8．设中心在原点，焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点，且，椭圆的长半轴与双曲线实半轴之差为4，离心率之比为．
（1）求这两曲线方程；
（2）若P为这两曲线的一个交点，求的值．
【试题来源】陕西省延安市黄陵中学2020-2021学年高二上学期期末（理）
【答案】（1）椭圆方程为，双曲线方程为；（2）．
【分析】（1）利用题设分别求椭圆和双曲线的基本量；（2）根据椭圆及双曲线的定义建立等式，可求出，再用余弦定理即可．
【解析】（1）由已知得，
设椭圆长、短半轴长分别为、，双曲线实半轴、虚半轴长分别为、，
则解得．所以．
故椭圆方程为，双曲线方程为．
（2）不妨设、分别为左、右焦点，P是第一象限的一个交点，
则，所以．又，
故．
9．已知双曲线与双曲线的渐近线相同，且经过点．
（1）求双曲线的方程；
（2）已知双曲线的左右焦点分别为，直线经过，倾斜角为与双曲线交于两点，求的面积．
【试题来源】2021年新高考数学一轮复习学与练
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）由两条双曲线有共同渐近线，可令双曲线方程为，求出即可得双曲线的方程；（2）根据已知有直线为，由其与双曲线的位置关系，结合弦长公式、点线距离公式及三角形面积公式求的面积．
【解析】（1）设所求双曲线方程为，代入点得，即，
所以双曲线方程为，即．
（2）由（1）知，即直线的方程为．
设，联立得，
满足且，，
由弦长公式得，
点到直线的距离．
所以
【名师点睛】本题考查了双曲线，根据双曲线共渐近线求双曲线方程，由直线与双曲线的相交位置关系求原点与交点构成三角形的面积，综合应用了弦长公式、点线距离公式、三角形面积公式，属于基础题．
10．双曲线C的一条渐近线方程是x－2y＝0，且双曲线C过点(，1)．
（1）求双曲线C的方程；
（2）设双曲线C的左、右顶点分别是A1，A2，P为C上任意一点，直线PA1，PA2分别与直线l：x＝1交于M，N，求|MN|的最小值．
【试题来源】2021年高考数学（文）一轮复习讲练测
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）设出双曲线方程x2－4y2＝k(k≠0)，将点代入即可求解．
（2）设直线PA1，PA2的斜率分别为k1，k2(k1，k2＞0)，由（1）可得k1k2＝，写出直线PA1的方程与PA2的方程，求出点M，N，表示出|MN|，利用基本不等式即可求解．
【解析】由渐近线方程可设双曲线C的方程为x2－4y2＝k(k≠0)，
把(2，1)代入可得k＝4，所以双曲线C的方程为－y2＝1．
（2）由题易知，P在右支上时|MN|取最小值．
由（1）可得A1(－2，0)，A2(2，0)，设P(x，y)，根据双曲线方程可得·＝，
直线PA1，PA2的斜率分别为k1，k2(k1，k2＞0)，则k1k2＝，
PA1的方程为y＝k1(x＋2)，令x＝1，得M(1，3k1)，
PA2的方程为y＝k2(x－2)，令x＝1，得N(1，－k2)，
所以|MN|＝|3k1－(－k2)|＝3k1＋k2≥2＝，
当且仅当3k1＝k2，即k1＝，k2＝时，等号成立．
故|MN|的最小值为．
【名师点睛】本题考查了直线与双曲线的位置关系，解题的关键是求出k1k2＝，再表示出|MN|，考查了运算能力．
11．已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(4，0)，实轴长为4．
（1）求双曲线C的方程；
（2）若直线l：y＝kx＋2与双曲线C的左支交于A，B两点，求k的取值范围．
【试题来源】2021年高考数学（文）一轮复习学与练
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）根据双曲线的焦点坐标公式、实轴长公式，以及之间的关系进行求解即可；（2）直线l与双曲线C的方程联立，根据一元二次方程的判别式、根与系数的关系进行求解即可．
【解析】（1）设双曲线C的方程为 (a>0，b>0)．
由已知得，a＝2，c＝4，再由a2＋b2＝c2，得b2＝4，
所以双曲线C的方程为．
（2）设A(xA，yA)，B(xB，yB)，将y＝kx＋2与联立，
得(1－3k2)x2－12kx－36＝0．由题意可得，
，
，，
解不等式，得 所以当 所以k的取值范围为.
12．已知点、为双曲线的左、右焦点，过作垂直于轴的直线在轴上方交上双曲线于点，且，的面积为．
（1）求双曲线的方程；
（2）过双曲线实轴右端点作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为、，求的值．
【试题来源】上海市交通大学附属中学2020-2021学年高二上学期期中
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）求出点的坐标，根据已知条件可得出关于、、的方程组，解出、的值，即可得出双曲线的方程；（2）设渐近线的倾斜角为，可得，求出的值，利用点到直线的距离公式求出、，利用平面向量数量积的定义可求得的值．
【解析】（1）设、，则，
将点的坐标代入双曲线的方程得，可得，
，，，
，轴，所以，，
由双曲线的定义可得，，则，
，，，
因此，双曲线的方程为；
（2）双曲线的两条渐近线为，，
易知，渐近线的倾斜角为，则，
，
，
由平面向量数量积的定义可得．

【名师点睛】求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．
13．已知双曲线，过点，离心率为．
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）已知点，过点N的直线交双曲线C于A、B两点，且求直线AB的方程.
【试题来源】天津市第八中学2020-2021学年高二上学期第三次统练
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）由离心率可得关系，再将点代入可求出方程；（2）设直线AB为，联立直线与双曲线方程，得出，由题可得是AB的中点，建立方程可求．
【解析】（1）由题意得，即，
则，双曲线方程为，
将点代入，得，得，
双曲线方程．
由题意知直线AB的斜率存在．
设直线AB：，代入，
得
令，，则、是方程的两根，
，且．
，是AB的中点，，
，，直线AB的方程为．
【名师点睛】解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤：
（1）得出直线方程，设交点为，；
（2）联立直线与曲线方程，得到关于（或）的一元二次方程；
（3）写出根与系数关系；
（4）将所求问题或题中关系转化为形式；
（5）代入根与系数关系求解．
14．过双曲线的右焦点F作斜率为2的直线l，交双曲线于A，B两点．
（1）求双曲线的离心率和渐近线；
（2）求的长．
【试题来源】安徽省名校联盟2020-2021学年高二上学期12月联考（文）
【答案】（1），渐近线方程为；（2）．
【分析】（1）由双曲线方程得出，再求出，可得离心率，渐近线方程；
（2）写出直线方程，代入双曲线方程，设，，由根与系数关系得，然后由弦长公式计算弦长．
【解析】（1）因为双曲线方程为，所以，
则，所以，渐近线方程为．
（2）双曲线右焦点为，则直线l的方程为
代入双曲线中，化简可得
设，，所以，，
所以．
【名师点睛】本题考查双曲线的离心率和渐近线方程，考查直线与双曲线相交弦长．解题方法是直线方程与双曲线方程联立并消元后应用根与系数关系求出，然后由弦长公式求出弦长．
15．已知双曲线：的实轴长为4，一条渐近线方程为．
（1）求双曲线的方程；
（2）直线：与双曲线相交于不同两点，求实数的取值范围．
【试题来源】黑龙江省2020-2021学年高二第一学期学业水平考试 （文）
【答案】（1）；（2）且．
【分析】（1）根据渐近线方程以及实轴长度求解出的值，则双曲线的方程可求；
（2）联立双曲线与直线的方程，利用并结合求解出的取值范围．
【解析】（1）由条件可知，所以，所以双曲线的方程为；
（2）因为，所以，
因为与双曲线交于不同两点，所以，
所以解得且．
【名师点睛】本题中的第二问，解答问题的关键是通过联立方程分析与的关系完成问题求解．
16．已知双曲线的渐近线倾斜角分别为和，为其左焦点，为双曲线右支上一个动点．
（1）求的取值范围，并说明理由；
（2）过点分别作两渐近线的垂线，垂足分别为，求证：为定值．
【试题来源】江西省南昌市八一中学2020-2021学年高二12月考试
【答案】（1），理由见解析；（2）证明见解析．
【分析】（1）由渐近线求出双曲线方程，得焦点坐标，利用两点间的距离及二次函数求最值即可；（2）由点到直线的距离求出，求积后由双曲线方程化简即可．
【解析】（1）双曲线渐近线方程为，又，所以，
双曲线的标准方程为，则，设，
则
所以，所以的取值范围是.
（2）因为，
又，所以为定值．
【名师点睛】，利用点到直线的距离求出后，根据点在双曲线上，化简求值是解题关键．
17．已知分别是双曲线C：的左、右焦点，点P是双曲线上一点，满足且．
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）若直线l交双曲线于A，B两点，若的中点恰为点，求直线l的方程．
【试题来源】重庆市巴蜀中学2020-2021学年高二上学期期中
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）由双曲线定义求，结合求，写出双曲线C的标准方程；（2）设，结合双曲线方程得，根据中点M、直线斜率的坐标表示得，即可写出直线方程．
【解析】（1），得，在△中，
所以，，则，故双曲线的标准方程为；
（2）设，有，
所以，又，，
所以，得，
所以直线方程为，满足，符合题意．
【名师点睛】（1）由双曲线定义：曲线上的点到两焦点距离差为定值m，有，结合勾股定理求c．（2），利用中点、直线斜率，结合所得方程，求斜率并写出直线方程．
18．已知双曲线C的焦点F(，0)，双曲线C上一点P到F的最短距离为．
（1）求双曲线的标准方程和渐近线方程；
（2）已知点M(0，1)，设P是双曲线C上的点，Q是P关于原点的对称点．设λ=，求λ的取值范围．
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【答案】（1），；（2）．
【分析】（1）由题可得，，即可得出椭圆方程，进而求出渐近线方程；（2）利用坐标关系表示出，再由可求出．
【解析】（1）设双曲线的方程为=1，
因为双曲线C的焦点F(，0)，双曲线C上一点P到F的最短距离为，
，，，
，则双曲线的方程为，
令，则， 即渐近线方程为．
（2）设P的坐标为(x0，y0)， 则Q的坐标为，
．
，的取值范围是．
【名师点睛】本题考查双曲线标准方程和渐近线的求解，以及数量积的范围，解题的关键是理清题意，得出双曲线C上一点P到F的最短距离即为，再利用双曲线的范围求解．
19．已知，，直线，相交于点．且它们的斜率之积是3．
（1）求点的轨迹的方程．
（2）过点能否作一条直线与轨迹交于两点，且点是线段的中点？若能，求出直线的方程；若不能，说明理由．
【试题来源】四川省成都市第七中学2020-2021学年高二上学期期中
【答案】（1）；（2）不能，理由见解析．
【分析】（1）设出点，利用斜率之积即可求出轨迹方程；
（2）设出，利用点差法可求出．
【解析】（1）设，，，，
，即，整理得，
即轨迹方程为；
（2）显然直线的斜率存在，设为，设，
则 ，两式相减得，
整理可得，
是线段的中点，，即，
故直线的方程为，即，
将直线代入双曲线可得，，
此时直线与双曲线不相交．故不能作出这样的直线．
【名师点睛】解决中点弦问题的两种方法：
（1）根与系数的关系法：联立直线与曲线方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决；
（2）点差法：设出交点坐标，利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标代入曲线方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系．
20．双曲线，､为其左右焦点，曲线是以为圆心且过原点的圆．
（1）求曲线的方程；
（2）动点在上运动，满足，求的轨迹方程．
【试题来源】福建省安溪一中、养正中学、惠安一中、泉州实验中学2020-2021学年高二上学期期中联考
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）求出圆心和半径即得解；（2）设动点，，由得，代入圆的方程即得解．
【解析】（1）由已知得，，
故，所以､，
因为是以为圆心且过原点的圆，故圆心为，半径为4，
所以的轨迹方程为；
（2）设动点，，则，，
由，得，
即，解得，
因为点在上，所以，
代入得，化简得．
所以的轨迹方程为．
【名师点睛】求动点的轨迹方程常见的方法有：（1）直接法；（2）定义法；（3）相关点代入法；（4）消参法．要根据数学情景灵活选择方法求动点的轨迹方程．
21．已知双曲线的左、右焦点分别为，．
（1）求与双曲线C有共同渐近线且过点的双曲线标准方程；
（2）若P是双曲线C上一点，且，求的面积．
【试题来源】宁夏海原县第一中学2020-2021学年高二上学期期末考试（文）
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）根据题意，设所求双曲线方程为，代入点，求得k值，即可得答案；（2）不妨设P在C的右支上，根据双曲线定义，可得，根据方程可得的值，在中，利用余弦定理可得的值，代入面积公式，即可求得答案．
【解析】（1）因为所求双曲线与共渐近线，
所以设该双曲线方程为，
又该双曲线过点，所以，解得k=-2，
所以所求双曲线方程为
（2）不妨设P在C的右支上，则，，
在中，，
解得，
所以的面积
【名师点睛】解题的关键是掌握共渐近线的双曲线方程的设法，即与共渐近线的方程可设为；与共焦点的方程可设为，再代入点求解即可，考查分析计算的能力，属中档题．
22．已知双曲线的两个焦点分别为，，点在双曲线C上．
（1）求双曲线C的方程；
（2）记O为坐标原点，过点的直线l与双曲线C交于不同的两点A，B，若的面积为，求直线l的方程．
【试题来源】河南省许昌市2020-2021学年高二上学期期末（理）
【答案】（1）；（2）和．
【分析】（1）根据焦点坐标，可得，所以，代入双曲线方程，可得，将P点坐标代入，即可求得a值，即可得答案；（2）设直线的方程为，与双曲线C联立，可得关于x的一元二次方程，利用根与系数关系，可得的表达式，代入弦长公式，即可求得，根据点到直线的距离公式，可求得原点到直线l的距离d，代入面积公式，结合题意，即可求得k的值，即可得答案．
【解析】（1）依题意，，所以，
则双曲线的方程为，
将点代入上式，得，解得(舍去)或，
故所求双曲线的方程为．
（2）依题意，可设直线的方程为，
代入双曲线的方程并整理，得．
因为直线与双曲线交于不同的两点，
所以，解得．(*)
设，则，
所以．
又原点到直线的距离，
所以．
又，即，所以，解得，满足(*)．
故满足条件的直线有两条，其方程分别为和．
【名师点睛】解题的关键是熟练掌握弦长公式、点到直线的距离公式等知识，并灵活应用，易错点为解得k值，需检验是否满足判别式的条件，考查计算化简的能力，属中档题．
23．（1）已知双曲线的左、右顶点分别为，点，点是双曲线上不同的两个动点，求直线与直线的交点的轨迹的方程；
（2）设直线交轨迹于两点，且直线与直线交于点，若，试证明为的中点．
【试题来源】江西省景德镇一中2020-2021学年高二上学期期末考试（理）
【答案】（1）；（2）证明见解析．
【分析】（1）先由双曲线方程，得到坐标，得出直线与直线的方程，两式联立，结合题中条件，化简整理，即可得出所求轨迹方程；（2）设，，联立直线与椭圆的方程，根据根与系数关系，结合中点坐标公式，得出中点坐标，再由直线与直线联立，根据，求出点坐标，得出与中点重合，即可证明结论成立．
【解析】（1）由已知得，，；
则①，②
①②得，又，所以，
因此，所以所求轨迹方程为；
（2）设，，
由消去可得，整理得，
则，设的中点，
则，，
由得，则
因为，所以，
则，，
即与重合，所以为的中点．
【名师点睛】证明本题第二问的关键在于求出中点以及点的坐标；求解时，联立直线与椭圆方程，结合根与系数关系以及中点坐标公式得出中点；联立两直线方程，结合题中条件，求出坐标即可．
24．已知双曲线：的离心率为，点是双曲线的一个顶点．
（1）求双曲线的方程；
（2）经过双曲线右焦点作倾斜角为30°的直线，直线与双曲线交于不同的两点，，求．
【试题来源】2021年高考数学（文）一轮复习学与练
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）根据离心率为和顶点求出，即可得出双曲线方程；
（2）可先求出直线方程为，联立椭圆方程，再利用弦长公式即可求出．
【解析】（1）由题可得，解得，，
所以双曲线的方程为；
（2）双曲线的右焦点为
所以经过双曲线右焦点且倾斜角为30°的直线的方程为．
联立得．
设，，则，．
所以．
25．双曲线C：的左焦点为，点F到双曲线C的一条渐近线的距离等于a．
（1）求双曲线C的离心率；
（2）若，过点的直线l与双曲线C交于A，B两点，且P为线段的中点，试求直线l的方程．
【试题来源】【南昌新东方】江西省南昌三中2020-2021学年高三上学期11月第一次月考（理）
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）根据双曲线的一条渐近线为，焦点到的距离，结合条件，即可得解；（2）利用点差法，设点，带入作差可得，利用点斜式即可得解．
【解析】（1）由双曲线的一条渐近线为，
焦点到的距离，
根据题意得，所以离心率；
（2）由（1）知，又可得，
所以双曲线方程为，
设，带入双曲线方程可得
，作差可得（），
由P为线段的中点，可得，
带入（）可得，所以，
所以直线l的方程为，
带入可得，
，有两个交点，满足题意，
故直线l的方程为．
【名师点睛】本题考查了焦点到渐近线的距离以及双曲线的基本量的计算，考查了点差法，有一定的计算量，属于中档题．本题的主要方法为点差法，点差法是圆锥曲线中解决中点和斜率关系的重要方法，利用点差法时，一定注意最后的检验．
26．双曲线：的左、右焦点分别为、，直线经过且与的两条渐近线中的一条平行，与另一条相交且交点在第一象限．
（1）设为右支上的任意一点，求的最小值；
（2）设为坐标原点，求到的距离，并求与的交点坐标．
【试题来源】上海市普陀区2021届高三上学期一模
【答案】（1）；（2）到的距离；与的交点坐标为．
【分析】（1）设，由两点距离公式有，结合已知，即可求的最小值；（2）根据双曲线方程写出渐近线方程为，由题设知：，由点线距离公式求到的距离，联立双曲线、直线方程即可求交点坐标．
【解析】（1）根据题设条件，可得．设，其中，且
，
所以当时，．
（2），的两条渐近线方程为，
根据题设，得：，到的距离．
将与的方程联立，得，消去得，，解得，代入得，所以与的交点坐标为．
【名师点睛】（1）设，应用两点距离公式以及点在曲线方程上列关于方程，P在双曲线右支有，求范围即可．（2）由直线l与双曲线渐近线关系写出直线方程，结合点线距离公式求距离，联立方程求交点即可．
27．双曲线的左顶点为，右焦点为，动点在上．当时，．
（1）求的离心率；
（2）若在第一象限，证明：．
【试题来源】2021年1月普通高等学校招生全国统一考试适应性测试（八省联考）
【答案】（1）；（2）见解析．
【分析】（1）根据已知条件可得，据此可求离心率．（2）设，则，，再计算，利用点在双曲线上化简后可得，从而可得结论成立．
【解析】（1）设双曲线的半焦距为，则，，
因为，故，故，
即，故．
（2）设，其中．
因为，故，，
故渐近线方程为，所以，，
当时，
又，，
所以

，
因为，故．
当，由（1）可得，故．
综上，．
【名师点睛】（1）圆锥曲线中离心率的计算，关键是找到一组等量关系（齐次式）．
（2）圆锥曲线中与有角有关的计算，注意通过动点的坐标来刻画角的大小，还要注意结合点在曲线上满足的方程化简目标代数式．
28．已知双曲线的焦距为，坐标原点到直线的距离是，其中，的坐标分别为，．
（1）求双曲线的方程；
（2）是否存在过点的直线与双曲线交于，两点，使得构成以为顶点的等腰三角形?若存在，求出所有直线的方程；若不存在，请说明理由．
【试题来源】江苏省无锡市普通高中2020-2021学年高二上学期期末
【答案】（1）；（2）存在，直线的方程为．
【分析】（1）记双曲线的焦距为，得到；根据题中条件，得到直线的方程，由点到直线距离公式，求出，进而可求出，得出双曲线方程；（2）先假设存在过点的直线与双曲线交于，两点，使得构成以为顶点的等腰三角形，设，，，联立直线与双曲线方程，根据判别式确定的范围；记的中点为，根据根与系数关系求出的坐标，由为等腰三角形，得到，由斜率之积为，列出方程求出，即可得出结果．
【解析】（1）记双曲线的焦距为，由题意，可得，即，
又，的坐标分别为，，
所以直线的方程为， 即，
又坐标原点到直线的距离是，
所以，解得，所以，
因此双曲线的方程为；
（2）由（1）可得，假设存在过点的直线与双曲线交于，两点，使得构成以为顶点的等腰三角形，
则直线的斜率显然存在，设，，，
由消去整理得，
因为直线与双曲线有两不同交点，所以，
解得且，
则，所以，
记的中点为，则，
为使构成以为顶点的等腰三角形，
只需，所以，
即，整理得，解得或，
因为不满足，应舍去，故，
所以存在过点的直线与双曲线交于，两点，使得构成以为顶点的等腰三角形，此时直线的方程为，即．
【名师点睛】求解圆锥曲线中存在直线满足某条件的问题，一般需要先设直线方程，联立直线与曲线方程，根据判别式判断斜率的范围，结合根与系数关系以及题中条件，求出斜率，即可得解．
29．设双曲线的方程为，、为其左､右两个顶点，是双曲线上的任意一点，引，，与交于点．

（1）求点的轨迹方程；
（2）设（1）中所求轨迹为，、的离心率分别为、，当时，的取值范围．
【试题来源】2021年高考数学【热点重点难点】专练（上海专用）
【答案】（1）（除点外）；（2）．
【分析】（1）根据题意，设，根据椭圆的几何性质得出、的坐标，由，，由直线的斜率公式得出点的坐标间的关系式，从而得出点的轨迹方程；（2）由（1）得的方程为，利用椭圆的几何性质求出，最后根据，即可求出的取值范围．
【解析】（1）根据题意，设，
，
由①②得，
，
代入③得，即，
即，经检验点不合题意，
因此Q点的轨迹方程为（除点外）．

（2）由（1）得Q点的轨迹方程为（除点外），
所以的方程为，
，
，，．
【名师点睛】本题考查双曲线的简单几何性质、直线垂直的条件、不等式的运算，以及点的轨迹方程的求法，解题的关键在于求解点的轨迹方程，考查数形结合思想和数学运算的能力．
30．已知双曲线过点，且右焦点为．
（1）求双曲线的方程；
（2）过点的直线与双曲线的右支交于两点，交轴于点，若，，求证：为定值；
（3）在（2）的条件下，若点是点关于原点的对称点，求证：三角形的面积．
【试题来源】上海市闵行区七宝中学2021届高三上学期期中
【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）证明见解析．
【分析】（1）根据题意，得出且，结合，求得的值，即可求解；（2）设，直线，联立方程组，得出，结合，，进而化简得到为定值，得到答案．
（3）由（2）知，可得，利用，进而得到的表达式，结合基本不等式，即可求解．
【解析】（1）由题意，双曲线过点，且右焦点为．
可得且，又由，解得，
所以双曲线的方程为；
（2）设，
由题意得直线的斜率存在，所以设直线，所以，
由，得，
所以，
由，，可得，
所以
，
所以，为定值．
（3）由（2）知，可得，
则，
所以

，
因为直线与双曲线的右支交于两点，
所以，可得，
所以
，
因为，所以，所以，
所以，证毕．
【名师点睛】解答圆锥曲线的最值问题的方法与策略：
1、几何转化代数法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆锥曲线的定义、图形、几何性质来解决；
2、函数取值法：若题目的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值（或值域），常用方法：（1）配方法；（2）基本不等式法；（3）单调性法；（4）三角换元法；（5）导数法等，要特别注意自变量的取值范围．
3、此类问题通过联立直线方程与圆锥曲线方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解．