专题25 椭圆（解答题）（新高考地区专用）（解析版）

这是一份专题25 椭圆（解答题）（新高考地区专用）（解析版），共54页。试卷主要包含了已知椭圆，椭圆，已知椭圆的离心率为，且过点等内容，欢迎下载使用。

专题25 椭 圆（解答题）
1．已知椭圆：与抛物线：有相同的焦点，抛物线的准线交椭圆于，两点，且．
（1）求椭圆与抛物线的方程；
（2）为坐标原点，过焦点的直线交椭圆于，两点，求面积的最大值．
【试题来源】陕西省榆林市2020-2021学年高三上学期第一次高考模拟测试（文）
【答案】（1）的方程为，的方程为；（2）最大值为1．
【解析】（1）因为，所以不妨设的坐标为，的坐标为，
所以有：，所以，，
所以椭圆的方程为，抛物线的方程为；
（2）由（1）可知的坐标为，
设直线的方程为，到的距离为，
则，联立，
可得，则，
，
当且仅当时取等号，故面积的最大值为1．
2．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1： 的左焦点为F1(－2，0)，且点P(0，2)在椭圆C1上．
（1）求椭圆C1的方程；
（2）设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2：y2＝8x相切，求直线l的方程
【试题来源】宁夏固原市隆德县2021届高三上学期期末考试（文）
【答案】（1）；（2）或．
【解析】（1）因为椭圆的左焦点为，所以，
点代入椭圆，得，即，
所以，所以椭圆的方程为；
（2）直线的斜率显然存在，设直线的方程为，
由，消去并整理得，
因为直线与椭圆相切，所以△
整理得①，由，消去并整理得，
因为直线与抛物线相切，所以△，整理得②，
综合①②，解得或，
所以直线的方程为或．
【名师点睛】（1）解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．
（2）涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．
3．已知椭圆：的离心率为，左、右焦点分别为、．设是椭圆上一点，满足⊥轴，．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过且倾斜角为45°的直线与椭圆相交于，两点，求的面积．
【试题来源】江西省贵溪市实验中学2021届高三上学期一模考试数学（三校生）试题
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据条件列出关于的方程求解；（2）设直线，与椭圆方程联立，，代入根与系数的关系，求三角形的面积．
【解析】（1）由条件可知，解得，，
所以椭圆的标准方程是；
（2）设直线，，，直线与椭圆方程联立
，得，，，
．
4．椭圆：()的左焦点为，且椭圆经过点，直线()与交于，两点（异于点）．
（1）求椭圆的方程；
（2）证明：直线与直线的斜率之和为定值，并求出这个定值．
【试题来源】四川省凉山州2020-2021学年高三第一次诊断性检测（理）
【答案】（1）；（2）证明见解析，定值为1．
【解析】（1）由题意得，则，椭圆方程为；
（2）解法一（常规方法)：设，联立
化简可得，
直线与椭圆交于两点，
即，解得，
由根与系数关系，

，直线得斜率和为定值．
解法二（构造齐次式)：由题直线恒过定点
①当直线不过原点时，设直线为，
则，即有，
由有，
则，
整理成关于的齐次式： ，
进而两边同时除以，则，令，
则，
②当直线过原点时，设直线的方程为，
，
综合直线与直线的斜率之和为定值．
【名师点睛】该题考查的是有关直线与椭圆的问题，解题方法如下：
（1）根据题中所给的条件，确定出的值，进而求得的值，得到椭圆方程；
（2）将直线方程与椭圆方程联立，根与系数关系求得两根和与两根积，利用斜率公式证得结果．
5．已知椭圆的离心率为，且过点．
（1）求的方程；
（2）点在上，且，证明：直线过定点．
【试题来源】河南省郑州市2020-2021学年高三上学期第一次质量检测（理）
【答案】（1）；（2）证明见解析．
【解析】（1）由题意得，解得，椭圆的方程为．
（2）设点，，
，，
整理可得…①
当直线斜率不存在时，显然不成立，则可设，
联立得，
由得，
则，，，
，
代入①式化简可得，
即，或
则直线方程为或，
直线过定点或，又和点重合，故舍去，直线过定点．
【名师点睛】本题考查直线与椭圆综合应用中的定点问题的求解，求解此类问题的基本思路如下：
①假设直线方程，与椭圆方程联立，整理为关于或的一元二次方程的形式；
②利用求得变量之间的关系，同时得到根与系数关系的形式；
③利用根与系数关系表示出已知的等量关系，化简整理得到所求定点．
6．已知椭圆的离心率为，且过点，右顶点为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点作两条直线分别交椭圆于点，满足直线，的斜率之和为，求点到直线距离的最大值．
【试题来源】江苏省常州市四校联考2020-2021学年高三上学期期末
【答案】（1）；（2）最大值为．
【解析】（1）由题，解得，所以的标准方程为；
（2）若直线斜率不存在，设，
则，解得，此时重合，舍去．
若直线斜率存在，设直线，
联立，得，
所以，
由题意，即
化简得
因此
化简得，即
若，则，直线过点，舍去，
所以，即，因此直线过点．
又点，所以点到直线距离最大值即，
此时，符合题意．所以点到直线距离最大值为
【名师点睛】易错点为需讨论直线斜率是否存在，解题的关键是联立直线与曲线方程，根据根与系数关系，求得的表达式，再代入题干条件，化简整理，才能求得答案，考查分析理解，计算化简的能力，属中档题．
7．已知椭圆的离心率为，左顶点为A，右焦点F，．过F且斜率存在的直线交椭圆于P，N两点，P关于原点的对称点为M．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线，的斜率分别为，，是否存在常数，使得恒成立？若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由．
【试题来源】安徽省淮北市2020-2021学年高三上学期第一次模拟考试（理）
【答案】（1），（2）
【解析】（1）因为离心率为，所以，又，所以，解得，，又，所以，所以椭圆方程为；
（2）由（1）知，，设直线的方程为，，，
因为与关于原点对称，所以，所以，，
若存在，使得恒成立，所以，
所以，两边同乘得，
因为在椭圆上，所以，所以，
所以，
当时，则，所以①；
当时，与重合，联立方程，消元得，所以，所以，
，
代入①得，整理得，解得
8．已知椭圆的离心率为，、分别为椭圆E的左、右焦点，M为E上任意一点，的最大值为1，椭圆右顶点为A．
（1）求椭圆E的方程；
（2）若过A的直线l交椭圆于另一点B，过B作x轴的垂线交椭圆于C（C异于B点），连接交y轴于点P．如果时，求直线l的方程．
【试题来源】天津市滨海七校2020-2021学年高三上学期期末联考
【答案】（1）；（2）或．
【解析】（1）当为椭圆的短轴端点时，取得最大值即，
因为，，解得，，，所以椭圆方程为．
（2），根据题意，直线l斜率存在且不为0，
设直线，，联立，
得，
，即，
由题意得，
又直线，故，
，
即解得（舍），故，
直线或．
9．已知椭圆的长轴长为4，且离心率为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设过点且斜率为k的直线与椭圆C交于两点，线段的垂直平分线交x轴于点D，判断是否为定值？如果是定值，请求出此定值；如果不是定值，请说明理由．
【试题来源】北京市昌平区2021届高三年级上学期期末质量抽测
【答案】（1）；（2）是，4．
【解析】（1）依题意得解得，，故椭圆C的方程为；
（2）是定值．
由已知得直线． 由消去，
整理得．
所以，
设，则，，
所以
，
则，因为，
所以线段的中点为．
（1）当时，，．所以．
（2）当时，线段的垂直平分线方程为，
令，得，即，所以，
所以，综上所述，为定值4．
【名师点睛】求解本题第二问的关键在于联立直线与椭圆方程，根据根与系数关系以及弦长公式表示出，再由题中条件，求出，即可得出的值．（求解时要注意讨论斜率的取值）
10．已知椭圆：（）过点，，且离心率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线与椭圆有且仅有一个公共点，且与轴交于点（，不重合），轴，垂足为，求证：．
【试题来源】北京市东城区2021届高三上学期期末考试
【答案】（1）；（2）证明见解析．
【解析】（1）由题意可得，，解得，，
所以椭圆的方程为；
（2）由题设知直线的斜率存在且不为零，设直线的方程为（）．
由消去，整理得．
依题意，有，解得．
设，，则，．
因为轴，所以，所以，
因为，所以．
【名师点睛】求解直线与圆锥曲线相关问题时，一般需要联立直线与圆锥曲线方程，消元后得到关于（或）的一元二次方程，结合根与系数关系与判别式，以及题中条件，利用圆锥曲线的相关性质，即可求解．
11．如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率左顶点为，过点作斜率为的直线交椭圆于点，交轴于点．

（1）求椭圆的方程；
（2）已知为的中点，是否存在定点，对于任意的都有，若存在，求出点的坐标；若不存在说明理由；
（3）若过点作直线的平行线交椭圆于点，求的最小值．
【试题来源】上海市高考压轴
【答案】（1）；（2）存在，；（3）．
【解析】（1）因为椭圆C：的离心率左顶点为，
所以，又，所以，可得，
所以椭圆C的标准方程为；
（2）直线的方程为，
由，可得，
所以，，当 时，，
所以，因为点P为AD的中点，所以P点坐标为，
则，直线的方程为，令，得点坐标为，
假设存在定点使得，则，
即恒成立，所以，
所以，即，所以定点的坐标为．
（3）因为，所以的方程可设为，
和联立可得点的横坐标为，
由可得
，当且仅当，
即时取等号，所以当时，的最小值为．
【名师点睛】解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤：
（1）得出直线方程，设交点为，；
（2）联立直线与曲线方程，得到关于（或）的一元二次方程；
（3）写出根与系数关系；
（4）将所求问题或题中关系转化为形式；
（5）代入根与系数关系求解．
12．已知椭圆的离心率为，且椭圆过点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过椭圆右焦点的直线与椭圆交于两点，且与圆交于两点，求的取值范围．
【试题来源】云南省曲靖市第二中学、大理新世纪中学2021届高三第一次模拟考试（理）
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）先利用离心率得到的关系，再利用点在椭圆上得到另一个关系，解方程即得椭圆方程；（2）先讨论斜率不存在时的值，再设斜率存在时的直线方程，联立椭圆方程，利用根与系数关系求弦长，再利用几何法求圆中的弦的长，最后计算的取值范围即可．
【解析】（1）由已知可得，所以，故，即，
所以椭圆的方程为，将点带入方程得，即，
所以椭圆的标准方程为；
（2）由（1）知，，故椭圆的右焦点为，
①若直线的斜率不存在，直线的方程为，

则，
所以；
②若直线的斜率存在，设直线方程为，设，

联立直线与椭圆方程，可得，
则，，
所以，
因为圆心到直线的距离，
所以在圆中由知，
，
所以，
因为，则，，故，，故，
即，综上，．
13．已知椭圆：（）的离心率为，右顶点、上顶点分别为、，原点到直线的距离为．
（1）求椭圆的方程；
（2）若，为椭圆上两不同点，线段的中点为．
①当的坐标为时，求直线的直线方程
②当三角形面积等于时，求的取值范围．
【试题来源】江苏省连云港市新海高级中学2020-2021学年高三上学期期末
【答案】（1）（2）①，②．
【解析】（1）设直线，即，
所以到直线的距离为，所以，
因为，所以，所以椭圆的方程为；
（2）①因为的中点为，且的斜率存在，设 ，
所以，所以，所以，
因为，所以，
所以的直线方程为，即；
②若直线垂直于轴，则
，，所以
若直线不垂直于轴，设直线方程：，，
，
所以，，，
即，因为到的距离为，
所以，
，
且此时，即满足，而，
，所以，
因为，所以，所以，所以，
综上可知．
14．已知椭圆的离心率，且经过点．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知点和点，过点的动直线交椭圆于两点（在左侧），试讨论与的大小关系，并说明理由．
【试题来源】北京市石景山区2021届高三上学期数学期末试题
【答案】（1）；（2），理由见解析．
【解析】（1）由已知，， 又，解得．
所以椭圆的方程为．
（2）依题意设直线的方程为，设．
联立消去，得，
则，解得． （*）
则，．
若，则，与（*）式矛盾，所以．
同理．所以直线和的斜率存在，分别设为和．
因为

，
所以．所以．
15．已知椭圆的右焦点为，且过点．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线与椭圆交于不同的两点，且线段的中点在圆上，求的值．
【试题来源】宁夏平罗中学2021届高三上学期期末考试（文）
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）因为椭圆的右焦点为，且过点，
所以，解得，因此椭圆的方程为；
（2）设，，由消去，整理得，
由解得，
又，则，
所以的中点坐标为，
又点在圆上，所以，
解得满足，所以．
【名师点睛】求解本题的关键在于用表示出点的坐标；利用题中条件，联立直线与椭圆方程，消去（）得到关于（或）的一元二次方程，根据根与系数关系及中点坐标公式，求出坐标，即可求解．
16．已知椭圆．
（1）求椭圆的离心率和长轴长；
（2）已知直线与椭圆有两个不同的交点，为轴上一点． 是否存在实数，使得是以点为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出的值及点的坐标；若不存在，说明理由．
【试题来源】北京市西城区2021届高三上学期数学期末试题
【答案】（1），；（2）存在，当时，点坐标为；当时，点坐标为．
【解析】（1）由题意：，，所以．
因为，所以，．所以．
所以椭圆离心率为，长轴长为．
（2）联立 消整理得．
因为直线与椭圆交于两点，故，解得．
设，则，．
设中点，则，，故．
假设存在和点，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形，
则，故，所以，解得，
故．因为，所以．
所以，即．
整理得 ．
所以，
代入，整理得，即．
当时，点坐标为；当时，点坐标为．
此时，是以为直角顶点的等腰直角三角形．
【名师点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：
（1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；
（2）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．
17．已知椭圆过点，且的离心率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点的直线交椭圆于、两点，求的取值范围．
【试题来源】北京市朝阳区2021届高三上学期期末数学质量检测试题
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由题意得，解得．所以椭圆的方程为；
（2）分以下两种情况讨论：
①若直线与轴重合，则；
②若直线不与轴重合，设直线的方程为，设点、，
联立，消去可得，
则恒成立，
由根与系数关系可得，，
由弦长公式可得，
，则，所以，．
综上所述，的取值范围是．
18．已知椭圆的左､右顶点分别为点，，且，椭圆离心率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）过椭圆的右焦点，且斜率不为的直线交椭圆于，两点，直线，的交于点，求证：点在直线上．
【试题来源】北京通州区2021届高三上学期数学摸底（期末）考试
【答案】（1）；（2）证明见解析．
【解析】（1）因为，椭圆离心率为，
所以，解得，．所以椭圆的方程是．
（2）①若直线的斜率不存在时，如图，
因为椭圆的右焦点为，所以直线的方程是．
所以点的坐标是，点的坐标是．
所以直线的方程是，直线的方程是．
所以直线，的交点的坐标是．所以点在直线上．

②若直线的斜率存在时，如图．
设斜率为．所以直线的方程为．联立方程组
消去，整理得．
显然．不妨设，，所以，．
所以直线的方程是．令，得．
直线的方程是．

令，得．所以

分子

．
所以点在直线上．
【名师点睛】本题第二问解题的关键在于分类讨论直线斜率不存在和存在两种情况，当直线斜率存在时，设，，写出直线的方程是和直线的方程是，进而计算得时的纵坐标相等即可．考查运算求解能力，是中档题．
19．椭圆C：的左、右焦点分别为F1、，过向圆：引切线F1T（T为切点），切线F1T的长为，且椭圆的离心率为，
（1）求椭圆C的方程；
（2）设为圆上的动点，O为坐标原点，过F2作OM的平行线，交椭圆C于G，H两点，求MGH的面积的最大值．
【试题来源】江西省新余市2021届高三上学期期末统考（理）
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）连接T，则F1T⊥T，由题意得，所以c＝2．
因为，则a＝3，，故椭圆C的方程为；
（2）设，直线GH的方程为x＝my＋2，
由可得，

则，．
所以．
所以
．
因为，所以点M到直线GH的距离等于原点O到直线GH的距离，距离为，故△MGH的面积为．
因为，所以直线：，即，
因为点为圆上的动点，所以点到直线的距离，
解得，令，则，
所以，因为在上单调递增，
所以当t＝2时，取得最小值，其值为12，所以△MGH的面积的最大值为．
20．已知椭圆：()的离心率，直线被以椭圆的短轴为直径的圆截得的弦长为．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点的直线交椭圆于，两个不同的点，且，求的取值范围．
【试题来源】吉林省长春外国语学校2021届高三上学期期末考试（文）
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）因为原点到直线的距离为，
所以（），解得．又，得
所以椭圆的方程为．
（2）当直线的斜率为时，，，
所以，
当直线的斜率不为时，设直线：，，，
联立方程组，得，
由，得，
所以，，
，
，

由，得，所以．
综上可得，即．
【名师点睛】（1）解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．（2）涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．
21．如图，点是椭圆：()的一个顶点，的长轴是圆：的直径．，是过点P且互相垂直的两条直线，其中交椭圆于另一点D，交圆于A，B两点．

（1）求椭圆的方程；
（2）当的面积取得最大值时，求直线的方程．
【试题来源】上学期江西省新余市2021届高三上学期期末质量检测（文）
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）由题意可得，，即．椭圆的方程为；
（2）设，，，，，．
由题意可知直线的斜率存在，设为，则直线的方程为．
又圆的圆心到直线的距离．
．又，故直线的方程为，
联立，消去得到，解得，
．三角形的面积，
令，则，，
，当且仅，即，当时取等号，
故所求直线的方程为．
22．已知椭圆离心率为，点A，B，D，E分别是C的左，右，上，下顶点，且四边形的面积为．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）已知F是C的右焦点，过F的直线交椭圆C于P，Q两点，记直线，的交点为T，求证：点T横坐标为定值．
【试题来源】陕西省西安市2020-2021学年高三上学期第一次质量检测（文）
【答案】（1）；（2）T横坐标为定值，证明见解析．
【解析】（1）设椭圆C的半焦距长为c，根据题意，解得，
故C的标准方程为．
（2）由（1）知，，，设，，，
由'①，，②
①②两式相除得，又，故，
所以，故．
所以③
由题意知直线不平行于x轴，由于直线经过F点，
所以设直线的方程为，代入，得，
把代入③，所以，
所以，解得．
所以点T横坐标为定值．
【名师点睛】解题的关键是根据A、P、T和B、Q、T共线得到，，化简整理，结合根与系数关系求解，直线的方程为，可避免讨论直线的斜率是否存在，简化计算，提高正确率，考查分析理解，计算化简的能力，属中档题．
23．已知椭圆的长轴长是焦距的倍，且过点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）点P是圆心在原点O，半径为的圆O上的一个动点，过点P作椭圆的两条切线，且分别交其圆O于点E､F，求动弦长的取值范围．
【试题来源】安徽省黄山市2020-2021学年高三上学期第一次质量检测（理）
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由得，把点代入椭圆方程得，
又，所以，椭圆的标准方程为．
（2）设过点P作椭圆的两条切线分别为．
①当中有一条斜率不存在时，不妨设斜率不存在，
因为与椭圆只有一个公共点，则其方程为或，
当方程为时，此时与圆O交于点和，
此时经过点，且与椭圆只有一个公共点的直线是或，
即为或，由题目知，圆O的方程为，
所以线段应为圆O的直径，所以．
②当斜率都存在时，设点，其中，且，
设经过点与椭圆只有一个公共点的直线为，
则，消去y得到，
所以，，
所以，满足条件的两直线垂直．
所以线段应为圆O的直径，所以，
综合①②知因为经过点，又分别交圆于点E，F，且垂直，
所以线段为圆的直径，所以为定值．
故的取值范围．
24．椭圆的右焦点为，离心率为，过的直线与椭圆交于，两点，当轴时，．
（1）求的方程；
（2）若直线与轴交于点，直线，垂足为(不与重合)，求证：直线平分线段．
【试题来源】贵州省贵阳市普通中学2021届高三上学期期末监测考试（文）
【答案】（1）；（2）证明见详解．
【解析】（1）记椭圆的右焦点为，
因为椭圆的离心率为，即，所以；
又过的直线与椭圆交于，两点，当轴时，，
将代入可得，则，
所以，由解得，即椭圆的方程为；
（2）因为直线与轴交于点，则；
又直线，垂足为(不与重合)，所以直线斜率不为，
不妨设直线的方程为，设，，
由消去可得，整理得，
则，，
不妨令，，
因为直线，垂足为，所以，
因此直线的方程为，
令，则
；
即直线与轴的交点为，
因为，，所以是中点，即直线平分线段．
【名师点睛】求解本题第二问的关键在于求出直线与轴交点的横坐标；解题时，需要先设的方程，联立直线与椭圆方程，结合根与系数关系，以及题中条件，表示出直线的方程，即可求出与轴交点的横坐标．
25．椭圆过点，其上､下顶点分别为点A，B，且直线，的斜率之积为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过椭圆C的左顶点作两条直线，分别交椭圆C于另一点S，T．若，求证：直线过定点．
【试题来源】江西省南昌市八一中学、洪都中学、十七中三校2021届高三上学期期末联考（理）
【答案】（1）；（2）证明见解析．
【解析】（1）因为，，所以，解得，
将，都代入椭圆方程，得，所以椭圆方程为；
（2）证明：设，，直线的方程为．
将代入椭圆方程，整理得，
，，由，得．
整理，得，
即．
化简，得，即．
当时，直线的方程为，恒过左顶点，不合题意
当时，直线的方程为，恒过点．
直线过定点．
26．椭圆的左、右焦点分别为、，离心率，过的直线l交C于点A、B，且的周长为8．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）点O为坐标原点，求面积S的取值范围．
【试题来源】安徽省淮南市2020-2021学年高三上学期第一次模拟（文）
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）利用椭圆定义可得的周长为，列出两个方程，，可计算出，从而得出标准方程．
（2）设出直线方程，与椭圆方程联立，表示出，．
把的面积表示出来，用函数单调性求取值范围．
【解析】（1）因为的周长为8，由椭圆的定义知，
故，又，所以，所以椭圆C的标准方程为．
（2）由题意可设直线l的方程为，，，
由，
显然且，，
所以
，令，
所以．
易知S在单调递减，从而．
27．已知椭圆的离心率为，短轴的两个端点和右焦点构成的三角形面积为．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知斜率为的直线经过点，且直线与椭圆交于点（不在轴上），若点在轴的负半轴上，是等边三角形，求的值．
【试题来源】天津市和平区2020-2021学年高三上学期期末
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）记椭圆的右焦点坐标为，
因为椭圆的离心率为，短轴的两个端点和右焦点构成的三角形面积为，所以有，解得，因此椭圆的方程为；
（2）由（1）可得，则直线的方程为，
因为直线与椭圆交于点（不在轴上），所以，
将代入可得，
整理得，
则，即，所以，
因此，即，
则
所以，
又点在轴的负半轴上，设，
则，，
又是等边三角形，所以，
即则，
所以，则，整理得，
代入可得，
则，整理得，
解得，所以，又，所以，故．
【名师点睛】求解本题的关键在于根据是等边三角形，列出方程组，结合直线与椭圆方程，已经两点间距离公式等，化简方程组，即可求解；此类题目计算量较大，要求考生要具备较强的计算能力．
28．已知点为椭圆上一点，且椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，过点作直线，，与椭圆分别交于点，．
（1）求椭圆的标准方程与离心率；
（2）若直线，的斜率之和为，证明：直线的斜率为定值．
【试题来源】广东省高州市2021届高三上学期第一次模拟
【答案】（1），离心率为；（2）证明见解析．
【解析】（1）由题设，得，①且，②
由①②解得，，所以椭圆的标准方程为，
椭圆的离心率为．
（2）直线的斜率为定值1．
证明：设直线的斜率为，则直线的斜率为，记，．
设直线的方程为，
与椭圆的方程联立，并消去得，
则，是该方程的两根，则，即．
设直线的方程为，同理得．
因为，，
所以，
因此直线的斜率为定值．
29．已知椭圆C：（）的两个顶点分别为点，，离心率为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）点D为x轴上一点，过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M，N，过D作的垂线交于点E．证明：与的面积之比为定值．
【试题来源】天津市河北区2020-2021学年高三上学期期末
【答案】（1）；（2）证明见解析．
【解析】（1）焦点在x轴上，两个顶点分别为点，，，
，， 椭圆C的方程为；
（2）设，，可得，
直线AM的方程为，

，，直线DE的方程：，
直线BN的方程：，
直线DE与直线BN的方程联立可得 ，
整理为，即，
，计算可得，
代入直线DE的方程可得，则，
又，所以与的面积之比为定值．
30．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的长轴长为4，离心率为．

（1）求椭圆C的方程；
（2）已知点A(a，0)，B(0，b)，直线l交椭圆C于P，Q两点(点A，B位于直线l的两侧)．
①若直线l过坐标原点O，设直线AP，AQ，BP，BQ的斜率分别为k1，k2，k3，k4．求证：k1k2＋k3k4为定值；
②若直线l的斜率为，求四边形APBQ的面积的最大值．
【试题来源】2021届高三新高考统一适应性考试江苏省南通中学2020-2021学年高三上学期12月考前热身练
【答案】（1）＋＝1；（2）①证明见解析；②2．
【解析】（1）由题意得解得a2＝4，b2＝3．
所以椭圆C的方程为＋＝1．
（2）①点A，B的坐标分别为(2，0)，(0，)．
设点P的坐标为(m，n)，由对称性知点Q的坐标为(－m，－n)．
所以k1＝，k2＝．所以k1k2＝·＝．
因为点P在椭圆C：＋＝1上，所以＋＝1，即m2－4＝－n2，
所以k1k2＝＝－．
同理k3k4＝－．所以k1k2＋k3k4＝＋＝－，为定值．
②由题意，A(2，0)，B(0，)．设l：y＝x＋t．
由点A(2，0)，B(0，)位于直线l的两侧，得＜0，
解得－＜t＜．由，消去y并整理，得3x2＋2tx＋2t2－6＝0．
由判别式＝(2t)2－4×3×(2t2－6)＞0，得t2＜6．
当－＜t＜时，显然，判别式＞0．设P(x1，y1)，Q(x2，y2)．
由根与系数的关系得，x1＋x2＝－，x1x2＝．
|PQ|＝·＝·＝·．点A(2，0)到直线l：y＝x＋t的距离d1＝＝．
因为－＜t＜，所以d1＝．
点B(0，)到直线l：y＝x＋t的距离d2＝＝．
因为－＜t＜，所以d2＝．
因此，四边形APBQ的面积＝·|PQ|·(d1＋d2)
＝×××＝2．
因为－＜t＜，显然，当t＝0时，(S四边形APBQ)max＝2．
31．如图，已知椭圆，矩形ABCD的顶点A，B在x轴上，C，D在椭圆上，点D在第一象限．CB的延长线交椭圆于点E，直线AE与椭圆､y轴分别交于点F､G，直线CG交椭圆于点H，DA的延长线交FH于点M．

（1）设直线AE､CG的斜率分别为､，求证：为定值；
（2）求直线FH的斜率k的最小值；
（3）证明：动点M在一个定曲线上运动．
【试题来源】江苏省泰州市2020-2021学年高三上学期期未
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）M在曲线上运动，证明见解析．
【解析】（1）由对称性，设，，，
则，得，故，，则，
（2）由，联立，
由根与系数的关系可得 ，所以，
所以，可得，
又，联立，
由根与系数的关系可得 ，所以，
所以可得，
所以
，
由图知，所以即，
当且仅当即取等．所以直线FH的斜率k的最小值为．
（3）易知，
令 可得，
所以，

，所以 ，
因为，所以，即M在曲线上．
【名师点睛】求轨迹方程的常用方法
（1）直接法：如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量，如（距离和角）的等量关系，或几何条件简单明了易于表达，只需要把这种关系转化为的等式，就能得到曲线的轨迹方程；
（2）定义法：某动点的轨迹符合某一基本轨迹如直线、圆锥曲线的定义，则可根据定义设方程，求方程系数得到动点的轨迹方程；
（3）几何法：若所求轨迹满足某些几何性质，如线段的垂直平分线，角平分线的性质，则可以用几何法，列出几何式，再代入点的坐标即可；
（4）相关点法（代入法）：若动点满足的条件不变用等式表示，但动点是随着另一动点（称之为相关点）的运动而运动，且相关点满足的条件是明显的或是可分析的，这时我们可以用动点的坐标表示相关点的坐标，根据相关点坐标所满足的方程，求得动点的轨迹方程；
（5）交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现求两个动曲线交点的轨迹问题，这类问题常常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数参数求出所求轨迹的方程．
32．已知椭圆：的左右焦点分别为，，过的直线与椭圆交于，两点，为椭圆的下顶点，为等腰三角形，当轴时，的面积为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线不与坐标轴垂直，线段的中垂线与轴交于点，若直线的斜率为，求直线的方程．
【试题来源】江西省吉安市2021届高三大联考数学（理）（3-2）试题
【答案】（1） ；（2）或 ．
【解析】（1）由题设知，，，因为为等腰三角形，所以，
又直线过，当轴时，，
所以的面积为，
由解得，，；故椭圆的标准方程为．
（2）由（1）知，，，设直线的方程为，
由得，，设，，
所以，，设线段的中点为，
则，，即．
设，因为，所以，解得，，
即，因为直线的斜率为，所以，即，
解得，或，故直线的方程为或．
33．已知椭圆的离心率为，且过点．
（1）求椭圆的方程；
（2）设不过原点且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，线段的中点为，直线与椭圆交于，证明：．
【试题来源】北京房山区2021届高三上学期数学期末试题
【答案】（1）；（2）证明见解析．
【解析】（1）根据题意： ，所以椭圆G的方程为．
（2）设直线l的方程为，
由 消去得，即，
需 即 ，
设，中点，则，
，那么直线的方程为即，
由 ，不妨令 ，
那么
，


，所以 |MC|·|MD|=|ME|·|MF|．
【名师点睛】本题考查了直线与椭圆的位置关系，解题的关键是直线方程与椭圆方程联立，利用根与系数关系可得中点，从而求出直线OM方程，将直线与椭圆再次联立，求出点，考查了分析问题、解决问题能力，以及计算能力．
34．已知椭圆的离心率为，且经过点．
（1）求椭圆的方程及其长轴长；
（2），分别为椭圆的左、右顶点，点在椭圆上，且位于轴下方，直线交轴于点，若的面积比的面积大，求点的坐标．
【试题来源】北京市海淀区2021届高三年级第一学期期末练习
【答案】（1），；（2）．
【解析】（1）因为椭圆经过点，所以．
因为椭圆的离心率为，所以，其中．所以．
所以椭圆的方程为，长轴长．
（2）因为点在轴下方，所以点在线段（不包括端点）上．
由（1）可知，．所以的面积为．
因为的面积比的面积大，
所以点在线段（不包括端点）上，且的面积等于的面积．
所以的面积等于的面积．所以．
设，，则①．
因为点在椭圆上，所以②．
由①②解得，所以的坐标为．
【名师点睛】本题解题的关键是由的面积比的面积大，得出的面积等于的面积，进而可得的面积等于的面积，从而．
35．已知圆：()，O为平面直角坐标系的原点，点，M是圆上的任意一点，线段的垂直平分线与直线交于点P
（1）求点P的轨迹E的方程．
（2）已知点A为轨迹E上异于顶点的任意一点，连接并延长交轨迹E与于点B，点N是点B在x轴上的投影，连接并延长交轨迹E于点C，若，判断是否为定值．若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
【试题来源】江苏省宿迁中学、如东中学、阜宁中学三校2020-2021学年高三上学期八省联考前适应性考试
【答案】（1）；（2）为定值，
【解析】（1）由题可得，，
是线段的垂直平分线上的点，，，
点P的轨迹是以为焦点，为长轴长的椭圆，方程为；
（2）由题可知直线的斜率存在且不为0，设为，则直线方程为，
设，设，则①，
由题可得，，设，
设，即，可得，
在椭圆上，则，即②，
，即，
即③，
联立①②可得，代入③，
则，整理可得，
，为定值．
【名师点睛】本题考查椭圆中的定值问题，解题的关键是根据点的特征结合条件分别得出，和．
36．已知椭圆的左､右焦点分别为，，过点作直线交椭圆于，两点(与轴不重合)，，的周长分别为12和8．
（1）求椭圆的方程；
（2）在轴上是否存在一点，使得直线与的斜率之积为定值？若存在，请求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【试题来源】海南省2021届高三年级第二次模拟考试
【答案】（1）；（2）存在，坐标为和．
【解析】（1）设椭圆的焦距为，由题意可得，
解得，所以，因此椭圆的方程为．
（2）因为直线过点且不与轴重合，所以设的方程为，
联立方程，消去并整理得，
设，，则，
所以，
．
设，则直线与的斜率分别为，，
则
．所以当，即
当时，，；当时，，．
因此，所有满足条件的的坐标为和．
【名师点睛】定点问题解决步骤：
（1）设直线代入二次曲线方程，整理成一元二次方程；
（2）根与系数关系列出两根和及两根积；
（3）写出定点满足的关系，整体代入两根和及两根积；
（4）整理（3）所得表达式探求其恒成立的条件．
37．已知椭圆经过点和．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线与椭圆交于、两点，且坐标原点到直线的距离为．求证：以为直径的圆经过点．
【试题来源】北京市顺义区2021届高三上学期期末考试
【答案】（1）；（2）证明见解析．
【解析】（1）将点、的坐标代入椭圆的方程，可得，解得，
因此，椭圆的方程为；
（2）设点、，
由于原点到直线的距离为，即，可得，
联立，消去并整理得，
，
由根与系数关系可得，，
，
所以，，即以为直径的圆经过点．
38．已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，过作直线，分别与椭圆C交于A，B，C，D四点，且，的周长为8．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若M，N分别是，的中点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．
【试题来源】宁夏六盘山市高级中学2021届高三上学期期末考试（文）
【答案】（1）；（2）证明见解析，．
【解析】（1）因为椭圆的离心率，
因为三角形的周长为8，则，所以，，
所以，故椭圆的标准方程为．
（2）设点，，设直线的方程为，与椭圆方程联立可得
，则，，
故，故的中点M的坐标为，
由，它们的斜率乘积为-1，可得的中点坐标为，
令，解得，此时，
故直线过点，当时，，
，所以，即M，N，G三点共线，
所以直线过定点，
若，有一个斜率不存在时，则必有一直线为y轴，也过定点，
综上，直线过定点．
39．已知中心在坐标原点的椭圆，其焦点分别为，，点为椭圆上一点．

（1）求椭圆的方程；
（2）过点的直线与轴交于点，由点引另一直线交椭圆于两点．是否存在实数，使得直线的斜率成等差数列，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
【试题来源】浙江省嘉兴市2020-2021学年高三上学期期末
【答案】（1）；（2）存在，．
【解析】（1）设椭圆的方程为，由题意可求得，，
由椭圆定义可知，所以，而，故，
故所求椭圆的方程为；
（2）假设存在实数，使得直线的斜率成等差数列，即满足，
①当直线的斜率为零时，此时直线与椭圆的交点是椭圆长轴的端点，
不妨设，，此时，，，
由于，故，解得，
②当直线斜率不为零时，可设直线的方程为，
，，联立方程组，
整理得，
，故，
而，，，
又，故，
整理得，
将代入上式可得，整理得，对于任意该等式恒成立.
故，解得，
综合①②，可知存在实数，使得直线的斜率成等差数列．
40．已知在平面直角坐标系中，圆：的圆心为，过点任作直线交圆于点，过点作与平行的直线交于点．
（1）求动点的轨迹方程；
（2）设动点的轨迹与轴正半轴交于点，过点且斜率为的两直线交动点的轨迹于两点（异于点），若，证明：直线过定点．
【试题来源】湖北省部分重点中学2020-2021学年高三上学期期末联考
【答案】（1）；（2）直线过定点，证明见解析．
【解析】（1）由圆：可得，
所以圆心，圆的半径，
因为，所以，
因为，所以，可得，所以，
所以，
由椭圆的定义可得点的轨迹是以、为焦点，的椭圆，
即，，所以，
所以动点的轨迹方程为 ；
（2）由（1）知，，设，，
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
由 可得，
所以，，
因为
，所以，
即，
整理可得，所以或，
当时，直线的方程为，此时过点不符合题意，所以，
所以直线的方程为，
此时直线过点，
当直线的斜率不存在时，，
，解得，
此时直线的方程为，过点，
综上所述：直线过定点．