专题14 双曲线（客观题）（新高考地区专用）（解析版）

这是一份专题14 双曲线（客观题）（新高考地区专用）（解析版），共43页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题等内容，欢迎下载使用。

专题14 双曲线（客观题）
一、单选题
1．已知双曲线的左､右焦点分别为，过的直线与双曲线的左､右两支分别交于A，B两点，若为等边三角形，则双曲线的离心率为
A． B．
C． D．3
【试题来源】陕西省榆林市2020-2021学年高三上学期第一次高考模拟测试（文）
【答案】C
【分析】利用等边三角形的性质，结合双曲线的定义，建立的等量关系式求解．
【解析】取的中点D，连结，设，则，
因为，所以，
从而，故选C．
【名师点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．
2．已知双曲线：(，)的左､右焦点分别为，，且以为直径的圆与双曲线的右支交于，直线与的左支交于，若，则双曲线的离心率为
A． B．
C． D．
【试题来源】陕西省宝鸡市2020-2021学年高三上学期高考模拟检测（一）（文）
【答案】D
【分析】设，则由题设和双曲线的定义可得，，，利用勾股定理可求的值及离心率．
【解析】连接．因为以为直径的圆与双曲线的右支交于，故．
设，则，，，，
由为直角三角形，故，解析，故，，因为为直角三角形，故，故．故选D．
【名师点睛】与焦点三角形有关的离心率的计算，注意利用双曲线的定义实现边的关系的转化，必要时需多次转化．
3．已知抛物线上一点到其焦点的距离为5，双曲线的左顶点为A且离心率为，若双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的方程为
A． B．
C． D．
【试题来源】天津市滨海七校2020-2021学年高三上学期期末联考
【答案】D
【分析】先求出抛物线的方程，从而得到的值，根据离心率得到渐近线方程，由渐近线与直线垂直得到的值，从而可得双曲线的方程．
【解析】因为到其焦点的距离为5，故，故，故抛物线的方程为，故．因为离心率为，故，故，
根据抛物线和双曲线的对称性，不妨设在第一象限，则，
则与渐近线垂直，故，故，故，
故双曲线方程为．故选D．
【名师点睛】（1）上一点到其焦点的距离为，解题中注意利用这个结论．（2）如果直线与直线垂直，那么．
4．已知双曲线的左､右焦点分别为，，且以为直径的圆与双曲线的渐近线在第四象限交点为，交双曲线左支于，若，则双曲线的离心率为
A． B．
C． D．
【试题来源】陕西省宝鸡市2020-2021学年高三上学期高考模拟检测（一）（理）
【答案】A
【分析】写出圆方程，与渐近线方程联立解得得点坐标，由可表示出点坐标，点坐标代入双曲线方程整理后可求得．
【解析】，圆方程为，
由， 由，，解得，即，
设Q(x0，y0)，由，，得，，
因为在双曲线上，所以，，
解得（舍去），故选A
【名师点睛】解题关键是找到关于的齐次关系式，由题意中向量的线性关系，可得解法，圆与渐近线相交得点坐标，由向量线性关系得点坐标，代入双曲线方程可得．
5．已知双曲线的左焦点为F，左顶点为A，直线交双曲线于P､Q两点(P在第一象限)，直线与线段交于点B，若，则该双曲线的离心率为
A．2 B．3
C．4 D．5
【试题来源】安徽省淮北市2020-2021学年高三上学期第一次模拟考试（理）
【答案】D
【分析】设，，联立直线与双曲线方程即可求出设，的坐标，设，由，所以，即可表示出的坐标，再根据、、在一条直线上，所以，即可求出得到方程，从而得解；
【解析】依题意可得，，因为在第一象限，所以，设，，联立直线与双曲线方程，消去得，解得，所以，，
设，由，所以，
即
即解得即
因为、、在一条直线上，所以，
即，
即，
即，
所以，解得，所以，故选D.
6．已知知是椭圆与双曲线的公共焦点，是在第二象限的公共点．若，则双曲线的离心率为
A． B．
C． D．
【试题来源】河南省郑州市2020-2021学年高三上学期第一次质量检测（文）
【答案】B
【分析】求出椭圆焦点得双曲线焦点，从而得双曲线的，利用勾股定理和椭圆的定义求得得双曲线的实轴长，可得双曲线离心率．
【解析】易知椭圆的焦点坐标为，
设双曲线方程为，则，
记，由在椭圆上有，
所以，即，，
所以双曲线离心率为．故选B．
7．设点分别为双曲线的左右焦点，点分别在双曲线的左、右支上，若，且则双曲线的离心率为
A． B．
C． D．
【试题来源】河南省郑州市2020-2021学年高三上学期第一次质量检测（理）
【答案】B
【解析】因为，所以共线，设，则，
，所以，
所以，结合双曲线定义得，
所以，整理得．或，
若，则，，不满足，舍去，
若，则，，满足，，，
所以在中，
在中，由余弦定理得，
即，整理得，所以．故选B．
8．设双曲线：的离心率为，则的渐近线方程为
A． B．
C． D．
【试题来源】辽宁省葫芦岛市协作校2020-2021学年高三12月联考
【答案】B
【分析】根据，即可求解．
【解析】由题意，双曲线：的离心率为，即，
所以，所以的渐近线方程为．故选B．
9．已知双曲线，其中为其一条渐近线方程，则此双曲线的离心率为
A． B．
C． D．3
【试题来源】山西省运城市河津中学2021届高三上学期阶段性测评（文）
【答案】C
【分析】根据题意，得到，结合离心率的定义，即可求解．
【解析】由题意，双曲线，其中为其一条渐近线方程，可得，
所以双曲线的离心率为．故选C．
10．过原点的直线与双曲线：（，）相交于不同的两点，，为双曲线的左焦点，且满足，（为坐标原点），则双曲线的渐近线的斜率为
A． B．
C． D．
【试题来源】安徽省六安市第一中学2020-2021学年高三上学期第四次月考（文）
【答案】B
【分析】设点为双曲线的右焦点，根据直线过原点，由双曲线的对称性得到，再利用双曲线的定义结合 ，得到，再根据，易得，然后由求解．
【解析】设点为双曲线的右焦点，因为直线过原点，由双曲线的对称性得四边形是平行四边形，所以，由双曲线的定义得，所以，
因为，所以，因为，则，
因为，所以，则，即，
解得，即，故选B.
11．若椭圆的离心率为，则双曲线的离心率为
A． B．
C． D．2
【试题来源】西安市长安区第一中学2020-2021学年高三上学期第一次教学质量检测（文）
【答案】B
【分析】利用椭圆的离心率，可得，的关系，然后转化求解双曲线的离心率即可．
【解析】椭圆的离心率为，可得，即，
双曲线的离心率为．故选．
12．在平面直角坐标系中，双曲线的右焦点为，过双曲线上一点作轴的垂线足为，若，则该双曲线的离心率为
A． B．
C． D．
【试题来源】河南九师联盟2020-2021学年高三新高考11月质量检测
【答案】A
【解析】不妨设在第一象限，则，根据题意，四边形为正方形，于是，即，化简得，解得（负值舍去）．故选A．
13．已知点为双曲线（，）的左焦点．直线：与双曲线的左支交于点，且（为坐标原点），则此双曲线的离心率为
A． B．
C． D．
【试题来源】河南省洛阳市2020-2021学年第一学期高三第一次统一考试理数试题
【答案】A
【分析】首先根据条件求出点的坐标，然后根据双曲线的定义可建立方程求解．
【解析】因为，直线：，所以
因为，所以可得，，
设双曲线的右焦点为，由双曲线的定义可得
即，所以
所以，故选A.
14．双曲线的两条渐近线相互垂直，则其焦距长为
A．2 B．
C．4 D．
【试题来源】江西省名校2021届高三上学期第二次联考（理）
【答案】C
【解析】双曲线的渐近线方程为，
因为两条渐近线互相垂直，所以，得，
因为，所以．所以双曲线的焦距长为4．故选C．
15．已知双曲线的焦距为4，则该双曲线的渐近线方程为
A． B．
C． D．
【试题来源】河南省开封市2021届高三第一次模拟考试（理）
【答案】B
【解析】因为双曲线的焦距为4，
所以，则，则该双曲线的渐近线方程为．故选B．
16．若双曲线(a>0，b>0)的渐近线与抛物线y＝x2＋2有公共点，则此双曲线的离心率的取值范围是
A．[3，＋∞) B．(3，＋∞)
C．(1，3] D．(1，3)
【试题来源】备战2021年新高考数学一轮复习考点微专题
【答案】A
【解析】依题意可知双曲线渐近线方程为，与抛物线方程联立消去y得x2±＋2＝0．因为渐近线与抛物线有交点，所以Δ＝－8≥0，求得b2≥8a2，
所以c＝≥3a，所以e＝≥3．故选A.
17．已知抛物线的焦点为双曲线的一个焦点，那么
A． B．5
C．10 D．20
【试题来源】河南省2021届高三名校联盟模拟信息卷（文）
【答案】C
【分析】分别表示出抛物线的焦点与双曲线的左焦点，进而构建等式求解即可．
【解析】双曲线的左焦点坐标是，抛物线的焦点为所以，解得．故选C．
18．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，离心率为，过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于，两点，若，且，则
A． B．
C． D．
【试题来源】山西省榆社中学2021届高三上学期11月阶段性考试（文）
【答案】C
【分析】根据题中条件，先得到，，设，根据双曲线的定义，结合勾股定理，得到，即可求出结果．
【解析】，，，
，，设，则，，
由双曲线定义可得，，又，则，则，所以，因此，
在中，由勾股定理可得，
即，所以．故选C．
【名师点睛】求解本题的关键是先依据题意得到直角三角形，结合双曲线的定义求出三角形三边的长度与的数量关系，借助勾股定理求出离心率的取值即可．
19．已知抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，则
A． B．
C．5 D．
【试题来源】北京市中国人民大学附属中学2021届高三上学期数学统练5试题
【答案】C
【分析】首先求抛物线的焦点坐标，由双曲线方程可知，求的值．
【解析】抛物线的焦点是，
双曲线中，，由题意可知，解得．故选C.
20．双曲线的左、右焦点分别为，，点在双曲线上，且，，则双曲线的离心率为
A． B．
C． D．
【试题来源】天津市红桥区2020-2021学年高三上学期期末
【答案】A
【分析】根据双曲线定义及，，整理可得的值，再根据离心率公式求得离心率．
【解析】由双曲线定义可知，又，，
故，
整理得或（舍），故离心率，故选A．
【名师点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．
21．若双曲线与双曲线有公共点，则双曲线的离心率的取值范围是
A． B．
C． D．
【试题来源】安徽省淮北市2020-2021学年高三上学期第一次模拟考试（文）
【答案】D
【解析】因为双曲线的渐近线方程为，
双曲线的渐近线方程为，
为使双曲线与双曲线有公共点，
只需，则离心率为．故选D．
22．设､分别为双曲线的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点，满足且到直线的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率为
A． B．
C． D．
【试题来源】陕西省汉中市2020-2021学年高三上学期第一次模拟（文）
【答案】D
【分析】利用题设条件和双曲线的定义，表示出边，然后利用勾股定理得到的的等量关系，左右同时除以，化简即可求得离心率．
【解析】依题意，可知是一个等腰三角形，在直线的投影是中点，根据双曲线定义可知，所以，由勾股定理可知，整理可得，即，解得．故选D．
23．在平面直角坐标系中，已知顶点和，点在双曲线的右支上，则
A． B．
C． D．
【试题来源】云南省昆明市第一中学2021届高三第三次双基检测（理）
【答案】D
【解析】因为点在双曲线的右支上，且和为双曲线的两个焦点，所以；因为，所以由正弦定理得，故选D．
【名师点睛】解答本题的关键在利用正弦定理将变形为边的形式，然后可根据所给长度求解出结果．
24．已知双曲线(，)的左右焦点分别为，，为双曲线右支上的任意一点，若的最小值为，则双曲线离心率的取值范围是
A． B．
C． D．
【试题来源】辽宁省朝阳市凌源市第二高级中学2020-2021学年高三上学期期中
【答案】C
【分析】由双曲线的定义和基本不等式可得当，时，取得最小值，再由即可求出离心率范围．
【解析】为双曲线右支上的任意一点，则，即，
则，
当且仅当，即时等号成立，此时，
，即，即，．故答案为C．
25．已知，是双曲线的左右焦点，若在右支上存在点使得点到直线的距离为，则离心率的取值范围是
A． B．
C． D．
【试题来源】湘豫名校联考2020-2021学年高三（理）
【答案】D
【分析】设直线的方程，利用点到直线的距离建立等式，解出斜率，因为，从而求出的不等关系，进而解出离心率的范围．
【解析】设：，因为点 在右支上，则，
因为，所以，即，解得故选D．
26．如图，已知点是双曲线上的点，过点作椭圆的两条切线，切点为、，直线交的两渐近线于点、，是坐标原点，则的值为

A． B．
C． D．
【试题来源】浙江省绍兴市稽阳联谊学校2020-2021学年高三上学期11月联考
【答案】B
【分析】设点，求出直线的方程为，联立直线与双曲线两渐近线方程，求出点、的坐标，由此可计算得出的值．
【解析】先证明结论：椭圆在其上一点的切线方程为．由于点在椭圆上，则，
联立，消去得，
即，即，所以，直线与椭圆相切．所以椭圆在其上一点的切线方程为．
本题中，设点，设点、，
直线的方程为，直线的方程为，
由于点在直线、上，可得，
所以点、满足方程，所以，直线的方程为．联立，得点，
同理．
因此，．故选B．
【名师点睛】在利用椭圆的切线方程时，一般利用以下方法进行直线：
（1）设切线方程为与椭圆方程联立，由进行求解；
（2）椭圆在其上一点的切线方程为，在应用此方程时，首先应证明直线与椭圆相切．
27．已知曲线：与曲线：有公共的焦点F，P为与在第一象限的交点，若轴，则的离心率e等于
A． B．
C． D．
【试题来源】江西省赣州市部分重点中学2021届高三上学期期中考试（文）
【答案】A
【解析】抛物线的焦点为，
由轴，即，可求得，
设双曲线的另一个焦点为，
由抛物线的焦点为与双曲线的右焦点重合，
即，可得双曲线的焦距，
由为直角三角形，则，
根据双曲线的定义，得，
所以双曲线的离心率为，故选A．
28．已知为双曲线的右顶点，为双曲线右支上一点，若点关于双曲线中心的对称点为，设直线、的倾斜角分别为、，且，则双曲线的渐近线方程为
A． B．
C． D．
【试题来源】河南省2021届高三上学期名校联盟模拟信息卷（理）
【答案】B
【解析】设，则，因为，所以，即，，，
因为，所以，
因为，所以，即，，，
故双曲线的渐近线方程为，故选B．
【名师点睛】本题考查双曲线渐近线方程的求法，双曲线的渐近线方程为，双曲线的渐近线方程为，考查两角和的正切公式的应用，考查计算能力，考查转化与化归思想，是中档题．
29．已知双曲线的离心率为，左、右焦点分别为、，在的左支上，轴，、关于原点对称，四边形的面积为，则
A． B．
C． D．
【试题来源】周口市商丘市大联考2020-2021学年第一学期高中毕业班阶段性测试
【答案】A
【分析】设，求出，由题意可知四边形为平行四边形，根据四边形的面积为可得出关于的等式，由此可求得．
【解析】设，由于双曲线的离心率为，，则，所以，双曲线的方程为，即，
将即代入双曲线的方程可得，，
由于、关于原点对称，、关于原点对称，则四边形是平行四边形，
四边形的面积，解得，．故选A．
30．直线和双曲线的渐近线相交于，两点，则线段的长度为
A． B．
C． D．
【试题来源】四川省凉山州2020-2021学年高三第一次诊断性检测（理）
【答案】A
【解析】双曲线的渐近线为，
设与相交于A点，与相较于B点，
由解得，由解得，
所以，故选A．
二、多选题
1．已知动点P在左、右焦点分别为、的双曲线C上，下列结论正确的是
A．双曲线C的离心率为2 B．当P在双曲线左支时的最大值为
C．点P到两渐近线距离之积为定值 D．双曲线C的渐近线方程为
【试题来源】广东省兴宁市第一中学2021届高三上学期期末
【答案】AC
【解析】在双曲线C中，实半轴长，虚半轴长，半焦距．
对于AD，双曲线的离心率，渐近线方程为，故A正确，D错误；
对于B，当P在双曲线的左支上时，，
故，当且仅当时，即时等号成立，故的最大值为，故B错误；
对于C，设，则，即，而渐近线为和，故到渐近线的距离之积为为定值，故C正确．故选AC．
2．己知双曲线的一条渐近线过点，点为双曲线的右焦点，则下列结论正确的是
A．双曲线的离心率为
B．双曲线的渐近线方程为
C．若点到双曲线的渐近线的距离为，则双曲线的方程为
D．设为坐标原点，若，则的面积为
【试题来源】江苏省南通市海安市实验中学2020-2021学年高三上学期第三次学情检测
【答案】ABC
【解析】对于A． 双曲线的一条渐近线过点，
所以渐近线方程为，所以，所以，故A正确．
对于B． 双曲线的一条渐近线过点，
所以渐近线方程为，即，故B正确．
对于C． 若点到双曲线的渐近线的距离为，则，
根据A：可得，，所以双曲线的方程为，故C正确．
对于D． 若，则，
所以，故D不正确．故选ABC．
3．已知双曲线的右焦点为，一条渐近线过点，则下列结论正确的是
A．双曲线的离心率为
B．双曲线与双曲线有相同的渐近线
C．若到渐近线的距离为2，则双曲线的方程为
D．若直线与渐近线围成的三角形面积为则焦距为
【试题来源】江苏省苏州市常熟市2020-2021学年高三上学期阶段性抽测二
【答案】BCD
【解析】渐近线的方程为，因为一条渐近线过点，
故即，故离心率为，故A错误．
又渐近线的方程为，而双曲线的渐近线的方程为，
故B正确．若到渐近线的距离为2，则，故，
所以双曲线的方程为，故C正确．
直线与渐近线的两个交点的坐标分别为及，
故即，
而，故，，所以，
所以，故焦距为，故D正确．故选BCD．
【名师点睛】（1）求双曲线的渐近线的方程，一般是将等号右边的常数变为零；（2）双曲线的焦点到渐近线的距离为．
4．已知曲线C的方程为，则下列结论正确的是
A．当k=4时，曲线C为圆
B．当k=0时，曲线C为双曲线，其渐近线方程为
C．“”是“曲线C为焦点在x轴上的椭圆”的充分不必要条件
D．存在实数k使得曲线C为双曲线，其离心率为
【试题来源】江苏省南京航空航天大学附属高级中学2021届高三上学期期中三校联考
【答案】ABC
【解析】对于A选项，当k=4时，曲线C的方程可化为，为圆心在原点，半径为的圆，所以选项A正确；
对于B选项，当k=0时，曲线C的方程可化为，，，
焦点在y轴上的双曲线，其渐近线方程为，所以选项B正确；
对于C选项，当曲线C表示焦点在x轴上的椭圆时，要满足，解得，则Ü，
所以“”是“曲线C为焦点在x轴上的椭圆”的充分不必要条件，所以选项C正确；
对于D选项，当曲线C的方程表示离心率为的双曲线时，
有，则a=b，即|k－2|=|6－k|，解得k=4，
此时曲线C表示为圆，即不存在实数k使得曲线C为双曲线，其离心率为，所以选项D错误；故选ABC．
5．已知､是双曲线C：的上､下焦点，点M是该双曲线的一条渐近线上的一点，并且以线段为直径的圆经过点M，则下列说法正确的有
A．双曲线C的渐近线方程为
B．以为直径的圆方程为
C．点M的横坐标为
D．的面积为
【试题来源】广东省惠州市2021届高三上学期第二次调研
【答案】AD
【解析】由双曲线方程知，，焦点在轴，渐近线方程为，A正确；
，以为直径的圆的方程是，B错误；
由得或，由得或．
所以，点横坐标是，C错误；
，D正确．故选AD．
【名师点睛】双曲线的渐近线方程为，而双曲线的渐近线方程为（即），应注意其区别与联系．
6．已知点是双曲线方程：的右支上的一点，，分别是双曲线的左右焦点，且，双曲线的右顶点为，则下列说法正确的是．
A． B．双曲线的渐近线方程为
C．的内切圆与轴相切于点 D．
【试题来源】广东省普宁市七校联合体2021届高三上学期（11月）第二次联考
【答案】ABCD
【解析】对A，设，则，，
由余弦定理可得，则可得，
，故A正确；
对B，，故渐近线方程为，故B正确；
对C，设内切圆与，分别相切于，
则，，，
，即，即，
，，，即点，故C正确；
对D，，，，故D正确．故选ABCD．
【名师点睛】本题考查双曲线焦点三角形的问题，解题的关键是正确理解双曲线的定义，能够利用定义进行转化．
7．已知双曲线与直线交于，两点，点为上一动点，记直线，的斜率分别为，，的左、右焦点分别为．若，且的焦点到渐近线的距离为1，则下列说法正确的是
A．
B．的离心率为
C．若，则的面积为2
D．若的面积为，则为钝角三角形
【试题来源】辽宁省部分重点高中2020-2021学年高三第一学期联考
【答案】AD
【解析】设点，，，
则，且，两式相减得，所以．
因为，所以，，
故双曲线的渐近线方程为．因为焦点到渐近线的距离为1，
所以，，所以，，离心率为，故A正确，B错误．
对于C，不妨设在的右支上，记，则．
因为，所以，解得或（舍去），
所以的面积为，故C不正确．
对于D，设，因为，所以，
将代入，得，即．
由对称性，不妨取的坐标为，则，
，
因为，
所以为钝角，所以为钝角三角形，故D正确．故选AD
【名师点睛】本题关键是由，，在双曲线上，利用点差法，结合求得双曲线方程．
8．在平面直角坐标系中，已知双曲线的焦点在圆上，圆与双曲线的渐近线在第一、二象限分别交于、两点，若点满足 (为坐标原点)，下列说法正确的有
A．双曲线的虚轴长为
B．双曲线的离心率为
C．双曲线的一条渐近线方程为
D．三角形的面积为
【试题来源】福建省厦门双十中学2021届高三12月月考
【答案】BD
【解析】因为双曲线的焦点在圆上，
所以双曲线的半焦距为，
由可得其渐近线方程为，
因为圆与双曲线的渐近线在第一、二象限分别交于、两点，不妨设，则，
又，，所以，即，
整理得，又点在圆上，所以，
由解得，即，又点在渐近线上，所以，由解得，因此双曲线的方程为；
所以其虚轴长为，故A错；离心率为，故B正确；
其渐近线方程为，故C错；三角形的面积为，故D正确．故选BD．
【名师点睛】解决本题的关键在于通过题中条件，求出双曲线的方程；根据渐近线与圆的交点，以及，求出交点坐标，得出之间关系，进而可求出双曲线方程，从而可得出结果．
9．已知双曲线：的实轴长是2，右焦点与抛物线：的焦点重合，双曲线与抛物线交于、两点，则下列结论正确的是
A．双曲线的离心率为 B．抛物线的准线方程是
C．双曲线的渐近线方程为 D．
【试题来源】江苏省南京市第二十九中学2002-2021学年高三上学期期中
【答案】BC
【解析】由双曲线：的实轴长为2，可得，
又由抛物线：的焦点重合，可得双曲线的右焦点为，即，
则，可知双曲线：，
所以双曲线的离心率为，抛物线的准线方程是，
双曲线的渐近线方程为，所以A不正确；B、C正确，
联立方程组 ，解得，
所以，所以D不正确．故选BC．
10．双曲线的左、右焦点分别为，点为的左支上任意一点，直线是双曲线的一条渐近线，，垂足为．当的最小值为3时，的中点在双曲线上，则
A．的方程为 B．的离心率为
C．的渐近线方程为 D．的方程为
【试题来源】黑龙江省鹤岗一中2021届高三（上）期中（理）
【答案】BCD
【解析】因为，所以
因为焦点到渐近线的距离为，所以的最小值为，所以 不妨设直线为，因为，所以点，，的中点为．将其代入双曲线的方程，得，即，解得 因为，所以，故双曲线的方程为，离心率为，渐近线方程为故选BCD
三、填空题
1．已知双曲线的离心率是，则双曲线的右焦点坐标为_________．
【试题来源】北京市昌平区2021届高三年级上学期期末质量抽测
【答案】
【解析】由题意可知，该双曲线的离心率为，解得，
所以，双曲线的标准方程为，则，
因此，该双曲线的右焦点坐标为．故答案为．
2．已知点P是双曲线上的动点，，分别为双曲线的左，右焦点，O为坐标原点．若点M是的角平分线上的一点，且，则_________．
【试题来源】湖南省长沙市第一中学2020-2021学年高三上学期月考（六）
【答案】2
【解析】延长交延长线于点，
因为点是的角平分线上的一点，且，
所以点为的中点，；
又点为的中点，所以
当点在右支时（如图1），，
由双曲线的定义可得，
所以，
当点P在左支时（如图2），，
由双曲线的定义可得，
所以．故答案为．

【名师点睛】求解本题的关键在于先延长交延长线于点，根据题中条件，得出，，结合双曲线的定义，即可求解．
3．在平面直角坐标系中，设双曲线的右焦点为，若双曲线的右支上存在一点，使得△是以为直角顶点的等腰直角三角形，则双曲线的离心率为_________．
【试题来源】江苏省常州市四校联考2020-2021学年高三上学期期末
【答案】(或)
【分析】先根据的形状先确定出点坐标，然后将点坐标代入双曲线方程，根据的齐次式求解出离心率的值．
【解析】因为是以为直角顶点的等腰直角三角形，
不妨假设在第一象限，所以，所以，
所以，所以，
所以，所以，
所以，所以，
因为，所以，
故答案为（或）．
4．如图，正方形内的图形来自中国古代的太极图．勤劳而充满智慧的我国古代劳动人民曾用太极图解释宇宙现象．太极图由正方形的内切圆(简称大圆)和两个互相外切且半径相等的圆(简称小圆)的半圆弧组成，两个小圆与大圆均内切．若正方形的边长为8，则以两个小圆的圆心(图中两个黑白点视为小圆的圆心)为焦点，正方形对角线所在直线为渐近线的双曲线实轴长是_________．

【试题来源】2021年1月浙江省普通高中学业水平考试
【答案】
【解析】以两焦点所在直线为轴，两焦点所在线段的中垂线为轴建立直角坐标系，
设双曲线的焦距为，由题意得双曲线的渐近线方程为，，
所以，进而得．故双曲线的实轴长为．故答案为

5．点是椭圆与双曲线的一个交点，点是椭圆的两个焦点，则的值为_________．
【试题来源】上海市青浦区2021届高三上学期一模
【答案】
【分析】先判断出椭圆与双曲线有相同的焦点坐标，设，不妨设，利用椭圆与双曲线的定义，求出即可．
【解析】对于椭圆：焦点在轴上，；
对于双曲线：焦点在轴上，；
则椭圆与双曲线有相同的焦点坐标，设，不妨设，
利用椭圆与双曲线的定义，得到，则，
所以，则的值为；故答案为．
6．如图，已知双曲线的左､右焦点分别为，，M是C上位于第一象限内的一点，且直线与y轴的正半轴交于A点，的内切圆在边上的切点为N，若，则双曲线C的离心率为________．

【试题来源】湖南省长沙市雅礼中学2020-2021学年高三上学期月考（四）
【答案】
【分析】根据双曲线的定义以及圆的切线定理得到，进而得到，求出，即可求出双曲线的离心率．
【解析】如图所示：设的内切圆在上的切点分别为，

由双曲线的定义知，即，
又，即，即，
又，，即，则，，
，即，，故答案为．
【名师点睛】本题解题的关键是利用双曲线的定义以及切线长定理得到．
7．已知分别为双曲线的左右焦点，过的直线与双曲线的左支交于两点，连接，在中，，，则双曲线的离心率为_________．
【试题来源】吉林省梅河口市第五中学2021届高三上学期第三次月考（文）
【答案】
【分析】设，则由双曲线定义可得，，，由可得，再在中根据余弦定理即可列出式子求出离心率．
【解析】设，则由双曲线定义可得，
，则，
则，解得，从而．
在中，，
即，解得．故答案为2．
8．已知椭圆：和双曲线：的焦点相同，，分别为左､右焦点，是椭圆和双曲线在第一象限的交点，轴，为垂足，若(为坐标原点)，则椭圆和双曲线的离心率之积为_________．
【试题来源】浙江省台州市六校2020-2021学年高三上学期期中联考
【答案】
【解析】设椭圆和双曲线的半焦距为c，所以，即P的横坐标为，
设，由椭圆的定义得，由双曲线的定义得，
联立解得，设椭圆和双曲线的离心率分别为，
由椭圆的第二定义得，解得，
由双曲线的第二定义得，解得，
又，则，，所以，故答案为.
9．已知双曲线与轴的正、负半轴分别交于，两点，左、右焦点分别为，，若以为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点，则_________．
【试题来源】华大新高考联盟全国卷2021届高三11月教学质量测评（理）
【答案】
【解析】设点在第一象限．连接，，则，
因为，所以，，则
故，，
则在直角中，，．
10．已知双曲线的左焦点为F，点在双曲线的右支上，，当的周长最小时，的面积为_________．
【试题来源】山东省百所名校2020-2021学年上学期高三上学期12月联考
【答案】12
【分析】的周长为，其中为定值，所以即求，利用定义可得，所以周长为，作图当三点共线时周长最短，利用面积分割求得面积．
【解析】如图，设双曲线C的右焦点为．由题意可得．
因为点在右支上，所以，所以，则的周长为，
即当M在处时，的周长最小，此时直线的方程为．
联立，整理得，则，
故的面积为．故答案为12.

11．如图，已知为双曲线的右焦点，过点的直线交两渐近线于，两点．若，内切圆的半径，则双曲线的离心率为_________．

【试题来源】长郡中学、湖南师大附中、长沙市一中联合体2020-2021学年高三上学期联考
【答案】
【解析】由焦点到渐近线的距离为，知，
在中，由余弦定理得，
即，解之得．

设内心为，作于，显然，，
则，则，
，即，
．故答案为
【名师点睛】求双曲线的离心率常用的方法有：（1）公式法（求出代入离心率的公式即得解）；（2）方程法（找到关于离心率的方程求解）．要根据已知灵活选择合适的方法求解．
12．已知分别是双曲线的左，右焦点，P是双曲线C的右支上一点，是的内心，且，则C的离心率为_________．
【试题来源】湖南省五市十校2020-2021学年高三上学期第二次大联考
【答案】
【分析】由焦点三角形内心与各顶点构成的三角形中，令内切圆半径为有，且，即可求离心率．
【解析】设内切圆半径为，则
，
故，，又，即，
故．故答案为3．
13．已知，分别为双曲线的左、右焦点，的离心率，过的直线与双曲线的右支交于、两点（其中点在第一象限），设点、分别为、的内心，则的范围是_________．（用只含有的式子表示）
【试题来源】湖北省十一校考试联盟2020-2021学年高三上学期12月联考
【答案】
【分析】利用双曲线的性质可得、的横坐标相等为，得到轴且过双曲线右顶点，设的倾斜角设为，根据题中条件，得到，以及的范围，即可得到所求范围．
【解析】记边、、上的切点分别为、、，
则，，，
由双曲线的定义可得，即，
得，则，记的横坐标为，则，
于是，得．

同理，内心的横坐标也为，则有轴． 即、的内心、在直线上，则的右顶点为，直线的倾斜角为，
因为的离心率，所以，则，所以，
因为过的直线与双曲线的右支交于、两点，所以或或；则，且，
在中，，，
同理，在中，，，
则，
因为，所以，因此．故答案为．
【名师点睛】求解本题的关键在于根据双曲线的性质以及三角形内切圆的性质，得到、的横坐标都为，再结合直线与双曲线交点的位置以及双曲线的离心率确定直线的倾斜角的范围，即可求解．
14．已知直线与双曲线有两个交点，则双曲线的离心率的取值范围是_________．
【试题来源】湖南省长沙市长郡中学2020-2021学年高三上学期月考（三）
【答案】
【分析】若要直线与双曲线有两个交点，则直线的斜率要小于渐近线的斜率，建立不等式，即可得解．
【解析】双曲线的渐近线方程为，
若直线与双曲线有两个交点，则，即，即，
所以，，即，故答案为．
15．已知直线与双曲线的一条渐近线交于点，双曲线的左、右顶点分别为，，若，则双曲线的离心率为_________．
【试题来源】广东省2021届高三上学期新高考适应性测试（一）
【答案】或
【分析】解出点的坐标，用两点间距离公式求出，化简整理出的关系式，从而求得离心率．
【解析】若渐近线的方程为，则点的坐标为．
因为，所以，则，所以，
从而．
若渐近线的方程为，则点的坐标为，同理可得．
四、双空题
1．双曲线的离心率为_________，渐近线方程为_________．
【试题来源】浙江省杭州市桐庐分水高级中学2020-2021学年高三上学期期中
【答案】
【分析】根据双曲线方程求出，再由离心率，渐近线即可求解．
【解析】由双曲线，则，，所以，
所以，渐近线，即．
故答案为；.
2．已知双曲线，为左焦点，若，则双曲线离心率为_________；若对于双曲线上任意一点，线段长度的最小值为，则实数的值为_________．
【试题来源】浙江省台州市第一中学2020-2021学年高三上学期期中
【答案】
【解析】因为双曲线，
若，则，所以，因此双曲线的离心率为；
因为为左焦点，所以，其中，
若对于双曲线上任意一点，为使线段的长度最小，则点必在该双曲线的左支上，设，则，，
所以
，因此，解得．故答案为；．
【名师点睛】对于双曲线上一点到焦点距离的最小值问题，一般先根据焦点位置，确定使距离最小的点应位于双曲线的哪一支，再根据双曲线的性质（顶点到对应焦点的距离最小），即可求出结果；也可根据双曲线的焦半径公式求解；或利用两点间距离公式，确定使距离最值的点的位置，即可求解．
3．双曲线的渐近线方程为_________，焦距为_________．
【试题来源】北京市北大附中2020届高三6月阶段性检测
【答案】
【解析】令得，即双曲线的渐近线方程为；
焦距为．故答案为；．
【名师点睛】本题主要考查求双曲线的渐近线方程，以及双曲线的焦距，属于基础题型．
4．双曲线的渐近线方程为_________；设、分别为的左、右顶点，为上的一点，若，则_________．
【试题来源】福建省泉州市2021届高三毕业班质量检测
【答案】
【分析】由双曲线的标准方程可求得该双曲线的渐近线方程，设点，计算得出，再利用两角差的正切公式可求得的值．
【解析】由题，，渐近线方程为．
设，由题设，，
又，，即，即，
，，
．

故答案为；．
5．双曲线的渐近线方程为_________，设双曲线经过点，且与具有相同渐近线，则的方程为_________．
【试题来源】浙江省宁波市镇海中学2020届高三下学期5月模拟
【答案】
【分析】令，求得，得到双曲线的渐近线的方程，根据题意，得到，得出，将点代入方程，求得的值，即可求得双曲线的标准方程．
【解析】由题意，双曲线，令，解得，即，
即双曲线的渐近线的方程为，
由双曲线和双曲线相同的渐近线，
可得，即，所以，
将点代入方程，即，解得，所以，
所以所求双曲线的方程为
故答案为，．
【名师点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其简单的几何性质，其中解答中熟记双曲线的标准的求法，以及双曲线的渐近线的解法是解答的关键，着重考查推理与运算能力．