初中数学华师大版七年级下册3 解一元一次不等式优质教案设计

这是一份初中数学华师大版七年级下册3 解一元一次不等式优质教案设计，共12页。教案主要包含了课标要求，教学重难点，教学过程，情景导入，初步认识，思考探究，获取新知，运用新知，深化理解，师生互动，课堂小结，课后作业等内容，欢迎下载使用。

8．2　解一元一次不等式
8．2.1　不等式的解集
【课标要求】
知识与技能
1．使学生掌握不等式的解集的概念，以及什么是解不等式．
2．使学生能够借助数轴将不等式的解集直观地表示出来，初步理解数形结合的思想．
过程与方法
1．通过回忆给学生介绍不等式的解集的概念．
2．教会学生怎样在数轴上表示不等式的解集．
情感态度价值观
通过观察、归纳、类比、推断而获得不等式的解集与数轴上的点之间的关系，体验数学活动充满探索性与创造性．
【教学重难点】
重点：1.认识不等式的解集的概念．
2．将不等式的解集表示在数轴上．
难点：不等式的解集的概念．
【教学过程】
【情景导入，初步认识】
1．用不等式表示：
(1)x的12与3的差是正数；
(2)2x与1的和小于0；
(3)a的2倍与4的差是正数；
(4)b的－12与1的和是负数；
(5)a与b的差是非正数；
(6)x的绝对值与1的和不小于1.
2．下列各数中，哪些是不等式x＋2>5的解？哪些不是？
3，－2，－1，0，1.5，3，3.5，5，7.
教学说明
通过对上节课内容的复习巩固，为本节课的学习作准备．
【思考探究，获取新知】
在上一节“习题8.1”第2题中，我们发现3.5，5，7都是不等式x＋2>5的解．由此可以看出，不等式x＋2>5有许多个解．
进而看出，大于3的每一个数都是不等式x＋2>5的解，而不大于3的每一个数都不是不等式x＋2>5的解．由此可见，不等式x＋2>5的解有无限多个，它们组成一个集合，称为不等式x＋2>5的解集．
归纳结论
一个不等式的所有解，组成这个不等式的解的集合，简称为这个不等式的解集；
求不等式的解集的过程，叫做解不等式．不等式x＋2>5的解集，可以表示成x>3，它也可以在数轴上直观地表示出来，如图所示．

同样，如果某个不等式的解集为x≤－2，也可以在数轴上直观地表示出来，如图所示．

观察讨论：这两条折线所指的方向为什么不同？它们有什么规律吗？数轴上空心的圆点和实心的圆点是什么意义？
归纳结论
不等式的解集在数轴上可直观地表示出来，但应注意不等号的类型，小于在左边，大于在右边．当不等号为“>”“<”时用空心圆圈，当不等号为“≥”“≤”时用实心圆圈．
教学说明
学生自己观察总结规律，锻炼了学生的概括归纳能力．
【运用新知，深化理解】
1．方程3x＝6的解有 1 个，不等式3x<6的解有 无数 个．
2．判断题．
(1)x＝2是不等式4x<9的一个解；
(2)x＝2是不等式4x<9的解集；
(3)不等式4x<9的解集是x<2；
(4)不等式4x<9的解集是
解：(1)正确．因为当x用2代替时，不等式4x<9成立．
(2)错误．因为x＝2仅仅是不等式4x<9的一个解，不能称为该不等式的解集．
(3)错误．因为解集x<2不是不等式4x<9的所有解的集合．
(4)正确．因为是不等式4x<9的所有的解组成的集合．
3．将下列不等式的解集在数轴上表示出来．
(1)2　　　(2)x≥－2　　(3)－2 解：(1)
(2)
(3)
教学说明
进一步巩固所学知识，感受新知识的用途．
【师生互动，课堂小结】
先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结．教师作以补充．
【课后作业】
1．布置作业：教材第61页“习题8.2”中第2、3题．
2．完成练习册中本课时练习．

8．2.2　不等式的简单变形

【课标要求】
知识与技能
1．通过本节的学习让学生在自主探索的基础上，联系方程的基本变形得到不等式的基本性质．
2．教会学生直接应用一次不等式的变形求解一元一次不等式，并指导学生掌握基本方法．
3．在教学过程中要引导学生体会一元一次不等式和方程的区别与联系．
过程与方法
1．通过回顾一元一次方程的变形进入对不等式的变形的讨论．
2．通过具体的实例引导学生探索不等式的基本性质(加法性质)．
情感态度价值观
通过在教学中发挥学生的主体作用，加深在学习中“转化”思想的渗透．
【教学重难点】
重点：掌握不等式的三条基本性质．
难点：正确应用不等式的三条基本性质进行不等式变形．
【教学过程】
【情景导入，初步认识】
我们学习了等式，并掌握了等式的基本性质，大家还记得等式的基本性质吗？
等式的基本性质一：在等式的两边都或(　　)同一个或，等式仍然成立．等式的基本性质二：在等式的两边都或(　　)同一个，等式仍然成立．
请同学们大胆地猜想一下不等式有哪些基本性质？解一元一次方程有哪些基本步骤呢？一元一次不等式的解与方程的解是不是步骤类同呢？
教学说明
通过复习等式性质以旧引新，为新知识的学习和应用作好铺垫，为下一步的类比、联想提供必要的生长点．
【思考探究，获取新知】
在解一元一次方程时，我们主要是对方程进行变形．在研究解不等式时，我们同样应先探究不等式的变形规律．
如图所示，一个倾斜的天平两边分别放有重物，其质量分别为a和b(显然a>b)，如果在两边盘内分别加上等量的砝码c，那么盘子仍然像原来那样倾斜(即a＋c>b＋c)．

归纳结论
不等式的性质1：如果a>b，那么a＋c>b＋c，a－c>b－c.
这就是说，不等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，不等式的方向不变．
思考：不等式的两边都乘以(或除以)同一个不为零的数，不等号的方向是否也不变呢？
试一试：将不等式7>4两边都乘以同一个数，比较所得的数的大小，用“<”，“>”或“＝”填空：
7×3________4×3，
7×2________4×2，
7×1________4×1，
7×0________4×0，
7×(－1)________4×(－1)，
7×(－2)________4×(－2)，
7×(－3)________4×(－3)，
……
从中你能发现什么？
归纳结论
不等式的性质2：如果a>b，并且c>0，那么ac>bc.
不等式的性质3：如果a>b，并且c<0，那么ac 这就是说，不等式两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
与解方程一样，解不等式的过程，就是要将不等式变形成x>a或x 教学说明
让学生参与知识的形成过程的学习，有利于培养学生动手实践，积极探索的科学学习方法，有利于培养学生的良好学习习惯和严谨的学习态度，有利于发展学生的直觉思维、形象思维和逻辑思维能力，有利于培养学生的独立钻研、相互交流和共同协作的科学态度，符合新课标的思想．
【运用新知，深化理解】
1．见教材第57页例1、例2.
2．已知a＋b>0，b<0，那么a，b，－a，－b的大小关系是(　D　)　　　　　 　　　　　 　　　　　
A．a>b>－b>－a B．a>－b>－a>b
C．a>b>－a>－b D．a>－b>b>－a
3．如果a>b>0，c>d>0，则下列不等式中不正确的是(　B　)
A．a－d>b－c B.>
C．a＋c>b＋d D．ac>bd
4．给出下列命题，其中正确的是(　C　)
①若<1，则x>1　②若ax2x>a2y，则x>y　③<<0，则a2b2，a3 A．①② B．②③ C．②③④ D．①②③④
5．设a>b>1，y1＝，y2＝，y3＝，则y1，y2，y3的大小关系是(　C　)
A．y1 C．y3 6．在________上填上适当条件，使下列命题成立：
(1)若a>b且 c≤0 ，则ac≤bc；
(2)若a>b>0且 c＞d＞0 ，则ac>bd；
(3)若a>b且 ab＞0 ，则＜；
(4)若a>b且 c≠1 ，则a(c－1)2>b(c－1)2.
7．解不等式：(1)x－7>26；(2)－8x<10
解：(1)不等式两边都加上7，不等号的方向不变，所以x－7＋7>26＋7　x>33；
(2)不等式两边都除以－8，不等号的方向要改变，所以－8x÷(－8)>10÷(－8)　x>－.
教学说明
让学生所学的知识在基础题中得到巩固，在技能题中得到加深，在拓展题中得到升华．
【师生互动，课堂小结】
先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结．教师作以补充．
【课后作业】
1．布置作业：教材第58页“练习”．
2．完成练习册中本课时练习．
8．2.3　解一元一次不等式
第1课时　一元一次不等式的解法(1)
【课标要求】
知识与技能
1．掌握一元一次不等式的概念．
2．体会解不等式的步骤，体会数学学习中比较和转化的作用．
3．用数轴表示解集，启发学生对数形结合思想的进一步理解和掌握．
过程与方法
通过对一元一次方程的解法的复习和对不等式的性质的利用导入对解不等式的讨论．
情感态度价值观
通过类比一元一次方程的解法，从而更好的掌握一元一次不等式的解法，树立辩证唯物主义思想．
【教学重难点】
重点：掌握一元一次不等式的解法．
难点：掌握一元一次不等式的解法．
【教学过程】
【情景导入，初步认识】
1．不等式的三条基本性质是什么？
2．一个方程是一元一次方程的三个条件是什么？
3．解一元一次方程的一般步骤是什么？
4．如何来解一元一次不等式呢？
教学说明
既能对以前所学内容复习，又能给本节课的教学打好基础．
【思考探究，获取新知】
观察下列不等式：①x－7≥2　②3x＜2x＋1
③x≤5　④－4x＞8
它们有什么共同点？你能借鉴一元一次方程给它下个定义吗？

归纳结论
只含有一个未知数，且含未知数的式子是整式，未知数的次数是1.像这样的不等式叫做一元一次不等式．我们再来解一些一元一次不等式．
例：解下列不等式，并将解集在数轴上表示出来：
(1)2x－1<4x＋13；
(2)2(5x＋3)≤x－3(1－2x)．
解：(1)2x－1<4x＋13，
2x－4x<13＋1，
－2x<14，
x>－7.
它在数轴上的表示如图

(2)2(5x＋3)≤x－3(1－2x)，
10x＋6≤x－3＋6x，
3x≤－9，
x≤－3.
它在数轴上的表示如图

通过上面2题的解题过程，并类比解一元一次方程的一般步骤，总结解一元一次不等式的步骤．
归纳结论
解一元一次不等式的步骤：
1．去括号；
2．利用不等式的性质移项；
3．合并同类项；4.系数化为1.
教学说明
解方程和不等式问题由简单到复杂，循序渐进．通过解一元一次方程与解一元一次不等式的类比让学生发现解一元一次方程与解一元一次不等式的区别和联系，实现解方程到解不等式的正迁移．
【运用新知，深化理解】
1．若关于x的不等式(m＋1)x＜1＋m的解集是x＜1，则满足的条件是__m＞－1__.
2．解下列不等式．
(1)3x＋2＜2x－5
(2)3(y＋2)－1≥8－2(y－1)
(3)2(2x＋3)＜5(x＋1)
(4)3[x－2(x－2)]＞x－3(x－2)
(1)解：移项得：3x－2x＜－5－2，合并同类项得：x＜－7.所以，不等式的解集为x＜－7.
(2)解：去括号得：3y＋6－1≥8－2y＋2，移项得：3y＋2y≥8＋2＋1－6，合并同类项得：5y≥5，系数化为1得：y≥1.所以，不等式的解集为y≥1.
(3)解：去括号得：4x＋6＜5x＋5，移项得：4x－5x＜5－6，合并同类项得：－x＜－1，系数化为1得：x＞1.所以，不等式的解集为x＞1.

(4)解：去括号得：3x－6x＋12＞x－3x＋6，移项得：3x－6x－x＋3x＞6－12，合并同类项得：－x＞－6，系数化为1得：x＜6.所以，不等式的解集为x＜6.
3．已知方程ax＋12＝0的解是x＝3，求不等式(a＋2)x＜－6的解集．
解：由ax＋12＝0的解是x＝3，得a＝－4.
将a＝－4代入不等式(a＋2)x＜－6，
得(－4＋2)x＜－6，所以x＞3.
4．已知3x＋4≤6＋2(x－2)，则|x＋1|的最小值是多少？
解：3x＋4≤6＋2x－4，3x－2x≤6－4－4，解得x≤－2.∴当x＝－2时，|x＋1|的最小值为1.
5．关于x的一元一次方程2(x－m)＝4＋x的解是非负数，则m的取值范围是多少？
解：去括号得2x－2m＝4＋x，移项得x＝2m＋4，
∵x≥0，∴2m＋4≥0，∴m≥－2.
6．已知不等式x＋8＞4x＋m(m是常数)的解集是x＜3，求m.
解：因为x＋8＞4x＋m，所以x－4x＞m－8，－3x＞m－8，x＜－(m－8)．因为其解集为x＜3，所以－(m－8)＝3.解得m＝－1.
教学说明
使学生由点到面、进而掌握解一元一次不等式的方法，并能解决具体的数学问题．
【师生互动，课堂小结】
先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结．教师作以补充．
【课后作业】
1．布置作业：教材第61页“习题8.2”中第1、4题．
2．完成练习册中本课时练习．
第2课时　一元一次不等式的解法(2)
【课标要求】
知识与技能
较熟练的解一元一次不等式，熟练掌握去分母，会求不等式的整数解．
过程与方法
运用类比的方法来探索解一元一次不等式的一般步骤，获得分析问题和解决问题的方法．
情感态度价值观
在解一元一次不等式的数学学习过程中，体验获得成功的乐趣，锻炼克服困难的意志，建立自信心．
【教学重难点】
重点：归纳掌握含有分母的一元一次不等式的解题方法．
难点：掌握含有分母的一元一次不等式的解法．
【教学过程】
【情景导入，初步认识】
1．解一元一次不等式的步骤？
2．解下列不等式
－4x≥－16
－3x－10≥2x
3(x＋2)<4(x－1)＋7
3．如果在含有分母的一元一次方程中如何去分母呢？
教学说明
回顾解一元一次不等式的步骤，为去分母解一元一次不等式作铺垫．
【思考探究，获取新知】
例：解不等式－≤1，并把解集表示在数轴上．
讨论：如何去不等式中的分母．
解：去分母得：2(2x－1)－(9x＋2)≤6，
去括号得：4x－2－9x－2≤6，
移项得：4x－9x≤6＋2＋2，
合并同类项得：－5x≤10，
把x的系数化为1得：x≥－2.

教学说明
系数化为1时，不等式两边都乘以或除以同一个负数时，不等号的方向要改变．
经过对例题的分析，你能根据解一元一次方程的步骤，总结对含有分母的一元一次不等式的解答步骤吗？
归纳结论
步骤有：去分母；去括号；移项；合并同类项；系数化为1.
【运用新知，深化理解】
1．见教材第59页例4.
2．解不等式，并把解集在数轴上表示出来．
(1)－≥－5；
(2)－>1.
解：(1)去分母，得4(2x－1)－2(10x＋1)≥15x－60，整理，得－27x≥－54，系数化为1，得x≤2.
解集在数轴上表示为：

(2)去分母，得2(x＋4)－3(3x－1)＞6
去括号得2x＋8－9x＋3＞6
整理得　－7x＋11＞6－7x＞－5
系数化为1得x<.
解集在数轴上表示为：

3．分别解不等式2x－3≤5(x－3)和－>1，并比较x、y的大小．
解：2x－3≤5(x－3)，即x≥4；由－>1.得y＜－9.∴x＞y.
4．已知方程组的解x、y满足x＋y>1，则m的取值范围是什么？
解：解得，
∵x＋y>1，∴＋>1，解得m>4.
5．如果关于x的一元一次方程＋1＝5的解大于2，则k的取值范围是什么？
解：解关于x的一元一次方程＋1＝5得，x＝8＋k，∵关于x的一元一次方程＋1＝5的解大于2，∴8＋k＞2，解得k＞－6.
6．若关于x的不等式(2a－b)x＋a－5b>0的解集是x<，那么关于x的不等式(a－b)x>b的解集是多少？
解：∵(2a－b)x＋a－5b＞0的解集是，x<，
∴x<，∴解得
∴(a－b)x>b，－2x>－1，∴x<.
教学说明
通过做题，掌握解一元一次不等式的一般步骤．
【师生互动，课堂小结】
先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结．教师作以补充．
【课后作业】
1．已知不等式x＋4<2x－a(x为未知数)的解，也是不等式<的解，求a的取值范围．
2．当＝3(a－2)时，求不等式>x－a的解集．
3．完成练习册中本课时练习．

第3课时　列一元一次不等式解决实际问题
【课标要求】
知识与技能
会从实际问题中抽象出数学模型，会用一元一次不等式解决实际问题．

过程与方法
通过观察、实践、讨论等活动，经历从实际中抽象出数学模型的过程，积累利用一元一次不等式解决实际问题的经验，渗透分类讨论思想，感知方程与不等式的内在联系．
情感态度价值观
在积极参与数学学习活动的过程中，初步认识
一元一次不等式的应用价值，形成实事求是的态度和独立思考的习惯．
【教学重难点】
重点：寻找实际问题中的不等关系，建立数学模型．
难点：弄清列不等式解决实际问题的思想方法，用去括号法解一元一次不等式．
【教学过程】
【情景导入，初步认识】
在“科学与艺术”知识竞赛的预选赛中共有20道题，对于每一道题，答对得10分，答错或不答扣5分，总得分不少于80分者通过预选赛．育才中学有25名学生通过了预选赛，通过者至少答对了多少道题？有哪些可能的情形．
教学说明
通过实际问题的导入，引出了学生的求知欲，提高了的学习兴趣．同时，问题的提出，让学生感受学习数学知识的重要性．
【思考探究，获取新知】
讨论：(1)试解决这个问题(不限定方法)．你是用什么方法解决的？有没有其他方法？与你的同伴讨论和交流一下．
(2)如果利用不等式的知识解决这个问题的，在得到不等式的解集以后，如何给出原问题的答案？应该如何表述？
分析：如果用不等式，必须找出不等关系．根据题意可知，答对题的得分减去答错题的扣分大于或等于80分．所以这个问题的关键是表示出答对的题数和答错或不答的题数．
解：设通过者答对了x道题，答错或不答的题有(20－x)道，根据题意可得，10x－5(20－x)≥80
解得：x≥12.所以，通过者至少要答对12道题．
你能类比列一元一次方程解决实际问题的方法，总结出列不等式解决实际问题的步骤吗？
归纳结论
用一元一次不等式解决实际问题的步骤：(1)审题，找出不等关系；(2)设未知数；(3)列出不等式；(4)求出不等式的解集；(5)找出符合题意的值；(6)作答．
教学说明
向学生渗透类比的思想．同时锻炼了学生的归纳能力．
【运用新知，深化理解】
1．毛笔每枝2元，钢笔每支5元，现有的购买费用不足20元，则购买毛笔和钢笔允许的情况是(　D　)
A．5枝毛笔，2枝钢笔
B．4枝毛笔，3枝钢笔
C．0枝毛笔，5枝钢笔
D．7枝毛笔，1枝钢笔



2．某种商品的进价为800元，出售时标价为1 200元，后来由于该商品积压，商店准备打折出售，但要保持利润率不低于进价5%，则至多可打(　B　)　　　　 　　　　　 　　　　　
A．6折 B．7折
C．8折 D．9折
3．某市的一种出租车起步价为7元，起步路程为3 km(即开始行驶路程在3 km以内都需付7元)，超过3 km，每增加1 km加价2.4元(不足1 km以1 km计价)，现在某人乘出租车从甲地到乙地，支付车费14.2元，问从甲地到乙地的路程最多是多少？
解：设从甲到乙地的路程为x km，
则由题意，可得7＋2.4(x－3)≤14.2，
解得x≤6.
所以从甲到乙地的路程为乙地的路程最多是6 km.
4．某工人计划在15天内加工408个零件，最初三天中每天加工24个．问以后每天至少加工多少个零件，才能在规定的时间内超额完成任务？
解：设后面每天加工x个零件，则
24×3＋(15—3)x＞408
12x＞336，x＞28，
那么每天加工的个数应大于28个，才能超额完成任务．
5．在比赛中，每名射手打10枪，每命中一次得5分，每脱靶一次扣1分，得到的分数不少于35分的射手为优胜者，要成为优胜者，至少要中靶多少次？
解：设命中x次，脱靶(10－x)次，则
5x－(10－x)≥35
6x≥45，
因为x为整数，所以x＝8.
答：至少要中靶8次．
6．某花农培育甲种花木2株，乙种花木3株，共需成本1 700元；培育甲种花木3株，乙种花木1株，共需成本1 500元．
(1)求甲、乙两种花木每株成本分别为多少元？
(2)据市场调研，1株甲种花木售价为760元，1株乙种花木售价为540元．若培育乙种花木的株数是甲种花木的3倍还多10株，那么要使总利润不少于21 600元，花农应该种甲、乙两种花木各多少株？
解：(1)设甲、乙两种花木的成本价分别为x元和y元．
由题意得：解得：
(2)设种植甲种花木为a株，则种植乙种花木为(3a＋10)株．则有：
(760－400)a＋(3a＋10)×240≥21 600
解得：a≥
由于a为整数，且取最小值
所以a＝18，
3×18＋10＝64(株)
答：花农应该种甲、乙两种花木各18株、64株．


教学说明
通过本题的练习，让学生进一步体会到数学知识在生活中的应用，树立学生学好数学的信念．
【师生互动，课堂小结】
先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结．教师作以补充．
【课后作业】
1．布置作业：教材第61页“习题8.2”中第6、7题．
2．完成练习册中本课时练习．