北师大版八年级下册第一章 三角形的证明4 角平分线优质课件ppt

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作三角形的三个内角的角平分线，你发现了什么？
　　发现：三角形的三个内角的角平分线交于一点．这一点到三角形三边的距离相等．
例 2 求证：三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.
已知：如图，在△ABC 中，角平分线 BM 与角平分线 CN 相交于点 P，过点 P 分别作 AB，BC，AC 的垂线，垂足分别为 D，E，F. 求证：P 点在∠BAC 的角平分线上.
证明：∵BM 是△ABC 的角平分线，点 P 在 BM 上，且 PD⊥AB，PE⊥BC，垂足分别为 D，E， ∴PD = PE（角平分线上的点到这个角的两边的距离相等）. 同理：PE = PF. ∴PD = PE = PF. ∴点 P 在∠A 的平分线上（在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）， 即∠A 的平分线经过点 P.
比较三角形三边的垂直平分线和三条角平分线的性质定理
如图：直线 l1、l2、l3 表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可选择的地址有几处？
例 3 如图，在△ABC 中. AC = BC，∠C = 90°，AD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB，垂足为 E. （1）已知 CD = 4 cm，求 AC 的长； （2）求证：AB = AC + CD.
（2）证明：由（1）的求解过程可知， Rt△ACD ≌ Rt△AED（HL）∴AC = AE（全等三角形的对应边相等）.∵BE = DE = CD，∴AB = AE + BE = AC + CD.
1. 已知： OE 平分∠AOB，P 为 OE 上一点， PC⊥OA 于 C，且 PC = 5，则 P 点到 OB 的距离为_____.
2. 已知：如图，在 Rt△ACB 中，∠ACB =90°， ∠B = 40°， AD 平分∠CAB 交 BC 于 D 点， DE⊥AB 于 E，则∠CAD = ________.
3. 已知：如图，P 是∠AOB 平分线上的一点，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为 C、D. 求证：（1）OC = OD； （2）OP 是 CD 的垂直平分线.
证明：（1）P 是∠AOB 角平分线上的一点，PC⊥OA，PD⊥OB， ∴PC = PD（角平分线上的点到角两边的距离相等）. 在 Rt△OPC 和 Rt△OPD 中， OP = OP，PC = PD， ∴Rt△OPC≌ Rt△OPD（HL）. ∴OC = OD（全等三角形对应边相等）.
（2）∵ OP 是∠AOB 的角平分线， ∴OP 是 CD 的垂直平分线（等腰三角形“三线合一”定理）.
4. 已知：如图，四边形 ABCD 中，AC 平分∠BAD，CE⊥AB 于 E，且∠B +∠D = 180°，求证：AE = AD + BE.
证明：过点 C 作 CF⊥AD，交 AD 的延长线于点 F. ∵AC 平分∠BAD，CE⊥AB，CF⊥AD， ∴CE ＝ CF，AE ＝ AF （角平分线性质），∠CEB ＝∠CFD ＝ 90°. ∵∠B +∠ADC ＝ 180°，∠CDF +∠ADC ＝ 180°， ∴∠B ＝ ∠CDF， ∴△CBE ≌△CDF （AAS）， ∴DF ＝ BE. ∵AF ＝ AD + DF， ∴AF ＝ AD + BE，∴AE ＝ AD + BE .
　　三角形的三个内角的角平分线交于一点．这一点到三角形三边的距离相等．