专题10（圆锥曲线中的范围与最值问题)（试卷）-备战2021年高考数学中平面解析几何知识点提优（江苏专用）

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专题十  圆锥曲线中的范围与最值问题        一、解答题如图，是一抛物线型拱门示意图，拱门边界线是抛物线的一部分，抛物线的轴为拱门的对称轴，拱门底部AB宽8米，顶点O距离地面6米．
 以拱门顶点O为原点，对称轴为y轴建立平面直角坐标系，求拱门边界线所在抛物线的方程；节日期间需要在拱门对称轴上离地面4米处悬挂一节日灯笼，如上图，用两根对称的牵引绳固定，求其中一根牵引绳长度的最小值．灯笼看作点【答案】解：以抛物线的顶点O为坐标原点，抛物线的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系，如图．

则，，
设抛物线的标准方程为．
因为B点在抛物线上，
所以，解得，
所以抛物线的方程为
因为节日期间需要在拱门对称轴上离地面4米处悬挂一节日灯笼，
所以设为灯笼所在点，为抛物线上设置牵引绳的点．
则，
，
当时，的最小值为，即一条牵引绳长度的最小值为．【解析】本题主要考查抛物线标准方程，抛物线的实际应用，涉及两点间距离公式以及函数最值等基础知识，审清题意，把实际问题转化为数学问题是解决问题的关键．考查学生转化能力与数学应用意识，属于中档题．
建立平面直角坐标系，求出，，设抛物线的标准方程，将B点代入求解即可得到抛物线的方程为
设为灯笼所在点，为抛物线上设置牵引绳的点则，利用函数求最值，即可得到牵引绳长度的最小值．
 已知椭圆M：经过如下四个点中的三个，，，，．Ⅰ求椭圆M的方程；
Ⅱ设直线l与椭圆M交于A，B两点，且以线段AB为直径的圆经过椭圆M的右顶点C，求面积的最大值．【答案】解：因为点和关于原点对称，
所以由椭圆M的对称性和椭圆M过点、、、的三个知点和在椭圆M上，
而点和不可能同时在椭圆M，
因此椭圆M过点、、，
所以，解得
因此椭圆M的方程为．
当直线l的斜率为0时，设直线l的方程为．
由解得，因此，．
因为以线段AB为直径的圆经过椭圆M的右顶点，
所以，
而，，
，解得．
因为当时，B与C重合，A、B、C三点不能构成三角形，
所以不为所求，即直线l的斜率为0不存在．
当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为，，．
由得，
则，
，．
因为以线段AB为直径的圆经过椭圆M的右顶点，
所以，
而，，
因此，
即，
所以，
把，代入得：
，
即，解得舍去或，
而当时，，
因此为所求，即直线l的方程为，
所以直线l恒过．
又因为面积


，
设，则，
所以．
因为函数的图象开口向下，
对称轴为，而，
所以函数是增函数，
因此当时，函数取得最大值4，
所以的最大值为，
即面积的最大值为．【解析】本题考查了二次函数，向量垂直的判断与证明，平面向量的坐标运算，椭圆的概念及标准方程，椭圆的性质及几何意义，直线与椭圆的位置关系和圆锥曲线中的范围与最值问题，属于较难题．
利用椭圆的标准方程和椭圆的对称性，结合题目条件得椭圆M过点、、，再把点、的坐标代入椭圆的标准方程，计算得结论；
当直线l的斜率为0时，设直线l的方程为，由直线l的方程和椭圆M的方程解出点A与B的坐标，利用题目条件，结合向量垂直的判断得，再利用平面向量的坐标运算，计算得直线l的斜率为0不存在，当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为，，，由得，
从而得，，利用题目条件，结合向量垂直的判断得，再利用平面向量的坐标运算计算得，从而得直线l恒过，再计算面积，设，则，从而得，利用二次函数在定区间的最值，计算得结论．
 已知椭圆C：的左顶点为A，右焦点为F，O为原点，M，N是y轴上的两个动点，且，直线AM和AN分别与椭圆C交于E，D两点．Ⅰ求的面积的最小值；Ⅱ证明：E，O，D三点共线．【答案】解：Ⅰ由已知可设，，由，可得，即，，由于，
当且仅当时取等号，所以，即；Ⅱ因为，，所以AM的方程为，由得由，得，同理可得，因为，所以有，所以有，代入椭圆方程得，因为，故M，N在x轴两侧，故，因为，所以E，O，D三点共线．【解析】本题考查椭圆与直线的位置关系，考查三角形面积的最值，以及三点共线的证明，属于较难题．
Ⅰ利用已知设出坐标得到，由于，当且仅当时取等号，所以，可得的面积的最小值；Ⅱ由已知及Ⅰ得AM的方程为，联立直线与椭圆得，同理可得，由解得，由M，N在x轴两侧，故，因为，所以E，O，D三点共线
 已知顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线，过、两点，点M为抛物线上不同于A、B的点，并且介于A、B两点之间，点N为直线BM上一点，满足．Ⅰ求直线BM斜率k的取值范围；Ⅱ当取最大值时，求直线BM的方程．【答案】解：Ⅰ设抛物线方程为，将点A，B的坐标代入可求得抛物线方程为，
设点，则，，
，所以，
所以直线BM的斜率k的范围为．
Ⅱ当时，直线BM的方程为：，此时．
当时，设点，直线BM的方程为，
直线AN的方程为，可解得，
由可知．
结合图形可知，
，
所以，且．
令，
由，可知在区间单调递增，在区间且单调递减，
因此当时，，
综上可得：当时，取最大值，
此时直线BM的方程为．【解析】本题主要考查了抛物线的性质，直线与抛物线的关系，考查了利用导数求最值，考查学生计算能力，属于难题．
Ⅰ求出抛物线的方程，点，根据的范围，利用斜率公式可求出答案；
Ⅱ分情况，当，可直接求出；当，设点，求出直线BM和AB的方程，可得，然后求出和，利用导数求出的最大值，结合，可求出直线BM的方程．
 已知椭圆E：的四个顶点依次连接可得到一个边长为，面积为的菱形．Ⅰ求椭圆E的方程；Ⅱ设直线l：与圆O：相切，且交椭圆E于两点M，N，当取得最大值时，求的值．【答案】Ⅰ由题意得
解得，．
所以椭圆E的方程为．
Ⅱ由Ⅰ知圆O：．
因为直线与圆O：相切，
所以，即
联立方程组消去y得．
所以．
设，，所以，．
由弦长公式得

．
将代入得


，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最大值为，
此时．【解析】本题考查求椭圆的标准方程，直线与圆、椭圆的位置关系，求弦长，考查学生的运算能力．
Ⅰ根据题意，建立方程组，求出a，b的值，进而得到椭圆的标准方程；
Ⅱ通过直线与圆相切，得到再将直线与椭圆方程联立，结合韦达定理，以及弦长公式，得到关于k的函数关系式，再运用基本不等式求得函数的最大值，进而得到的值．
 已知椭圆C：的离心率为，且经过点求椭圆C的方程；若不过坐标原点的直线l与椭圆C相交于M、N两点，且满足，求面积最大时直线l的方程．【答案】解：由题意得，解得
所以椭圆C的方程为
由题意可知，直线MN的斜率显然存在，
设直线MN的方程为，，，
由
，
，
所以，
所以，
因为，
所以，
所以，代入得且，
所以

，
当且仅当，即时上式取等号，此时符合题意，
所以直线MN的方程为．【解析】本题考查椭圆的概念及标准方程，椭圆的性质及几何意义，直线与椭圆的位置关系，利用基本不等式求最值，考查运算化简的能力，属于综合题．
根据离心率为，且经过点，解得，即可；
由题意可知，直线MN的斜率显然存在，设直线MN的方程为，，，与椭圆方程联立，利用韦达定理和判别式及基本不等式可得结论．
 已知抛物线C：的焦点为F，过点F且斜率为1的直线与抛物线相交于A，B两点．设直线l与抛物线C相切，且．求直线l的方程；若P为l上一点，求的最小值．【答案】解：因为F坐标为，，设直线l的方程为，
联立方程消去y整理得，因为直线l与抛物线C相切，
则，得，故直线l的方程为．
设A，B坐标分别为，因为直线AB方程为，
与抛物线方程联立得，
消去y整理得，解得，
得A，B坐标分别为，设P坐标为，
则，
所以，
故最小值为．【解析】分析：本题主要考查的是直线与抛物线位置关系的应用．
先设出l的方程，联立方程利用判别式求解即可；
把向量关系坐标化再求解即可．
 已知离心率为的椭圆C：的一个顶点恰好是抛物线的焦点，过点且斜率为k的直线交椭圆C于A，B两点．
Ⅰ求椭圆C的方程；
Ⅱ求k的取值范围；
Ⅲ若，A和P关于x轴对称，直线BP交x轴于N，求证：为定值．【答案】解：Ⅰ设椭圆的半焦距为c，则有，
又可以求得．
于是，椭圆C的方程为．Ⅱ解：过点且斜率为k的直线的方程为，由得，因为直线与椭圆有两个交点，所以，解得，
所以k的取值范围是．Ⅲ证明设，，
则，由题意知，，由Ⅰ得，，直线BP的方程为，
令，得N点的横坐标为，又，，
故

．
即为定值1．【解析】本题考查了椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系、圆锥曲线中的定值问题和圆锥曲线中的最值问题，是较难题．Ⅰ设椭圆的半焦距为c，由条件得，求解可得椭圆方程；
Ⅱ易知直线的方程为，与椭圆联立，由，解出可得k的取值范围．Ⅲ设，，易得直线BP的方程为，令，得N点的横坐标，可得，化简可得为定值．
 已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，左，右焦点分别为，，且，点在椭圆C上．求椭圆C的方程；若过定点的直线l与椭圆C相交于M，N两点，求弦长的最大值．【答案】解：设椭圆C的方程为C：，
由题知，椭圆C的两焦点坐标分别为，，
所以，
所以，
又因为，
所以，
故椭圆C的方程为．
当直线l的斜率不存在时，；
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，
由
消去y得，
设，，
所以，，
，
设，
所以．
综上可知，弦长的最大值为．【解析】本题考查了椭圆的标准方程和性质，考查了直线和圆锥曲线的关系，考查学生的逻辑推理及运算求解能力．
由题意设出椭圆的标准方程，题目给出，根据椭圆定义求出a，结合求解b的值，则椭圆的方程可求；
当直线l的斜率不存在时，求出，当直线l的斜率存在时，设直线方程，联立直线方程和椭圆方程，利用韦达定理把用距离差的绝对值和直线的斜率表示，然后用换元法求出最大值．
 已知中心在原点的椭圆C的一个顶点为，焦点在x轴上，右焦点到直的距离为．求椭圆C的标准方程；若直线l：与椭圆C交于M、N两点，设点N关于x轴的对称点为点与点M不重合，且直线与x轴的交于点P，求的面积的最大值．【答案】解：依题意可设椭圆方程为，．
则右焦点，
由题设条件：，解得，
．
故所求椭圆方程为：；
设，，
联立，得．
，，
由题设知，，直线的方程为．
令，得．
点．


．
当且仅当，即时等号成立．
的面积的最大值为1．【解析】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，是较难题．
由题意可知，椭圆是焦点在x轴上的椭圆，并求得b，再由点到直线的距离公式求得c，由隐含条件求得a，则椭圆方程可求；
联立直线方程与椭圆方程，化为关于y的一元二次方程，利用根与系数的关系求得M，N的纵坐标的和与积，再求出P的坐标，写出三角形面积公式，利用基本不等式求最值．
 如图，已知经过的直线l与抛物线交于A、B两点，记直线OA，OB的斜率分别为，．

Ⅰ若，求l的斜率；
Ⅱ求的最小值．【答案】解：Ⅰ设，，：，
由，得，所以，，
设直线l的斜率为k，则，
同理，，
所以，
所以．
Ⅱ由Ⅰ知，
而

，
所以，
令，
则，所以，
当且仅当时取到最小值．
所以的最小值为．【解析】本题考查直线与抛物线方程的综合应用，直线的倾斜角与斜率及圆锥曲线中最值问题，考查韦达定理的应用，以及分析问题、解决问题的能力，属于较难题．
Ⅰ设，，：，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理，结合直线的斜率，转化求解即可；
Ⅱ利用弦长公式结合距离公式，推出，然后利用换元法，利用函数的单调性求解
 已知椭圆的离心率为，其左、右顶点分别为，，上、下顶点分别为，，四边形的面积为．求椭圆E的方程；如图，若椭圆E的左、右焦点分别为，，过的直线l与椭圆交于不同的两点M，N，记的内切圆的半径为r，试求r的取值范围．
【答案】 解：因为椭圆E的离心率为，所以，
因为四边形的面积为，所以，
又，解得：，，，
所以椭圆E的方程为：．
设，，则的周长，
，即，
当轴时，l的方程为：，，，
当l与x轴不垂直时，设l：，由
得，
所以，，

，
所以，令，则，，
因为，所以，所以，
综上可知：．【解析】本题考查椭圆的定义、方程和性质，考查直线和椭圆的位置关系，注意联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理，同时考查三角形的面积公式，以及化简运算能力，属于较难题．
运用椭圆的离心率公式和三角形的面积公式，结合a，b，c的关系，解方程可得a，b，c，进而得到椭圆方程；
设，，由椭圆的定义可得的周长，再由三角形的面积公式，结合内切圆的半径，再讨论直线l与x轴垂直时，求得半径r，当l与x轴不垂直时，设l的方程为，，联立椭圆方程，运用韦达定理和三角形的面积公式，结合换元法和二次函数的值域求法，可得所求范围．
 设O为坐标原点，抛物线与过点的直线相交于两个点．求证：；求面积的最小值．【答案】解：依题意设直线，设，联立消去x得，，
．，
，
依题意，，，，
即．设，代入，得，化简得，，又O到直线PQ的距离为：，，当k不存在时，直线，则易知，．
综上可知，的最小值为16．【解析】本题考查了抛物线的性质及其几何意义，直线与抛物线的位置关系，圆锥曲线中的面积最值问题，属于较难题．
设直线，设，联立消去x得，，结合韦达定理，通过证明，得出；
设，代入，得，化简得，结合韦达定理，点到直线的距离公式，三角形的面积公式等知识，可得出面积的最小值．
 已知O为坐标原点，椭圆的离心率，点P在椭圆C上，椭圆C的左右焦点分别为，的中点为Q，周长等于．求椭圆C的标准方程；为双曲线上的一个点，由W向抛物线做切线，切点分别为．证明：直线AB与圆相切；若直线AB与椭圆C相交于两点，求外接圆面积的最大值．【答案】解：设，
因为Q为的中点，
所以的周长为，
所以，解得，，
所以椭圆C的方程为．
证明：由得，求导得，
设，，则直线：，即，
同理：，
设，因为W为，的交点，
所以，，
由题知直线AB的斜率存在，设它的方程为，
将代入得：，
所以，，
因为，所以，
所以圆心O到直线AB的距离，
所以直线AB与圆O：相切．
将与联立得：，
由韦达定理可得，，
因为
，
，
所以，
又因为，
方法一：由知：方程的且，
解得或，
所以，
令，所以或，
，
当时，即时，有最大值，且最大值，
所以外接圆直径MN的长度最大值为，
所以外接圆面积的最大值等于．
方法二：由知：方程的且，
解得或，
，
当且仅当，即舍，
所以外接圆直径MN的长度最大值为，
所以外接圆面积的最大值等于．【解析】本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．
根据题意可得，解得a，c，再由，解得b，进而可得椭圆的方程．
根据题意可得，求导得，设，，写出直线，的方程，联立求出与交点的坐标，有点W在双曲线上，推出，进而有点到直线的距离公式可得圆心O到直线AB的距离，即可得出答案．
联立直线与椭圆的方程得关于x的一元二次方程，由韦达定理可得，，
计算得，推出，写出弦长，令，或，再由配方法可得的最大值．方法二：同方法一解得m的取值范围，再由基本不等式可得的最大值，进而求出外接圆面积的最大值．