中考数学圆中最值问题专题含答案

这是一份中考数学圆中最值问题专题含答案，共33页。试卷主要包含了利用坐标特性进行转换，利用定边定角模型构造辅助圆求解，利用特殊位置特性求解，设取变量，构造二次函数求解等内容，欢迎下载使用。

点圆关系问题
三、利用坐标特性进行转换
【经典例题5】如图，在平面直角坐标系中，已知点 A (0，1)、B(0，1+t)、C(0，1−t)(t>0)，点P在以D(4，4)为圆心，1 为半径的圆上运动，且始终满足∠BPC=90°，则 t 的最大值是 .

【解析】如图，连接AP，
∵点A(0，1)、点B(0，1+t)、C(0，1−t)(t>0)，
∴AB=(1+t)−1=t，AC=1−(1−t)=t，
∴AB=AC，
∵∠BPC=90∘，
∴AP=BC=AB=t，
要t最大，就是点A到⊙D上的一点的距离最大，
∴点P在AD延长线上，
∵A(0，1)，D(4，4)，
∴AD=，
∴t的最大值是AP=AD−PD=5+1=6，最小值为4.
故答案为：6，

练习5-1如图，已知直线y=x−3与x轴、y轴分别交于A. B两点，P是以C(0，1)为圆心，1为半径的圆上一动点，连结PA、PB.则△PAB面积的最大值是( )
A. 8 B. 12 C. D.

【解析】∵直线y=x−3与x轴、y轴分别交于A. B两点，
∴A点的坐标为(4，0)，B点的坐标为(0，−3)，3x−4y−12=0，
即OA=4，OB=3，由勾股定理得：AB=5，
过C作CM⊥AB于M，连接AC，
则由三角形面积公式得：×AB×CM=×OA×OC+×OA×OB，
∴5×CM=4×1+3×4，
∴CM=，
∴圆C上点到直线y=x−3的最大距离是1+=，
∴△PAB面积的最大值是×5×=，
故选：C.

练习5-2如图，直线y=x+3与x轴、y轴分别交于A，B两点，点P是以C(1，0)为圆心，1为半径的圆上任意一点，连接PA，PB，则△PAB面积的最小值是( )
A. 5 B. 10 C. 15 D. 20

【解答】
作CH⊥AB于H交⊙O于E. F.
∵C(1，0)，直线AB的解析式为y=x+3，
∴直线CH的解析式为y=x+，
由解得，

∴H(−，)，
∴CH==3，
∵A(4，0)，B(0，3)，
∴OA=4，OB=3，AB=5，
∴EH=3−1=2，
当点P与E重合时，△PAB的面积最小，最小值=×5×2=5，

练习5-3如图，已知直线y=与x轴、y轴分别交于A、B两点，P是以C(0,1)为圆心，1为半径的圆上一动点，连接PA、PB，当△PAB的面积最大时，点P的坐标为________．

【解析】过C作CM⊥AB于M，交x轴于E，连接AC，MC的延长线交⊙C于D，作DN⊥x轴于N，

∵直线y=与x轴、y轴分别交于A，B两点，
令x=0，得y=-3，
令y=9，得x=4
∴A(4，0)，B(0，−3)，
∴OA=4，OB=3，
∴AB=
则由三角形面积公式得，×AB×CM=×OA×BC，
∴ ×5×CM=×4×(1+3)，
∴CM=
∴BM=
∴圆C上点到直线y=的最大距离是DM=1+ =
当P点在D这个位置时，△PAB的面积最大，
∵∠CMB=∠COE=90°，∠OCE=∠MCB，
∴△COE∽△CMB，
∴
∴
∴OE=，CE=，
∴ED=1+=
∵DN⊥x轴，
∴DN∥OC，
∴△COE∽△DNE，
∴ ，即
∴DN=，NE=
∴ON=NE−OE=−=
∴D(−，)
∴当△PAB的面积最大时，点P的坐标为(−，)
故答案为：(−，)






练习5-4在平面直角坐标系xOy中，A(-m,0) ，B(m,0) （其中m>0 ），点P在以点C(3,4)为圆心，半径等于2的圆上，如果动点P满足∠APB=90°，

（1）线段OP的长等于________（用含m的代数式表示）；（2）m的最小值为________．
【解析】（1）∵OA=OB=m，∴OP=AB=m；
（2）连结OC交⊙C于D，则OD最短，∵OC= =5，∴OD=OC－r=5－2=3．∴m的最小值为3．
故答案为（1）m；（2）3．

练习5-5如图，在平面直角坐标系中，点P是以C(-)为圆心，1为半径的⊙O上的一个动点，已知A(-1，0)，B(1，0)，连接PA，PB，则PA2+PB2的最小值是 .

【解析】P（x,y），根据两点间距离公式
PA2=（x+1）2+y2
PB2=（x-1）2+y2
OP2=x2+y2
当点P处于OC与圆的交点上是，OP取得最值
所以OP最小值为CO-CP=
【经典例题6】如图，抛物线y=x2-4与x轴交于A，B两点，P是以点C（0，3）为圆心，2为半径的圆上的动点，Q是线段PA的中点，连接OQ。则线段OQ的最大值是________。


【解析】如图，连接BP.
当y=0时，x2-4=0，解得x1=4，x2=-4
∴A（-4，0），B（4，0）
∴OA=OB=4
∵Q是线段PA的中点
∴OQ为△ABP的中位线
∴OQ=BP
∴当BP最大时，OQ最大。当BP过圆心C时，PB最大，即当点P运动到P′位置时，BP最大。
∵BC=
∴BP′=5+2=7
∴OQ=BP=×7=.
即线段OQ的最大值是 ．



练习6-1在直角坐标系中，点A的坐标为(3，0)，点B是y轴正半轴上的一点，点C是第一象限内一点，且AC=2，设tan∠BOC=m，则m的最小值是( )


【解析】tan∠BOC=tan∠OAC=
随着点C的移动，角BOC越来越大，
点C在第一象限，所以角BOC小于90°
所以tan角BOC大于等于
所以最小值是


练习6-2如图，在Rt△ABC中∠ACB=90°，AC=8，BC=6，点D是以A为圆心，4为半径的圆上一点，连接BD，M为BD的中点，则线段CM的长度的最大值为 .


【解析】
作AB的中点E，连接EM、CE．
在直角△ABC中，AB==10，
∵E是直角△ABC斜边AB上的中点，
∴CE=AB=5．
∵M是BD的中点，E是AB的中点，
∴ME=AD=2．
∴在△CEM中，5−2⩽CM⩽5+2，即2⩽CM⩽7．
∴最大值为7，
故答案为：7．
练习6-3如图，一次函数y=2x与反比例函数的图象交于A，B两点，点P在以点C(-2，0)为圆心，个单位长度为半径的圆C上，点Q是AP的中点，已知OQ长度的最大值为，则k的值为( )
A. B. C. D .


【解答】本题选C
连接BP，
由对称性得：OA=OB，
∵Q是AP的中点，
∴OQ=BP，
∵OQ长的最大值为，
∴BP长的最大值为×2=3，
如图，当BP过圆心C时，BP最长，过B作BD⊥x轴于D，
∵CP=1，
∴BC=2，
∵B在直线y=2x上，
设B(t，2t)，则CD=t−(−2)=t+2，BD=−2t，
在Rt△BCD中，由勾股定理得：BC2=CD2+BD2，
∴22=(t+2)2+(−2t)2，
t=0(舍)或−，
∴B(−，−)，
∵点B在反比例函数y=(k>0)的图象上，
∴k=−×(−)=；
故选：C.
练习6-4如图，抛物线y=与轴交于A ,B两点， 是以点C(0,4)为圆心，1为半径的圆上的动点，E是线段AD的中点，连接OE,BD，则线段OE的最小值是 。

【解析】令y＝x2﹣1＝0，则x＝±3，
故点B（3，0），
设圆的半径为r，则r＝1，
当B、D、C三点共线，且点D在BC之间时，BD最小，
而点E、O分别为AD、AB的中点，故OE是△ABD的中位线，
则OE＝BD＝ （BC﹣r）＝（ ﹣1）＝2，
故答案为：D.
【分析】当B、D、C三点共线，且点D在BC之间时，BD最小，而OE是△ABD的中位线，即可求解.
练习6-5如图，在平面直角坐标系中，圆的半径为2，圆心坐标为（4,0），y轴上有点B(0,3)，点C是圆A上的动点，点P是BC的中点，则OP的范围是 .

【解析】A


练习6-6如图，抛物线与x轴交于A、B两点，P是以点C(0，3)为圆心，2为半径的圆上的动点，Q是线段PA的中点，连接OQ.则线段OQ的最大值是( )
A.3 B. C. D .4
【解析】连接BP，如图，
当 y=0时，，解得x1=4，x1=-4，
则 A(-4，0) ， B(4，0) ，
∵Q是线段PA的中点，
∴OQ为Rt△ABP的中位线，
∴OQ=BP ，
当BP最大时，OQ最大，
而BP过圆心C时，PB最大，如图，点P运动到 P' 位置时，BP最大，
∵BC==5 ，
∴BP'=5+2=7 ，
∴线段OQ的最大值是。
故选：C。


练习6-7如图，半圆O的半径长为5，点P为直径AB上的一个动点，已知CP上AB，交半圆O于点C，若D为半圆O上的一动点，且CD=4，M是CD的中点，则PM的值有（    ）

A. 最小值5                     B. 最小值4        C. 最大值5                D. 最大值4
【解析】连接OM，OC，

∵点M是CD的中点，
∴OM⊥CD，
∵CP⊥AB，
∴∠CPO=∠OMC=90°，
∴点P，O，M，C四点共圆，OC是圆的直径，设圆心为I
∴当点M，P，I三点共线时即PM是圆的直径时，即PM=OC=5时，PM的值最大.
故答案为：C.
练习6-8如图，AB是⊙O的弦，AB＝4，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB＝45°，若点M、N分别是AB、BC的中点，则MN长的最大值是　 　．

【解析】∵点M，N分别是AB，BC的中点，
∴MN＝AC，
∴当AC取得最大值时，MN就取得最大值，
当AC是直径时，最大，
如图，

∵∠ACB＝∠D＝45°，AB＝4，
∴AD＝8，
∴MN＝AD＝4，
故答案为：4．

四、利用定边定角模型构造辅助圆求解
【经典例题7】如图，△ABC中，AC＝3，BC＝，∠ACB＝60°，过点A作BC的平行线l，P为直线l上一动点，⊙O为△APC的外接圆，直线BP交⊙O于E点，则AE的最小值为（ ）

【解析】如图，连接CE.
∵AP∥BC，
∴∠PAC=∠ACB=60∘，
∴∠CEP=∠CAP=60∘，
∴∠BEC=120∘，
∴点E在以O′为圆心，O′B为半径的弧BC上运动，
连接OA交弧BC于E′，此时AE′的值最小。此时⊙O与⊙O′交点为E′.
∵∠BE′C=120∘
∴弧BC所对圆周角为60∘，
∴BOC=2×60∘=120∘，
∵△BOC是等腰三角形，BC=4，
OB=OC=4，
∵∠ACB=60∘，∠BCO′=30∘，
∴∠ACO;=90∘
∴O′A=，
∴AE′=O′A−O′E′=5−4=1.
故选：D.

五、利用特殊位置特性求解
【经典例题8】如图所示，在平面直角坐标系中，给定y轴正半轴上两点A(0，a)，B(0，b)(a>b>0).试在x轴正半轴上求一点C，使∠ACB取得最大值，则C的坐标为___.

【解析】设C（x，0），其中x＞0，
∵A（0，a），B（0，b）（a＞b＞0），
∴kAC=，kBC=，
∴tan∠ACB==，此时x=
时取等号．
则点C坐标（，）

六、设取变量，构造二次函数求解
【经典例题9】如图，⊙I为△ABC的内切圆，点D，E分别为边AB，AC上的点，且DE∥BC，若△ABC的周长为20，则DE的最大值为______.

【解析】△ADE相似△ABC
DE/BC=△ADE周长/△ABC周长
设BC=x，点A到圆的两切线之和为8-2x
所以DE/x=△ADE周长/8=2(4-x)/8
所以DE=
所以当x=2时，DE的最大值为1.

练习9-1如图，直线l与半径为4的⊙O相切于点A，P是⊙O上的一个动点(不与点A重合)，过点P作PB⊥l，垂足为B，连接PA.设PA=x，PB=y，则(x−y)的最大值是______.
【解析】如图，作直径AC，连接CP，
∴∠CPA=90∘，
∵AB是切线，
∴CA⊥AB，
∵PB⊥l，
∴AC∥PB，
∴∠CAP=∠APB，
∴△APC∽△PBA，
∴AP/AC=PB/PA，
∵PA=x，PB=y，半径为4，
∴，
∴y=x2，
∴x−y=x−x2=−x2+x=−(x−4)2+2，
当x=4时，x−y有最大值是2，
故答案为：2.
例10如图8-14，已知半径为2的⊙O与直线l相切于点A，点P是直径AB左侧半圆上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为C，PC与⊙O交于点D，连接PA、PB设PC的长为x(2 (1)当 时，求弦PA、PB的长度；
(2)当x为何值时，的值最大？最大值是多少？
图8-15
【解】(1)∵⊙O与直线l相切于点A，AB为⊙O的直径，
∴AB⊥l.
∵PC⊥l，∴AB∥PC. ∴∠CPA=∠PAB.
∵AB为⊙O的直径，∴∠APB=90°.
∴∠PCA=∠APB.∴△PCA∽△APB.
∴，即PA2=PC·PD.
∵PC=，AB=4，∴.
∴在Rt△APB中，由勾股定理得：.
(2)过O作OE⊥PD，垂足为E.
∵PD是⊙O的弦，OF⊥PD，∴PF=FD.
在矩形OECA中，CE=OA=2，∴PE=ED=x−2.
∴CD=PC−PD= x−2(x−2)=4−x .
.
∵2 练习10-1如图8-16，已知直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，OA=5，OA与⊙O相交于点P，AB与⊙O相切于点B，BP的延长线交直线l于点C.
(1)试判断线段AB与AC的数量关系，并说明理由；
(2)若PC=，求⊙O的半径和线段PB的长；
图8-16
(3)若在⊙O上存在点Q，使△QAC是以AC为底边的等腰三角形，求⊙O的半径r的取值范围.

【分析】
(1)如图8-17，连接OB，根据切线的性质和垂直得出∠OBA=∠OAC=90°，
即∠OBP+∠ABP=90°，
图8-17
∠ACP+∠CPB=90°，求出∠ACP=∠ABC，根据等腰三角形的判定推出即可.
(2)如图8-18，延长AP交⊙O于D，连接BD，设圆半径为r，则OP=OB=r，PA=5−r，根据AB=AC推出，求出r，证△DPB∽△CPA，得出 ，代入求出PB即可.
(3)如图8-19，根据已知得出Q在AC的垂直平分线上，作出线段AC的垂直平分线MN，作OE⊥MN，求出OE＜r，求出r范围，再根据相离得出r＜5，即可得出答案.
图8-19
【解】
(1)AB=AC.理由如下：
连接OB.
∵AB切⊙O于B，OA⊥AC，∴∠OBA=∠OAC=90°.
∴∠OBP+∠ABP=90°，∠ACP+∠CPB=90°.
∵OP=OB，∴∠OBP=∠OPB.
∵∠OPB=∠APC，∴∠ACP=∠ABC.
∴AB=AC.
(2)延长AP交⊙O于D，连接BD，
设圆半径为r，则由OA=5得，OP=OB=r，PA=5−r.
又∵PC=，
，.
由(1)AB=AC得，解得：r=3.
∴AB=AC=4.
∵PD是直径，∴∠PBD=90°=∠PAC.
∵∠DPB=∠CPA，∴△DPB∽△CPA.
∴，即，解得：.
(3)作线段AC的垂直平分线MN，作OE⊥MN，
则OE=AC=AB=.
又∵圆O要与直线MN交点，
∴OE=≤r.
∴r≥.
又∵圆O与直线l相离，∴r＜5.
∴⊙O的半径r的取值范围为≤r＜5.






练习10-2如图，在⊙O上有定点C和动点P，位于直径AB的异侧，过点C作CP的垂线，与PB的延长线交于点Q，已知：⊙O半径为，tan∠ABC＝，则CQ的最大值是　 　．

【解析】∵AB是⊙O的直径，
∴AB＝5，∠ACB＝90°，
在Rt△ABC中，tan∠ABC＝，
∴设AC＝3x，BC＝4x，
根据勾股定理得，（3x）2+（4x）2＝25，
∴x＝5（负值已舍去），
∴AC＝3，BC＝4，
∵CQ⊥CP，
∴∠PCQ＝90°＝∠ACB＝90°，
∵∠A＝∠P，
∴△ABC∽△PQC，
∴，
∴CQ＝＝PC，
∵PC是⊙O的弦，
∴PC最大时，CQ最大，而PC最大＝AB＝5，
∴CQ最大＝×5＝，
故答案为：．



练习10-3如图，A（2，0）、B（6，0），以AB为直径作⊙M，射线OF交⊙M于E、F两点，C为弧AB的中点，D为EF的中点．当射线OF绕O点旋转时，CD的最小值为　 　．

【解析】连接MD，如图，
∵D为EF的中点，
∴MD⊥EF，
∴∠ODM＝90°，
∴点D在以A点为圆心，2为半径的圆上，
当D点为CA与⊙A的交点时，CD的值最小，此时CD＝AC﹣2＝2﹣2，
即CD的最小值为2﹣2．
故答案为：2﹣2．


练习10-4如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝10，BC＝8，点D是BC上一点，BC＝3CD，点P是线段AC上一个动点，以PD为直径作⊙O，点M为的中点，连接AM，则AM的最小值为　 　．


【解析】如图，连接OM，CM，过点A作AT⊥CM交CM的延长线于T．

∵＝，
∴OM⊥PD，
∴∠MOD＝90°，
∴∠MCD＝∠MOD＝45°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACT＝45°，
∵AT⊥CT，
∴∠ATC＝90°，
∵AC＝10，
∴AT＝AC•sin45°＝5，
∵AM≥AT，
∴AM≥5，
∴AM的最小值为5，
故答案为5．



练习10-5如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，其中AB＝4，∠AOC＝120°，P为⊙O上的动点，连AP，取AP中点Q，连CQ，则线段CQ的最大值为（　　）

A．3 B．1+ C．1+3 D．1+
【解析】如图，连接OQ，作CH⊥AB于H．

∵AQ＝QP，
∴OQ⊥PA，
∴∠AQO＝90°，
∴点Q的运动轨迹为以AO为直径的⊙K，连接CK，
当点Q在CK的延长线上时，CQ的值最大（也可以通过CQ≤QK+CK求解）
在Rt△OCH中，∵∠COH＝60°，OC＝2，
∴OH＝OC＝1，CH＝，
在Rt△CKH中，CK＝＝，
∴CQ的最大值为1+，
故选：D．





练习10-6如图，AB，BC是⊙O的弦，∠B＝60°，点O在∠B内，点D为上的动点，点M，N，P分别是AD，DC，CB的中点．若⊙O的半径为2，则PN+MN的长度的最大值是（　　）

A． B． C． D．
【解析】连接OC、OA、BD，作OH⊥AC于H．

∵∠AOC＝2∠ABC＝120°，
∵OA＝OC，OH⊥AC，
∴∠COH＝∠AOH＝60°，CH＝AH，
∴CH＝AH＝OC•sin60°＝，
∴AC＝2，
∵CN＝DN，DM＝AM，
∴MN＝AC＝，
∵CP＝PB，AN＝DN，
∴PN＝BD，
当BD是直径时，PN的值最大，最大值为2，
∴PM+MN的最大值为2+．
故选：D．



练习10-7如图，⊙O的直径AB的长12，长度为4的弦DF在半圆上滑动，DE⊥AB于点E，OC⊥DF于点C，连接CE，AF，则sin∠AEC的值是　 　，当CE的长取得最大值时AF的长是　 　．

【解析】如图1，
连接OD，∴DO＝AB＝6，
∵OC⊥DF，
∴∠OCD＝90°，CD＝CF＝DF＝2，
在Rt△OCD中，根据勾股定理得，OC＝＝4，
∴sin∠ODC＝＝＝，
∵DE⊥AB，
∴∠DEO＝90°＝∠OCD，
∴点O，C，D，E是以OD为直径的圆上，
∴∠AEC＝∠ODC，
∴sin∠AEC＝sin∠ODC＝，
如图2，
∵CE是以OD为直径的圆中的弦，CE要最大，
即：CE是以OD为直径的圆的直径，
∴CE＝OD＝6，∠COE＝90°，
∵∠OCD＝∠OED＝90°，
∴四边形OCDE是矩形，∴DF∥AB，
过点F作FG⊥AB于G，
易知，四边形OCFG是矩形，
∴OG＝CF＝2，FG＝OC＝4，
∴AG＝OA﹣OG＝4
连接AF，
在Rt△AFG中，根据勾股定理得，AF＝＝4，
故答案为，4．


练习10-8如图，以点P(2，0)为圆心，为半径作圆，点M(a，b)是⊙P上的一点，则的最大值是 .

【解析】当有最大值时，即tan∠MOP有最大值，
也就是当OM与圆相切时，tan∠MOP有最大值，
此时tan∠MOP=MP/OM，
在Rt△OMP中，由勾股定理得：OM==，
则tan∠MOP==MP/OM=，
故答案为：.

练习10-9如图1，已知AB是⊙O的直径，点D是弧AB上一点，AD的延长线交⊙O的切线BM于点C，点E为BC的中点，
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）如图2，若DC＝4，tanA＝，延长OD交切线BM于点H，求DH的值；
（3）如图3，若AB＝8，点F是弧AB的中点，当点D在弧AB上运动时，过F作FG⊥AD于G，连接BG，求BG的最小值．

【解析】（1）证明：如图，连接OD，BD，

∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝∠CDB＝90°，
∵BM是⊙O的切线，
∴∠ABC＝90°，
∵点E是BC的中点，
∴DE＝BC＝BE＝CE，
∴∠EDB＝∠EBD，
又∵OD＝OB，
∴∠ODB＝∠OBD，
∴∠ODB+∠EDB＝∠OBD+∠EBD＝90°，
即∠ODE＝90°，
∴OD⊥DE，
∴DE 是⊙O的切线；

（2）解：如图2，连接BD，

∵∠A+∠ABD＝∠ABD+∠CBD＝90°，
∴∠A＝∠CBD，
∵DC＝4，tanA＝，
∴tan∠CBD＝tanA＝，
∴BD＝8，
∴BC＝＝4，
∴DE＝，
∴AB＝，
∴BO＝OD＝4，
又∵DE是⊙O的切线，
∴∠HDE＝90°，
∴tan∠DHE＝＝，设DH＝x，
则，
∴BH＝2x，
在Rt△BOH中，OB2+BH2＝OH2，
即，解得：x＝或x＝0（舍去），
∴DH＝；

（3）解：如图3，连接BF，取AF中点N，构造圆N，连接NG，

∵FG⊥AD于点G，
∴当点D 在弧AB上运动时，点G在圆N上运动，
∴当点N、G、B三点共线时，BG有最小值，
∵AB＝8，点F是弧AB 的中点，
∴∠AFB＝90°，AF＝BF＝，
∴NG＝NF＝，
BN＝＝＝2，
∴BG＝BN﹣NG＝2．





练习10-10已知点 和直线 ，求点P到直线 的距离d可用公式 计算．根据以上材料解决下面问题：如图， 的圆心C的坐标为 ，半径为1，直线l的表达式为 ，P是直线l上的动点，Q是 上的动点，则 的最小值是（    ）

A.                            B.                       C.                          D. 2
【解析】过点C作直线l的垂线，交 于点Q，交直线l于点P，此时PQ的值最小，如图，

∵点C到直线l的距离 ， 半径为1，
∴ 的最小值是 ，
故答案为：B.


练习10-11如图，在Rt△AOB 中， ，以点O为圆心，2为半径的圆与OB交于点C，过点C作 交 于点D，点P是边OA上的动点．当 最小时，OP的长为（    ）

A.                                B.                            C. 1                             D. 
【解析】延长CO交 于点E，连接ED，交AO于点P，如图，

∵CD⊥OB，
∴∠DCB=90°，
又 ，
∴∠DCB=∠AOB，
∴CD//AO
∴
∵OC=2，OB=4，
∴BC=2，
∴ ，解得，CD= ；
 ∵CD//AO，
∴ ，即 ，解得，PO=
故答案为：B．


练习10-12如图，半圆O的半径长为5，点P为直径AB上的一个动点，已知CP上AB，交半圆O于点C，若D为半圆O上的一动点，且CD=4，M是CD的中点，则PM的值有（    ）

A. 最小值5                     B. 最小值4        C. 最大值5                D. 最大值4
【解析】连接OM，OC，

∵点M是CD的中点，
∴OM⊥CD，
∵CP⊥AB，
∴∠CPO=∠OMC=90°，
∴点P，O，M，C四点共圆，OC是圆的直径，设圆心为I
∴当点M，P，I三点共线时即PM是圆的直径时，即PM=OC=5时，PM的值最大.
故答案为：C.