2021年九年级中考数学备考专题训练：《一次函数的综合》（一）

这是一份2021年九年级中考数学备考专题训练：《一次函数的综合》（一），共21页。试卷主要包含了如图，在平面直角坐标系中，A等内容，欢迎下载使用。


1．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝﹣x+3与x轴交于点A，点P（a，4）在直线l1上，过点P的直线l2交x轴于点B（﹣3，0）．
（1）求△PAB的面积；
（2）求直线l2的解析式：
（3）以PA为腰作等腰直角△QPA，请直接写出满足条件的点Q的坐标．
2．在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式﹣﹣利用函数图象研究其性质﹣﹣应用函数解决问题”的学习过程，在画函数图象时，我们可以通过描点或平移的方法画出一个函数的大致图象，结合上面经历的学习过程，现在来解决下面问题：
在函数y＝|2x+b|+kx（k≠0）中，当x＝0时，y＝1；当x＝﹣1时，y＝3．
（1）求这个函数的表达式；
（2）在给出的平面直角坐标系中，请用你喜欢的方法画出这个函数的图象，并写出这个函数的一条性质；
（3）已知函数y＝x﹣1的图象如图所示，结合你所画的函数图形，直接写出不等式|2x+b|+kx≤x﹣1的解集．
3．如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝x+b与直线l2：y＝kx+7交于点A（2，4），直线l1与x轴交于点C，与y轴交于点B，将直线l1向下平移7个单位得到直线l3，l3与y轴交于点D，与l2交于点E，连接AD．
（1）求l3的解析式；
（2）求交点E的坐标；
（3）求△ADE的面积．
4．甲乙两人沿相同的路线同时登山，甲、乙两人距地面的高度y（米）与登山时间x（分钟）之间的函数图象如图所示，根据图象所提供的信息解答下列问题：
（1）甲距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数关系式为：y甲＝ ．
（2）若乙提速后，乙的速度是甲登山速度的3倍，登山多长时间时，乙追上了甲？此时乙距A地的高度为多少米？
5．如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝x+6与y轴交于点A，直线l2：y＝kx+b与y轴交于点B，与l1相交于C（﹣3，3），AO＝2BO．
（1）求直线l2：y＝kx+b的解析式；
（2）求△ABC的面积．
6．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣x+n图象与正比例函数y＝2x的图象交于点A（m，4）．
（1）求m，n的值；
（2）设一次函数y＝﹣x+n的图象与x轴交于点B，与y轴交于点C，求点B，点C的坐标；
（3）直接写出使函数y＝﹣x+n的值小于函数y＝2x的值的自变量x的取值范围．
（4）在x轴上是否存在点P使△PAB为等腰三角形，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
7．如图，在平面直角坐标系中，边长为4的正方形OABC的顶点A、C分别在y轴、x轴的正半轴上，点O在原点．现将正方形OABC绕点O按顺时针方向旋转，旋转角为θ，当点A第一次落在直线y＝x上时停止旋转，旋转过程中，AB边交直线y＝x于点M，BC边交x轴于点N．
（1）若θ＝30°时，求点A的坐标；
（2）设△MBN的周长为P，在旋转正方形OABC的过程中，P值是否有变化？请证明你的结论．
8．为落实“精准扶贫”精神，市农科院专家指导贫困户李大爷种植优质百香果喜获丰收，上市20天全部销售完，专家对销售情况进行了跟踪记录，并将记录情况绘成图象，日销售量y（单位：千克）与上市时间x（单位：天）的函数关系如图所示．
（1）观察图示，直接写出日销售量的最大值为 ．
（2）根据图示，求李大爷家百香果的日销售量y与上市时间x的函数解析式，并求出第15天的日销售量．
9．如图，四边形ABCO为矩形，O为坐标原点，点A的坐标为（0，6），点C的坐标为（8，0），点P是线段BC上一动点，已知点D是直线AE上位于第一象限的任意一点，直线AE与x轴交于点E（﹣3，0）．
（1）求直线AE的函数关系式；
（2）如图1，连接PD，当△APD为等腰直角三角形，∠DAP＝90°时，求线段DP的长；
（3）如图2，若将直线AE向下平移12个单位后，在该直线AE上是否存在一点D，使△APD成为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点D的坐标，若不存在，请说明理由．
10．如图，在平面直角坐标系中，A（﹣2，0），B（1，4）．
（1）求直线AB的解析式；
（2）已知点C在第一象限，且到两坐标轴距离相等，若S△AOB＝2S△AOC，求点C的坐标．
参考答案
1．解：（1）当y＝0时，﹣x+3＝0，解得x＝3，则A（3，0），
把P（a，4）代入y＝﹣x+3得﹣a+3＝4，解得a＝﹣1，
∴P（﹣1，4），
∵B（﹣3，0），
∴△PAB的面积＝×（3+3）×4＝12；
（2）设直线l2的解析式为y＝kx+b，
把B（﹣3，0），P（﹣1，4）分别代入得，解得，
∴直线l2的解析式为y＝2x+6：
（3）当P为直角顶点，则PQ⊥PA，PQ＝PA＝＝4，
∵PA的解析式为y＝﹣x+3，
∴PQ的解析式为y＝x+b，
把P（﹣1，4）代入得﹣1+b＝4，解得b＝5，
∴PQ的解析式为y＝x+5，
设Q（x，x+5），
∴（x+1）2+（x+5﹣4）2＝（4）2，解得x1＝﹣5，x2＝3，
此时Q点的坐标为（﹣5，0）或（3，0）；
当A为直角顶点，则AQ⊥AP，AQ＝PA＝4，
∵PA的解析式为y＝﹣x+3，
∴PQ的解析式为y＝x+m，
把A（3，0）代入得3+m＝0，解得m＝﹣3，
∴AQ的解析式为y＝x﹣3，
设Q（x，x﹣3），
∴（x﹣3）2+（x﹣3）2＝（4）2，解得x1＝﹣1，x2＝7，
此时Q点的坐标为（﹣1，﹣4）或（7，4）；
综上所述，Q点的坐标为（﹣5，0）或（3，0）或（﹣1，﹣4）或（7，4）．
2．解：（1）将x＝0，y＝1；x＝﹣1，y＝3分别代入函数y＝|2x+b|+kx（k≠0）得：
解得：或（舍）
∴y＝|2x+1|﹣2x．
（2）当2x+1≥0，即x≥﹣时，y＝1；
当2x+1＜0，即x＜﹣时，y＝﹣1﹣4x；
∵y＝1为平行于x轴的直线，y＝﹣1﹣4x为过（﹣1，3）、（﹣，5）的射线
故可作图如下：
这个函数的一条性质为：函数图象不过原点．
（3）由（2）中图象可知不等式|2x+b|+kx≤x﹣1的解集为x≥4．
3．解：（1）∵直线l1：y＝x+b与直线l2：y＝kx+7交于点A（2，4），
∴4＝×2+b，4＝2k+7，
∴b＝3，k＝﹣，
∴直线l1的解析式为y＝x+3，直线l2的解析式为y＝﹣x+7，
∵将直线l1向下平移7个单位得到直线l3，
∴直线l3的解析式为y＝x﹣4．
（2）由，解得，
∴交点E的坐标为（，﹣）；
（3）∵l1∥l3，
∴S△ADE＝S△BDE＝×7×＝．
4．解：（1）设甲距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数关系式为y甲＝kx+b，
∵点（0，100），（20，300）在函数y甲＝kx+b的图象上，
∴，
解得，
即甲距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数关系式为y甲＝10x+100，
故答案为：10x+100；
（2）由图象可得，
甲的速度为：（300﹣100）÷20＝10（米/分），
∵乙提速后，乙的速度是甲登山速度的3倍，
∴乙提速后的速度为30米/分，
设乙登山a分钟时追上甲，
则15÷1×2+30×（a﹣2）＝10a+100，
解得a＝6.5，
当a＝6.5时，乙距A地的高度为：30×（6.5﹣2）＝135（米），
即乙提速后，乙的速度是甲登山速度的3倍，登山6.5分钟时，乙追上了甲，此时乙距A地的高度为135米．
5．解：（1）∵直线l1：y＝x+6与y轴交于点A，
∴当x＝0时，y＝0+6＝6，
∴A（0，6），
∵AO＝2BO，
∴B（0，﹣3），
∵C（﹣3，3），
代入直线l2：y＝kx+b中得，
解得．
故直线l2的解析式为y＝﹣2x﹣3；
（2）S△ABC＝AB•|xC|＝×（6+3）×3＝．
6．解：（1）正比例函数y＝2x的图象过点A（m，4）．
∴4＝2m，
∴m＝2．
又∵一次函数y＝﹣x+n的图象过点A（2，4）．
∴4＝﹣2+n，
∴n＝6．
（2）一次函数y＝﹣x+n的图象与x轴交于点B，
∴令y＝0，则0＝﹣x+6
∴x＝6，
∴点B坐标为（6，0），
令x＝0，则y＝6，
∴点C坐标为（0，6）；
（3）由图象可知：x＞2；
（4）∵点A（2，4），
∴AB＝＝4，
当AB＝BP＝4时，则点P（6+4，0）或（6﹣4，0）；
当AB＝AP时，如图，过点A作AE⊥BO于E，则点E（2，0），
∵AB＝AP，AE⊥BO，
∴PE＝BE＝4，
∴点P（﹣2，0）；
当PA＝PB时，
∴∠PBA＝∠PAB＝45°，
∴∠APB＝90°，
∴点P（2，0），
综上所述：点P坐标为（6+4，0）或（6﹣4，0）或（﹣2，0）或（2，0）．
7．解：（1）作AD⊥y轴于D，
∵∠AOD＝30°，OA＝4，
∴AD＝，OD＝OA＝2，
∴A（2，2）；
（2）在旋转正方形OABC的过程中，P值不变．
证明：在图2中，将△AOM绕点O顺时针旋转90°，得到△COE．
由旋转，可知：OM＝OE，AM＝CE，∠AOM＝∠COE，∠MOE＝90°．
∵直线OM的解析式为y＝x，
∴∠MON＝45°．
∵∠MOE＝90°，
∴∠EON＝45°．
在△MON和△EON中，
，
∴△MON≌△EON（SAS），
∴MN＝EN＝CN+AM．
∴P＝BM+BN+MN＝BM+AM+BN+CN＝2AB，
∴在旋转正方形OABC的过程中，P值不变．
8．解：（1）由图象可得，
日销售量的最大值为960千克，
故答案为：960千克；
（2）当0≤x≤12时，设y与x的函数关系式为y＝kx，
12k＝960，得k＝80，
即当0≤x≤12时，y与x的函数关系式为y＝80x；
当12＜x≤20时，设y与x的函数关系式为y＝ax+b，
，得，
即当12＜x≤20时，y与x的函数关系式为y＝﹣120x+2400，
由上可得，y与x的函数关系式为y＝；
当x＝15时，y＝﹣120×15+2400＝600，
答：李大爷家百香果的日销售量y与上市时间x的函数解析式为y＝，第15天的日销售量是600千克．
9．解：（1）设直线AE的函数关系式为：y＝kx+b，
由题意可得，
解得：，
∴直线AE的函数关系式为：y＝2x+6；
（2）如图1，过点D作DH⊥y轴于H，
∴∠DHA＝∠ABP＝90°，
∵点A的坐标为（0，6），点C的坐标为（8，0），
∴AO＝BC＝6，CO＝AB＝8，
∵△DAP为等腰直角三角形，
∴AD＝AP，∠DAP＝90°，DP＝AD，
∴∠HAD+∠DAB＝90°，∠DAB+∠BAP＝90°，
∴∠HAD＝∠BAP，
在△ADH和△APB中，
，
∴△ADH≌△APB（AAS），
∴AH＝AB＝8，
∴OH＝AO+AH＝14，
当y＝14时，则14＝2x+6，
∴x＝4，
∴点D坐标为（4，14），
∴HD＝4，
∴AD＝＝＝4，
∴DP＝AD＝4；
（3）∵将直线AE向下平移12个单位，
∴平移后解析式为y＝2x﹣6；
如图2所示，当∠ADP＝90°，AD＝PD时，
∵AD＝PD，
∴点D在AB的垂直平分线上，
∴点D横坐标为4，
∴y＝2×4﹣6＝2，
∴点D坐标为（4，2）；
如图3所示，当∠APD＝90°，AP＝PD时，
过点P作PH⊥y轴于，过点D作DF⊥PH，交HP的延长线于F，
同理可证△AHP≌△PFD，
∴AH＝PF，HP＝DF＝8，
设点P的坐标为（8，m），
则D点坐标为（14﹣m，m+8），由m+8＝2（14﹣m）﹣6，得m＝，
∴D点坐标为（，）；
如图4所示，当∠ADP＝90°，AD＝PD时，
同理可求得D点坐标为（，），
综上，符合条件的点D存在，坐标分别为（4，2），（，），（，）．
10．解：（1）设直线AB的解析式为：y＝kx+b，
∵A（﹣2，0），B（1，4），
∴，
解得：，
∴直线AB的解析式为y＝x+；
（2）∵A（﹣2，0），B（1，4），
∴S△AOB＝＝4，
设C的纵坐标为n（n＞0），
∵点C在第一象限，且到两坐标轴距离相等，
∴C（n，n），
∵S△AOB＝2S△AOC，
∴S△AOC＝•n＝2，
∴n＝2，
∴点C的坐标为（2，2）．