专题04 古典概型——2020年高考数学（文）母题题源解密（全国Ⅰ专版）

专题04  古典概型

【母题来源一】【2020年高考全国Ⅰ卷文数】设O为正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取3点，则取到的3点共线的概率为

A．  B．

C． D．

【答案】A

【解析】如图，从五个点中任取3个有：

，，，共种不同取法，

3点共线只有与，共2种情况，

由古典概型的概率计算公式知，取到3点共线的概率为.

故选A.

【名师点晴】本题主要考查古典概型的概率计算问题，采用列举法，考查学生数学运算能力，是一道容易题. 列出从5个点选3个点的所有情况，再列出3点共线的情况，用古典概型的概率计算公式运算即可.

【命题意图】

1．理解古典概型及其概率计算公式．

2．会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率．

3．本类问题主要涉及古典概型、对立事件概率的计算及概率与统计的综合，要求掌握利用古典概想求概率的方法，掌握利用互斥事件概率的加法公式及对立事件的概率公式求概率的方法．

【命题规律】

古典概型是高考命题的重点，题目难度中等，要求考生通过阅读提取信息，并掌握必要的计数方法：枚举法，树状图或者排列组合知识计数原理等就可以计算．

【答题模板】

解答此类题目，一般考虑如下三步：

第一步：分析已知条件选择古典概型模型；

第二步：找基本事件总数以及事件包含的基本事件数；

第三步：代入古典概型的计算公式求解．

【方法总结】

1．古典概型是概率论中最简单而又直观的模型，在概率论的发展初期曾是主要研究对象，许多概率的运算法则都是在古典概型中得到证明的(遂谓之“古典”)．要判断一个试验是否为古典概型，只需要判断这个试验是否具有古典概型的两个特征——有限性和等可能性．

2．求古典概型的概率

（1）对于事件A的概率的计算，关键是要分清基本事件总数n与事件A包含的基本事件数m．因此必须解决以下三个方面的问题：第一，本试验是否是等可能的；第二，本试验的基本事件数有多少个；第三，事件A是什么，它包含的基本事件有多少个．

（2）如果基本事件的个数比较少，可用列举法把古典概型试验所含的基本事件一一列举出来，然后再求出事件A中的基本事件数，利用公式P(A)＝求出事件A的概率，这是一个形象直观的好方法，但列举时必须按照某一顺序做到不重不漏．

（3）如果基本事件个数比较多，列举有一定困难时，可以用树状图法，树状图法适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求，注意在确定基本事件时(x，y)可以看成是有序的，如(1，2)与(2，1)不同．有时也可以看成是无序的，如(1，2)，(2，1)相同．

（4）较为简单的问题可以直接使用古典概型概率公式计算，较为复杂的概率问题的处理方法有：

①转化为几个互斥事件的和，利用互斥事件的加法公式求解；

②采用间接法，先求事件A的对立事件A的概率，再由P(A)＝1－P(A)求事件A的概率．

3．必记结论

（1）古典概型中的基本事件都是互斥的．

（2）在计算古典概型中基本事件数和事件发生数时，易忽视它们是否是等可能的．

1．【江西省南昌市新建县第一中学2020届高三第二次适应性考试数学试题】如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】从中任取3个不同的数共有10种不同的取法，其中的勾股数只有3,4,5，故3个数构成一组勾股数的取法只有1种，故所求概率为，故选C.

2．【2020届陕西省高三第三次联考数学试题】从分别写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数字不大于第二张卡片的概率是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】设第一张卡片上的数字为，第二张卡片的数字为， 分别写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，共有种情况，

当时，可能的情况如下表：

，故本题选C.

【名师点睛】本题考查用列举法求概率，本问题可以看成有放回取球问题. 设第一张卡片上的数字为，第二张卡片的数字为，问题求的是.

3．【2020届华文大教育联盟 高三第二次质量检测数学试题】一个盒中有形状、大小、质地完全相同的5张扑克牌，其中3张红桃，1张黑桃，1张梅花．现从盒中一次性随机抽出2张扑克牌，则这2张扑克牌花色不同的概率为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】所有会出现的情况有：（红1，黑1），（红1，梅1），（红2，黑1），（红2，梅1），（红3，黑1），（红3，梅1），（红1，红2），（红1，红3），（红2，红3），（黑1，梅1）

共10种.

其中符合花色不同的情况有：（红1，黑1），（红1，梅1），（红2，黑1），（红2，梅1），（红3，黑1），（红3，梅1），（黑1，梅1），共7种

根据古典概型的概率公式得

故选B项.

【名师点睛】本题考查通过列举法求古典概型的概率，属于简单题. 将所有情况全部列出，然后找到符合要求的情况数量，根据古典概型的概率公式，得到结果.

4．【2020届全国100所名校高考模拟金典卷数学（四）试题】袋子中装有大小、形状完全相同的个白球和个红球，现从中不放回地摸取两个球，已知第二次摸到的红球，则第一次摸到红球的概率为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】设两个红球为，两个白球为，

则第二次摸到的红球的所有可能结果为：共6种，

其中第一次摸到红球的事件包括：共2种，

结合排列组合公式可知第一次摸到红球的概率为.

【名师点睛】本题主要考查古典概型计算公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.由题意，分别列出第二次摸到的红球的所有可能结果和第一次摸到红球的事件，利用古典概型计算公式确定去概率值即可.

5．【2020届黑龙江省实验中学高三上学期期末考试数学试题】从装有大小材质完全相同的3个红球和3个黑球的不透明口袋中，随机摸出两个小球，则两个小球同色的概率是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】从装有大小材质完全相同的个红球和个黑球的不透明口袋中，

随机摸出两个小球，基本事件总数，

其中两个小球同色包含的基本事件个数为，

两个小球同色的概率是，故选B.

【名师点睛】本题考查古典概型概率公式，是基础题. 在解古典概型概率题时，首先求得样本空间中基本事件的总数，其次求得概率事件中含有基本事件数，然后根据公式求得概率. 随机摸出两个小球，基本事件总数，其中两个小球同色包含的基本事件个数，根据古典概型概率公式可得结果.

6．【2020届安徽省滁州市定远县重点中学高三下学期4月模拟考试数学试题】2019年1月1日，济南轨道交通号线试运行，济南轨道交通集团面向广大市民开展“参观体验，征求意见”活动，市民可以通过济南地铁APP抢票，小陈抢到了三张体验票，准备从四位朋友小王，小张，小刘，小李中随机选择两位与自己一起去参加体验活动，则小王被选中的概率为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】从四位朋友小王，小张，小刘，小李中随机选择两位，全部的情况有：

（小王，小张）（小王，小刘）（小王，小李）（小张，小刘）（小张，小李）（小刘，小李），共6种符合要求，即包含小王的情况有：（小王，小张）（小王，小刘）（小王，小李）共3种，

所以小王被选中的概率为.

故选B项.

【名师点睛】本题考查古典概型的求法，属于简单题. 将所有符合要求的情况全部列出，然后选出符合要求的情况，利用古典概型的概率公式，得到答案.

7．【陕西省宝鸡市金台区2019-2020学年高三教学质量检测数学试题】某英语初学者在拼写单词“”时，对后三个字母的记忆有些模糊，他只记得由“”、“”、“”三个字母组成并且“”只可能在最后两个位置，如果他根据已有信息填入上述三个字母，那么他拼写正确的概率为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】满足题意的字母组合有四种，分别是，，，，拼写正确的组合只有一种，所以概率为.

故选B.

【名师点睛】本题主要考查古典概型，熟记概率计算公式即可，属于常考题型. 根据题意列举出满足题意的字母组合，即可求出结果.

8．【2020届宁夏石嘴山市高三4月二模数学试题】《孙子算经》是中国古代重要的数学著作．其中的一道题“今有木，方三尺，高三尺，欲方五寸作枕一枚．问：得几何？”意思是：“有一块棱长为3尺的正方体方木，要把它作成边长为5寸的正方体枕头，可作多少个？”现有这样的一个正方体木料，其外周已涂上油漆，则从切割后的正方体枕头中任取一块，恰有一面涂上油漆的概率为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】有一块棱长为3尺的正方体方木，要把它作成边长为5寸的正方体枕头，可作216个，

由正方体的结构及锯木块的方法，

可知一面带有红漆的木块是每个面的中间那16块，共有6×16＝96个，

∴从切割后的正方体枕头中任取一块，恰有一面涂上油漆的概率：

p．

故选C．

【名师点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、正方体的结构特征等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．对于古典概型，要求事件总数是可数的，满足条件的事件个数可数，使得满足条件的事件个数除以总的事件个数即可.

9．【陕西省榆林市一中2019届高考模拟考试数学】袋子中有四个小球，分别写有“文、明、中、国”四个字，有放回地从中任取一个小球，直到“中”“国”两个字都取到就停止，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止的概率.利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数，分别用0，1，2，3代表“文、明、中、国”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：

232  321  230  023  123  021  132  220  001

231  130  133  231  013  320  122  103  233

由此可以估计，恰好第三次就停止的概率为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】经随机模拟产生的18组随机数中，
232  321  230  023  123  021  132  220  001
231  130  133  231  013  320  122  103  233
恰好第三次就停止包含的基本事件有：
023  123  132，共3个，
由此可以估计，恰好第三次就停止的概率为.
故选B.

【名师点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.经随机模拟产生的18组随机数中，恰好第三次就停止包含的基本事件有3个，由此可以估计恰好第三次就停止的概率.

10．【2020届福建省福州第一中学高三上学期期末考试数学试题】《镜花缘》是清代文人李汝珍创作的长篇小说，书中有这样一个情节：一座楼阁到处挂满了五彩缤纷的大小灯球，灯球有两种，一种是大灯下缀2个小灯，另一种是大灯下缀4个小灯，大灯共360个，小灯共1200个.若在这座楼阁的灯球中，随机选取一个灯球，则这个灯球是大灯下缀4个小灯的概率为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】设大灯下缀2个小灯为个，大灯下缀4个小灯有个，

根据题意可得，解得，

则灯球的总数为个，

故这个灯球是大灯下缀4个小灯的概率为，故选B．

【名师点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算，其中解答中根据题意列出方程组，求得两种灯球的数量是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．设大灯下缀2个小灯为个，大灯下缀4个小灯有个，根据题意求得，再由古典概型及其概率的公式，即可求解．

11．【江西省四校联盟2019-2020学年高三第一次联考数学试题】齐王有上等、中等、下等马各一匹，田忌也有上等、中等、下等马各一匹．田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马．现在从双方的马匹中随机各选一匹进行一场比赛，若有优势的马一定获胜，则齐王的马获胜得概率为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】设齐王上等、中等、下等马分別为，田忌上等、中等、下等马分别为，

现从双方的马匹中随机各选一匹进行一场比赛,

基本事件有：，共9种，有优势的马一定获胜，齐王的马获胜包含的基本事件有：，共6种,

齐王的马获胜的概率为，故选C.

【名师点睛】本题主要考查古典概型概率公式的应用，属于中档题，利用古典概型概率公式求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，基本亊件的探求方法有 (1)枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的；(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本亊件的探求.在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先，……，再，……，依次……，这样才能避免多写、漏写现象的发生.

12．【2020届河南省六市（南阳市、驻马店市、信阳市、漯河市、周口市、三门峡市）高三第一次模拟调研试题】五行学说是华夏民族创造的哲学思想，是华夏文明重要组成部分.古人认为，天下万物皆由金、木、水、火、土五类元素组成，如图，分别是金、木、水、火、土彼此之间存在的相生相克的关系.若从5类元素中任选2类元素，则2类元素相生的概率为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】金、木、水、火、土任取两类，共有：

金木、金水、金火、金土、木水、木火、木土、水火、水土、火土10种结果，

其中两类元素相生的有火木、火土、木水、水金、金土共5结果，

所以2类元素相生的概率为，故选A.

【名师点睛】本题主要考查古典概型概率公式的应用，属于基础题，利用古典概型概率公式求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，基本亊件的探求方法有 (1)枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的；(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本亊件的探求.在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先，……，再，……，依次…………这样才能避免多写、漏写现象的发生.

13．【2020年普通高等学校招生全国统一考试数学样卷(三)】一个盒子中装有4张卡片，上面分别写着如下四个定义域为的函数：，，，．现从盒子中任取2张卡片，将卡片上的函数相乘得到一个新函数，所得新函数为奇函数的概率是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】因为，是奇函数，，是偶函数，所以在所有的六个组合，，，，，中，有4个奇函数，分别为，，，，所以所求的概率为．

故选C.

【名师点睛】本小题主要考查古典概型的概率计算，属于基础题.利用列举法列举出所有可能情况，结合古典概型概率计算公式，计算出所求概率.

14．【湖北省襄阳五中、夷陵中学、钟祥一中三校2020届高三下学期6月高考适应性考试数学试题】将一个各面上均涂有颜色的正方体的棱四等分，然后沿等分线把正方体切开得到同样大小的小正方体，从这些小正方体中任取一个，则恰好没有被涂色的概率为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】沿等分线把正方体切开得到同样大小的小正方体共有64个，其中有3个面涂色的小正方体共有8个，只有2个面涂色的小正方体共有个，只有一个面涂色的小正方体共有个，那么没有被涂色的小正方体共有个，

所以恰好没有被涂色的概率为.

故选A.

【名师点睛】本题考查了古典概型的概率公式，属于基础题. 根据古典概型的概率公式计算可得结果.

15．【四川省绵阳南山中学2020届高三高考仿真模拟（一)数学试题】从标号分别为、、、、的张标签中随机抽取一张，放回后再随机抽取一张，则抽得的第一张标签的标号与第二张标签的标号恰好相差的概率为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】从标号分别为、、、、的张标签中随机抽取一张，放回后再随机抽取一张，

所有的基本事件数为，

其中，事件“抽得的第一张标签的标号与第二张标签的标号恰好相差”所包含的基本事件有：、、、、、、、，共种情况，

因此，所求事件的概率为.

故选D.

【名师点睛】本题考查利用古典概型的概率公式求事件的概率，一般利用列举法列举出基本事件，考查计算能力，属于基础题.计算出基本事件的总数，并列举出事件“抽得的第一张标签的标号与第二张标签的标号恰好相差”所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.

16．【四川省阆中中学2020届高三全景模拟（最后一考)数学试题】中国古代十进制的算筹计数法，在数学史上是一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同长短的小木棍．如图，是利用算筹表示数1－9的一种方法．例如：3可表示为“≡”，26可表示为“=⊥”，现有6根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则可以用1－9这9个数字表示两位数中，能被3整除的概率是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】1根算筹只能表示1,2根根算筹可以表示2和6,3根算筹可以表示3和7,4根算筹可以表示4和8,5根算筹可以表示5和9，

因此6根算筹表示的两位数有15,19,51,91,24,28,64,68,42,82,46,86,37,33,73,77共16个，其中15,51,24,42,33共5个可以被3整除，

所以所求概率为．

故选D．

【名师点睛】本题考查古典概型，考查中国古代数学文化，解题关键是用列举法写出6根算筹所能表示的两位数．根据题意把6根算筹所能表示的两位数列举出来后，计算哪些能被3整除即可得概率．

17．【广西钦州市2019-2020学年高三5月质量检测数学试题】桂林漓江主要景点有象鼻山、伏波山、叠彩山、芦笛岩、七星岩、九马画山，小张一家人随机从这6个景点中选取2个进行游玩，则小张一家人不去七星岩和叠彩山的概率为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】从这6个景点选取2个的所有情况为：

(象鼻山，伏波山)，(象鼻山，叠彩山)，(象鼻山，芦笛岩)，(象鼻山，七星岩)，

(象鼻山，九马画山)，(伏波山，叠彩山)，(伏波山，芦笛岩)，(伏波山，七星岩)，

(伏波山，九马画山)，(叠彩山，芦笛岩)，(叠彩山，七星岩)，(叠彩山，九马画山)，

(芦笛岩，七星岩)，(芦笛岩，九马画山)，(七星岩，九马画山)，共15种，

其中,他们不去七星岩和叠彩山的情况有6种，故所求概率为.

故选D.

【名师点睛】本题考查古典概型，考查运算求解能力与应用意识. 用列举法列出6个景点选取2个的所有情况，求出所有情况的种数，然后求出他们不去七星岩和叠彩山的情况的种数，根据古典概型的计算公式求解即可.

18．【重庆市第一中学2019-2020学年高三下学期期中数学试题】2020年，新型冠状病毒引发的疫情牵动着亿万人的心，八方驰援战疫情，众志成城克时难，社会各界支援湖北共抗新型冠状病毒肺炎，重庆某医院派出3名医生，2名护士支援湖北，现从这5人中任选2人定点支援湖北某医院，则恰有1名医生和1名护士被选中的概率为（    ）

A．0.7 B．0.4

C．0.6 D．0.3

【答案】C

【解析】重庆某医院派出3名医生，2名护士支援湖北，现从这5人中任选2人定点支援湖北某医院，

名护士记为、，名医生分别记为、、，

所有的基本事件有：、、、、、、、、、，共种，

其中事件“恰有1名医生和1名护士被选中”所包含的基本事件有：、、、、、，共种，

因此，所求事件的概率为.

故选C.

【名师点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题. 现从这5人中任选2人定点支援湖北某医院，名护士分别记为、，名医生分别记为、、，列举出所有的基本事件，利用古典概型的概率公式可得所求事件的概率.

19．【2020届河南省新乡市高三第二次模拟数学试题】祖冲之是我国南北朝时期杰出的数学家、天文学家.他一生钻研自然科学，其主要贡献在数学、天文历法和机械制造三方面，特别是在探索圆周率的精确度上，首次将“”精确到小数点后第七位，即，在此基础上，我们从“圆周率”第三到第八位有效数字中随机取两个数字，，则事件“”的概率为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】由题意可知第三到第八位有效数字为4，1，5，9，2，6，

则取到数字，的情况有，，，，，，，，，，，，，，，共15种，

其中符合条件的有8种，故所求概率.

故选B.

【名师点睛】本题考查用列举法求古典概型的概率，考查数据处理能力和运算求解能力，是基础题.把第三到第八位6个有效数字两两组合，列出所有可能情况，找出符合要求事件个数，求概率.

20．【宁夏六盘山高级中学2020届高三第四次模拟测试数学试题】将一颗骰子抛掷两次分别得到向上的点数、，则直线与相切的概率为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】因为直线与圆相切，

所以圆的圆心为，圆心到直线的距离等于半径，即，化简得，

因为一颗骰子抛掷两次分别得到向上的点数为、，

所以数对共有种，其中满足的数对有、、三种，

故，故选．

【名师点睛】本题考查直线与圆的位置关系以及古典概型的相关计算公式，当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径，考查计算能力与推理能力，是中档题．本题首先可以通过直线与圆相切以及点到直线距离公式得出，然后通过题意确定数对一共有多少种以及满足的数对有几种，最后通过概率计算公式即可得出结果．