专题16 几何体的体积-2020年高考数学（文）母题题源解密（全国Ⅲ专版）

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专题16 几何体的体积

【母题原题1】【2020年高考全国Ⅲ卷，文数】已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_________．
【答案】
【解析】
【分析】
将原问题转化为求解圆锥内切球的问题，然后结合截面确定其半径即可确定体积的值．
【详解】易知半径最大球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如图所示，
其中，且点M为BC边上的中点，
设内切圆的圆心为，

由于，故，
设内切圆半径为，则：

，
解得：，其体积：．
故答案为：．
【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径．
【母题原题2】【2019年高考全国Ⅲ卷文数】学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型．如图，该模型为长方体挖去四棱锥O—EFGH后所得的几何体，其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，，3D打印所用原料密度为0.9 g/cm3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为___________g．

【答案】118.8
【解析】由题意得，，
∵四棱锥O−EFGH的高为3cm， ∴．
又长方体的体积为，
所以该模型体积为，其质量为．
【名师点睛】本题考查几何体的体积问题，理解题中信息联系几何体的体积和质量关系，从而利用公式求解．根据题意可知模型的体积为长方体体积与四棱锥体积之差进而求得模型的体积，再求出模型的质量即可.
【母题原题3】【2018年高考全国Ⅲ卷文数】设是同一个半径为4的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】如图所示，设点M为三角形ABC的重心，E为AC中点，

当点在平面上的射影为时，三棱锥的体积最大，此时，，
，,点M为三角形ABC的重心，，
中，有，，
，故选B.
【名师点睛】本题主要考查三棱锥的外接球，考查了勾股定理，三角形的面积公式和三棱锥的体积公式，判断出当点在平面上的射影为三角形ABC的重心时，三棱锥体积最大很关键，由M为三角形ABC的重心，计算得到，再由勾股定理得到OM，进而得到结果，属于较难题型．

【命题意图】求解几何体的表面积或体积，主要考查考生的空间想象能力与运算求解能力．
【命题规律】空间几何体的三视图、表面积和体积一直是高考的重点和热点，主要考查以三视图为背景的几何体的表面积和体积，与球有关的切、接问题，一般以小题的形式出现，难度中等．
【知识总结】
柱体、锥体、台体、球的体积

体积（S，S'为底面面积，r，r'为底面半径，h为高）
柱体
V柱体=Sh，V圆柱=πr2h
锥体
V锥体=Sh，V圆锥=πr2h
台体
V台体=（S++S'）h，V圆台=π（r2+rr'+r'2）h
球
V球=πR3（R为球半径）
【方法总结】
1．求空间几何体的体积的常用方法
（1）公式法．对于规则几何体的体积问题，可以直接利用公式进行求解．
（2）割补法．把不规则的图形分割成规则的图形，然后进行体积计算；或者把不规则的几何体补成规则的几何体，不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，便于计算其体积．
（3）等体积法．等体积法也称等积转化或等积变形，它是通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，多用来解决有关锥体的体积，特别是三棱锥的体积．
2．由三视图求相关几何体的体积
已知几何体三视图求体积的思路与已知几何体三视图求表面积的思路相同，求解时注意三视图中的垂直关系在几何体中的位置，确定几何体中的线面垂直等关系，进而利用求体积的方法求解．

1．（2020·广西壮族自治区南宁三中高三月考（文））如图，已知多面体是正方体，，分别是棱，的中点，点是棱上的动点，过点，，的平面与棱交于点，则以下说法不正确的是( )

A．四边形是平行四边形
B．四边形是菱形
C．当点从点往点运动时，四边形的面积先增大后减小
D．当点从点往点运动时，三棱锥的体积一直增大
【答案】C
【解析】
【分析】对选项逐一判断，可得答案.项，由面面平行的性质定理可得，故四边形是平行四边形.项，由是正方体，易知平面，，故平面，故，故平行四边形是菱形.项，菱形的面积，线段的长度是定值，菱形的面积先减小后增大.项，由，点到平面的距离不变，当点从点往点运动时，三角形的面积一直增大，故三棱锥的体积一直增大.
【详解】如图所示

平面平面，平面平面，
平面平面，，同理，
四边形是平行四边形，故正确.
是正方体，，又平面，，
，平面.
分别是棱的中点，，平面，
又平面，，平行四边形是菱形，故正确.
菱形的面积，线段的长度是定值.当点从点往点运动时，线段的长度先减小后增大，菱形的面积先减小后增大，故不正确.[来源:Z.xx.k.Com]
，点到平面的距离不变.当点从点往点运动时，三角形的面积一直增大，三棱锥的体积一直增大，故正确.
故选C.
【点睛】本题考查面面平行的性质定理、线面垂直的判定定理和求三棱锥体积的方法，属于中档题.
2．（2020·上海高三专题练习）已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是（）


A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【详解】【分析】试题分析：如图，

几何体是四棱锥，一个侧面PBC⊥底面ABCD，
底面ABCD是正方形,且边长为20，
那么利用体积公式可知,
故选B.
考点：本题主要考查三视图、椎体的体积，考查简单几何体的三视图的运用．培养同学们的空间想象能力和基本的运算能力．
点评：解决该试题的关键是由三视图可知，几何体是四棱锥，一个侧面垂直底面，底面是正方形，根据数据计算其体积．
3．（2020·广西壮族自治区桂林十八中高一开学考试）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】三视图还原是四棱锥，，面ABCD,PD=AD=BC=AC=1,所以体积，选D.

4．（2020·柳州高级中学高三月考（文））三棱锥中，底面为正三角形，若，则三棱锥与三棱锥的公共部分构成的几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据题意画出如图所示的几何体：

∴三棱锥与三棱锥的公共部分构成的几何体为三棱锥
∵为正三角形，
∴
∵底面，，
∴四边形为矩形，则为与的中点
∴三棱锥的高为
∴三棱锥的体积为
故选B.
5．（2020·钦州市第三中学高三月考（理））我国南北朝时期的数学家、天文学家—祖暅，提出了著名的祖暅原理“幂势既同，则积不容异”.“幂”是面积，“势”即是高，意思是夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.已知某不规则几何体与如图所示三视图对应的几何体满“幂势同”，则该不规则几何体的体积为（ ）


A． B．8 C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】由三视图还原几何体，可知体积为正方体体积减去半个圆柱
【详解】如图所示，则该几何体的体积为，其中，，，
故该几何体的体积为

故选B
【点睛】本题考查由三视图还原几何体，求组合体体积，属于基础题
6．（2020·陕西省西安中学高三三模（理））把边长为的正方形沿对角线折起，当直线和平面所成的角为时，三棱锥的体积为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】取的中点，作，结合等腰三角形三线合一、线面垂直判定定理可证得平面，由线面垂直性质证得；根据线面垂直判定定理和线面角的定义可知，由此可确定的长，即所求三棱锥的高；由棱锥体积公式计算可得结果.
【详解】取的中点，连接，作

， ，
平面， 平面
平面
又，平面， 平面
与平面所成角即为，则
为等边三角形


故选
【点睛】本题考查三棱锥体积的求解问题，涉及到直线与平面所成角的求解、线面垂直的判定与性质定理的应用；关键是能够确定直线与平面所成角的位置，进而求得三棱锥的高.
7．（2020·四川省泸县五中高二月考（文））如图的三视图表示的四棱锥的体积为，则该四棱锥的最长的棱的长度为（ ）

A． B． C．6 D．
【答案】C
【解析】
【分析】根据三视图，画出空间结构体，即可求得最长的棱长．
【详解】根据三视图，画出空间结构如下图所示：

由图可知，底面，所以棱长最长
根据三棱锥体积为
可得 ，解得
所以此时
所以选C
【点睛】本题考查了空间几何体三视图，三棱锥体积的简单应用，属于基础题．
8．（2020·西昌市第二中学高三二模（理））在三棱锥中，平面，，，，三棱锥的外接球半径为，则三棱锥的内切球半径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】设，由题意结合三棱锥的几何特征及外接球的性质可得，进而可得三棱锥的表面积，利用等体积法即可得解.
【详解】如图所示，设，
设的外接圆圆心为，过作平面，
设的中点为E，作交于O，则O即为该三棱锥外接球球心，
连接，，则，，

在中，，
在中，即，解得，
所以,，
所以该三棱锥表面积
，
设三棱锥内切球球心为，内切球半径为，
则，
所以，所以.
故选B.
【点睛】本题考查了空间几何体的外接球、内切球相关问题的求解，考查了空间思维能力与运算求解能力，属于中档题.
9．（2020·绵阳南山中学实验学校高三月考（理））已知四面体ABCD，，BCD为边长为的等边三角形，若顶点A在平面BCD的投影是BCD垂心，则四面体ABCD的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，求得，得到，在直角中，可得，结合体积公式，即可求解.
【详解】由题意，BCD为边长为的等边三角形，
因为顶点A在平面BCD的投影H是BCD垂心，所以H也为BCD中心，
所以，所以，
在直角中，可得，
所以三棱锥的体积为.
故选B.

【点睛】本题主要考查了空间几何体的结构特征，以及三棱锥的体积的计算，其中解答中熟记三棱锥的几何结构特征，利用体积公式准确计算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力.
10．（2020·四川省高三月考（文））已知圆柱的底面半径为2，高为3，垂直于圆柱底面的平面截圆柱所得截面为矩形（如图）．若底面圆的弦所对的圆心角为，则圆柱被分成两部分中较大部分的体积为（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】利用较大部分与圆柱的体积比等于面积比列方程可解得答案.
【详解】设截面将圆柱分成的两部分中较大部分的体积为,圆柱的体积为, 将圆柱的底面分成的两部分中,较大部分的面积为,圆柱的底面积为,
则,
,
,
所以依题意可得,
所以.,
故选:A
【点睛】本题考查了利用圆柱的体积公式计算体积,利用较大部分与圆柱的体积比等于面积比列方程是解题关键,属于基础题.
11．（2020·四川省高三三模（理））小明有一卷纸，纸非常的薄且紧紧缠绕着一个圆柱体轴心卷成一卷，它的整体外貌如图所示，纸卷的直径为12厘米，轴的直径为4厘米.当小明用掉的纸后，则剩下的这卷纸的直径最接近于( )


A．6厘米 B．7厘米 C．8厘米 D．9厘米
【答案】B
【解析】
【分析】根据卷纸的体积关系建立等式求解.
【详解】设小明用掉的纸后，则剩下的这卷纸的直径为x厘米，卷纸高为h，
，
解得：，
则x接近7厘米.
故选B
【点睛】此题考查利用圆柱的体积公式解决实际问题，关键在于熟练掌握体积公式，根据实际问题列出方程求解.
12．（2020·四川省阆中中学高三二模（文））已知正四棱锥中，，那么当该棱锥的体积最大时，它的高（ ）
A．1 B． C．2 D．3
【答案】C
【解析】
【分析】【详解】如图所示，设正四棱锥高为，底面边长为，
则，即，
所以，
令，则，
令，当时，单调递减，
当时，单调递增，
所以取得极小值，也是最小值，有最大值．
故选C.


13．（2020·四川省泸县第一中学高三三模（文））《九章算术》是我国古代第一部数学专著，它有如下问题：“今有圆堡瑽，周四丈八尺，高一丈一尺.问积几何？”意思是“今有圆柱体形的土筑小城堡，底面周长为4丈8尺，高1丈1尺，问它的体积是多少？”（注：1丈=10尺，取）（ ）
A．704立方尺 B．2112立方尺 C．2115立方尺 D．2118立方尺
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，由底面圆周长，得到底面圆半径，再由体积公式求出其体积.
【详解】设圆柱体底面圆半径为，高为，周长为.
因为，所以，
所以 （立方尺）.
故选B项.
【点睛】本题考查圆柱的底面圆半径、体积等相关计算，属于简单题.
14．（2020·四川省泸县五中高三月考（文））已知三棱锥的外接球为球，为球的直径，且，若面面，则三棱锥的体积最大值为( )
A． B． C．1 D．2
【答案】A
【解析】
【分析】由题意画出图形，可得连接OC，OB，则，两三棱锥高的和的最大值为，再求出三角形OBC面积的最大值得答案．
【详解】如图，

连接OC，OB，则，
两三棱锥高的和的最大值为．
要使三棱锥的体积最大，则面积，取最大值时，
三棱锥的体积最大值为．
故选A．
【点睛】本题考查球内接多面体体积最值的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查数学转化思想方法，是中档题．
15．（2020·四川省树德中学高二期中（文））如图，在多面体中，已知是边长为1的正方形，且、均为正三角形，，，则该多面体的体积为（ ）.

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】将物体切割成一个三棱柱，两个三棱锥分别计算体积.
【详解】在上取点使，连接，
是边长为1的正方形，且、均为正三角形，，
所以四边形为等腰梯形，，，
根据等腰梯形性质，，
是平面内两条相交直线，是平面内两条相交直线，
所以平面，平面，
，
几何体体积为

故选A

【点睛】此题考查几何体的体积的计算，关键在于将几何体进行准确切割，分别利用锥体柱体体积计算方法求解.
16．（2020·四川省高三三模（文））已知圆柱上下底面中心分别为，为底面圆圆周上两动点，，与底面所成角为且，则四面体的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】先求出，再求出，利用三棱锥的体积公式即得解.
【详解】
由题得与底面所成角为,
因为，所以.
在中，由余弦定理得.
所以四面体的体积为.
故选A
【点睛】本题主要考查圆柱的几何性质，考查锥体的体积的计算，考查直线和平面所成的角的应用，考查余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
17．（2020·四川省高三其他（文））已知正方体的棱长为1，分别是线段上的动点，若平面，则三棱锥的最大体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】在平面内过作于，证明平面，平面，得到平面 的距离等于到平面 的距离．设，则到平面 的距离等于到平面 的距离为，利用等体积法写出三棱锥的体积，再由二次函数求最值．
【详解】如图，

由底面，可得平面底面，
在平面内过作于，则底面，可得，
平面，又平面，且，
平面平面，
可得，则平面，
又，且平面，可得平面，
则到平面 的距离等于到平面 的距离．
设，则到平面 的距离等于到平面 的距离为，
则，
．
当时，．
故选
【点睛】本题主要考查了线线、线面、面面平行，线面垂直，三棱锥体积最大值的求法，考查化归与转化思想方法，利用二次函数求最值，属于难题．
18．（2020·四川省双流中学高二开学考试（文））已知一圆锥的底面直径与母线长相等，一球体与该圆锥的所有母线和底面都相切，则球与圆锥的表面积之比为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】设圆锥底面圆半径为R，球的半径为r，根据题意画出图形，结合图形求出R与r的关系，再计算球与圆锥的表面积和它们的比值．
【详解】解：设圆锥底面圆半径为R，球的半径为r，

由题意知，圆锥的轴截面是边长为2R的等边三角形，球的大圆是该该等边三角形的内切圆，
所以r=R，=，

所以球与圆锥的表面积之比为
故选B．
【点睛】本题考查了圆锥与球体的结构特征应用问题，也考查了表面积计算问题．
19．（2020·四川省仁寿第一中学校北校区高三二模（文））(2015新课标全国I理科)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有

A．14斛 B．22斛
C．36斛 D．66斛
【答案】B
【解析】试题分析：设圆锥底面半径为r，则，所以，所以米堆的体积为=，故堆放的米约为÷1.62≈22，故选B.[来源:Zxxk.Com]
考点：圆锥的性质与圆锥的体积公式

20．（2020·贵州省高三其他（理））在三棱锥中，已知，，，，且平面平面，三棱锥的体积为，若点都在球的球面上，则球的表面积为( )
[来源:学§科§网]
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】取中点，连接，设球半径为，由题意可知，，由，可列出关于的方程，进而可求出球的半径，则可求球的表面积.[来源:学,科,网Z,X,X,K]
【详解】解：取中点，连接，设球半径为，因为，，，
所以，，，，
因为，，所以，则,
因为平面平面，所以平面，即，
所以，，球的表面积为.

故选:A.
【点睛】本题考查了椎体的体积，考查了面面垂直的性质，考查了球的表面积的求解.求球的体积或表面积时，关键是求出球的半径，通常设半径，结合勾股定理列方程求解.本题的关键是面面垂直这一条件的应用.
21．（2020·贵州省高三一模（理））已知三棱锥的体积为2，是边长为2的等边三角形，且三棱锥的外接球的球心恰好是中点，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】根据是中点这一条件，将棱锥的高转化为球心到平面的距离，即可用勾股定理求解.
【详解】解：设点到平面的距离为，因为是中点，
所以到平面的距离为，
三棱锥的体积，解得，
作平面，垂足为的外心，所以，且，
所以在中，，此为球的半径，
.
故选A.

【点睛】本题考查球的表面积，考查点到平面的距离，属于中档题．
22．（2020·陆良县联办高级中学高二开学考试（理））设是同一个半径为4的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】【详解】分析：作图，D为MO 与球的交点，点M为三角形ABC的中心，判断出当平面时，三棱锥体积最大，然后进行计算可得．
详解：如图所示，

点M为三角形ABC的中心，E为AC中点，
当平面时，三棱锥体积最大
此时，

,
点M为三角形ABC的中心

中，有


故选B.
点睛：本题主要考查三棱锥的外接球，考查了勾股定理，三角形的面积公式和三棱锥的体积公式，判断出当平面时，三棱锥体积最大很关键，由M为三角形ABC的重心，计算得到，再由勾股定理得到OM，进而得到结果，属于较难题型．
23．（2020·西藏自治区拉萨中学高一期中）已知是球的球面上两点,,为该球面上的动点.若三棱锥体积的最大值为36,则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】【详解】
如图所示，当点C位于垂直于面的直径端点时，三棱锥的体积最大，设球的半径为，此时，故，则球的表面积为，故选C．
考点：外接球表面积和椎体的体积．
24．（2020·南木林县中学高三月考）一个几何体的三视图如图所示，已知这个几何体的体积为，则的值为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】试题分析：由三视图可知，该几何体是四棱锥，底面积，体积，解得
，故答案为B.
考点：由三视图求几何体的体积.
二、填空题
25．（2020·柳州高级中学高三开学考试（理））在三棱锥中，底面为，且，斜边上的高为，三棱锥的外接球的直径是，若该外接球的表面积为，则三棱锥的体积的最大值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】分析：由题意,画出图形,设,把棱锥的体积用含有的代数式表示,然后利用二次函数求解,即可得到答案.
【详解】如图所示，
由外接球的表面积为，可得外接球的半径为，则，
设，则，
又边上的高，
当平面时，棱锥的体积最大，
此时，
当时，体积最大，此时最大值为.

【点睛】本题考查了有关球的组合体问题，以及三棱锥的体积的求法，解答时要认真审题，注意球的性质的合理运用，把球的体积表示关于的函数表达式是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力.
26．（2020·广西壮族自治区高三二模（文））已知三棱锥S-ABC的各顶点都在同一个球面上，△ABC所在截面圆的圆心在AB上，SO⊥面ABC，AC=1，BC=，若三棱锥的体积是，则该球体的球心到棱AC的距离是___________
【答案】
【解析】
【分析】利用条件，求出，利用勾股定理，求出，设球心为，半径为，过作交于点，连接，则为球心到的距离，再用勾股定理计算可得.
【详解】解：所在截面圆的圆心在上，平面，三棱锥的体积是，
则三角形为直角三角形，且，的外接圆的半径为
设球心为，半径为，过作交于点，连接，
平面，平面，
又，平面，平面，
平面
平面

则为球心到的距离
依题意可得
，
，
设球体的半径，则，，


故答案为：．

【点睛】本题考查三棱锥体积的计算，锥体的外接球，点到线的距离，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
27．（2020·柳州高级中学高三开学考试（文））已知球的直径，，是该球面上的两点，，则三棱锥的体积最大值是______.
【答案】2
【解析】
【分析】由题意画出图形，可知要使 的体积最大，则面⊥面，求出A到平面BCD的距离，则三棱锥A-BCD的体积最大值可求．
【详解】因为球的直径，且，所以，，（其中为点到底面的距离），故当最大时，的体积最大，即当面面时，最大且满足，即，此时.
【点睛】本题考查球内接多面体体积的求法，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．
28．（2020·广西壮族自治区高一期末）半径为4的球的球面上有四点A,B,C,D，已知为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为_____________________．
【答案】
【解析】分析：求出△ABC为等边三角形的边长，画出图形，判断D的位置，然后求解即可．
详解：△ABC为等边三角形且面积为9，可得，解得AB=6，
球心为O，三角形ABC 的外心为O′，显然D在O′O的延长线与球的交点如图：
O′C=，OO′=，
则三棱锥D﹣ABC高的最大值为6，
则三棱锥D﹣ABC体积的最大值为：

故答案为：．
点睛：（1）本题主要考查球的内接多面体和体积的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和空间想象能力转化能力. (2)本题求体积的最大值，实际上是求高的最大值，所以求高是关键.
29．（2020·广西壮族自治区高三月考（理））已知三棱锥S-ABC的各顶点都在同一个球面上，△ABC所在截面圆的圆心在AB上，SO⊥面ABC，AC=1，BC=，若三棱锥的体积是，则该球体的表面积是___________.
【答案】
【解析】
【分析】如图所示，根据三棱锥的体积可以求出的长，再根据即可求出球的半径，并得到该球体的表面积．
【详解】如图所示，△ABC所在截面圆的圆心在AB上，所以，．
，
因为，所以．
设球的半径为，则，解得．
故该球体的表面积是．
故答案为：．

【点睛】本题主要考查三棱锥的体积以及其外接球的表面积的求法，意在考查学生的直观想象能力和数学运算能力，属于基础题．[来源:学,科,网Z,X,X,K]
30．（2020·四川省泸县第四中学高三三模（文））如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点，且，现有如下四个结论：
；平面；
三棱锥的体积为定值；异面直线所成的角为定值，
其中正确结论的序号是______．

【答案】
【解析】
【分析】对于①，可由线面垂直证两线垂直；对于②，可由线面平行的定义证明线面平行；对于③，可证明棱锥的高与底面积都是定值得出体积为定值；对于④，可由两个特殊位置说明两异面直线所成的角不是定值．
【详解】对于①，由，可得面，故可得出，此命题正确；
对于②，由正方体的两个底面平行，在平面内，故与平面无公共点，故有平面，此命题正确；
对于③，为定值，到距离为定值，所以三角形的面积是定值，又因为点到面距离是定值，故可得三棱锥的体积为定值，此命题正确；
对于④，由图知，当与重合时，此时与上底面中心为重合，则两异面直线所成的角是，当与重合时，此时点与重合，则两异面直线所成的角是，此二角不相等，故异面直线所成的角不为定值，此命题错误．
综上知①②③正确，故答案为①②③
【点睛】本题通过对多个命题真假的判断，综合考查线面平行的判断、线面垂直的判断与性质、棱锥的体积公式以及异面直线所成的角，属于难题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.
31．（2020·宜宾市叙州区第二中学校高二月考（文））已知球的球面上有四点、、、，其中、、、四点共面，是边长为的正三角形，平面平面，则棱锥的体积的最大值为______．
【答案】
【解析】
【分析】由于面面，所以点在平面上的射影落在上，根据球体的对称性可知，当在“最高点”，也就是说为中点时，最大，棱锥的体积最大．
【详解】解：由题意画出几何体的图形如图，

∵平面平面，
∴点在平面上的射影落在上，
根据球体的对称性可知，当在“最高点”，也就是说为中点时，最大，棱锥的体积最大．
是边长为2的正三角形，
∴球的半径．
在中，
，求得，
体积．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查锥体的体积，根据几何体的结构特征确定出点的位置是本题关键，考查空间想象能力、计算能力，属于中档题．
32．（2020·四川省绵阳南山中学高三其他（文））一个密闭且透明的正方体容器中装有部分液体，已知该正方体的棱长为2，如果任意转动该正方体，液面的形状都不可能是三角形，那么液体体积的取值范围为__________．
【答案】
【解析】
如图，正方体ABCD-EFGH，若要使液面形状不可能为三角形，则液面必须高于平面EHD，且低于平面AFC。而当平面EHD平行水平面放置时，若满足上述条件，则任意转到正方体，液面形状都不可能为三角形。设液体的体积为，则 ，而，，所以液体的体积的范围为。
点睛：本题主要考查正方体的结构特征，正方体、棱锥的体积求法，考查空间想象力，属于中档题。
33．（2020·攀枝花市第十五中学校高二期中（文））已知圆柱的上下底面的中心分别为，过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为36的正方形，则该圆柱的体积为____
【答案】
【解析】
【分析】由轴截面是正方形，易求底面半径和高，则圆柱的体积易求.
【详解】解：因为轴截面是正方形，且面积是36，
所以圆柱的底面直径和高都是6

故答案为：
【点睛】考查圆柱的轴截面和其体积的求法，是基础题.
34．（2020·盐城市第一中学高三二模）已知球的半径为，则它的外切圆锥体积的最小值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】设出圆锥的高为，底面半径为，在截面中，由球与圆锥相切可设出底面和母线SB的切点分别为C和D，接着由三角形的相似求得、、三者间的关系，然后将圆锥的体积表示成关于的函数，利用导函数求最值.
【详解】设圆锥的高为，底面半径为，
在截面图中，，，，
根据圆锥与球相切可知，、均为球与外切圆锥的切点，
则
又，，
，即，
，
圆锥体积为，
，
令可得，则
时，；时，，
在单调递减，在单调递增，
则.
故答案为：.

【点睛】本题考查了球的外切问题，圆锥的体积公式，导函数的实际应用问题，难度较大.
35．（2020·云南省高三其他（理））在几何体中，是正三角形，平面平面，且，，则的外接球的表面积等于__________．
【答案】
【解析】由题意，取的中点，连接，且，则点为正三角形的中点，，易证平面，取中点，连接，
作∥，∥，连接，则为外接球的半径，又，，则，
所以外接球的表面积为，从而问题可得解.

点睛：此题主要考查简单组合体的表面积的计算，以及三棱锥外接球半径的求问题，属于中高档题型，也是常考题型.在解决此类问题的过程中，常以三棱锥为基础，构造出长方体（或是正方体），则该长方体的体对角线即为此三棱锥的外接球的直径，再根据球的表面积公式进行运算即可.
36．（2020·云南省高三月考（理））已知是球面上的四点，且，若三棱锥的体积的最大值为，则球的体积为________________.
【答案】
【解析】
【分析】计算，的外接圆半径为，得到，解得答案.
【详解】，故，当时等号成立.
根据正弦定理：，故，即的外接圆半径为.
，故.
故球体积为.
故答案为：.
【点睛】本题考查了三棱锥的外接球问题，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.