数学5.2 二次函数的图象和性质同步达标检测题

5.2二次函数的图像与性质同步课时训练

一、单选题

1．不论取任何实数，抛物线的顶点都（    ）．

A．在直线上 B．在直线上 C．在直线上 D．不确定

2．抛物线（），如图所示，则函数的最小值和最大值分别是（ ）

A．和6 B．和6 C．和 D．和2

3．已知是抛物线上的点，下列命题正确的是（  ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

4．二次函数的图象如图，给出下列四个结论：①；②；③；④；其中正确结论的个数有（    ）

A． B． C． D．

5．已知二次函数（为常数）的图象不经过第二象限，在自变量的值满足时，其对应的函数值的最大值为3，则的值为（    ）

A． B． C． D．

6．已知函数y＝ax2﹣2ax﹣1（a是常数，a≠0），下列结论正确的是（　　）

A．当a＝﹣2时，函数图象与x轴没有交点

B．若a＜0，函数图象的顶点始终在x轴的下方

C．若a＞0，则当x≥1时，y随x的增大而减小

D．不论a为何值，函数图象必经过（2，﹣1）

7．已知二次函数y＝2x2+4x，当﹣3≤x≤1.5时，该函数的最大值与最小值的差是（　　）

A． B．8 C． D．

8．函数y＝﹣2x2﹣8x+m的图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），若x1＜x2＜﹣2，则（　　）

A．y1＜y2 B．y1＞y2

C．y1＝y2 D．y1、y2的大小不确定

9．二次函数y＝ax2+bx+c，若ab＜0，a﹣b2＞0，点A（x1，y1），B（x2，y2）在该二次函数的图象上，其中x1＜x2，x1+x2＝0，则（　　）

A．y1＝﹣y2 B．y1＞y2

C．y1＜y2 D．y1、y2的大小无法确定

10．方程有四个实数解，实数k的取值范围为（　　）

A．1＜k＜3 B．k＞3 C．k＞1 D．0＜k＜1

二、填空题

11．如图是抛物线y1＝ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分，抛物线的顶点坐标是A(1，3)，与x轴的一个交点B(4，0)，直线y2＝mx+n(m≠0)与抛物线交于A、B两点．下列结论：

①2a+b＝0；②abc＞0；③方程ax2+bx+c＝3有两个相等的实数根；④抛物线与x轴的另一个交点是(﹣1，0)；⑤当1＜x＜4时，有y2＜y1；⑥a+b≥m(am+b)(m实数)． 其中正确的有___________．

12．如图，抛物线与直线交于，两点，将抛物线沿着射线平移个单位，平移后的抛物线顶点坐标为___________．

13．抛物线的部分图象如图所示，若，则x的取值范围是_________．

14．抛物线向左移2个单位长度，再下平移3个单位长度，则抛物线为________

15．函数y＝﹣(x﹣1)2﹣7的最大值为_____．

16．已知（﹣3，y1），（﹣2，y2），（1，y3）是抛物线y＝﹣3x2﹣12x+m上的点，则y1，y2，y3的大小关系是_____．

三、解答题

17．在平面直角坐标系中，已知函数（，且）．

（1）若点在该函数图像上，求值；

（2）若该函数图像上任意两点，．当时，恒成立，求的取值范围；

（3）若该函数最大值与最小值的差为，求的值；

（4）以原点为中心，为边长构造正方形，且正方形的边长与坐标轴平行，该函数图像在正方形内部的部分所对应的函数值随的增大而减小时，直接写出的取值范围．

18．抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A（1，0）、B（-3，0）两点，顶点纵坐标为-4

（1）求抛物线的解析式；

（2）直线：y=kx-k（0≤k≤3）与抛物线交于M（xM，yM）、N（xN，yN），xM＜xN，

①求yM的范围；

②点P（xP，yP）在抛物线上（xM＜xP＜xN），点Q（xQ，yQ）在直线上，xP=xQ，PQ的长度记为d．对于每一个k，d都有最大值，请求出d的最大值与k的函数关系式．

19．已知二次函数．

（1）求图象的顶点坐标（用的代数式表示）．

（2）若无论取何非零实数，该图象必过两定点，请求出这两个定点的坐标．

（3）若，当时，图象的最高点的纵坐标为6，求最低点的坐标．

（4）若为该图象上的两点，当时，有，设，请直接写出的取值范围．

20．如图，在直角坐标系中，已知直线与轴交于点，与轴交于点，点的坐标为．

（1）求经过，，三点的抛物线的表达式；

（2）如果为抛物线的顶点，连接，，求的面积．

（3）抛物线上是否存在一点，使？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

参考答案

1．C

2．B

3．C

4．D

5．C

6．D

7．D

8．A

9．B

10．C

11．①③⑤⑥

12．

13．-3＜x＜1．

14．

15．﹣7

16．y2＞y1＞y3

17．（1）；（2）；（3）或；（4）或

【详解】

解：（1）把点代入得，

解得，

∵，

∴       

故n的值为：；

（2）由题可知，函数的对称轴为

∵函数图像上任意两点，，当时，恒成立

∴函数图像上的函数值随的增大而增大，

∴，

∴

又∵，

∴

∴     

（3）当时，

当时，

当时，

①当时，

解得

②当时，

解得（舍）

③当时，

解得，

∴或

∴

综上所述或       

（4）∵正方形以原点为中心，

∴其边长与坐标轴平行，

联立，

解得，；

联立，

解得，

所以，

故，或

18．（1）；（2）-4≤yM≤0；（3）d=k2-2k+4

【详解】

解：（1）设抛物线的表达式为，

函数的对称轴为x=(1-3)=-1，

当时，，

解得，

故抛物线的表达式为；

（2）①y=kx-k=k(x-1)，

当x=1时，y=kx-k=0，

故该函数过点（1，0），即点N（1，0），

故点N、A重合，如图：

联立，

整理得：x2+(2-k)x+k-3=0，

则xM+xN=k-2，

而xN=1，

故xM=k-3，

当x=k-3时，y=kx-k=k(x-1)=k(k-3-1)=k2-4k=yM，

∵0≤k≤3，

故-4≤k2-4k≤0，

即yM的范围为-4≤yM≤0；

②由题意知，PQ∥y轴，

设点P的坐标为（x，x2+2x-3），则点Q（x，kx-k），

则PQ=kx-k-x2-2x+3=-x2+(k-2)x+(3-k)，

∵-1＜0，

故PQ有最大值，

当时，

PQ的最大值为，

即d的最大值为．

19．（1）（1，）；（2）（0，-2），（2，-2）；（3）（1，-3）；（4）当m＞0时，或；当m＜0时，

【详解】

解：（1）在二次函数中，

顶点坐标为（，），即（1，）；

（2）=，

令，

解得：x=0或2，

当x=0时，y=-2

当x=2时，y=-2，

∴两个定点的坐标为（0，-2），（2，-2）；

（3）∵m＞0时，抛物线开口向上，

，

∴抛物线的对称轴为直线x=1，

当-1≤x≤4时，取得最高点P（4，6），

当x=4时，代入得：，

解得：m=1，

∴，

即抛物线的最低点为Q（1，-3）；

（4）当m＞0时，函数图像开口向上，对称轴为直线x=1，

又∵，

当时，具有，

在函数图像上，

∴或；

当m＜0时，函数图像开口向上，对称轴为直线x=1，

∵，

当时，具有，

在函数图像上，

∴，

∴，

综上所述：当m＞0时，或；当m＜0时，．

20．（1）；（2）5；（3）存在，点的坐标为：或或或

【详解】

解：（1）当x=0时，=4，则A（0，4），

当y=0时，=0，解得x=8，则B（8，0），

设抛物线解析式为y=a（x+2）（x-8），
把A（0，4）代入得a•2•（-8）=4，解得，

∴抛物线解析式为

∴

（2）∵

∴

∴

作MD⊥x轴于D，交AB于E，如图，

把x=3代入得出；

∴，

∴的面积=的面积+的面积=；

（3）存在

理由如下：∵，

∵，

∴，

∴；

∴；

∵点在抛物线上，

∴或

解得：，，，

∴点的坐标为：或或或