数学九年级下册5.5 用二次函数解决问题同步测试题

5.5用二次函数解决问题同步课时训练

一、单选题

1．如图1，在等边三角形ABC和矩形DEFG中，AC＝DE，点C，D，G都在直线l上，且AC⊥l于点C，DE⊥l于点D，且D，B，E三点共线，将矩形DEFG以每秒1个单位长度的速度从左向右匀速运动，直至矩形DEFG和△ABC无重叠部分，设矩形DEFG运动的时间为t秒，矩形DEFG和△ABC重叠部分的面积为S，图2为S随t的变化而变化的函数图象，则函数图象中点H的纵坐标是（　　）

A． B． C． D．3

2．今年由于受新型冠状病毒的影响，一次性医用口罩的销量剧增．某药店一月份销售量是5000枚，二、三两个月销售量连续增长．若月平均增长率为x，则该药店三月份销售口罩枚数y（枚）与x的函数关系式是（　　）

A．y＝5000（1+x） B．y＝5000（1+x）2

C．y＝5000（1+x2） D．y＝5000（1+2x）

3．某商场经营一种小商品，已知进购时单价是20元．调查发现：当销售单价是30元时，月销售量为240件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，但每件商品的售价不能高于40元．当月销售利润最大时，销售单价为（    ）

A．35元 B．36元 C．37元 D．36或37元

4．某市为解决当地教育“大班额”问题，计划用三年时间完成对相关学校的扩建，年市政府已投资亿人民币，若每年投资的增长率相同，预计年投资额达到亿元人民币，设每年投资的增长率为，则可得（    ）

A． B． C． D．

5．使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量（单位：）与旋钮的旋转角度（单位：度）（）近似满足函数关系．如图记录了某种家用燃气灶烧开同壶水的旋钮角度与燃气量的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开壶水最节省燃气的旋钮角度约为（    ）

A．37.5° B．40° C．52.5° D．55°

6．如图，抛物线与x轴交于点，把抛物线在x轴及其下方的部分记作，将向右平移得，与x轴交于点．若直线与共有3个不同的交点，则m的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

7．某商品的进价为每件60元，现在的售价为每件80元，每星期可卖出200件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件．则每星期售出商品的利润（单位：元）与每件涨价（单位：元）之间的函数关系式是（    ）

A． B．

C． D．

8．正方体的棱长为x，表面积为y，则y与x之间的函数关系式为 （   ）

A． B． C． D．

9．小明在一次训练中，掷出的实心球飞行高度（米）与水平距离（米）之间的关系大致满足二次函数，则小明此次成绩为（    ）

A．8米 B．10米 C．12米 D．14米

10．甲、乙、丙三个牧民用同样长为L米的铁丝各围一块草地放牧，甲牧民围面积围S1的圆形草地，乙牧民围成面积为S2的正方形草地，丙牧民围面积为S3的矩形草地．则下面结论正确的是（    ）

A．S1＞S3＞S2 B．S2＞S1＞S3 C．S3＞S1＞S2 D．S1＞S2＞S3

二、填空题

11．教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度与水平距离之间的关系为，由此可知铅球推出的距离是______m．

12．如图，在Rt△ABO中，∠AOB＝90°，AO＋BO＝5，延长AO到C，使OC＝3，延长BO到D，使OD＝4，连接BC、CD、DA，则四边形ABCD面积的最大值为________．

13．若用长的篱笆围成长方形的生物园来饲养动物，则生物园的最大面积为_______．

14．用一根长为的铁丝围成一个矩形，该矩形面积的最大值是__________．

15．某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线（单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是_____米；

16．如图，矩形中，，，抛物线的顶点为，且经过点和，其中点，位于矩形的内部（不含边界），则的面积是___________，的取值范围是___________．

三、解答题

17．某零食铺子销售某种的精品坚果，每斤进价为50元，市场调研表明：当售价为66元/斤时，每月能售300斤，而当售价每涨价1元时，每月能少售10斤．设每斤坚果涨价x元(x≥0)，每月的利润为W元．

(1)若利润为4480元，则每斤坚果应涨价多少元；

(2)每斤坚果的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大利润是多少元？

18．随着新冠疫情得到有效控制，全国各地经济逐步复苏，某超市恢复了正常营业，欲购进一种今年新上市的产品，进价为20元/件．为了调查这种新产品的销路，该超市进行了试销售，得知该产品每天的销售量（件）与每件的售价（元）有如下表所示的关系，且已知与之间的函数关系是一次函数．

（1）求每天的销售量（件）与每件的售价（元）之间的函数关系式．

（2）该超市规定这种产品每件的售价不得低于25元，且不超过60元，当每件的售价为多少元时，该超市销售这种产品每天的销售利润（元）最大，最大利润是多少？

19．如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为4，点在边上，坐标，将绕点逆时针旋转90°后得到，点在边上，且．

（1）求证：；

（2）一条抛物线经过点，其顶点在经过点且和轴垂直的直线上，请求出该抛物线的解析式；

（3）在（2）中的抛物线上有动点，请通过尺规作图的方法（不写作法，保留作图痕迹），直接确定是否存在这样的点，能使？若存在，这样的点一共有几个？

20．足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h（单位：m）与足球被踢出后经过的时间t（单位：s）满足：h＝﹣5t2+20t（0≤t≤4）的关系．

（1）当t＝3时，求足球距离地面的高度；

（2）当足球距离地面的高度为10米时，求t的值；

（3）若存在实数t1和t2（t1≠t2），当t＝t1或t2时，足球距离地面的高度都是m（米），求m的范围．

参考答案

1．C

2．B

3．C

4．C

5．B

6．D

7．D

8．C

9．B

10．D

11．11

12．18

13．16m2

14．

15．2

16．8       

17．(1) 每斤坚果应涨价16元；(2) 每斤坚果的售价定为73元时，每个月可获得最大利润，最大利润是5290元；

【详解】

解：（1）根据题意知，（66+x-50）（300-10x）=4480，

整理得：-10x2+140x+320=0，

解得x1=16，x2=-2（舍去）．

答：每斤坚果应涨价16元；

（2）根据题意知，

W=（66+x-50）（300-10x）

=-10x2+140x+4800

=-10（x-7）2+5290，

∵0≤x 且-10x+300≥0，

∴0≤x≤30；

∵-10＜0，

∴当x=7时，W取得最大值，最大值为5290，

答：每斤坚果的售价定为73元时，每个月可获得最大利润，最大利润是5290元．

18．（1）；（2）当每件的售价为60元时，最大利润为12000元．

【详解】

解：（1）设把与代入解析得，

，

解得，

∴解析式为：．

（2）

（）

开口向下有最大值：（元），

∵，

∴不成立，

∴当取60元时最大为（元）．

答：每件的售价为60元时，最大利润为12000元．

19．（1）证明见详解；（2）抛物线解析式为；（3）使∠DPF=的点P有两个，位置见详解．

【详解】

解：（1）∵绕点逆时针旋转90°后得到，

∴≌，

∴BD=BE，∠CBD=∠ABE，CD=AE，

∵，正方形，

∴∠CBD+∠FBA=90°-∠DBF=45°，

∴∠FBE=∠FBA+∠ABE=∠FBA+∠CBD=45°，

在△BDF和△BEF中，

，

∴△BDF≌△BEF（SAS），

∴DF=EF

∴DF=EF=AF+AE=AF+CD；

（2）∵正方形的边长为4，点坐标，

∴AE= CD=4-3=1，

∴OE=OA+AE=5，

∴E（5，0），

OD=3，设OF=m,FE=DF=5-m，

在Rt△OFD中，由勾股定理OD2+OF2=DF2，即32+m2=(5-m)2,

解得m=，

则F(，0)，

设抛物线解析式为y=,过D（0,3）E（5,0），

得，

解得，

抛物线解析式为；

（3）∵，

∴，

作DF的中垂线与DB的中垂线交点O2为圆心，O2B为半径画圆，△DFB的外接圆与抛物线的交点P2，则，

再△BDF关于DF对称的△B′DF，DF的中垂线与DB′的中垂线交点O1为圆心，O1B′为半径画圆，△DFB′的外接圆与抛物线的交点P1，则．

使∠DPF=的点P有两个．

．

20．（1）当t＝3时，足球距离地面的高度为15米；（2）2+或2﹣；（3）0≤m＜20．

【详解】

解：（1）当时，（米）,

∴当时，足球距离地面的高度为15米；

（2）∵，

∴，即，

解得：或 ，

故经过或时，足球距离地面的高度为10米；

（3）∵，由题意得t1，t2是方程 的两个不相等的实数根，

∴，

∴，

故m的取值范围是．