初中数学湘教版九年级下册2.7 正多边形与圆课后作业题

2.7正多边形与圆同步课时训练

一、单选题

1．如图所示，为的内接三角形，，则的内接正方形的面积（   ）

A． B． C． D．

2．如图，两个正六边形ABCDEF、EDGHIJ的顶点A、B、H、I在同一个圆上，点P在上，则tan∠API的值是（　　）

A．2 B．2 C．2 D．1

3．已知⊙O的半径是2，一个正方形内接于⊙O，则这个正方形的边长是（　　）

A．2 B．2 C． D．4

4．已知正六边形内接于，若的直径为，则该正六边形的周长是（   ）

A． B． C． D．

5．如图，有一个半径为的圆形纸片，若在该纸片上沿虚线剪一个最大正六边形纸片，则这个正六边形纸片的边心距是（    ）．

A． B． C． D．

6．正多边形的内切圆与外接圆的半径之比为，则这个正多边形为（    ）

A．正十二边形 B．正六边形 C．正四边形 D．正三角形

7．图，已知正五边形内接于，连接，相交于点，则的度数（    ）

A． B． C． D．

8．如图，在⊙O中，点B是弧AC上的一点，∠AOC=140°，则∠ABC的度数为（    ）

A．70° B．110° C．120° D．140°

9．一个正八边形中最长的对角线等于a，最短的对角线等b，则这个正八边形的面积为（　　）

A．a2+b2 B．a2﹣b2 C．a+b D．ab

10．如果某正多边形的外接圆半径是其内切圆半径的倍，那么这个正多边形的边数是（    ）

A．3 B．4 C．5 D．无法确定

二、填空题

11．如图，在正五边形ABCDE中，AC为对角线，以点A为圆心，AE为半径画圆弧交AC于点F，连结EF，则∠1的度数为__．

12．已知⊙O的内接正六边形的边心距为，则⊙O的周长为_____．

13．如图，等边△ABC内接于☉O，BD为⊙O内接正十二边形的一边，CD=，则图中阴影部分的面积等于_________．

14．如图，已知为直径，若是内接正边形的一边，是内接正边形的一边，，则_____．

15．如图，正五边形内接于，是的中点，则的度数为________．

16．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8.点D、E是边AC，BC上，点F、G在AB边上当四边形DEFG是菱形，且符合条件的菱形只有一个时，则菱形的边长x的取值范围是____．

三、解答题

17．如图，的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点M，N．

（1）当∠M=∠N=42°时，求∠A的度数；

（2）若，且，请你用含有、的代数式表示∠A的度数．

18．如图，已知抛物线的顶点坐标为M（1，4），且经过点N（2，3），与轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与轴交于点C．抛物线的对称轴与轴交于点E，点P在对称轴上．

（1）求抛物线的解析式；

（2）直线CM与轴交于点D，若，求点P的坐标；

（3）请探索：是否存在这样的点P，使？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

19．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，AC为⊙O直径，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F．

（1）求证：BF＝DE；

（2）若DE＝2，AE＝6，DF＝12．求⊙O的直径．

20．如图，AD是△ABC外角∠EAC的平分线，AD与三角形的外接圆交于点D，AC、BD相交于点P．

求证：（1）△DBC为等腰三角形；

（2）AB∶BD＝PB∶PC．

参考答案

1．C

2．A

3．A

4．C

5．C

6．C

7．B

8．B

9．D

10．B

11．54°

12．4π

13．

14．

15．

16．或

17．（1）∠A=48°；（2）∠A=90°．

【详解】

解：（1）在△CDM与△CBN中，∵∠M=∠N=42°，∠MCD=∠NCB，

∴∠CDM=∠CBN，

∴180°-∠CDM=180°-∠CBN，即∠ADC=∠ABC，

∵四边形ABCD内接于⊙O，

∴∠ADC+∠ABC=180°，

∴∠ABC=90°；

∵∠M =42°，

∴∠A=90°-∠M=48°；

（2）∵四边形ABCD内接于⊙O，

∴∠ADC+∠ABC=180°，

∴∠MDC+∠NBC=180°，

∵∠M+∠MDC+∠MCD=180°，∠N+∠NCB+∠NBC=180°，

∴∠M+∠N+∠MCD+∠NCB=180°，

又，

∴∠MCD+∠NCB=180°-（α+β），

∴∠BCD+∠NCM=360°-（∠MCD+∠NCB）=180°+（α+β），

∵∠BCD=∠NCM，

∴∠BCD=90°+，

∵∠A+∠BCD=180°，

∴∠A=90°-；

18．（1）y=-x2+2x+3；（2）P（1，2）或（1，-2）；（3）P（1，+1）或（1，--1）．

【详解】

解：（1）设抛物线为y=a（x-1）2+4.

∵抛物线过点（2，3）

∴3=a（2-1）2+4，解得a=-1

∴抛物线的解析式为y=-（x-1）2+4，即y=-x2+2x+3；

（2）如图1，令y=0，则-（x-1）2+4=0，解得x=-1或x=3，

∴A（-1,0）,B（3，0），

令x=0，可得y=3

∴C（0，3），

∵M（1，4）

∴运用待定系数法可得：直线CM的解析式为y=x+3

令y=0，则x+3=0，x=-3，

∴D（-3，0）

∵∠DEM=∠AEP=90°，∠DMB=∠APE.

∴△DEM∽△AEP，

∴

∵A（-1，0），E（1，0），D（-3，0），M（1，4）.

∴DE=4，ME=4，AE=2.

∴，即PE=2

∴P（1，2）或（1，-2）；

（3）存在，P的坐标为（1，+1）或（1，--1），理由如下：

如图2，①当点P在x轴上方时，连接BP，

∵PE是抛物线的对称轴，

∴∠APE=∠BPE，∠APB=2∠APE

∵∠ANB=2∠APE

∴∠ANB=∠APB

∴点A，B，N，P四点共圆，

设圆心F的坐标为（1，n），即PF=AF=NF，

∵A（-1，0），N（2，3）

∴

∴n2+4=1+（3-n）2，解得n=1

∴F（1，1）,即PF=AF=

∴PE=+1，P（1，+1）；

②当点P在x轴下方时，由对称知，P（1，--1）；

综上，点P的坐标为P（1，+1）或（1，--1）．

19．（1）证明见解析；（2）圆的直径为10．

【详解】

（1）证明：延长CF交⊙O于H，连接AH，作OM⊥BD于M，延长MO交AH于N，如图，

∵OM⊥BD，

∴BM＝DM，

∵AC为直径，

∴∠AHC＝90°，

∵AE⊥BD于E，CF⊥BD，

∴四边形AHFE为矩形，MN∥AE∥FH，

∵ON∥CH，点O为AC的中点，

∴点N为AH的中点，

∴M点为EF的中点，

∴FM＝EM，

∴BM﹣FM＝DM﹣EM，

即BF＝DE；

（2）解：易得四边形ANME为矩形，则MN＝AE＝6，

∵DE＝2，DF＝12，

∴BF＝2，EF＝12﹣2＝10，BE＝12，

∴AH＝EF＝10，

在Rt△ADE中，AD2，

在Rt△ABE中，AB6，

∵AC为直径，

∴∠ABC＝90°，

∵∠ACB＝∠ADE，

∴Rt△ACB∽Rt△ADE，

∴，即，

解得：AC＝10，

即圆的直径为10．

20．（1）见解析；（2）见解析．

【详解】

证明：（1）∵AD是∠EAC的平分线，

∴∠EAD＝∠DAC，

∵∠EAD是圆内接四边形ABCD的外角，

∴∠EAD＝∠DCB，

∵∠DAC＝∠DBC，

∴∠DCB＝∠DBC，

∴BD＝DC，

∴△DBC为等腰三角形；

（2）在△ABP和△DCP中，

∵∠BAP＝∠CDP，∠APB＝∠DPC，

∴△ABP∽△DCP，

∴AB：DC＝PB：PC，

∵BD＝DC，

∴AB：BD＝PB：PC．