1.1 集合及其表示方法-2020-2021高中数学新教材配套提升训练（人教A版必修第一册）

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1.集合的基本概念；2. 元素和集合的关系；3. 用列举法表示集合；4. 用描述法表示集合；
5. 集合中元素的互异性；6.集合中元素的个数；7. 集合的新定义问题
一、单选题
1．（2020·浙江高一课时练习）下列四组对象中能构成集合的是（ ）.
A．本校学习好的学生B．在数轴上与原点非常近的点
C．很小的实数D．倒数等于本身的数
【答案】D
【解析】
集合中的元素具有确定性，对于，学习好、非常近、很小都是模糊的概念，没有明确的标准，不符合确定性；
对于，符合集合的定义，正确.
故选：.
2.（2020·朝阳吉林省实验高二期末（文））集合用列举法表示是
A．{1，2，3，4}B．{1，2，3，4，5}
C．{0，1，2，3，4，5}D．{0，1，2，3，4}
【答案】D
【解析】
分析：解出不等式得，小于5的自然数有5个．
详解：由题意，又，∴集合为．
3.（2020·浙江高二学业考试）已知集合，则下列关系正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
因为集合，所以，，，
故选：D
4．（2020·宁夏兴庆银川一中高二期末（文））已知集合，则集合中元素的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】D
【解析】
，所以集合中元素的个数为3.
故选：D.
5．（2020·全国高三专题练习（文））设集合，，则集合B中元素的个数为（ ）
A．1B．2
C．3D．4
【答案】A
【解析】
因为x∈B，－x∈A，故x只可能是0，－1，－2，－3，又1－x∉A，则
当0∈B时，1－0＝1∈A，不符合题意；
当－1∈B时，1－(－1)＝2∈A，不符合题意；
当－2∈B时，1－(－2)＝3∈A，不符合题意；
当－3∈B时，1－(－3)＝4∉A，符合题意.
所以，故集合B中元素的个数为1.
故选：A
6．（2020·浙江高一课时练习）已知集合，则与集合的关系是（ ）.
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
，∴，故有，∴.
故选：B.
7．（2020·浙江高一课时练习）下面四个命题正确的个数是（ ）.
①集合中最小的数是1；
②若，则；
③若，则的最小值是2；
④的解集是.
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【解析】
是正整数集，最小的正整数是1，故①正确；
当时，，但，故②错误；
若，则a的最小值为1.又，则b的最小值为1，当a和b都取最小值时，取最小值2，故③正确；
由集合中元素的互异性知④错误.
故选：C
8．（2020·全国高一）有下列四个命题：
①是空集；
②若，则；
③集合有两个元素；
④集合是有限集.
其中正确命题的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】B
【解析】
①{0}中有一个元素0，不是空集，不正确；
②中当时不成立，不正确；
③中有两个相等的实数根，因此集合只有一个元素，不正确；
④中集合是有限集，正确，
故选：B
9.（2020·朝阳吉林省实验高二期末（文））已知非零实数，，，则代数式表示的所有的值的集合是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
当都为正数时，；
当都为负数时，.
因此，若都为正数，则；
若两正一负，则；
若一正两负，则；
若都为负数，则.
所以代数式表示的所有的值的集合是.
故选：D.
10．（2020·吴起高级中学高二月考（文））若，则a =（ ）
A．2B．1或－1C．1D．－1
【答案】D
【解析】
当时，，当时，集合为不满足互异性，舍去，当时，集合为，满足；
当时，，不满足互异性，舍去.
故选：.
二、多选题
11．（2019·全国高一课时练习）下列表示正确的是（ ）
A．B．C．D．E.
【答案】ADE
【解析】
对于A,0是自然数,则,故A正确；对于B,不是整数,则,故B错误；
对于C,是整数,则,故C错误；对于D,是无理数,则,故D正确；
对于E,是有理数,则,故E正确
故选：ADE
12．（2019·全国高一课时练习）（多选）下面四个说法中错误的是（ ）
A．10以内的质数组成的集合是
B．由1，2，3组成的集合可表示为或
C．方程的所有解组成的集合是
D．0与表示同一个集合
【答案】CD
【解析】
10以内的质数组成的集合是，故A正确；由集合中元素的无序性知和表示同一集合，故B正确；方程的所有解组成的集合是，故C错误；由集合的表示方法知0不是集合，故D错误.故选CD.
13．（2019·全国高一课时练习）下列是集合中元素的有（ ）
A．B．C．D．E.
【答案】ABC
【解析】
∵,
∴或或,
∴
故选：ABC
14.（2020·全国高一课时练习）实数1是下面哪一个集合中的元素（ ）
A．整数集ZB．C．
D．E.
【答案】ABD
【解析】
1是整数，因此实数1是整数集Z中的元素，故A选项正确；由得或，因此实数1是集合中的元素，故B选项正确；1不满足，因此实数1不是集合中的元素，故C选项不正确；当时，，因此实数1是集合中的元素，故D选项正确；当时，无意义，因此实数1不是集合中的元素，故E选项不正确.
故选：ABD.
三、填空题
15．（2020·浙江高一课时练习）已知集合，用列举法表示为____________.
【答案】
【解析】
由，得，
.
故答案为:.
16．（2020·全国高一）已知集合，若，则______.
【答案】2
【解析】
依题意或，
解得或；
由集合中元素的互异性可知当时，集合的两个元素相等，不合题意；
所以.
故答案为：2.
17．（2020·全国高一课时练习）用符号“”或“”填空：（1）2_____N；（2）______Q；（3）______Z；（4）3.14______R；（5）______N；（6）_____Q.
【答案】
【解析】
【分析】
N为自然数集，Q为有理数，Z为整数集，R为实数集，判断元素与集合之间的关系用相应的符号填写即可.
【详解】
(1)N为自然数集，2是自然数，所以；(2)Q表示有理数，为无理数，所以；(3)Z为整数集，是分数，所以；(4)R表示实数集，所以；(5) N为自然数集，-3不是自然数，所以；(6) Q表示有理数，是有理数，所以.
18．（2020·全国高一课时练习）用符号“”或“”填空：
（1）0______；（2）_______；
（3）_______；（4）2017_______.
【答案】
【解析】
(1)为不含有任何元素的集合，所以；
(2) ，；
(3)
(4)因为2017不能被表示为的形式，所以；
19.（2019·海口市第四中学高一月考）用列举法表示集合是_____________________；用描述法表示“所有被4除余1的整数组成的集合”是_____________________．
【答案】
【解析】
分析：由，且，则取值只能为，求出对应的可得集合中的各元素，被4除余1的整数可表示为（）形式．
详解：
由题意，所有被4除余1的整数组成的集合为．
故答案为：；
20．（2019·全国高一课时练习）由实数，，，，所组成的集合中最多含______个元素，最少含______个元素.
【答案】2 1
【解析】
∵，，且当时，，当时，集合中有元素：，，∴由实数，，，，所组成的集合中最多含有2个元素，最少含有1个元素.
21．（2020·全国高一课时练习）（1）若，则实数_____；（2）若，则实数a的取值范围是______.
【答案】4或
【解析】
（1）由，得，此时，，符合题意.
由，得，此时，故舍去.
由，得，
当时，，，符合题意；
当时，，，符合题意，
综上所述， 4或.
（2）因为，所以2不满足不等式，
即2满足不等式，所以，即.
所以实数a的取值范围是.
故答案为：4或；
四、解答题
22．（2020·全国高一）用列举法表示下列集合:
(1);
(2);
(3).
【答案】(1)(2)(3)
【解析】
(1)由得,因此.
(2)由,且,得,因此.
(3)由得.因此.
23．（2020·浙江高一课时练习）试说明下列集合各表示什么？
；；
；；.
【答案】答案见解析
【解析】
表示的取值集合，由知：，；
表示的取值集合，由知：或，或；
的代表元素为，表示反比例函数上的点构成的点集；
的代表元素为，由知：，
表示直线上除了以外的点构成的点集；
表示以方程“”和“”为元素的一个二元集.
表示以方程“”和“”为元素的一个二元集.
24．（2020·全国高一）用合适的方法表示下列集合，并说明是有限集还是无限集.
（1）到A、B两点距离相等的点的集合
（2）满足不等式的的集合
（3）全体偶数
（4）被5除余1的数
（5）20以内的质数
（6）
（7）方程的解集
【答案】（1）集合点，无限集；
（2）集合，无限集；
（3）集合，无限集；
（4）集合，无限集；
（5）集合，有限集；
（6）集合，有限集；
（7）集合，有限集.
【解析】
（1）因为到A、B两点距离相等的点满足，所以集合点，无限集.
（2）由题意可知，集合，无限集.
（3）因为偶数能被整除，所以集合，无限集.
（4）由题意可知，集合，无限集.
（5）因为20以内的质数有，，，，，，，.
所以集合，有限集.
（6）因为，所以方程的解为，，，，，所以集合，有限集.
（7）由题意可知，集合，有限集.
25．（2020·全国高一）已知, ,求实数的值.
【答案】
【解析】
因为，所以有或，显然，
当时，，此时不符合集合元素的互异性，故舍去；
当时，解得，由上可知不符合集合元素的互异性，舍去，故.
26．（2020·上海高一课时练习）当实数、满足什么条件时，集合是有限集、无限集、空集？
【答案】当，时，集合为有限集；当，时，集合为无限集；当，时，集合为空集
【解析】
当时，方程有唯一解，此时集合，集合为有限集；
当，时，有无穷多个解，集合为无限集；
当，时，无解，集合为空集.
27．已知集合A＝{x|ax2－3x＋2＝0}.
(1)若A是单元素集合，求集合A；
(2)若A中至少有一个元素，求a的取值范围．
【答案】(1)当a＝0时，A＝{eq \f(2,3)}，当a＝eq \f(9,8)时，A＝{eq \f(4,3)}．(2)a≤eq \f(9,8).
【解析】 (1)因为集合A是方程ax2－3x＋2＝0的解集，则当a＝0时，A＝{eq \f(2,3)}，符合题意；
当a≠0时，方程ax2－3x＋2＝0应有两个相等的实数根，
则Δ＝9－8a＝0，解得a＝eq \f(9,8)，此时A＝{eq \f(4,3)}，符合题意．
综上所述，当a＝0时，A＝{eq \f(2,3)}，当a＝eq \f(9,8)时，A＝{eq \f(4,3)}．
(2)由(1)可知，当a＝0时，A＝{eq \f(2,3)}符合题意；
当a≠0时，要使方程ax2－3x＋2＝0有实数根，
则Δ＝9－8a≥0，解得a≤eq \f(9,8)且a≠0.
综上所述，若集合A中至少有一个元素，则a≤eq \f(9,8).