2.3 二次函数与一元二次方程、一元二次不等式-2020-2021高中数学新教材配套提升训练（人教A版必修第一册）

2.3 二次函数与一元二次方程、一元二次不等式

1. 一元二次不等式的解法；2. “三个二次”关系的应用；3. 含参数的一元二次不等式的解法；4. 一元二次不等式恒成立问题；5. 含参数的一元二次不等式恒成立；6. 一元二次不等式的实际应用

一、单选题

1．（2020·湖南怀化·高二期末）设集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

由题意得，，

，

则，

故选：A．

2．（2020·陕西西安·高三三模（文））已知集合，，则的子集个数为（    ）

A．2 B．4 C．6 D．8

【答案】B

【解析】

由得，故，其子集个数为.

故选B.

3．（2019·山东济宁·高一月考）已知，关于的一元二次不等式的解集为（   ）

A．，或 B．

C．，或 D．

【答案】B

【解析】

依题意可化为，由于，故不等式的解集为.

故选B.

4．（2020·唐山市第十二高级中学高一期末）不等式x2＋ax＋4＜0的解集不为空集，则a的取值范围是（ ）

A．［－4，4］

B．（－4，4）

C．（－∞，－4］∪［4，＋∞）

D．（－∞，－4）∪（4，＋∞）

【答案】D

【解析】

不等式x2＋ax＋4<0的解集不是空集，

只需Δ＝a2－16>0，∴a<－4或a>4，

故选D.

5．（2020·浙江高一课时练习）“不等式在上恒成立”的充要条件是（   ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

∵“不等式x2﹣x+m＞0在R上恒成立”，

∴△＝（﹣1）2﹣4m＜0，解得m，

又∵m⇒△＝1﹣4m＜0，

所以m是“不等式x2﹣x+m＞0在R上恒成立”的充要条件，

故选：A．

6．（2020·全国高三课时练习（理））关于x的不等式的解集为，且：，则a=（　　）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

因为关于x的不等式的解集为，

所以，又，

所以，

解得，因为，所以.
故选：A.

7．（2020·浙江高三专题练习）若不等式对于一切恒成立，则的最小值是 （ ）

A．0 B． C． D．

【答案】C

【解析】

不等式x2+ax+1≥0对一切x∈(0，]成立，等价于a≥-x-对于一切成立，

∵y=-x-在区间上是增函数

∴

∴a≥-

∴a的最小值为-故答案为C．

8．（2020·安徽金安·六安一中高一期末（文））若不等式组的解集非空，则实数a的取值范围是（    ）．

A． B．或 C． D．或

【答案】A

【解析】

原不等式组等价于,由题意不等式组解集非空可得，

故选：A．

9．（2020·浙江高一单元测试）对任意实数x，不等式恒成立，则a的取值范围是（    ）．

A． B． C．或 D．或

【答案】A

【解析】

由已知得即解得．

又当时，原不等式可化为，显然恒成立．

故a的取值范围是．

故选：A．

10．（2020·浙江高一课时练习）定义在上的运算：.若不等式对任意实数都成立，则（   ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】

不等式可化为，即对任意实数都成立，

，解得.故选B.

二、多选题

11．（2019·山东济宁·高一月考）已知集合，则 (     )

A． B．

C． D．

【答案】AD

【解析】

由解得，故,.

故选AD.

12．（2019·山东滕州市第一中学新校高二月考）下列四个不等式中，解集为的是（     ）

A． B．

C． D．

【答案】BCD

【解析】

对于A，对应函数开口向下，显然解集不为；

对于B，，对应的函数开口向上，，其解集为；

对于C，，对应的函数开口向上，其解集为；

对于D，对应的函数开口向下，其解集为；

故选：BCD.

13．（2020·山东文登·高一期末）已知函数有且只有一个零点，则(    )

A．

B．

C．若不等式的解集为，则

D．若不等式的解集为，且，则

【答案】ABD

【解析】

因为有且只有一个零点，

故可得，即可.

对：等价于，显然，故正确；

对：，故正确；

对：因为不等式的解集为，

故可得，故错误；

对：因为不等式的解集为，且，

则方程的两根为，

故可得，

故可得，故正确.

故选：ABD.

14．（2020·山东聊城·高二期末）若“”是“”的充分不必要条件，则实数可以是（    ）

A．-8 B．-5 C．1 D．4

【答案】ACD

【解析】

，解得，

即，解得或，

由题意知⫋，所以或，

即.

故选：ACD

三、填空题

15．（2020·宁夏原州·固原一中高三其他（理））已知命题“，”是假命题，则实数m的取值范围是_________.

【答案】

【解析】

若命题“，”是假命题，则“，”为真命题，

则只需满足，解得.

故答案为：.

16．（2019·黄梅国际育才高级中学高一月考）不等式对任意实数都成立，则实数的取值范围是__________．

【答案】

【解析】

∵不等式对任意实数都成立，

∴

∴＜k＜2

故答案为：

17．（2019·山东济宁·高一月考）若关于的不等式的解集，则的值为______．

【答案】-3

【解析】

显然t<0，且是方程的两根，由韦达定理得，解得．

四、双空题

18．（2020·上海高一课时练习）若不等式的解集为，则________．________．

【答案】       

【解析】

由题意不等式的解集为，故，是方程的两个根

，

，

故答案为：；．

19．（2019·凤城市第一中学）则的范围是___;则的范围是_______

【答案】       

【解析】

令，

对，，，

，即；

，即．

故答案为：；

20．（2017·浙江南湖·嘉兴一中高一期中）已知不等式.

（1）若不等式在上有解，则实数的取值范围是__________；

（2）若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是__________.

【答案】       

【解析】

（1）原不等式变为

当时，解集为

当时，解集为

当时，解集为

若不等式在上有解，则

（2）若不等式在上恒成立，则由(1)可知，所以

故答案为：（1）；（2）

21．（2019·浙江省杭州第二中学高三期中）已知集合，，若，则实数的取值范围是______，若，则实数的取值范围是______.

【答案】       

【解析】

，，

若则，

若，则,所以.

故答案为：，.

五、解答题

22．（2020·全国高一课时练习）解下列不等式：

（1）；

（2）；

（3）.

【答案】（1）或；（2）；（3）或.

【解析】

（1）不等式即为，解得或，

因此，不等式的解集为或；

（2）不等式即为，解得，

因此，不等式的解集为；

（3）不等式即为，即，解得或.

因此，不等式的解集为或.

23．（2020·全国高一课时练习）已知不等式的解集为，求不等式的解集.

【答案】.

【解析】

由题意不等式的解集为，

则，解得，

代入不等式，可得，

即，解得，

所以所求不等式的解集为.

24．（2019·黄梅国际育才高级中学高一月考）记不等式的解集为A，关于x的不等式的解集为B．

（1）求A；

（2）若，求实数a的取值范围．

【答案】（1）；（2）或

【解析】

（1）因为，

所以，

所以，

解得或，

所以，

（2）因为，

所以，

因为，

所以，

解得，

所以

因为，

所以或，

解得或.

25．（2020·荆州市北门中学高一期末）已知关于x的不等式

（1）若不等式的解集是，求k的值；

（2）若不等式的解集是R，求k的取值范围；

（3）若不等式的解集为，求k的取值范围．

【答案】（1）（2）（3）

【解析】

 (1)∵不等式的解集是,

∴且-3和-2是方程的实数根,

由根与系数的关系,得,所以；

(2)不等式的解集是R,所以,解得

(3)不等式的解集为,得,解得

26．（2020·浙江高一课时练习）命题；命题

（1）若时，在上恒成立，求实数a的取值范围；

（2）若p是q的充分必要条件，求出实数a，b的值

【答案】（1）；（2），。

【解析】

（1）若在上恒成立，

则，

所以有，

所以实数的范围为；

（2）或，

根据条件的解集是，

即方程的二根为2和3，

根据韦达定理有，

所以，。

27．（2020·朝阳·吉林省实验高一期末）解关于的不等式

【答案】当0＜a＜1时，解集为{x|x＜1或x}；

当a＝1时，解集为{x|x≠1}；当a＞1时，解集为{x|x或x＞1}．

【解析】

由不等式得：

（1）当时，

原不等式为：

∴不等式的解集为：

（2）当时，

原不等式为：

∵

∴不等式的解集为：{x|x＜1或x}；

（3）当时，

原不等式为：

∵，

∴不等式的解集为：{x|x或x＞1}，

综上所述，得原不等式的解集为：

当0＜a＜1时，解集为{x|x＜1或x}；

当a＝1时，解集为{x|x≠1}；当a＞1时，解集为{x|x或x＞1}．