建立数学模型解决实际问题-2020-2021高中数学新教材配套提升训练（人教A版必修第一册）

建立数学模型解决实际问题

1. 函数模型的增长差异；2. 巧用图象比较大小；3. 几种函数模型的应用；4. 一次函数与分段函数模型问题；5. 二次函数模型问题；6. 指数型、对数型函数模型应用问题；7. 建模思想——函数模型的确定； 8. 指数、对数函数型实际应用问题.

一、单选题

1．（2020·全国高三课时练习（理））在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（    ）

A．10名 B．18名 C．24名 D．32名

2．（2020·全国高一课时练习）某同学最近5年内的学习费用y(千元)与时间x(年)的关系如图所示，则可选择的模拟函数模型是（ ）

A．y＝ax＋b B．y＝ax2＋bx＋c

C．y＝aex＋b D．y＝aln x＋b

3．（2020·全国高一课时练习）下列函数中随x的增长而增长最快的是（    ）

A． B． C． D．

4．（2020·浙江高一课时练习）当时，，，的大小关系是（    ）

A． B．

C． D．

5．（2020·全国高一课时练习）一辆汽车在某段路上的行驶路程s关于时间t变化的图像如图，那么图像所对应的函数模型是(　　)

A．分段函数 B．二次函数

C．指数函数 D．对数函数

6．（2020·全国高一课时练习）某大型超市为了满足顾客对商品的购物需求，对超市的商品种类做了一定的调整，结果调整初期利润增长迅速，随着时间的推移，增长速度越来越慢，如果建立恰当的函数模型来反映该超市调整后利润y与售出商品的数量x的关系，则可选用（    ）

A．一次函数 B．二次函数

C．指数型函数 D．对数型函数

7．（2020·全国高一课时练习）四人赛跑，假设他们跑过的路程fi(x)(其中i∈{1,2,3,4})和时间x(x>1)的函数关系分别是f1(x)＝x2，f2(x)＝4x，f3(x)＝log2x，f4(x)＝2x，如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人具有的函数关系是(　　)

A．f1(x)＝x2 B．f2(x)＝4x C．f3(x)＝log2x D．f4(x)＝2x

8．（2020·湖北郧阳�高二月考）一种药在病人血液中的量保持以上才有效，而低于病人就有危险．现给某病人注射了这种药，如果药在血液中以每小时的比例衰减，为了充分发挥药物的利用价值，那么从现在起经过（    ）小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效．（附：，，答案采取四舍五入精确到）

A．2.3小时 B．3.5小时 C．5.6小时 D．8.8小时

9．（2018·四川高三其他（理））中国高速铁路技术世界领先，高速列车运行时不仅速度比普通列车快而且噪声更小．我们用声强I（单位：W/m2）表示声音在传播途径中每1平方米面积上声能流密度，声强级L1（单位：dB）与声强I的函数关系式为：．若普通列车的声强级是95dB，高速列车的声强级是45dB，则普通列车的声强是高速列车声强的（    ）

A．倍 B．倍 C．倍 D．倍

10．（2020·沙坪坝�重庆一中高三月考（理））为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯在公元前二世纪首先提出了星等这个概念.星等的数值越小，星星就越亮；星等的数值越大它的光就越暗.到了1850年，由于光度计在天体光度测量的应用，英国天文学家普森又提出了亮度的概念，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足，其中星等为的星的亮度为.已知“心宿二”的星等是1.00，“天津四”的星等是1.25，则“心宿二”的亮度大约是“天津四”的（    ）倍.（当较小时，）

A．1.27 B．1.26 C．1.23 D．1.22

二、多选题

11．（2019·全国高一课时练习）在某种金属材料的耐高温试验中，温度随着时间变化的情况由计算机记录后显示的图像如图所示给出下列说法，其中正确的是（    ）

A．前5min温度增加的速度越来越快

B．前5min温度增加的速度越来越慢

C．5min以后温度保持匀速增加

D．5min以后温度保持不变

E.温度随时间的变化情况无法判断

12．（2019·全国高一课时练习）（多选）下面对函数与在区间上的衰减情况的说法中错误的有（   ）

A．的衰减速度越来越慢, 的衰减速度越来越快

B．的衰减速度越来越快，的衰减速度越来越慢

C．的衰减速度越来越慢，的衰减速度越来越慢

D．的衰减速度越来越快，的衰减速度越来越快

13．（2019·全国高一课时练习）（多选）有一组实验数据如表所示：

则下列所给函数模型较不适合的有（    ）

A． B．

C． D．

14.如图，某池塘里的浮萍面积（单位：与时间（单位：月）的关系式为，且；，且．则下列说法正确的是（    ）

A．浮萍每月增加的面积都相等

B．第6个月时，浮萍的面积会超过

C．浮萍面积从蔓延到只需经过5个月

D．若浮萍面积蔓延到，，所经过的时间分别为，，，则

三、填空题

15．（2020·全国高一课时练习）下列选项是四种生意预期的收益y关于时间x的函数，从足够长远的角度看，更为有前途的生意是________.

①；②；③；④

16．（2020·衡水中学实验学校高三一模（文））某食品的保鲜时间（单位：小时）与储藏温度（单位：满足函数关系为自然对数的底数，、为常数），若该食品在的保鲜时间是192小时，在的保鲜时间是48小时，则该食品在的保鲜时间是___小时.

17．（2020·全国高三月考（理））2018年5月至2019年春，在阿拉伯半岛和伊朗西南部，沙漠蚂虫迅速繁衍，呈现几何式的爆发，仅仅几个月，蝗虫数量增长了8000倍，引发了蝗灾，到2020年春季蝗灾已波及印度和巴基斯坦，假设蝗虫的日增长率为5%，最初有只，则经过____________天能达到最初的16000倍（参考数据：，，，）.

四、双空题

18．（2020·浙江高一单元测试）某地西红柿从2月1日起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本（单位：元/（））与上市时间（单位：天）的数据如下表：

根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本与上市时间的变化关系：，，，．利用你选取的函数，计算西红柿种植成本最低时的上市天数是________；最低种植成本是________元/（）．

19．（2019·山东黄岛�高三期中）声强级（单位：）由公式给出，其中为声强（单位：）.

（1）平时常人交谈时的声强约为，则其声强级为______；

（2）一般正常人听觉能忍受的最高声强为，能听到的最低声强为，则正常人听觉的声强级范围为______.

20．（2020·全国高三专题练习（理））年月，中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录，标志着中华五千年文明史得到国际社会认可．良渚古城遗址是人类早期城市文明的范例，实证了中华五千年文明史．考古科学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律．已知样本中碳的质量随时间（单位：年）的衰变规律满足（表示碳原有的质量），则经过年后，碳的质量变为原来的________；经过测定，良渚古城遗址文物样本中碳的质量是原来的至，据此推测良渚古城存在的时期距今约在________年到年之间．（参考数据：）

21．（2020·全国高一课时练习）为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式y＝ (a为常数)，如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：

(1)从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间的函数关系式为__________．

(2)据测定，当空气中每立方米的含药量不高于0.25毫克时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过________小时后，学生才能回到教室．

五、解答题

22．（2020·全国高一课时练习）某公司拟投资100万元，有两种投资方案可供选择：一种是年利率为10%，按单利计算，5年后收回本金和利息；另一种是年利率为9%，按每年复利一次计算，5年后收回本金和利息．哪一种投资更有利？这种投资比另一种投资5年可多得利息多少元？(结果精确到0.01万元)

23．（2020·浙江高一单元测试）研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速可以表示为函数，单位是，其中x表示鲑鱼的耗氧量的单位数.

（1）当一条鲑鱼的耗氧量是8100个单位时，它的游速是多少？

（2）计算一条鲑鱼静止时耗氧量的单位数.

（3）若鲑鱼A的游速大于鲑鱼B的游速，问这两条鲑鱼谁的耗氧量较大？并说明理由.

24．（2020·浙江高一课时练习）小明和爸爸从家步行去公园，爸爸先出发一直匀速前行，小明后出发匀速前行，且途中休息一段时间后继续以原速前行．家到公园的距离为2000m，如图是小明和爸爸所走的路程s（m）与步行时间t（min）的函数图象．

（1）直接写出BC段图象所对应的函数关系式（不用写出t的取值范围）_______．

（2）小明出发多长时间与爸爸第三次相遇？

（3）在速度都不变的情况下，小明希望比爸爸早18分钟到达公园，则小明在步行过程中停留的时间需减少多少分钟？

25．（2020·公主岭市第一中学校高一期中（理））函数和的图像的示意图如图所示， 两函数的图像在第一象限只有两个交点

（1）请指出示意图中曲线分别对应哪一个函数；

（2）比较的大小，并按从小到大的顺序排列；

（3）设函数,则函数的两个零点为，如果，其中为整数，指出的值，并说明理由．

26．（2020·吉林公主岭�高一期末（理））节约资源和保护环境是中国的基本国策.某化工企业,积极响应国家要求,探索改良工艺,使排放的废气中含有的污染物数量逐渐减少.已知改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为,首次改良后所排放的废气中含有的污染物数量为.设改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为,首次改良工艺后所排放的废气中含有的污染物数量为,则第n次改良后所排放的废气中的污染物数量,可由函数模型给出,其中n是指改良工艺的次数.

（1）试求改良后所排放的废气中含有的污染物数量的函数模型;

（2）依据国家环保要求,企业所排放的废气中含有的污染物数量不能超过,试问至少进行多少次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标.

（参考数据:取）

27．（2020·山东莱州一中高二月考）某种出口产品的关税税率t，市场价格x（单位：千元）与市场供应量p（单位：万件）之间近似满足关系式：p，其中k，b均为常数．当关税税率为75%时，若市场价格为5千元，则市场供应量均为1万件；若市场价格为7千元，则市场供应量约为2万件．

（1）试确定k、b的值；

（2）市场需求量q（单位：万件）与市场价格x近似满足关系式：q＝2﹣x．p＝q时，市场价格称为市场平衡价格．当市场平衡价格不超过4千元时，试确定关税税率的最大值．