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试卷 中考数学知识点+经典例题+真题训练 专题25 圆的问题含答案
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这是一份试卷 中考数学知识点+经典例题+真题训练 专题25 圆的问题含答案，共31页。试卷主要包含了与圆有关的概念与规律，解题要领，解答题等内容，欢迎下载使用。
专题25 圆的问题
知识点归纳
一、与圆有关的概念与规律
1．圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。定点称为圆心，定长称为半径。圆的半径或直径决定圆的大小，圆心决定圆的位置。
2.圆的性质：（1）圆具有旋转不变性；（2）圆具有轴对称性；（3）圆具有中心对称性。
3.垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
4．推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
5．圆心角：顶点在圆心上的角叫做圆心角。圆心角的度数等于它所对弧的度数。
6．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等。
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么他们所对的圆心角相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等。
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆心角相等，所对的弧相等，所对的弦心距也相等。
7.圆周角：顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角叫做圆周角。
8.在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
9．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
10. 点和圆的位置关系：
① 点在圆内点到圆心的距离小于半径
② 点在圆上点到圆心的距离等于半径
③ 点在圆外点到圆心的距离大于半径
11. 过三点的圆：不在同一直线上的三个点确定一个圆。
12. 外接圆和外心：经过三角形的三个顶点可以做一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆。
外接圆的圆心，叫做三角形的外心。外心是三角形三条边垂直平分线的交点。外心到三角形三个顶点的距离相等。
13．若四边形的四个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做这个四边形的外接圆。
14．圆内接四边形的特征：
①圆内接四边形的对角互补；
②圆内接四边形任意一个外角等于它的内对角。
15.直线与圆有3种位置关系：
如果⊙O的半径为r，圆心O到直线的距离为d，那么
① 直线和⊙O相交；
② 直线和⊙O相切；
③ 直线和⊙O相离。
16.和三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆，其圆心称为内心。内心是三角形三个角的角平分线的交点。内心到三角形三边的距离相等。
17.切线的性质
（1）经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线。
（2）经过切点垂直于切线的直线必经过圆心。
（3）圆的切线垂直于经过切点的半径。
18.切线的判定方法：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
19.切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，并且圆心和这一点的连线平分两条切
线的夹角。
20．设圆的半径为，圆的半径为，两个圆的圆心距，则：
两圆外离 ；
两圆外切 ；
两圆相交 ；
两圆内切 ；
两圆内含
21.圆中几个关键元素之间的相互转化
弧、弦、圆心角、圆周角等都可以通过相等来互相转化.这在圆中的证明和计算中经常用到.
22.与圆有关的公式
设圆的周长为r，则：
（1）求圆的直径公式d=2r
（2）求圆的周长公式 C=2πr
（3）求圆的面积公式S=πr2
二、解题要领
1.判定切线的方法：
（1）若切点明确，则“连半径，证垂直”。常见手法有全等转化；平行转化；直径转化；中线转化等；有时可通过计算结合相似、勾股定理证垂直；
（2）若切点不明确，则“作垂直，证半径”。常见手法有角平分线定理；等腰三角形三线合一，隐藏角平分线；
总而言之，要完成两个层次的证明：
①直线所垂直的是圆的半径（过圆上一点）；
②直线与半径的关系是互相垂直。在证明中的关键是要处理好弧、弦、角之间的相互转化,要善于进行由此及彼的联想、要总结常添加的辅助线.
2.与圆有关的计算：
计算圆中的线段长或线段比，通常与勾股定理、垂径定理与三角形的全等、相似等知识的结合，形式复杂，无规律性。分析时要重点注意观察已知线段间的关系，选择定理进行线段或者角度的转化。特别是要借助圆的相关定理进行弧、弦、角之间的相互转化，找出所求线段与已知线段的关系，从而化未知为已知，解决问题。其中重要而常见的数学思想方法有：
（1）构造思想：①构建矩形转化线段；②构建“射影定理”基本图研究线段（已知任意两条线段可求其它所有线段长）；③构造垂径定理模型：弦长一半、弦心距、半径；④构造勾股定理模型；⑤构造三角函数.
（2）方程思想：设出未知数表示关键线段，通过线段之间的关系，特别是发现其中的相等关系建立方程，解决问题。
（3）建模思想：借助基本图形的结论发现问题中的线段关系，把问题分解为若干基本图形的问题，通过基本图形的解题模型快速发现图形中的基本结论，进而找出隐藏的线段之间的数量关系。
专题典型题考法及解析
【例题1】（2019•山东省滨州市）如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上两点，若∠BCD＝40°，则∠ABD的大小为（ ）
A．60° B．50° C．40° D．20°
【答案】B
【解析】考点是圆周角定理。本题考查的是圆周角定理，根据题意作出辅助线，构造出圆周角是解答此题的关键．连接AD，先根据圆周角定理得出∠A及∠ADB的度数，再由直角三角形的性质即可得出结论．
连接AD，
∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°．
∵∠BCD＝40°，∴∠A＝∠BCD＝40°，
∴∠ABD＝90°﹣40°＝50°．
【例题2】（2019•南京）如图，PA.PB是⊙O的切线，A.B为切点，点C.D在⊙O上．若∠P＝102°，则∠A+∠C＝ ．
【答案】219°．
【解析】连接AB，根据切线的性质得到PA＝PB，根据等腰三角形的性质得到∠PAB＝∠PBA＝（180°﹣102°）＝39°，由圆内接四边形的性质得到∠DAB+∠C＝180°，于是得到结论．
连接AB，
∵PA.PB是⊙O的切线，∴PA＝PB，
∵∠P＝102°，∴∠PAB＝∠PBA＝（180°﹣102°）＝39°，
∵∠DAB+∠C＝180°，
∴∠PAD+∠C＝∠PAB+∠DAB+∠C＝180°+39°＝219°
【例题3】（2019•甘肃武威）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D在BC边上，⊙D经过点A和点B且与BC边相交于点E．
（1）求证：AC是⊙D的切线；
（2）若CE＝2，求⊙D的半径．
【答案】见解析。
【解析】本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
（1）连接AD，根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠C＝30°，∠BAD＝∠B＝30°，求得∠ADC＝60°，根据三角形的内角和得到∠DAC＝180°﹣60°﹣30°＝90°，于是得到AC是⊙D的切线；
证明：连接AD，
∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝30°，
∵AD＝BD，∴∠BAD＝∠B＝30°，∴∠ADC＝60°，
∴∠DAC＝180°﹣60°﹣30°＝90°，
∴AC是⊙D的切线；
（2）连接AE，推出△ADE是等边三角形，得到AE＝DE，∠AED＝60°，求得∠EAC＝∠AED﹣∠C＝30°，得到AE＝CE＝2，于是得到结论．
连接AE，
∵AD＝DE，∠ADE＝60°，
∴△ADE是等边三角形，∴AE＝DE，∠AED＝60°，
∴∠EAC＝∠AED﹣∠C＝30°，∴∠EAC＝∠C，
∴AE＝CE＝2，∴⊙D的半径AD＝2．
【例题4】（2019•江苏苏州）如图，AE为的直径，D是弧BC的中点BC与AD，OD分别交于点E，F.
（1）求证：；
（2）求证：;
（3）若，求的值.
【答案】见解析。
【解析】（1）证明：∵D为弧BC的中点，OD为的半径
∴
又∵AB为的直径
∴∴
（2）证明：∵D为弧BC的中点
∴∴∴
∴,即
（3）解：∵，
∴
设CD=，则DE=，
又∵∴
∴,所以
又,∴
即
专题典型训练题
一、选择题
1．(2019甘肃陇南)如图，点A，B，S在圆上，若弦AB的长度等于圆半径的倍，则∠ASB的度数是（ ）
A．22.5° B．30° C．45° D．60°
【答案】C．
【解析】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
设圆心为0，连接OA.OB，如图，先证明△OAB为等腰直角三角形得到∠AOB＝90°，然后根据圆周角定理确定∠ASB的度数．
设圆心为O，连接OA.OB，如图，
∵弦AB的长度等于圆半径的倍，
即AB＝OA，
∴OA2+OB2＝AB2，
∴△OAB为等腰直角三角形，∠AOB＝90°，
∴∠ASB＝∠AOB＝45°．
2.（2019•山东省聊城市）如图，BC是半圆O的直径，D，E是上两点，连接BD，CE并延长交于点A，连接OD，OE．如果∠A＝70°，那么∠DOE的度数为（ ）
A．35° B．38° C．40° D．42°
【答案】C．
【解析】考点是圆周角定理、直角三角形的性质。连接CD，由圆周角定理得出∠BDC＝90°，求出∠ACD＝90°﹣∠A＝20°，再由圆周角定理得出∠DOE＝2∠ACD＝40°即可，
连接CD，如图所示：
∵BC是半圆O的直径，∴∠BDC＝90°，∴∠ADC＝90°，
∴∠ACD＝90°﹣∠A＝20°，∴∠DOE＝2∠ACD＝40°
3.（2019•广西贵港）如图，AD是⊙O的直径，＝，若∠AOB＝40°，则圆周角∠BPC的度数是（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
【答案】B．
【解析】根据圆周角定理即可求出答案．
∵＝，∠AOB＝40°，
∴∠COD＝∠AOB＝40°，
∵∠AOB+∠BOC+∠COD＝180°，
∴∠BOC＝100°，
∴∠BPC＝∠BOC＝50°
4.（2019•湖北天门）如图，AB为⊙O的直径，BC为⊙O的切线，弦AD∥OC，直线CD交BA的延长线于点E，连接BD．下列结论：①CD是⊙O的切线；②CO⊥DB；③△EDA∽△EBD；④ED•BC＝BO•BE．其中正确结论的个数有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】A
【解析】本题主要考查了切线的判定、全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用是解答此题的关键．
连结DO．
∵AB为⊙O的直径，BC为⊙O的切线，∴∠CBO＝90°，
∵AD∥OC，∴∠DAO＝∠COB，∠ADO＝∠COD．
又∵OA＝OD，∴∠DAO＝∠ADO，∴∠COD＝∠COB．
在△COD和△COB中，，
∴△COD≌△COB（SAS），
∴∠CDO＝∠CBO＝90°．
又∵点D在⊙O上，
∴CD是⊙O的切线；故①正确，
∵△COD≌△COB，∴CD＝CB，
∵OD＝OB，∴CO垂直平分DB，
即CO⊥DB，故②正确；
∵AB为⊙O的直径，DC为⊙O的切线，∴∠EDO＝∠ADB＝90°，
∴∠EDA+∠ADO＝∠BDO+∠ADO＝90°，∴∠ADE＝∠BDO，
∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD，∴∠EDA＝∠DBE，
∵∠E＝∠E，∴△EDA∽△EBD，故③正确；
∵∠EDO＝∠EBC＝90°，∠E＝∠E，
∴△EOD∽△ECB，
∴，
∵OD＝OB，
∴ED•BC＝BO•BE，故④正确.
5.（2019•山东省德州市 ）如图，点O为线段BC的中点，点A，C，D到点O的距离相等，若∠ABC＝40°，则∠ADC的度数是（ ）
A．130° B．140° C．150° D．160°
【答案】B．
【解析】根据题意得到四边形ABCD共圆，利用圆内接四边形对角互补即可求出所求角的度数．由题意得到OA＝OB＝OC＝OD，作出圆O，如图所示，
∴四边形ABCD为圆O的内接四边形，
∴∠ABC+∠ADC＝180°，
∵∠ABC＝40°，∴∠ADC＝140°
6.（2019湖南益阳）如图，PA、PB为圆O的切线，切点分别为A、B，PO交AB于点C，PO的延长线交圆O于点D，下列结论不一定成立的是（ ）
A．PA＝PB B．∠BPD＝∠APD C．AB⊥PD D．AB平分PD
【答案】D．
【解析】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了切线长定理、垂径定理和等腰三角形的性质．
先根据切线长定理得到PA＝PB，∠APD＝∠BPD；再根据等腰三角形的性质得OP⊥AB，根据菱形的性质，只有当AD∥PB，BD∥PA时，AB平分PD，由此可判断D不一定成立．
∵PA，PB是⊙O的切线，
∴PA＝PB，所以A成立；
∠BPD＝∠APD，所以B成立；
∴AB⊥PD，所以C成立；
∵PA，PB是⊙O的切线，
∴AB⊥PD，且AC＝BC，
只有当AD∥PB，BD∥PA时，AB平分PD，所以D不一定成立．
7.（2019•广东广州）平面内，⊙O的半径为1，点P到O的距离为2，过点P可作⊙O的切线条数为（ ）
A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条
【答案】C．
【解析】此题主要考查了对点与圆的位置关系，切线的定义，切线就是与圆有且只有1个公共点的直线，理解定义是关键．
先确定点与圆的位置关系，再根据切线的定义即可直接得出答案．
∵⊙O的半径为1，点P到圆心O的距离为2，
∴d＞r，
∴点P与⊙O的位置关系是：P在⊙O外，
∵过圆外一点可以作圆的2条切线。
8．（2019•山东泰安）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠A＝119°，过点C的圆的切线交BO于点P，则∠P的度数为（ ）
A．32° B．31° C．29° D．61°
【答案】A．
【解析】连接OC、CD，由切线的性质得出∠OCP＝90°，由圆内接四边形的性质得出∠ODC＝180°﹣∠A＝61°，由等腰三角形的性质得出∠OCD＝∠ODC＝61°，求出∠DOC＝58°，由直角三角形的性质即可得出结果．
如图所示：连接OC、CD，
∵PC是⊙O的切线，∴PC⊥OC，∴∠OCP＝90°，
∵∠A＝119°，∴∠ODC＝180°﹣∠A＝61°，
∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC＝61°，
∴∠DOC＝180°﹣2×61°＝58°，
∴∠P＝90°﹣∠DOC＝32°
9．(2019•湖南益阳)如图，PA、PB为圆O的切线，切点分别为A、B，PO交AB于点C，PO的延长线交圆O于点D，下列结论不一定成立的是( )
A．PA＝PB B．∠BPD＝∠APD C．AB⊥PD D．AB平分PD
【答案】D
【解析】先根据切线长定理得到PA＝PB，∠APD＝∠BPD；再根据等腰三角形的性质得OP⊥AB，根据菱形的性质，只有当AD∥PB，BD∥PA时，AB平分PD，由此可判断D不一定成立．
∵PA，PB是⊙O的切线，∴PA＝PB，所以A成立；
∠BPD＝∠APD，所以B成立；
∴AB⊥PD，所以C成立；
∵PA，PB是⊙O的切线，∴AB⊥PD，且AC＝BC，
只有当AD∥PB，BD∥PA时，AB平分PD，所以D不一定成立．故选D．
10. (2019湖北荆门)如图，△ABC内心为I，连接AI并延长交△ABC的外接圆于D，则线段DI与DB的关系是（ ）
A．DI＝DB B．DI＞DB C．DI＜DB D．不确定
【答案】A．
【解析】本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了三角形的外接圆和圆周角定理．
连接BI，如图，根据三角形内心的性质得∠1＝∠2，∠5＝∠6，再根据圆周角定理得到∠3＝∠1，然后利用三角形外角性质和角度的代换证明∠4＝∠DBI，从而可判断DI＝DB．
连接BI，如图，
∵△ABC内心为I，∴∠1＝∠2，∠5＝∠6，
∵∠3＝∠1，∴∠3＝∠2，
∵∠4＝∠2+∠6＝∠3+∠5，
即∠4＝∠DBI，∴DI＝DB．
二、填空题
11.（2019广西北部湾）《九章算术》作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，与古希腊的《几何原本》并称现代数学的两大源泉.在《九章算术》中记载有一问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小。以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”小辉同学根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已知：锯口深为1寸，锯道AB=1尺（1尺=10寸），则该圆材的直径为 寸.
【答案】26.
【解析】本题考查垂径定理、勾股定理等知识，设⊙O的半径为r．在Rt△ADO中，AD=5，OD=r-1，OA=r，则有r2=52+(r-1)2，解方程即可．
设⊙O的半径为r．
在Rt△ADO中，AD=5，OD=r-1，OA=r，
则有r2=52+(r-1)2，
解得r=13，
∴⊙O的直径为26寸。
12. (2019黑龙江绥化)半径为5的¤O是锐角三角形ABC的外接圆,AB＝AC,连接OB,OC,延长CO交弦AB于点D.若△OBD是直角三角形,则弦BC的长为______.
【答案】
【解析】∵△OBD为直角三角形,∴分类讨论:如图,当∠BOD＝90°时,∠BOC＝90°,在Rt△BOC中,BO＝OC＝5,∴BC＝;当∠ODB＝90°时,∵OB＝OC,设∠OBC＝∠OCB＝x,∴∠BOD＝2x,∠BOC＝180°－2x,∴∠ABO＝90°－2x,∠ABC＝∠ACB＝90°－x,∴∠A＝2x,∵∠BOC＝2∠A,即180－2x＝2×2x,∴x＝30°,∴∠BOC＝120°,∵OB＝OC＝5,∴BC＝.综上所述,BC的长度为
13. （2019山东东营）如图，AC是⊙O的弦，AC=5，点B是⊙O 上的一个动点，且∠ABC=45°，若点M、N分别是 AC、BC的中点，则 MN的最大值是____________．
【答案】
【解析】∵MN是△ABC的中位线，∴MN=AB．
当AB为⊙O的直径时，AB有最大值，则MN有最大值．
当AB为直径时，∠ACB=90°，
∵∠ABC=45°，AC=5，∴AB=，
∴MN=．
14.（2019黑龙江省龙东地区）如图，在⊙O中，半径OA垂直于弦BC，点D在圆上，且∠ADC＝30°，则∠AOB的度数为________．
【答案】60°.
【解析】∵OA⊥BC，∴ ，∴∠AOB＝2∠ADC,
∵∠ADC＝30°，∴∠AOB＝60°.
15.（2019江苏常州）如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，∠AOC＝120°，则∠CDB＝ °．
【答案】30
【解析】∵∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣120°＝60°，
∴∠CDB=12∠BOC＝30°．
16.（2019四川省雅安市）如图，△ABC内接于⊙O，BD是⊙O的直径，∠CBD=21°，则 ∠A的度数为_______.
【答案】69°
【解析】∵BD是⊙O的直径，∴∠BCD=90°，∵∠CBD=21°，∴∠D=69°，∴∠A=∠D=69°．
17.(2019安徽)如图，△ABC内接于⊙O，∠CAB＝30°，∠CBA＝45°，CD⊥AB于点D，若⊙O的半径为2，
则CD的长为 ．
【答案】．
【解析】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
连接CO并延长交⊙O于E，连接BE，于是得到∠E＝∠A＝30°，∠EBC＝90°，解直角三角形即可得到结论．
连接CO并延长交⊙O于E，连接BE，
则∠E＝∠A＝30°，∠EBC＝90°，
∵⊙O的半径为2，∴CE＝4，∴BC＝CE＝2，
∵CD⊥AB，∠CBA＝45°，∴CD＝BC＝
18.（2019•江苏泰州）如图，⊙O的半径为5，点P在⊙O上，点A在⊙O内，且AP＝3，过点A作AP的垂线交⊙O于点B.C．设PB＝x，PC＝y，则y与x的函数表达式为 ．
【答案】y＝x．
【解析】连接PO并延长交⊙O于D，连接BD，根据圆周角定理得到∠C＝∠D，∠PBD＝90°，求得∠PAC＝∠PBD，根据相似三角形的性质即可得到结论．
连接PO并延长交⊙O于D，连接BD，
则∠C＝∠D，∠PBD＝90°，
∵PA⊥BC，∴∠PAC＝90°，∴∠PAC＝∠PBD，
∴△PAC∽△PBD，∴，
∵⊙O的半径为5，AP＝3，PB＝x，PC＝y，
∴＝，∴y＝x
19.（2019•山东省济宁市 ）如图，O 为Rt△ ABC 直角边 AC 上一点，以 OC 为半径的⊙O 与斜边 AB 相切于点 D，交 OA 于点 E，已知 BC＝，AC＝3．则图中阴影部分的面积是 ．
【答案】 ．
【解析】本题考查了切线的性质定理、切线长定理以及勾股定理的运用，熟记和圆有关的各种性质定理是解题的关键．
在Rt△ ABC 中，∵BC＝，AC＝3．
∴AB＝ ＝2 ，
∵BC⊥OC，∴BC 是圆的切线，
∵⊙O 与斜边 AB 相切于点 D，∴BD＝BC，
∴AD＝AB﹣BD＝2 ﹣ ＝ ；
在 Rt△ ABC 中，∵sinA＝＝ ＝ ，∴∠A＝30°，
∵⊙O 与斜边 AB 相切于点 D，∴OD⊥AB，∴∠AOD＝90°﹣∠A＝60°，
∵ ＝tanA＝tan30°，∴ ＝ ，∴OD＝1，
∴S 阴影＝＝ ．
20.（2019•湖北省鄂州市）如图，在平面直角坐标系中，已知C（3，4），以点C为圆心的圆与y轴相切．点A、B在x轴上，且OA＝OB．点P为⊙C上的动点，∠APB＝90°，则AB长度的最大值为 ．
【答案】16．
【解析】连接OC并延长，交⊙C上一点P，以O为圆心，以OP为半径作⊙O，交x轴于A、B，此时AB的长度最大，
∵C（3，4），∴OC＝＝5，
∵以点C为圆心的圆与y轴相切．∴⊙C的半径为3，∴OP＝OA＝OB＝8，
∵AB是直径，∴∠APB＝90°，∴AB长度的最大值为16。
三、解答题
21.（2019•南京）如图，⊙O的弦AB.CD的延长线相交于点P，且AB＝CD．求证：PA＝PC．
【答案】见解析。
【解析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，等腰三角形的判定等，熟练掌握性质定理是解题的关键．
连接AC，由圆心角、弧、弦的关系得出＝，进而得出＝，根据等弧所对的圆周角相等得出∠C＝∠A，根据等角对等边证得结论．
证明：连接AC，
∵AB＝CD，∴＝，
∴+＝+，即＝，
∴∠C＝∠A，∴PA＝PC．
22.（2019•湖南株洲）四边形ABCD是⊙O的圆内接四边形，线段AB是⊙O的直径，连结AC.BD．点H是线段BD上的一点，连结AH、CH，且∠ACH＝∠CBD，AD＝CH，BA的延长线与CD的延长线相交与点P．
（1）求证：四边形ADCH是平行四边形；
（2）若AC＝BC，PB＝PD，AB+CD＝2（+1）
①求证：△DHC为等腰直角三角形；
②求CH的长度．
【答案】见解析。
【解析】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，求CD的长度是本题的关键．
（1）由圆周角的定理可得∠DBC＝∠DAC＝∠ACH，可证AD∥CH，由一组对边平行且相等的是四边形是平行四边形可证四边形ADCH是平行四边形；
（2）①由平行线的性质可证∠ADH＝∠CHD＝90°，由∠CDB＝∠CAB＝45°，可证△DH
为等腰直角三角形；
②通过证明△ADP∽△CBP，可得，可得，通过证明△CHD∽△ACB，可得，可得AB＝CD，可求CD＝2，由等腰直角三角形的性质可求CH的长度．
证明：（1）∵∠DBC＝∠DAC，∠ACH＝∠CBD
∴∠DAC＝∠ACH,∴AD∥CH，且AD＝CH
∴四边形ADCH是平行四边形
（2）①∵AB是直径
∴∠ACB＝90°＝∠ADB，且AC＝BC
∴∠CAB＝∠ABC＝45°，∴∠CDB＝∠CAB＝45°
∵AD∥CH
∴∠ADH＝∠CHD＝90°，且∠CDB＝45°
∴∠CDB＝∠DCH＝45°,∴CH＝DH，且∠CHD＝90°
∴△DHC为等腰直角三角形；
②∵四边形ABCD是⊙O的圆内接四边形，
∴∠ADP＝∠PBC，且∠P＝∠P,∴△ADP∽△CBP
∴，且PB＝PD，
∴，AD＝CH，∴
∵∠CDB＝∠CAB＝45°，∠CHD＝∠ACB＝90°∴△CHD∽△ACB
∴,∴AB＝CD
∵AB+CD＝2（+1）,∴CD+CD＝2（+1）
∴CD＝2，且△DHC为等腰直角三角形,∴CH＝
23.（2019▪广西池河）如图，五边形ABCDE内接于⊙O，CF与⊙O相切于点C，交AB延长线于点F．
（1）若AE＝DC，∠E＝∠BCD，求证：DE＝BC；（2）若OB＝2，AB＝BD＝DA，∠F＝45°，求CF的长．
【答案】见解析。
【解析】（1）由圆心角、弧、弦之间的关系得出，由圆周角定理得出∠ADE＝∠DBC，证明△ADE≌△DBC，即可得出结论；
证明：∵AE＝DC，∴，∴∠ADE＝∠DBC，
在△ADE和△DBC中，，
∴△ADE≌△DBC（AAS），∴DE＝BC；
（2）连接CO并延长交AB于G，作OH⊥AB于H，则∠OHG＝∠OHB＝90°，由切线的性质得出∠FCG＝90°，得出△CFG、△OGH是等腰直角三角形，得出CF＝CG，OG＝OH，由等边三角形的性质得出∠OBH＝30°，由直角三角形的性质得出OH＝OB＝1，OG＝，即可得出答案．
连接CO并延长交AB于G，作OH⊥AB于H，如图所示：
则∠OHG＝∠OHB＝90°，
∵CF与⊙O相切于点C，∴∠FCG＝90°，
∵∠F＝45°，∴△CFG、△OGH是等腰直角三角形，∴CF＝CG，OG＝OH，
∵AB＝BD＝DA，∴△ABD是等边三角形，∴∠ABD＝60°，∴∠OBH＝30°，
∴OH＝OB＝1，∴OG＝，∴CF＝CG＝OC+OG＝2+．
24.（2019•甘肃）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，切线DE交AC于点E．
（1）求证：∠A＝∠ADE；（2）若AD＝8，DE＝5，求BC的长．
【答案】见解析。
【解析】本题考查切线的性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
（1）只要证明∠A+∠B＝90°，∠ADE+∠B＝90°即可解决问题。
证明：连接OD，
∵DE是切线，∴∠ODE＝90°，∴∠ADE+∠BDO＝90°，
∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°，
∵OD＝OB，∴∠B＝∠BDO，∴∠ADE＝∠A．
（2）首先证明AC＝2DE＝10，在Rt△ADC中，DC＝6，设BD＝x，在Rt△BDC中，BC2＝x2+62，在Rt△ABC中，BC2＝（x+8）2﹣102，可得x2+62＝（x+8）2﹣102，解方程即可解决问题．连接CD．
∵∠ADE＝∠A，∴AE＝DE，
∵BC是⊙O的直径，∠ACB＝90°，∴EC是⊙O的切线，∴ED＝EC，∴AE＝EC，
∵DE＝5，∴AC＝2DE＝10，
在Rt△ADC中，DC＝6，
设BD＝x，在Rt△BDC中，BC2＝x2+62，在Rt△ABC中，BC2＝（x+8）2﹣102，
∴x2+62＝（x+8）2﹣102，解得x＝，
∴BC＝＝．
25.（2019•湖北省咸宁市）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，以CD为直径的⊙O分别交AC，BC于点E，F两点，过点F作FG⊥AB于点G．
（1）试判断FG与⊙O的位置关系，并说明理由．
（2）若AC＝3，CD＝2.5，求FG的长．
【答案】见解析。
【解析】（1）如图，连接OF，根据直角三角形的性质得到CD＝BD，得到∠DBC＝∠DCB，根据等腰三角形的性质得到∠OFC＝∠OCF，得到∠OFC＝∠DBC，推出∠OFG＝90°，于是得到结论。FG与⊙O相切，
理由：如图，连接OF，
∵∠ACB＝90°，D为AB的中点，∴CD＝BD，∴∠DBC＝∠DCB，
∵OF＝OC，∴∠OFC＝∠OCF，∴∠OFC＝∠DBC，∴OF∥DB，∴∠OFG+∠DGF＝180°，
∵FG⊥AB，∴∠DGF＝90°，∴∠OFG＝90°，∴FG与⊙O相切。
（2）连接DF，根据勾股定理得到BC＝＝4，根据圆周角定理得到∠DFC＝90°，根据三角函数的定义即可得到结论．连接DF，
∵CD＝2.5，∴AB＝2CD＝5，∴BC＝＝4，
∵CD为⊙O的直径，∴∠DFC＝90°，∴FD⊥BC，
∵DB＝DC，∴BF＝BC＝2，
∵sin∠ABC＝，
即＝，∴FG＝．
专题25 圆的问题
知识点归纳
一、与圆有关的概念与规律
1．圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。定点称为圆心，定长称为半径。圆的半径或直径决定圆的大小，圆心决定圆的位置。
2.圆的性质：（1）圆具有旋转不变性；（2）圆具有轴对称性；（3）圆具有中心对称性。
3.垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
4．推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
5．圆心角：顶点在圆心上的角叫做圆心角。圆心角的度数等于它所对弧的度数。
6．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等。
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么他们所对的圆心角相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等。
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆心角相等，所对的弧相等，所对的弦心距也相等。
7.圆周角：顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角叫做圆周角。
8.在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
9．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
10. 点和圆的位置关系：
① 点在圆内点到圆心的距离小于半径
② 点在圆上点到圆心的距离等于半径
③ 点在圆外点到圆心的距离大于半径
11. 过三点的圆：不在同一直线上的三个点确定一个圆。
12. 外接圆和外心：经过三角形的三个顶点可以做一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆。
外接圆的圆心，叫做三角形的外心。外心是三角形三条边垂直平分线的交点。外心到三角形三个顶点的距离相等。
13．若四边形的四个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做这个四边形的外接圆。
14．圆内接四边形的特征：
①圆内接四边形的对角互补；
②圆内接四边形任意一个外角等于它的内对角。
15.直线与圆有3种位置关系：
如果⊙O的半径为r，圆心O到直线的距离为d，那么
① 直线和⊙O相交；
② 直线和⊙O相切；
③ 直线和⊙O相离。
16.和三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆，其圆心称为内心。内心是三角形三个角的角平分线的交点。内心到三角形三边的距离相等。
17.切线的性质
（1）经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线。
（2）经过切点垂直于切线的直线必经过圆心。
（3）圆的切线垂直于经过切点的半径。
18.切线的判定方法：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
19.切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，并且圆心和这一点的连线平分两条切
线的夹角。
20．设圆的半径为，圆的半径为，两个圆的圆心距，则：
两圆外离 ；
两圆外切 ；
两圆相交 ；
两圆内切 ；
两圆内含
21.圆中几个关键元素之间的相互转化
弧、弦、圆心角、圆周角等都可以通过相等来互相转化.这在圆中的证明和计算中经常用到.
22.与圆有关的公式
设圆的周长为r，则：
（1）求圆的直径公式d=2r
（2）求圆的周长公式 C=2πr
（3）求圆的面积公式S=πr2
二、解题要领
1.判定切线的方法：
（1）若切点明确，则“连半径，证垂直”。常见手法有全等转化；平行转化；直径转化；中线转化等；有时可通过计算结合相似、勾股定理证垂直；
（2）若切点不明确，则“作垂直，证半径”。常见手法有角平分线定理；等腰三角形三线合一，隐藏角平分线；
总而言之，要完成两个层次的证明：
①直线所垂直的是圆的半径（过圆上一点）；
②直线与半径的关系是互相垂直。在证明中的关键是要处理好弧、弦、角之间的相互转化,要善于进行由此及彼的联想、要总结常添加的辅助线.
2.与圆有关的计算：
计算圆中的线段长或线段比，通常与勾股定理、垂径定理与三角形的全等、相似等知识的结合，形式复杂，无规律性。分析时要重点注意观察已知线段间的关系，选择定理进行线段或者角度的转化。特别是要借助圆的相关定理进行弧、弦、角之间的相互转化，找出所求线段与已知线段的关系，从而化未知为已知，解决问题。其中重要而常见的数学思想方法有：
（1）构造思想：①构建矩形转化线段；②构建“射影定理”基本图研究线段（已知任意两条线段可求其它所有线段长）；③构造垂径定理模型：弦长一半、弦心距、半径；④构造勾股定理模型；⑤构造三角函数.
（2）方程思想：设出未知数表示关键线段，通过线段之间的关系，特别是发现其中的相等关系建立方程，解决问题。
（3）建模思想：借助基本图形的结论发现问题中的线段关系，把问题分解为若干基本图形的问题，通过基本图形的解题模型快速发现图形中的基本结论，进而找出隐藏的线段之间的数量关系。
专题典型题考法及解析
【例题1】（2019•山东省滨州市）如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上两点，若∠BCD＝40°，则∠ABD的大小为（ ）
A．60° B．50° C．40° D．20°
【答案】B
【解析】考点是圆周角定理。本题考查的是圆周角定理，根据题意作出辅助线，构造出圆周角是解答此题的关键．连接AD，先根据圆周角定理得出∠A及∠ADB的度数，再由直角三角形的性质即可得出结论．
连接AD，
∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°．
∵∠BCD＝40°，∴∠A＝∠BCD＝40°，
∴∠ABD＝90°﹣40°＝50°．
【例题2】（2019•南京）如图，PA.PB是⊙O的切线，A.B为切点，点C.D在⊙O上．若∠P＝102°，则∠A+∠C＝ ．
【答案】219°．
【解析】连接AB，根据切线的性质得到PA＝PB，根据等腰三角形的性质得到∠PAB＝∠PBA＝（180°﹣102°）＝39°，由圆内接四边形的性质得到∠DAB+∠C＝180°，于是得到结论．
连接AB，
∵PA.PB是⊙O的切线，∴PA＝PB，
∵∠P＝102°，∴∠PAB＝∠PBA＝（180°﹣102°）＝39°，
∵∠DAB+∠C＝180°，
∴∠PAD+∠C＝∠PAB+∠DAB+∠C＝180°+39°＝219°
【例题3】（2019•甘肃武威）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D在BC边上，⊙D经过点A和点B且与BC边相交于点E．
（1）求证：AC是⊙D的切线；
（2）若CE＝2，求⊙D的半径．
【答案】见解析。
【解析】本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
（1）连接AD，根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠C＝30°，∠BAD＝∠B＝30°，求得∠ADC＝60°，根据三角形的内角和得到∠DAC＝180°﹣60°﹣30°＝90°，于是得到AC是⊙D的切线；
证明：连接AD，
∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝30°，
∵AD＝BD，∴∠BAD＝∠B＝30°，∴∠ADC＝60°，
∴∠DAC＝180°﹣60°﹣30°＝90°，
∴AC是⊙D的切线；
（2）连接AE，推出△ADE是等边三角形，得到AE＝DE，∠AED＝60°，求得∠EAC＝∠AED﹣∠C＝30°，得到AE＝CE＝2，于是得到结论．
连接AE，
∵AD＝DE，∠ADE＝60°，
∴△ADE是等边三角形，∴AE＝DE，∠AED＝60°，
∴∠EAC＝∠AED﹣∠C＝30°，∴∠EAC＝∠C，
∴AE＝CE＝2，∴⊙D的半径AD＝2．
【例题4】（2019•江苏苏州）如图，AE为的直径，D是弧BC的中点BC与AD，OD分别交于点E，F.
（1）求证：；
（2）求证：;
（3）若，求的值.
【答案】见解析。
【解析】（1）证明：∵D为弧BC的中点，OD为的半径
∴
又∵AB为的直径
∴∴
（2）证明：∵D为弧BC的中点
∴∴∴
∴,即
（3）解：∵，
∴
设CD=，则DE=，
又∵∴
∴,所以
又,∴
即
专题典型训练题
一、选择题
1．(2019甘肃陇南)如图，点A，B，S在圆上，若弦AB的长度等于圆半径的倍，则∠ASB的度数是（ ）
A．22.5° B．30° C．45° D．60°
【答案】C．
【解析】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
设圆心为0，连接OA.OB，如图，先证明△OAB为等腰直角三角形得到∠AOB＝90°，然后根据圆周角定理确定∠ASB的度数．
设圆心为O，连接OA.OB，如图，
∵弦AB的长度等于圆半径的倍，
即AB＝OA，
∴OA2+OB2＝AB2，
∴△OAB为等腰直角三角形，∠AOB＝90°，
∴∠ASB＝∠AOB＝45°．
2.（2019•山东省聊城市）如图，BC是半圆O的直径，D，E是上两点，连接BD，CE并延长交于点A，连接OD，OE．如果∠A＝70°，那么∠DOE的度数为（ ）
A．35° B．38° C．40° D．42°
【答案】C．
【解析】考点是圆周角定理、直角三角形的性质。连接CD，由圆周角定理得出∠BDC＝90°，求出∠ACD＝90°﹣∠A＝20°，再由圆周角定理得出∠DOE＝2∠ACD＝40°即可，
连接CD，如图所示：
∵BC是半圆O的直径，∴∠BDC＝90°，∴∠ADC＝90°，
∴∠ACD＝90°﹣∠A＝20°，∴∠DOE＝2∠ACD＝40°
3.（2019•广西贵港）如图，AD是⊙O的直径，＝，若∠AOB＝40°，则圆周角∠BPC的度数是（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
【答案】B．
【解析】根据圆周角定理即可求出答案．
∵＝，∠AOB＝40°，
∴∠COD＝∠AOB＝40°，
∵∠AOB+∠BOC+∠COD＝180°，
∴∠BOC＝100°，
∴∠BPC＝∠BOC＝50°
4.（2019•湖北天门）如图，AB为⊙O的直径，BC为⊙O的切线，弦AD∥OC，直线CD交BA的延长线于点E，连接BD．下列结论：①CD是⊙O的切线；②CO⊥DB；③△EDA∽△EBD；④ED•BC＝BO•BE．其中正确结论的个数有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】A
【解析】本题主要考查了切线的判定、全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用是解答此题的关键．
连结DO．
∵AB为⊙O的直径，BC为⊙O的切线，∴∠CBO＝90°，
∵AD∥OC，∴∠DAO＝∠COB，∠ADO＝∠COD．
又∵OA＝OD，∴∠DAO＝∠ADO，∴∠COD＝∠COB．
在△COD和△COB中，，
∴△COD≌△COB（SAS），
∴∠CDO＝∠CBO＝90°．
又∵点D在⊙O上，
∴CD是⊙O的切线；故①正确，
∵△COD≌△COB，∴CD＝CB，
∵OD＝OB，∴CO垂直平分DB，
即CO⊥DB，故②正确；
∵AB为⊙O的直径，DC为⊙O的切线，∴∠EDO＝∠ADB＝90°，
∴∠EDA+∠ADO＝∠BDO+∠ADO＝90°，∴∠ADE＝∠BDO，
∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD，∴∠EDA＝∠DBE，
∵∠E＝∠E，∴△EDA∽△EBD，故③正确；
∵∠EDO＝∠EBC＝90°，∠E＝∠E，
∴△EOD∽△ECB，
∴，
∵OD＝OB，
∴ED•BC＝BO•BE，故④正确.
5.（2019•山东省德州市 ）如图，点O为线段BC的中点，点A，C，D到点O的距离相等，若∠ABC＝40°，则∠ADC的度数是（ ）
A．130° B．140° C．150° D．160°
【答案】B．
【解析】根据题意得到四边形ABCD共圆，利用圆内接四边形对角互补即可求出所求角的度数．由题意得到OA＝OB＝OC＝OD，作出圆O，如图所示，
∴四边形ABCD为圆O的内接四边形，
∴∠ABC+∠ADC＝180°，
∵∠ABC＝40°，∴∠ADC＝140°
6.（2019湖南益阳）如图，PA、PB为圆O的切线，切点分别为A、B，PO交AB于点C，PO的延长线交圆O于点D，下列结论不一定成立的是（ ）
A．PA＝PB B．∠BPD＝∠APD C．AB⊥PD D．AB平分PD
【答案】D．
【解析】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了切线长定理、垂径定理和等腰三角形的性质．
先根据切线长定理得到PA＝PB，∠APD＝∠BPD；再根据等腰三角形的性质得OP⊥AB，根据菱形的性质，只有当AD∥PB，BD∥PA时，AB平分PD，由此可判断D不一定成立．
∵PA，PB是⊙O的切线，
∴PA＝PB，所以A成立；
∠BPD＝∠APD，所以B成立；
∴AB⊥PD，所以C成立；
∵PA，PB是⊙O的切线，
∴AB⊥PD，且AC＝BC，
只有当AD∥PB，BD∥PA时，AB平分PD，所以D不一定成立．
7.（2019•广东广州）平面内，⊙O的半径为1，点P到O的距离为2，过点P可作⊙O的切线条数为（ ）
A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条
【答案】C．
【解析】此题主要考查了对点与圆的位置关系，切线的定义，切线就是与圆有且只有1个公共点的直线，理解定义是关键．
先确定点与圆的位置关系，再根据切线的定义即可直接得出答案．
∵⊙O的半径为1，点P到圆心O的距离为2，
∴d＞r，
∴点P与⊙O的位置关系是：P在⊙O外，
∵过圆外一点可以作圆的2条切线。
8．（2019•山东泰安）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠A＝119°，过点C的圆的切线交BO于点P，则∠P的度数为（ ）
A．32° B．31° C．29° D．61°
【答案】A．
【解析】连接OC、CD，由切线的性质得出∠OCP＝90°，由圆内接四边形的性质得出∠ODC＝180°﹣∠A＝61°，由等腰三角形的性质得出∠OCD＝∠ODC＝61°，求出∠DOC＝58°，由直角三角形的性质即可得出结果．
如图所示：连接OC、CD，
∵PC是⊙O的切线，∴PC⊥OC，∴∠OCP＝90°，
∵∠A＝119°，∴∠ODC＝180°﹣∠A＝61°，
∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC＝61°，
∴∠DOC＝180°﹣2×61°＝58°，
∴∠P＝90°﹣∠DOC＝32°
9．(2019•湖南益阳)如图，PA、PB为圆O的切线，切点分别为A、B，PO交AB于点C，PO的延长线交圆O于点D，下列结论不一定成立的是( )
A．PA＝PB B．∠BPD＝∠APD C．AB⊥PD D．AB平分PD
【答案】D
【解析】先根据切线长定理得到PA＝PB，∠APD＝∠BPD；再根据等腰三角形的性质得OP⊥AB，根据菱形的性质，只有当AD∥PB，BD∥PA时，AB平分PD，由此可判断D不一定成立．
∵PA，PB是⊙O的切线，∴PA＝PB，所以A成立；
∠BPD＝∠APD，所以B成立；
∴AB⊥PD，所以C成立；
∵PA，PB是⊙O的切线，∴AB⊥PD，且AC＝BC，
只有当AD∥PB，BD∥PA时，AB平分PD，所以D不一定成立．故选D．
10. (2019湖北荆门)如图，△ABC内心为I，连接AI并延长交△ABC的外接圆于D，则线段DI与DB的关系是（ ）
A．DI＝DB B．DI＞DB C．DI＜DB D．不确定
【答案】A．
【解析】本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了三角形的外接圆和圆周角定理．
连接BI，如图，根据三角形内心的性质得∠1＝∠2，∠5＝∠6，再根据圆周角定理得到∠3＝∠1，然后利用三角形外角性质和角度的代换证明∠4＝∠DBI，从而可判断DI＝DB．
连接BI，如图，
∵△ABC内心为I，∴∠1＝∠2，∠5＝∠6，
∵∠3＝∠1，∴∠3＝∠2，
∵∠4＝∠2+∠6＝∠3+∠5，
即∠4＝∠DBI，∴DI＝DB．
二、填空题
11.（2019广西北部湾）《九章算术》作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，与古希腊的《几何原本》并称现代数学的两大源泉.在《九章算术》中记载有一问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小。以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”小辉同学根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已知：锯口深为1寸，锯道AB=1尺（1尺=10寸），则该圆材的直径为 寸.
【答案】26.
【解析】本题考查垂径定理、勾股定理等知识，设⊙O的半径为r．在Rt△ADO中，AD=5，OD=r-1，OA=r，则有r2=52+(r-1)2，解方程即可．
设⊙O的半径为r．
在Rt△ADO中，AD=5，OD=r-1，OA=r，
则有r2=52+(r-1)2，
解得r=13，
∴⊙O的直径为26寸。
12. (2019黑龙江绥化)半径为5的¤O是锐角三角形ABC的外接圆,AB＝AC,连接OB,OC,延长CO交弦AB于点D.若△OBD是直角三角形,则弦BC的长为______.
【答案】
【解析】∵△OBD为直角三角形,∴分类讨论:如图,当∠BOD＝90°时,∠BOC＝90°,在Rt△BOC中,BO＝OC＝5,∴BC＝;当∠ODB＝90°时,∵OB＝OC,设∠OBC＝∠OCB＝x,∴∠BOD＝2x,∠BOC＝180°－2x,∴∠ABO＝90°－2x,∠ABC＝∠ACB＝90°－x,∴∠A＝2x,∵∠BOC＝2∠A,即180－2x＝2×2x,∴x＝30°,∴∠BOC＝120°,∵OB＝OC＝5,∴BC＝.综上所述,BC的长度为
13. （2019山东东营）如图，AC是⊙O的弦，AC=5，点B是⊙O 上的一个动点，且∠ABC=45°，若点M、N分别是 AC、BC的中点，则 MN的最大值是____________．
【答案】
【解析】∵MN是△ABC的中位线，∴MN=AB．
当AB为⊙O的直径时，AB有最大值，则MN有最大值．
当AB为直径时，∠ACB=90°，
∵∠ABC=45°，AC=5，∴AB=，
∴MN=．
14.（2019黑龙江省龙东地区）如图，在⊙O中，半径OA垂直于弦BC，点D在圆上，且∠ADC＝30°，则∠AOB的度数为________．
【答案】60°.
【解析】∵OA⊥BC，∴ ，∴∠AOB＝2∠ADC,
∵∠ADC＝30°，∴∠AOB＝60°.
15.（2019江苏常州）如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，∠AOC＝120°，则∠CDB＝ °．
【答案】30
【解析】∵∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣120°＝60°，
∴∠CDB=12∠BOC＝30°．
16.（2019四川省雅安市）如图，△ABC内接于⊙O，BD是⊙O的直径，∠CBD=21°，则 ∠A的度数为_______.
【答案】69°
【解析】∵BD是⊙O的直径，∴∠BCD=90°，∵∠CBD=21°，∴∠D=69°，∴∠A=∠D=69°．
17.(2019安徽)如图，△ABC内接于⊙O，∠CAB＝30°，∠CBA＝45°，CD⊥AB于点D，若⊙O的半径为2，
则CD的长为 ．
【答案】．
【解析】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
连接CO并延长交⊙O于E，连接BE，于是得到∠E＝∠A＝30°，∠EBC＝90°，解直角三角形即可得到结论．
连接CO并延长交⊙O于E，连接BE，
则∠E＝∠A＝30°，∠EBC＝90°，
∵⊙O的半径为2，∴CE＝4，∴BC＝CE＝2，
∵CD⊥AB，∠CBA＝45°，∴CD＝BC＝
18.（2019•江苏泰州）如图，⊙O的半径为5，点P在⊙O上，点A在⊙O内，且AP＝3，过点A作AP的垂线交⊙O于点B.C．设PB＝x，PC＝y，则y与x的函数表达式为 ．
【答案】y＝x．
【解析】连接PO并延长交⊙O于D，连接BD，根据圆周角定理得到∠C＝∠D，∠PBD＝90°，求得∠PAC＝∠PBD，根据相似三角形的性质即可得到结论．
连接PO并延长交⊙O于D，连接BD，
则∠C＝∠D，∠PBD＝90°，
∵PA⊥BC，∴∠PAC＝90°，∴∠PAC＝∠PBD，
∴△PAC∽△PBD，∴，
∵⊙O的半径为5，AP＝3，PB＝x，PC＝y，
∴＝，∴y＝x
19.（2019•山东省济宁市 ）如图，O 为Rt△ ABC 直角边 AC 上一点，以 OC 为半径的⊙O 与斜边 AB 相切于点 D，交 OA 于点 E，已知 BC＝，AC＝3．则图中阴影部分的面积是 ．
【答案】 ．
【解析】本题考查了切线的性质定理、切线长定理以及勾股定理的运用，熟记和圆有关的各种性质定理是解题的关键．
在Rt△ ABC 中，∵BC＝，AC＝3．
∴AB＝ ＝2 ，
∵BC⊥OC，∴BC 是圆的切线，
∵⊙O 与斜边 AB 相切于点 D，∴BD＝BC，
∴AD＝AB﹣BD＝2 ﹣ ＝ ；
在 Rt△ ABC 中，∵sinA＝＝ ＝ ，∴∠A＝30°，
∵⊙O 与斜边 AB 相切于点 D，∴OD⊥AB，∴∠AOD＝90°﹣∠A＝60°，
∵ ＝tanA＝tan30°，∴ ＝ ，∴OD＝1，
∴S 阴影＝＝ ．
20.（2019•湖北省鄂州市）如图，在平面直角坐标系中，已知C（3，4），以点C为圆心的圆与y轴相切．点A、B在x轴上，且OA＝OB．点P为⊙C上的动点，∠APB＝90°，则AB长度的最大值为 ．
【答案】16．
【解析】连接OC并延长，交⊙C上一点P，以O为圆心，以OP为半径作⊙O，交x轴于A、B，此时AB的长度最大，
∵C（3，4），∴OC＝＝5，
∵以点C为圆心的圆与y轴相切．∴⊙C的半径为3，∴OP＝OA＝OB＝8，
∵AB是直径，∴∠APB＝90°，∴AB长度的最大值为16。
三、解答题
21.（2019•南京）如图，⊙O的弦AB.CD的延长线相交于点P，且AB＝CD．求证：PA＝PC．
【答案】见解析。
【解析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，等腰三角形的判定等，熟练掌握性质定理是解题的关键．
连接AC，由圆心角、弧、弦的关系得出＝，进而得出＝，根据等弧所对的圆周角相等得出∠C＝∠A，根据等角对等边证得结论．
证明：连接AC，
∵AB＝CD，∴＝，
∴+＝+，即＝，
∴∠C＝∠A，∴PA＝PC．
22.（2019•湖南株洲）四边形ABCD是⊙O的圆内接四边形，线段AB是⊙O的直径，连结AC.BD．点H是线段BD上的一点，连结AH、CH，且∠ACH＝∠CBD，AD＝CH，BA的延长线与CD的延长线相交与点P．
（1）求证：四边形ADCH是平行四边形；
（2）若AC＝BC，PB＝PD，AB+CD＝2（+1）
①求证：△DHC为等腰直角三角形；
②求CH的长度．
【答案】见解析。
【解析】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，求CD的长度是本题的关键．
（1）由圆周角的定理可得∠DBC＝∠DAC＝∠ACH，可证AD∥CH，由一组对边平行且相等的是四边形是平行四边形可证四边形ADCH是平行四边形；
（2）①由平行线的性质可证∠ADH＝∠CHD＝90°，由∠CDB＝∠CAB＝45°，可证△DH
为等腰直角三角形；
②通过证明△ADP∽△CBP，可得，可得，通过证明△CHD∽△ACB，可得，可得AB＝CD，可求CD＝2，由等腰直角三角形的性质可求CH的长度．
证明：（1）∵∠DBC＝∠DAC，∠ACH＝∠CBD
∴∠DAC＝∠ACH,∴AD∥CH，且AD＝CH
∴四边形ADCH是平行四边形
（2）①∵AB是直径
∴∠ACB＝90°＝∠ADB，且AC＝BC
∴∠CAB＝∠ABC＝45°，∴∠CDB＝∠CAB＝45°
∵AD∥CH
∴∠ADH＝∠CHD＝90°，且∠CDB＝45°
∴∠CDB＝∠DCH＝45°,∴CH＝DH，且∠CHD＝90°
∴△DHC为等腰直角三角形；
②∵四边形ABCD是⊙O的圆内接四边形，
∴∠ADP＝∠PBC，且∠P＝∠P,∴△ADP∽△CBP
∴，且PB＝PD，
∴，AD＝CH，∴
∵∠CDB＝∠CAB＝45°，∠CHD＝∠ACB＝90°∴△CHD∽△ACB
∴,∴AB＝CD
∵AB+CD＝2（+1）,∴CD+CD＝2（+1）
∴CD＝2，且△DHC为等腰直角三角形,∴CH＝
23.（2019▪广西池河）如图，五边形ABCDE内接于⊙O，CF与⊙O相切于点C，交AB延长线于点F．
（1）若AE＝DC，∠E＝∠BCD，求证：DE＝BC；（2）若OB＝2，AB＝BD＝DA，∠F＝45°，求CF的长．
【答案】见解析。
【解析】（1）由圆心角、弧、弦之间的关系得出，由圆周角定理得出∠ADE＝∠DBC，证明△ADE≌△DBC，即可得出结论；
证明：∵AE＝DC，∴，∴∠ADE＝∠DBC，
在△ADE和△DBC中，，
∴△ADE≌△DBC（AAS），∴DE＝BC；
（2）连接CO并延长交AB于G，作OH⊥AB于H，则∠OHG＝∠OHB＝90°，由切线的性质得出∠FCG＝90°，得出△CFG、△OGH是等腰直角三角形，得出CF＝CG，OG＝OH，由等边三角形的性质得出∠OBH＝30°，由直角三角形的性质得出OH＝OB＝1，OG＝，即可得出答案．
连接CO并延长交AB于G，作OH⊥AB于H，如图所示：
则∠OHG＝∠OHB＝90°，
∵CF与⊙O相切于点C，∴∠FCG＝90°，
∵∠F＝45°，∴△CFG、△OGH是等腰直角三角形，∴CF＝CG，OG＝OH，
∵AB＝BD＝DA，∴△ABD是等边三角形，∴∠ABD＝60°，∴∠OBH＝30°，
∴OH＝OB＝1，∴OG＝，∴CF＝CG＝OC+OG＝2+．
24.（2019•甘肃）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，切线DE交AC于点E．
（1）求证：∠A＝∠ADE；（2）若AD＝8，DE＝5，求BC的长．
【答案】见解析。
【解析】本题考查切线的性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
（1）只要证明∠A+∠B＝90°，∠ADE+∠B＝90°即可解决问题。
证明：连接OD，
∵DE是切线，∴∠ODE＝90°，∴∠ADE+∠BDO＝90°，
∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°，
∵OD＝OB，∴∠B＝∠BDO，∴∠ADE＝∠A．
（2）首先证明AC＝2DE＝10，在Rt△ADC中，DC＝6，设BD＝x，在Rt△BDC中，BC2＝x2+62，在Rt△ABC中，BC2＝（x+8）2﹣102，可得x2+62＝（x+8）2﹣102，解方程即可解决问题．连接CD．
∵∠ADE＝∠A，∴AE＝DE，
∵BC是⊙O的直径，∠ACB＝90°，∴EC是⊙O的切线，∴ED＝EC，∴AE＝EC，
∵DE＝5，∴AC＝2DE＝10，
在Rt△ADC中，DC＝6，
设BD＝x，在Rt△BDC中，BC2＝x2+62，在Rt△ABC中，BC2＝（x+8）2﹣102，
∴x2+62＝（x+8）2﹣102，解得x＝，
∴BC＝＝．
25.（2019•湖北省咸宁市）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，以CD为直径的⊙O分别交AC，BC于点E，F两点，过点F作FG⊥AB于点G．
（1）试判断FG与⊙O的位置关系，并说明理由．
（2）若AC＝3，CD＝2.5，求FG的长．
【答案】见解析。
【解析】（1）如图，连接OF，根据直角三角形的性质得到CD＝BD，得到∠DBC＝∠DCB，根据等腰三角形的性质得到∠OFC＝∠OCF，得到∠OFC＝∠DBC，推出∠OFG＝90°，于是得到结论。FG与⊙O相切，
理由：如图，连接OF，
∵∠ACB＝90°，D为AB的中点，∴CD＝BD，∴∠DBC＝∠DCB，
∵OF＝OC，∴∠OFC＝∠OCF，∴∠OFC＝∠DBC，∴OF∥DB，∴∠OFG+∠DGF＝180°，
∵FG⊥AB，∴∠DGF＝90°，∴∠OFG＝90°，∴FG与⊙O相切。
（2）连接DF，根据勾股定理得到BC＝＝4，根据圆周角定理得到∠DFC＝90°，根据三角函数的定义即可得到结论．连接DF，
∵CD＝2.5，∴AB＝2CD＝5，∴BC＝＝4，
∵CD为⊙O的直径，∴∠DFC＝90°，∴FD⊥BC，
∵DB＝DC，∴BF＝BC＝2，
∵sin∠ABC＝，
即＝，∴FG＝．
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