高三数学三角函数专题 方法11：利用图象平移求三角函数解析式或参数

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方法11 利用图象平移求三角函数解析式或参数
一、单选题
1．为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（ ）
A．向左平行移动个单位长度 B．向右平行移动个单位长度
C．向左平行移动个单位长度 D．向右平行移动个单位长度
【答案】C
【分析】
由于函数，，进而根据函数平移变换即可得答案.
【解析】
解：由于，，
故为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点向左平移个单位长度得.
故选：C.
【小结】
本题考查三角函数平移变换，解题时需要注意时，到平移的单位为个单位.
2．已知函数，现将的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
先根据平移变换得，再结合伸缩变换得.
【解析】
解：将的图象向左平移个单位得，再所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到.
故选：C.
【小结】
在三角函数平移变换中，向左平移个单位得到的函数解析式为，而不是，考查运算求解能力，是基础题.
3．将函数的图象先向右平移个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在上没有零点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
根据图象变换求出的解析式，利用周期缩小的范围，再从反面求解可得结果.
【解析】
将函数的图象先向右平移个单位长度，得到的图象，
再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数，周期，
因为函数在上没有零点，所以，得，得，得，
假设函数在上有零点，
令，得，，得，，
则，得，，
又，所以或，
又函数在上有零点，且，
所以或.
故选：A
【小结】
求出函数的解析式，利用间接法求解是解决本题的关键.
4．将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，所得函数的一条对称轴为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
利用图象平移变换法则将的解析式中换成，得到的图象，利用正弦函数对称性由，求得所有对称轴方程，再比较作出判定.
【解析】
将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，
则，
由，得，即，，
则当时，对称轴为，
故选A.
【小结】
本题考查结合三角函数的图像变换求三角函数的性质，先做变换，注意“左加右减”，再将变换后的函数解析式中的当成一个整体,根据的对称轴求出所有对称轴，再作出判定.
5．把函数的图象向左平移个单位长度，再把所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得函数图象的解析式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据三角函数图象变换的结论可得结果.
【解析】
把函数的图象向左平移个单位长度，
得到，再把所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得函数图象的解析式为.
故选：B
【小结】
根据三角函数图象变换的结论求解是解题关键.
6．为了得到函数的图象，只要把函数的图象上所有点（ ）
A．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
B．横坐标伸长到原来的2倍， 纵坐标不变
C．纵坐标缩短到原来的，横坐标不变
D．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变
【答案】A
【分析】
根据三角函数的图象变换的规则，即可求解.
【解析】
根据三角函数的图象变换的规则，将函数横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，即可得到函数.
故选：A.
7．要得到函数的图象只需将函数的图象（ ）
A．先向右平移个单位长度，再向下平移2个单位长度
B．先向左平移个单位长度，再向上平移2个单位长度
C．先向右平移个单位长度，再向下平移2个单位长度
D．先向左平移个单位长度，再向上平移2个单位长度
【答案】B
【分析】
根据三角函数图像平移规则，进行平移即可
【解析】
解：由函数，，
所以先向左平移个单位长度，得的图像，再向上平移2个单位长度，得 的图像，
故选：B
8．将函数的图像上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图像向左平移个单位，则所得图像对应的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
根据正弦型函数的图像的变换规律进行求解即可.
【解析】
将函数的图像上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），所得到的函数的解析式为：，将的图像向左平移个单位，得到的函数的解析式为：，化简得：.
故选：C
9．将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，则的解析式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
根据三角函数图象平移变换的规律可得所求的解析式．
【解析】
将函数的图象向左平移个单位后所得图象对应的解析式为：
．
故选：C.
10．已知函数（）的图象与x轴的两个相邻交点的距离等于，若将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，则是减函数的区间为（）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
首先对的表达式进行化简，再根据的图象与x轴的两个相邻交点的距离等于，求出的周期，进而求出的值；然后再求出的解析式，进而求出其单调递减区间，然后再结合选项得出答案即可.
【解析】
解：因为的图象与x轴的两个相邻交点的距离等于，
（），
所以的周期为，
又因为，所以；
所以，
所以的单调递减区间为：，
所以为的一个减区间；
故选：D.
【小结】
本题主要考查正余弦函数的二倍角公式，三角函数的平移以及单调区间的求解；解题的方法是根据正弦函数的图像性质求出的表达式，然后再求出的表达式和单调递减区间，进而得出答案；解题的关键点是参数的求解和函数的表达式及单调递减区间的求解；本题还考查了学生的运算求解能力，属于基础题型.
11．把函数的图象向右平移个单位长度，所得图象的函数关系式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
根据相位变化直接得到平移后的函数图象的解析式即可.
【解析】
向右平移个单位长度得到，
故选：D.
12．将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
先通过平移变换得到函数，再利用已知条件代入计算求得参数即可.
【解析】
依题意，函数，由得，即，故，即，即，
故，又，则，故，即.
故选：A.
【小结】
本题解题关键是灵活运用诱导公式和两角和与差的正弦公式进行化简计算得到，即能结合已知范围突破难点.
13．下列三个关于函数的命题：
①只需将函数的图象向右平移个单位即可得到的图象；
②函数的图象关于对称；
③函数在上单调递增．
其中，真命题的个数为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】C
【分析】
先对函数进行化简，得到，对于①运用三角函数图像平移进行判断；对于②计算出函数的对称中心进行判断；对于③计算出函数的单调增区间进行判断.
【解析】
因为


对于①，将函数的图像向右平移个单位可得函数的图像，得不到，故①错误；
对于②，令，解得，故无论取何整数，函数的图像不会关于点对称，故②错误；
对于③，当，即时函数递增，当时，的一个递增区间为，故③正确.只有1个命题正确.
故选：C
【小结】
思路小结：解答此类题目需要熟练掌握正弦型函数的单调性、对称性，以及三角函数的图像平移，在计算单调区间和对称中心时要能够通过整体代入计算求出结果，如等.
14．已知函数的图象为，为了得到函数的图象，只要把上所有的点（ ）
A．横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变 B．横坐标缩短到原来的1/3，纵坐标不变
C．纵坐标伸长到原来的3倍，横坐标不变 D．纵坐标缩短到原来的1/3，横坐标不变
【答案】A
【分析】
根据三角函数的伸缩变换可得到答案.
【解析】
将图像上所有点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，即可得
的图象，
故选：A.
15．先将函数的图象向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度后得到函数的图象，若方程有实根，则的值可以为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
先根据三角函数图象的变换得出的解析式，然后根据三角函数的图象性质分析的条件并求解的值.
【解析】
由题意可知，则函数的最大值为，最小值为，
又的最大值为，
所以当有实根时，的最大值点与的最小值点重合，
故应平移个单位，所以，
得，故只有C选项符合.
故选：C.
【小结】
本题考查根据三角函数图象的平移变换、考查根据函数图象有交点求参数的取值范围，难度一般. 解答的关键在于：
（1）得出函数的解析式；
（2）分析出时，的最大值点与的最小值点重合.
16．将曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再将得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由图象变换可得，代入自变量求值即可.
【解析】
由题意，得：，
则．
故选：D．
17．若函数的图象向右平移个单位后与函数的图象重合，则的值可能为（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】A
【分析】
先求解出右移个单位后的函数解析式，然后根据诱导公式求解出的可取值.
【解析】
因为右移个单位后得到，
又因为与的图象重合，
所以令，所以，
所以可取，此时，
故选：A.
【小结】
思路小结：根据三角函数的图象重合求解参数或的思路：
（1）先根据诱导公式将函数名统一；
（2）然后分析三角函数初相之间的关系；
（3）对进行取值（有时注意结合所给范围），确定出满足条件的或的值.
18．将函数的图象沿轴向左平移个单位长度得到函数的图象，则的最小值为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据三角函数的平移求出函数的解析式，结合三角函数的性质进行求解即可．
【解析】
将函数的图象向左平移个单位，
得到，
此时与函数的图象重合，
,则，即，，
当时，取得最小值为，
故选：A．
【小结】
本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数的平移变换求出解析式是解决本题的关键．
19．将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，且当时，关于的方程有三个不等实根，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
将变形，根据平移变换求出，将方程有三个不等实根，化为有三个不等实根，利用正弦函数的图象可得解.
【解析】
因为，
所以.
方程等价于，所以或.
因为，所以无解，所以有三个不等实根.
设，则函数化为，，
则需满足直线与函数的图象有三个交点，

结合图形可得，
故选：B.
【小结】
已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解
20．将函数的图象上各点横坐标变为原来的，纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位，得到函数的图象，则函数的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
先根据周期变换求解出第一步变换后的函数解析式，然后根据平移变换得到的函数解析式.
【解析】
将图象上各点横坐标变为原来的，得，
再向左平移个单位后得：．
故选：D．
21．将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，则下列说法正确的是（ ）
A．的图象的一条对称轴为 B．在上单调递增
C．在上的最大值为1 D．的一个零点为
【答案】B
【分析】
对选项A，，即可判断A错误；对选项B，求出的单调区间即可判断B正确；对选项C，求出在的最大值即可判断C错误；对选项D，根据，即可判断D错误.
【解析】
，
.
对选项A，因为，故A错误；
对选项B，因为，.
解得，.
当时，函数的增区间为，
所以在上单调递增，故B正确；
对选项C，因为，所以，
所以，，，故错误；
对选项D，，故D错误.
故选：B
22．已知函数，当时，，，则下列结论正确的是（ ）
A．函数的最小正周期为.
B．函数的图象的一个对称中心为
C．函数的图象的一条对称轴方程为
D．函数的图象可以由函数的图象向右平移个单位长度得到
【答案】D
【分析】
利用时，，得到和，求得的解析式，根据正弦函数的图象和性质逐项排除即可.
【解析】
因为，所以，又，
所以或，因为，
所以的最小正周期为，所以，故A错误；
又，所以，又，所以，
所以；
令()，得()，
所以函数的对称中心为()，所以B错误；
由()，解得()，故C错误；
，向右平移单位长度得，故D正确.
故选：D.
【小结】
本题考查正弦型三角函数的图象和性质，是一道三角函数不错的题.关键难点是利用已知条件得到必然同时为最大值点或同时为最小值点，从而求得函数的周期，得到的值.对于的对称轴可将看成一个整体,利用正弦函数的对称轴和中心计算求得；函数的图象的平移变换对应将按照“左加右减”口诀代换得到.
23．将函数的图象向右平移个单位，所得图象对应的函数表达式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
由三角函数图象平移的规律即可得解.
【解析】
若将函数的图象向右平移个单位，
所得函数图象对应的函数表达式是.
故选：A.
24．将函数的图象向右平移()个单位，得到函数的图象.在同一坐标系中，这两个函数的部分图象如图所示，则（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由图可知，，根据函数图象的平移变化法则可知，于是推出，即或，，再结合，解之即可得的值.
【解析】
由图可知，，
因为的图象向右平移个单位，得到函数的图象，所以，
所以，
所以或，，
解得或，，
因为，所以.
故选：C
【小结】
本小题主要考查三角函数图象变换，属于中档题.
25．已知函数的图像是由函数的图像向右平移个单位长度得到的，则下列说法正确的是（ ）
A．是奇函数
B．是偶函数
C．的图象的一条对称轴方程为
D．的图象的一个对称中心为
【答案】C
【分析】
根据三角函数的图象变换，得到函数，再结合三角函数的图像与性质，逐项判定，即可求解.
【解析】
由题意，函数的图象向右平移个单位长度，
得到函数，
由三角函数的性质，可得为非奇非偶函数，所以A、B不正确；
令，则，所以是函数的一条对称轴，所以C正确.
由当时，，此时，所以D不正确.
故选：C.
【小结】
关键小结：本题考查三角函数的图像与性质，解题的关键是清楚向右平移变换后的解析式，考查学生的推理与运算力，属于基础题.

二、多选题
26．已知函数将的图象上所有点向左平移个单位，然后纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，得到函数的图象.若为偶函数，且最小正周期为，则（ ）
A．图象关于对称
B．在单调递增
C．在有且仅有3个解
D．在有仅有3个极大值点
【答案】AC
【分析】
根据题意求得，，进而得，然后对各选项逐一进行判断.
【解析】
将函数的图象上所有点向左平移个单位，
可得，
再横坐标缩短为原来的，可得，
因为函数的最小正周期为，即，解得，
可得，
又由函数为偶函数，则，
即，当，可得，
所以，
令，即，
当时，，即函数的图象关于对称，
所以A是正确的；
当时，，
所以函数在区间不是单调函数，
所以B不正确；
由，
因为，可得，
，
，
又，
所以在有且仅有3个解，所以C正确；
由，则，或，
即或时，取得极大值，
所以在有仅有2个极大值点，所以D不正确.
故选：AC
【小结】
对于函数的对称轴与对称中心，单调区间的求解，可将看成一个整体，利用正弦函数的对称轴和对称中心，单调区间计算求得.
27．函数（其中，，）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）

A．
B．函数图象的对称轴为直线
C．将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象
D．若在区间上的值域为，则实数的取值范围为
【答案】ABD
【分析】
利用函数图象求出函数的解析式，可判断A选项的正误；解方程可判断B选项的正误；利用三角函数图象的平移规律可判断C选项的正误；由求出的取值范围，结合题意求出的取值范围，可判断D选项的正误.
【解析】
对于A选项，由图可知，
设函数的最小正周期为，则，，，则，
由得，解得，
又，，，A正确；
对于B选项，由，得，B正确；
对于C选项，将函数的图象向左平移个单位长度，
得的图象，C错误；
对于D选项，由得，
由的图象可知，要使函数在区间上的值域为，
则，解得，D正确.
故选：ABD.
【小结】
思路小结：根据三角函数的部分图象求函数解析式的步骤如下：
（1）求、，；
（2）求出函数的最小正周期，进而得出；
（3）取特殊点代入函数可求得的值.
28．将函数的图象上所有点向左平移个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到函数的图象，则（ ）
A．的图象的对称轴方程为
B．的图象的对称中心坐标为
C．的单调递增区间为
D．的单调递减区间为
【答案】AC
【分析】
首先根据图象平移求函数的解析式，再根据整体代入的方法判断函数的对称性和单调区间.
【解析】
的图象上所有点向左平移个单位长度，得到，再向上平移4个单位长度后得到，
A. 令，解得，函数的对称轴是，故A正确；
B.令，解得：，所以函数的对称中心，故B不正确；
C.令，解得：，所以函数的单调递增区间是，故C正确；
D.令，解得：，所以函数单调递减区间是，，故D不正确.
故选：AC
【小结】
本题考查函数的图象变换，以及的性质，属于中档题型，的横坐标伸长（或缩短）到原来的倍，得到函数的解析式是，若向右（或左）平移（）个单位，得到函数的解析式是或.
29．函数的部分图象如图所示，已知函数在区间有且仅有3个极大值点，则下列说法正确的是（ ）

A．函数的最小正周期为2
B．点为函数的一个对称中心
C．函数的图象向左平移个单位后得到的图象
D．函数在区间上是增函数
【答案】BCD
【分析】
由函数的图象求得，即可求的最小正周期，的对称中心以及函数图象平移后的解析式，根据有且仅有3个极大值点得到的范围进而判断在上的单调性.
【解析】
由图知：且，即，所以，
因为，所以
所以，，因为，所以，
∴，
对于A，函数的最小正周期为，故错误；
对于B，由有，，则为的一个对称中心，故正确；
对于C，函数的图象向左平移个单位，，故正确；
对于D，在有且仅有3个极大值点知：，则，
而在单调增，则在上是增函数，故正确
故选：BCD
【小结】
结论小结：对于函数，最小正周期是原函数的一半；余弦函数的对称中心为；函数水平移动m，上下移动n可表示为.
30．设函数的最小正周期为，且把的图像向左移后得到的图像关于原点对称.现有下列结论，其中正确的是（ ）
A．函数的图像关于直线对称 B．函数的图像关于点对称
C．函数在区间上单调递增 D．若，则
【答案】AD
【分析】
首先根据三角函数的性质和图象变换求函数的解析式，再根据函数的性质，利用整体代入的方法判断ABC选项， ，，利用角的变换，表示，利用二倍角公式和诱导公式求函数值，判断D选项.
【解析】
由条件可知函数的最小正周期为，所以，
，函数的图象向左平移后得到的函数是，
函数的图象关于原点对称，所以当时，，解得：，
因为，所以，所以函数，
A.当时，，所以函数的图象关于直线对称正确，A正确；
B.当 时，，此时，故B不正确；
C.当时，，是函数的单调递减区间，所以C不正确；
D.， ， ，故D正确.
故选：AD
【小结】
思路小结：本题考查的解析式和性质的判断，可以整体代入验证的方法判断函数性质：（1）对于函数，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此判断直线或点是否是函数的对称轴和对称中心时，可通过验证的值进行判断；（2）判断某区间是否是函数的单调区间时，也可以求的范围，验证次区间是否是函数的增或减区间.

三、解答题
31．若函数，的图象经过点，且相邻的两个零点差的绝对值为6．
（1）求函数的解析式；
（2）若将函数的图象向右平移3个单位后得到函数的图象，当时，求的值域．
【答案】（1）；（2）．
【分析】
（1）求出函数的周期，求解，利用函数经过的点，求解，然后得到函数的解析；
（2）利用函数的图象的平移变换推出函数的解析式，求解相位的范围，然后求解函数的最值，即可得的值域．
【解析】
（1）因为相邻的两个零点差的绝对值为6，
记的周期为，则，
所以，所以，
所以；
因为的图象经过点，所以，
所以，又，所以 ，
所以函数的解析式为．
（2）由(1)知，
因为将函数的图象向右平移3个单位后得到函数的图象，
所以函数的解析式为，
当时，，所以，
综上，当时，的值域为．
【小结】
由函数的部分图象确定解析式关键在于确定参数，的值．
(1)一般可由图象上的最大值、最小值来确定.
(2)因为，所以往往通过求周期来确定，可通过已知曲线与轴的交点从而确定，即相邻的最高点与最低点之间的距离为；相邻的两个最高点(或最低点)之间的距离为；相邻的两个零点之间的距离为.
32．已知函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π），﹣和是函数f（x）的图象与x轴的2个相邻交点的横坐标，且当x＝时，f（x）取得最大值.
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）将函数y＝f（x）的图象向右平移π个单位，得到函数y＝g（x）的图象，求函数y＝g（x）在区间[0，2π]上的最大值和最小值.
【答案】（1）f（x）＝2sin（）；（2）最大值为2，最小值为﹣.
【分析】
（1）首先利用相邻零点的距离求周期，再求，再利用图象的最高点求；（2）先利用平移规律求，再利用整体代入法求函数的最值.
【解析】
（1）数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，），﹣和是函数f（x）的图象与x轴的2个相邻交点的横坐标，
所以，整理得T＝4π，
所以，
当x＝时，f（x）取得最大值.
故φ＝2kπ+（k∈Z），整理得φ＝（k∈Z），
由于0＜φ＜π，当k＝0时，φ＝.
所以f（x）＝2sin（）.
（2）将函数y＝f（x）＝2sin（）的图象向右平移π个单位，得到函数y＝g（x）＝2sin（）的图象，
由于0≤x≤2π，所以，
所以，
故
即函数的最大值为2，最小值为﹣.
【小结】
本题考查函数的图象变换， 的横坐标伸长（或缩短）到原来的倍，得到函数的解析式是，若向右（或左）平移（）个单位，得到函数的解析式是或.
33．已知函数，将函数的图象的横坐标伸长为原来的4倍，再向右平移个单位长度后得到函数的图象．


（1）在下列网格纸中画出函数在上的大致图象；
（2）求函数在上的单调递减区间．
【答案】（1）答案见解析；（2）和．
【分析】
（1）由三角函数图像变换规律求得，再利用五点作图法，列表、描点、连线可得函数的图像；
（2）由，求得的递减区间（），再令，可求出函数在上的单调递减区间
【解析】
（1）将函数的图像的横坐标伸长为原来的4倍，
得到的图像，
再向右平移个单位后，得到的图象，
列表如下：


0











0
2
0

故函数在上的大致图像如下图所示：

（2）令（），
得（），
令，得，
令，得，
故函数在上的单调递减区间为和．
34．已知函数的图象的相邻两条对称轴之间的距离为，且恒成立.
（1）求函数的解析式；
（2）将函数图象上各点的横坐标缩短为原来的，再向右平移个单位长度得到的图象，求图象的对称中心.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）由题意知的最小正周期为求，根据函数不等式及的范围求，写出解析式；
（2）有函数平移知，进而由函数性质求对称中心即可.
【解析】
（1）因为函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，所以函数的最小正周期是.
∴，解得，所以，又恒成立，
∴，得，即.由知，，
∴.
（2）将的图象上各点的横坐标缩短为原来的，再向右平移个单位长度后得到的图象.
由，得.
所以函数图象的对称中心为.
【小结】
三角函数相邻对称轴的距离为最小正周期的一半，结合即可求，由函数不等式结合其最值求；写出函数平移后的解析式，根据函数性质求对称中心.
35．已知函数（， ，）的部分图象如图所示.

（1）求的解析式；
（2）将函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，若函数在上的最小值为，且最小值点（取得最小值对应的自变量）唯一，求m的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）根据图象先求解出的值，然后根据最小正周期公式计算出的值，再根据特殊点求解出的值，由此求解出的解析式；
（2）根据图象平移先求解出的解析式，然后采用整体替换法根据条件列出关于的不等式，由此求解出的取值范围.
【解析】
（1）由图可知，，所以.
将点代入，得，又，所以.
故；
（2），
因为，所以.
依题意得，
解得，故的取值范围为.
【小结】
思路小结：根据的图象求解函数解析式的步骤：
（1）先看图象中的最高点或最低点，由此确定出的值；
（2）再看图象对称轴与对称轴或对称中心与对称中心或对称轴与对称中心的水平距离，由此确定出函数的周期，从而确定出的值；
（3）最后根据特殊点结合的所给范围求解出的值，则函数解析式可求.
36．已知函数的部分图象如下图所示，最高点的坐标为．

（1）求函数的解析式；
（2）将的图象向左平移4个单位长度，横坐标扩大为原来的倍，得到的图象，求函数在上的单调递增区间；
（3）若存在，对任意，不等式恒成立，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】
（1）根据图像可得，，进而求出，再将代入，即可求出的解析式；
（2）先根据题意得到的图像，再利用换元法即可求得在上的单调递增区间；
（3）不等式恒成立等价于，求出的最小值代入得到，把它看成以为自变量的不等式，解不等式即可.
【解析】
解：（1）由题图可知：，，
，
即，
将代入，
即，
，
又，
，
；
（2）根据题意可得：，
令，
则，
令，
即，
解得：，
在上的单调递增区间为；
（3），
，
，
，
，
由题意可知：，
即，
即以为自变量的不等式，
，
解得：或，
的取值范围为．
【小结】
已知的部分图象求其解析式时，比较容易看图得出，困难的是求待定系数和，常用如下两种方法：
(1)由即可求出；确定时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标，则令 (或)，即可求出；
(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出和，若对的符号或对的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.
37．已知函数.
（1）若，，求的值．
（2）先将函数的图像上所有点向左平移个单位，再把所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图像，求函数的单调递增区间.
【答案】（1）或；（2）.
【分析】
（1）化简得，解方程即得解；
（2）先求出函数的解析式，再求函数的单调递增区间.
【解析】
（1））
所以，即，
又，所以，
所以或，
所以或
（2）
将函数的图像上所有点向左平移个单位得到，再把所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图像，
令，,
所以，
所以递增区间为.
【小结】
求函数的单调区间，一般利用复合函数的单调性原理解答：首先是对复合函数进行分解，接着是根据复合函数的单调性原理分析出分解出的函数的单调性，最后根据分解函数的单调性求出复合函数的单调区间.
38．函数，在一个周期内的图象如图所示，为图象的最高点，为图象与轴的交点，且为正三角形．
（1）求函数的解析式；
（2）将的图象上每个点的横坐标缩小为原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位得到函数，若设图象在轴右侧第一个最高点为，试问图象上是否存在点，使得，若存在请求出满足条件的点的个数，若不存在，说明理由．

【答案】（1）；（2）函数在区间和区间上各有一个零点.
【分析】
（1）先对函数的解析式进行恒等变形得，再根据为正三角形，得到函数的周期，即可得答案；
（2）由得，即，即,问题转化为研讨函数零点个数．
【解析】
（1）由已知得：

为图象的最高点，的纵坐标为，
又为正三角形，所以
可得，即得，

（2）由得，即，
即
问题转化为研讨函数零点个数．
，且在中是单调递增函数
又，，
故存在使得，
从而函数在区间单调递减，
在区间单调递增，
又，，，
由零点存在定理得：
函数在区间和区间上各有一个零点.
【小结】
将是否存在点的问题转化为方程的根，再进一步转化为研究函数的零点，最后利用零点存在性定理进行证明是求解本题的主要思路.
39．已知函数.
（1）求函数的单调减区间；
（2）作出函数在上的大致图象；
（3）将函数的图象向右平移个单位长度后，再将横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数的图象，求函数的值域.
【答案】（1）单调减区间为，；（2）图象详见解析；（3）.
【分析】
（1）由余弦函数的单调递减区间可得答案；
（2）五点作图法可画出图象；
（3）由图象的平移可得到的图象，则，然后利用换元法求最值.
【解析】
（1）由题意，令，
得，故，
故函数的单调减区间为，.
（2）当时，，列表如下：

0













1
0
-2
0
2
1
作出函数在上的大致图象如下：

（3）将函数的图象向右平移个单位长度后，得到的图象，
再将横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到的图象，
则，
令，则，，即，
故当时，；当时，，
故函数的值域为.
【小结】
本题考查了三角函数的单调性、图象，图象的平移及转化为二次函数求最值的问题，属于中档题.

四、填空题
40．将函数的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的倍，再向右平移单位，所得到的函数解析式是_________.
【答案】
【分析】
利用三角函数图象的平移和伸缩变换即可得正确答案.
【解析】
函数的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的倍，
得到，
再向右平移个单位，得到，
故最终所得到的函数解析式为：.
故答案为：.
41．已知函数的图象的一个对称中心为其中则以下结论正确的是_________.
（1）函数的最小正周期为
（2）将函数的图象向左平移所得图象关于原点对称
（3）函数在区间上单调递增
（4）函数在区间上有66个零点
【答案】（1）（3）
【分析】
先根据的对称中心求得，然后求：的最小正周期、单调区间、零点，由此确定（1）（3）（4）的正确性.求得函数的图象向左平移所得函数的解析式，由此判断（2）的正确性.
【解析】
由函数的图象的一个对称中心为,得,
因为，所以,则，
所以周期，（1）正确；
由,取，得,即是数的一个单调递增区间，又是的子集，所以函数在区间上单调递增，（3）正确；
由,得.解得由，，得，因为，所以,所以函数在区间上有67个零点，（4）错误.
将函数的图象向左平移，得,显然的图象不关于原点对称，（2）错误；
故答案为：（1）（3）
【小结】
求三角函数的单调区间可以采用整体代入法.三角函数图象变换，要注意的影响.