高三数学三角函数专题 方法17：边角转化解三角

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方法17 边角转化解三角
一、单选题
1．设的内角，，所对边的长分别为，，.若，，则角（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
由正弦定理得出边之间的关系，再由余弦定理求得，由角的范围可得选项.
【解析】
根据正弦定理，由，得，又，所以令，，，.
由余弦定理可得，又故，所以.
故选：B.
2．在锐角中，角A、B所对的边长分别为a、b，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由条件结合正弦定理可得，然后得到即可选出答案.
【解析】
因为
所以由正弦定理可得，因为，所以
因为角A为锐角，所以
故选：A
3．在锐角中，内角、、的对边分别为、、，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
利用正、余弦定理角化边，运用同角三角函数关系切化弦，化简解出即可
【解析】
锐角中，
，
由余弦定理可得，
化简得：，
又


．
故选：D
4．中，边，，的对角分别是，，，若，则角（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【分析】
利用正弦定理的边角互化即可求解.
【解析】
在中，由正弦定理知
则，
因为角是的内角，
所以，
所以角等于或．
故选：D．
5．在中，，，分别是角，，的对边，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据条件由正弦定理可得，再根据余弦定理可得得出答案.
【解析】
由，得，可得
所以，则
又，所以
故选：C
6．在中，角的对边分别为，若，，的面积等于，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
利用正弦，余弦定理将角化边，结合三角形面积公式，列方程求解即可.
【解析】

①

②


据题设可得③
由①②③解得
故选：C
7．在中，、、分别为的内角、、的对边，，则角的大小为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
由正弦定理将角化边，即可得到，再由余弦定理，即可得到，再利用辅助角公式及基本不等式即可得到，即可得解；
【解析】
解：因为
由正弦定理可得，即，
又由余弦定理可知，
则，
则，即：，
，又，当且仅当时取等号，
∴，，，
故选：A.
【小结】
解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.
8．已知的内角、、的对边分别为、、，且满足，，，则边长的值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
由同角三角函数的平方关系、正弦定理、余弦定理可求出的值，可求得角的值，利用三角形的内角和定理可求得角的值，再利用正弦定理可求得的值.
【解析】
，
则，
即，由正弦定理得，
所以，，，
，，
又，则，且.
又，所以，，
故选：D.
【小结】
在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：
（1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；
（2）若式子中含有、、的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；
（3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；
（4）代数式变形或者三角恒等变换前置；
（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；
（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理.
9．中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则A的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
先根据题中条件，由正弦定理，得到，，由两角和的正切公式，得出，利用基本不等式，即可得出结果.
【解析】
因为，由正弦定理可得，则，
所以，
因为A，B，C为的内角，
则，，所以，则，所以、都为锐角；
又由可得，即，
则，
令，则，
当且仅当，即时，等号成立；
所以，因此的最大值为.
故选：C.
【小结】

求解本题的关键在于利用正弦定理，结合三角恒等变换，得到，再利用基本不等式，求解即可.（求解时，要注意角的范围）.
10．在中，角，，所对的边分别为，，，已知，且，则周长的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
把已知式中2换成后用正弦定理化边为角，由三角函数恒等变换可得，然后由正弦定理把用角表示，得周长的表达式，求出角范围后可得周长的范围，
【解析】
因为，，所以，
所以，
所以，则，即.
由正弦定理可得，
则，，
故的周长.
因为解得，则，故的周长.
故选：B．
【小结】
本题主要考查正弦定理，解题关键是把已知等式中的2用边替换，这样可用正弦定理进行边角转化，化边为角，从而求得，然后可得角范围，同时再用正弦定理求出边（表示为的函数），从而可求得周长的范围．
11．在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，则面积的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
用正弦定理化边为角，求出，，，再用余弦定理求出的关系，由基本不等式得的最大值，从而可得三角形面积的最大值．
【解析】
因为，所以，
所以，即，，.
由余弦定理可得，即，则，
故的面积.
故选：C．
【小结】
本题考查求三角形面积的最值，应用的知识较多：正弦定理进行边角转换，同角间的三角函数关系，余弦定理，基本不等式，三角形面积公式等．要求掌握所有的知识点才能正确求解，本题属于中档题．
12．在中，角的对边分别为，若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据同角的三角函数关系式，结合正弦定理进行求解即可.
【解析】
因为角是三角形的内角，所以，
由，可得：，
由正弦定理可知：，因为，，
所以.
故选：D

二、多选题
13．在中，角所对的边分别为，下列说法中正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则为钝角三角形
D．若，则为直角三角形
【答案】ACD
【分析】
根据正弦定理与余弦定理，可判断AC选项；根据诱导公式及三角形的性质，可判断B选项；根据三角恒等变换和正弦定理，可判断D选项.
【解析】
A选项，在中，大边对大角，由可得，利用正弦定理，可得；故A正确；
B选项，在中，若，则或，所以或；故B错；
C选项，若，则，所以角为钝角，即为钝角三角形；故C正确；
D选项，若，则，所以，则，又为三角形内角，所以，则.
故选：ACD.
14．下列说法正确的是（ ）
A．在中，若，则．
B．在中，．
C．在三角形中，已知两边和一角就能求三角形的面积．
D．在中，已知，，，则此三角形有一解．
【答案】ABC
【分析】
根据正弦定理和余弦定理，逐项判定，即可得出结果.
【解析】
A选项，因为，根据正弦定理，可得，由三角形的性质，大边对大角，所以，故A正确；
B选项，在中，由正弦定理可得（为外接圆半径），所以，故B正确；
C选项，在三角形中，若已知两边与两边夹角，可直接根据三角形面积公式求三角形面积；若已知两边一邻角，可根据余弦定理，先求出第三边，再根据三角形面积公式即可求出三角形面积；即在三角形中，已知两边和一角就能求三角形的面积．故C正确；
D选项，在中，已知，，，由正弦定理可得：，显然不成立，所以此三角形不存在，故D错.
故选：ABC.


三、解答题
15．在①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的面积；若问题中的三角形不存在，说明理由.
问题：是否存在，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，__________，？
【答案】答案见解析.
【分析】
选择①结合余弦定理和正弦定理求出，，即可求出三角形面积；
选择②由正弦定理可得，从而可求出的大小，再结合正弦定理可求出，从而可求出三角形的面积；选择③由辅助角公式可求出，结合正弦定理可求出，进而可求出三角形的面积.
【解析】
选择①：由余弦定理可知，，
由正弦定理得，，又，所以，
所以是直角三角形，则，所以的面积.
选择②：由正弦定理得，，即，
又，所以，所以，即，
又，所以.由正弦定理得，，
所以的面积.
选择③：因为，所以，
又，所以，所以，，即.
由正弦定理得，，
所以的面积.
【小结】
思路小结：
三角形相关问题，若已知条件中既有边又有角，则常运用正弦定理进行边角互换，偶尔也会用到余弦定理或余弦定理的变形形式进行边角互换.
16．从条件①，②，③中任选一个，补充在下面的问题中，并给出解答．
在中，内角，，所对的边分别为，，，且，，________，求的面积．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答给分．
【答案】答案见解析.
【分析】
若选①，利用余弦定理可得，求出角后可计算三角形的面积.
若选②，利用正弦定理可得，求出角后可计算三角形的面积.
若选③，利用正弦定理可得，求出角的正弦后可计算三角形的面积.
【解析】
解：选择①，因为，
所以由余弦定理得，
所以，
所以由余弦定理得，而为三角形内角，
所以，
所以的面积为．
选择②，因为，
所以由正弦定理得，
所以．
又，所以，
所以，而为三角形内角，所以，所以，
所以的面积为．
选择③，因为，
所以由正弦定理得，
即，
所以．
又，所以，
所以，而为三角形内角，所以，
所以的面积为．
【小结】
思路小结：在解三角形中，如果题设条件是边角的混合关系，那么我们可以利用正弦定理或余弦定理把这种混合关系式转化为边的关系式或角的关系式.
17．在中，角，，所对的边分别为，，，，，．
（1）求的值；
（2）若为锐角三角形，求的面积．
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）根据正弦定理，由题中条件，求出外接圆的半径，进而可求出；
（2）先由（1）求出，根据余弦定理，求出的值，并检验，再由三角形面积公式，即可得出结果.
【解析】
（1）根据正弦定理，由可化为（其中为外接圆半径），
因为，，所以，
则；
（2）因为为锐角三角形，所，
由余弦定理可得：，即，
解得或，
当时，，此时为钝角，舍去．
所以，则．
18．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c且满足
（1）求角C的大小；
（2）若a=，b=c，求△ABC的面积
【答案】（1）；（2）16.
【分析】
（1）利用正弦定理把中边统一成角，然后利用三角函数公式化简可求出角C的值；
（2）利用余弦定理求出的值，再利用面积公式可求得结果
【解析】
解：（1）∵，
∴由正弦定理有，
∴，
∵∴，
∴．
（2）由余弦定理
∴
∴∴
∴
∴．
19．在中，角，，的对边分别为，，，已知，.
（1）求的值；
（2）若，求的面积.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
(1)利用正弦定理边化角，利用三角函数的两角和差公式化为，进而得解；
(2)根据已知条件，利用余弦定理求得的值，进而利用面积公式计算.
【解析】
（1）由正弦定理可得，
由，可得.
因为，所以，
故，
所以，
即，
得.
（2）在中，由余弦定理，得
，
又因为，所以，，
所以的面积为.
【小结】
本题考查正余弦定理，三角形面积公式，涉及两角差的正弦公式和同角三角函数的关系，属基础题,关键是利用正弦定理将边的关系化为角的正弦的关系和根据已知条件选择合适的余弦定理的形式求得的值,
20．在中，角，，的对边分别为，，，.
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）若为锐角三角形，且，求周长的取值范围.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【分析】
（Ⅰ）根据，利用正弦定理化简得到，然后再利用余弦定理求解.
（Ⅱ）结合，，在中利用正弦定理得到，再根据为锐角三角形，求得B的范围，利用三角函数的性质求解.
【解析】
（Ⅰ）因为，
由正弦定理可得，即为.
由余弦定理可得，
因为，
所以.
（Ⅱ）在中由正弦定理得，又，
所以，，
所以，
，
，
因为为锐角三角形，
所以，且，
所以且，
所以且，
所以，
所以，
所以周长的取值范围是.
【小结】
第二问在确定角B的范围时，容易忽视，结合即的条件.
21．在中，内角、、所对的边分别为，，，且.
（1）求的值；
（2）若，，求的周长.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）由正弦定理化简已知等式可得，结合范围，可求的值.
（2）由已知可得，又由余弦定理可得，联立解得的值，即可得解三角形的周长.
【解析】
解：（1）由题意可得，可得，
由正弦定理可得，
因为，可得.
（2）由，可得，
又由余弦定理可得，可得，
可得，解得，或（舍去），
故的周长为.
22．在中，，，______，求边上的高.在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】答案见解析
【分析】
选①，先根据正弦定理得，再根据余弦定理得，进而得边上的高为；
选②，由得，进而根据余弦定理得，进而得边上的高为；
选择③，由得，进而由余弦定理得，进而得边上的高为.
【解析】
解：选择①，
在中，由正弦定理得，即，
解得，
由余弦定理得，即，
化简得，解得或（舍去）；
所以边上的高为.
选择②，
在中，由正弦定理得，
又因为，所以，即；
由余弦定理得，
即，
化简得，解得或（舍去）；
所以边上的高为.
选择③，
在中，由，得；
由余弦定理得，
即
化简得，解得或（舍去）；
所以边上的高为.
【小结】
本题解题的关键在于应用正余弦定理的方程思想计算出边，进而根据边上的高为求解，考查运算求解能力，是基础题.
23．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
（1）求角C的正弦值；
（2）若，求的最大值．
【答案】（1）；（2）4.
【分析】
(1)利用正弦定理化简边角关系式后可得，从而可求得角C的正弦值；
(2)利用正弦定理将三角形的边转化为角，利用三角函数的值域可求得所求的最值.
【解析】
解：（1）∵，
∴，
∵，∴．
∴，，∴，∴；
（2）∵，∴，又，
∴


，
∵，∴，
当，即时，．
【小结】
（1）在解三角形中，如果题设条件是关于边的二次形式，我们可以利用余弦定理化简该条件；
（2）如果题设条件是关于边的齐次式或是关于内角正弦的齐次式，那么我们可以利用正弦定理化简该条件；
（3）如果题设条件是边和角的混合关系式，那么我们也可把这种关系式转化为角的关系式或边的关系式.
（4）与三角形有关的最值问题，我们可以利用基本不等式来求最值或利用正弦定理把边转化为关于角的三角函数式，再利用三角变换和正弦函数、余弦函数的性质求最值或范围.
24．在中，角，，所对的边分别为，，，已知.
（1）求角的大小.
（2）若，求的值.
【答案】（1）；（2）-4.
【分析】
（1）由正弦定理化角为边，然后由余弦定理求得角；
（2）由三角形面积公式得，再由数量积的定义求得数量积．
【解析】
（1）∵，∴由正弦定理：，
∴，.
由余弦定理：∴.
∵，∴.
（2）由，，.
【小结】
本题考查正弦定理和余弦定理，三角形面积公式，解三角形时，边角出现在一个等式中，常常利用正弦定理进行边角互化，化角后应用三角性等变换公式化简，化边后，一种利用代数式的运算进行变形，一种利用余弦定理求角．
25．已知的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若.
（1）求角B；
（2）若，求周长的最小值，并求出此时的面积.
【答案】（1）；（2）6，.
【分析】
（1）利用正弦定理余弦定理化简即得解；
（2）利用基本不等式求出，即得周长的最小值和此时的面积.
【解析】
（1）∵，
由己知结合正弦定理可得，
∴，
∴，
∵，
∴.
（2）∵，
即，
∴，解得，当且仅当时取等号，
∴周长的最小值为6，
此时的面积.
【小结】
求最值常用的方法有：（1）函数法（研究函数的单调性求出最值）；（2）导数法（利用导数求出函数的单调性得到函数的最值）；（3）数形结合法（把数和形结合起来求出函数的最值）；（4）基本不等式法（利用基本不等式法求函数的最值）.
26．已知在中，角、、的对边分别为、、，且.
（1）求角的大小；
（2）若，，求的面积.
【答案】（1）；（2）4.
【分析】
（1）利用正弦定理化边为角可得，由可得，即可求角的大小；
（2）利用余弦定理求出边，再利用面积公式即可求解.
【解析】
（1）在中，，
在中，由正弦定理得，
即，
又角为三角形内角，，
∴，
即，又∵，∴，
（2）在中，由余弦定理得，
则，即，
解得或(舍)，
∴.
【小结】
求三角形面积的关键是利用余弦定理求出边，再利用面积公式即可求的面积.
27．已知，，分别为的三个内角，，的对边，.
（1）求；
（2）若，的面积为，求.
【答案】（1）；（2）8.
【分析】
（1）利用正弦定理化简已知等式可得，由余弦定理可得，结合范围，可求的值．
（2）由已知利用三角形的面积公式可求的值，进而利用余弦定理可求的值．
【解析】
（1）由，
根据正弦定理可得，
即，

由余弦定理，
得，
由于，所以.
（2）因为的面积为，
所以，即，
因为，所以，
所以
【小结】
解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到.
28．已知中，角，，所对的边分别是，，，且．
（1）求证：；
（2）若，，点为所在平面内一动点，且满足，当线段的长度取得最小值时，求的面积．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【分析】
（1）根据余弦定理得，再由正弦定理得，由角的范围可得证；
（2）由（1）和已知条件求得，，再由向量垂直的条件得点在以为直径的圆上，且当点在上时，取得最小值，再由三角函数的定义和正弦二倍角公式可求得的面积．
【解析】
（1）∵，，∴，
由正弦定理得，∵，
代入得，，即，∵，，为三角形的内角，
∴．
（2）因为，所以，．由题意，得，点在以为直径的圆上，
∵，∴，，
设为中点，连结，则当点在上时，取得最小值，此时
．设，则，，，
中，，
的面积，
∴当取得最小值时，的面积为．

【小结】
本题关键在于由已知条件得出点P的轨迹，找到取得最小值时，点P的位置.
29．在中，角所对的边分别为.已知.
（1）求角；
（2）若为边的中点，且，求的面积.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）利用正弦定理边化角和同角公式可求得结果；
（2）在中，根据余弦定理可求得，再根据三角形面积公式可求得结果.
【解析】
（1）因为，所以，
因为，所以，所以，即.
因为，所以.
（2）在中，.
由余弦定理可得，
则，
即，解得.
故的面积为.
【小结】
第（1）问利用正弦定理边化角是解题关键，第（2）问在中，根据余弦定理求出是解题关键.
30．在中，A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
（1）求C的大小；
（2）如果，，求c的值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）利用正弦定理边角互化，可得C的大小；
（2）利用三角形的面积公式求出，利用余弦定理可得c的值．
【解析】
（1）由正弦定理，可化为，即.
又∵，∴.
（2）由，有，.
由余弦定理，得

∴.
31．已知中，角，，所对的边长分别为，，，且满足.
（1）求的大小；
（2）若，，，求的长.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）由正弦定理得，再由，代入得，可求得的大小；
（2）由正弦定理，求得，再由已知和余弦定理求得，，利用余弦定理求得答案.
【解析】
解：（1）在中，由正弦定理得，
又，
所以
即，整理得，
因为可得，又，
所以；
（2）在中，，由，解得，
又因为，
所以，得，
由得，所以，
所以，
所以.
【小结】
在运用正弦定理、余弦定理解三角形时，注意由已知条件选择合适的定理，并注意角的范围.
32．在中，角所对的边分别，，，.
（1）求的值；
（2）求的值.
【答案】（1）；（2）..
【分析】
（1）已知，根据正弦定理可得，即求的值；
（2）根据余弦定理求出，根据平方关系式求，得到结果.
【解析】
（1）由正弦定理得
（2）由（1）知又因为，，
由余弦定理得，
又因为，所以.
【小结】
该题考查的是有关解三角形的问题，解题方法如下：
（1）根据正弦定理，结合题中条件，建立等量关系式，求得结果；
（2）结合（1）的结论，得到，结合题中所给的条件，利用余弦定理求得，根据平方关系式求.
33．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
（1）求角A的大小；
（2）若点D是BC的中点，且，求△ABC的面积的最大值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）由正弦定理的角化边公式化简得到，结合余弦定理解出角的大小；
（2）利用两边平方得到,再利用基本不等式得出最大值.
【解析】
（1）由题意得


（2）

,当且仅当时，等号成立.


故△ABC的面积的最大值是
【小结】
用三角形中线向量进行转化是解题关键.
34．已知A，B，C为的三个内角，且其对边分别为a，b，c，若
（1）求A；
（2）若，求的面积
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）由正弦定理将边化成角，再根据和角公式化简即可；
（2）由余弦定理代入数据，求出，再由面积公式求解即可.
【解析】
（1）根据正弦定理得

即
又
又；
（2）由余弦定理，得
则


.
【小结】
本题主要考查正余弦定理的应用，涉及到三角形面积公式，属于中档题.
35．的内角，，的对边分别为，，．已知．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）已知，，且边上有一点满足，求．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【分析】
（Ⅰ）利用正弦定理的边角互化可得，再利用二倍角公式即可求解.
（Ⅱ）设的边上的高为，的边上的高为，根据可得，从而确定是角的内角平分线，然后由，结合三角形面积公式即可求解.
【解析】
解：（Ⅰ）因为，
由正弦定理得，
因为，所以，
所以，因为，所以，
所以，即，所以．
（Ⅱ）设的边上的高为，的边上的高为，
因为，，，
所以，
所以，是角的内角平分线，所以，
因为，可知，
所以，
所以．
【小结】
本题考查了正弦定理的边角互化、三角形的面积公式，解题的关键是确定是角的内角平分线，考查了运算能力.
36．中，内角、、的对边分别为、、，已知.
（1）求角的大小；
（2）若，，求的面积.
【答案】（1）；（2）或.
【分析】
（1）本题首先可通过正弦定理以及两角和的正弦公式得出，然后根据得出，最后根据以及即可得出结果；
（2）本题首先可根据正弦定理求出或，然后求出角的大小，最后根据解三角形面积公式即可得出结果.
【解析】
（1）因为，
所以由正弦定理可得，
化简整理得，
因为，所以，
因为，，所以，.
（2）因为，，，
所以，即，解得，或，
若，则，；
若，则，，
故的面积为或.
【小结】
本题主要考查正弦定理边角互化的应用以及解三角形面积公式，考查两角和的正弦公式，正弦公式，解三角形面积公式，考查计算能力，是中档题.
37．在中，内角所对的边分别为，已知.
（1）求的值；
（2）若，，求的值.
【答案】（1）3；（2）2.
【分析】
（1）由题中条件，根据正弦定理，将原式化简整理，即可得出结果；
（2）由（1）的结果，结合正弦定理，得到，再由余弦定理，根据题中条件，即可求出结果.
【解析】
（1）由题意，根据正弦定理可得，
则，
即，
即，即，
∴.
（2）∵，∴，
由余弦定理可得：，
解得，
∴.
38．在中，内角，，所对的边分别为，，，若，
（1）求；
（2）若外接圆的面积为，求边长．
【答案】（1）；（2）．
【分析】
（1）由题中条件，根据余弦定理，求出，进而可求出；
（2）根据题中条件，先求出外接圆半径，再由正弦定理，即可求出结果.
【解析】
（1）由余弦定理得
又，
∴，
∴，又为三角形的内角，所以；
（2）∵外接圆的面积为，设该圆半径为，
则，∴，
由正弦定理得：，所以.

四、填空题
39．在中，若，则是________三角形．
【答案】等腰直角
【分析】
根据正弦定理，结合基本不等式进行求解即可.
【解析】
由正弦定理可知：，因为，所以，
由，当且仅当时取等号，
即，有，所以，而，所以，，因此为等腰直角三角形．
故答案为：等腰直角
40．在中，内角，，所对的边分别为，，若，则_______.
【答案】
【分析】
先利用三角恒等变换，将原式化为，根据正弦定理，得到，进而可求出结果.
【解析】
由
得，
则，
则
即，
由正弦定理可得：，
又角，，为三角形内角，所以，
则，即，所以.
故答案为：.
41．我国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上：以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实：一为从隅，开平方得积.把以上文字写成公式，即（其中为三角形的面积，，，为三角形的三边）.在非直角中，，，为内角，，所对应的三边，若，且，则的面积最大时，______.
【答案】3
【分析】
先利用正弦定理将边化为角，化简整理得，带入面积公式，配方可得最值．
【解析】
解：，，
，
，
非直角三角形，，
，即，
，
当且仅当，即时，有最大值.
故答案为：3．
【小结】
在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系，注意三角形内角和的应用．

五、双空题
42．如图，设的内角、、的对边分别为、、，，且.若点是外一点，，，则当______时，四边形的面积的最大值为____________

【答案】
【分析】
利用正弦定理边角互化结合的取值范围可求得，可判断出为等边三角形，利用余弦定理求得，利用三角形的面积公式可得出四边形的面积关于的表达式，利用三角恒等变换思想结合正弦函数的有界性可求得四边形面积的最大值及其对应的的值，即可得解.
【解析】
，
由正弦定理可得，
所以，，
，，可得，，，
所以，为等边三角形，
设，则，
由余弦定理可得，
，
，
所以，四边形的面积为，
，，
所以，当时，即当时，四边形的面积取最大值.
故答案为：；.
【小结】
在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：
（1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；
（2）若式子中含有、、的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；
（3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；
（4）代数式变形或者三角恒等变换前置；
（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；