高三数学三角函数专题 方法7：图像法求三角函数最值或值域

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方法7 图像法求三角函数最值或值域
一、单选题
1．如图所示，扇形的半径为，圆心角为，是扇形弧上的动点，四边形是扇形的内接矩形，则的最大值是（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
如图先用所给的角将矩形的面积表示出来，建立三角函数模型，再根据建立的模型利用三角函数的性质求最值.
【解析】

如图，记，在中，，，
在中，，
所以，
设矩形的面积为，

由，所以当，即时，取最大值，为,
故选：A.
2．函数的值域为（ ）
A．[0，1] B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据自变量的范围，得到的范围，进一步得到答案.
【解析】
解：，，所以.
故选：B.
3．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．以上答案都不对
【答案】D
【分析】
化简集合，再根据集合的交集运算求得结果.
【解析】
，集合A的元素代表是x，
，集合B的元素代表是y，
当时，，

故选：D
【小结】
本题考查求三角函数的定义域与值域及集合的交集运算，利用描述法描述集合时一定注意集合的元素代表，考查学生的分析与转化能力，属于基础题.
4．已知函数在它的一个最小正周期内的图像上，最高点与最低点的距离是5，则等于（ ）．
A．1 B．2 C． D．4
【答案】B
【分析】
根据正弦型函数图象性质确定函数的最小正周期，再根据最高点与最低点的距离是5，可列出方程，从而解得的值.
【解析】
解：函数的最小正周期
函数在它的一个最小正周期内的图像上，最高点与最低点的距离是5，
，解得.
故选：B.
【小结】
对于三角函数，求最小正周期和最值时可先把所给三角函数式化为或的形式，则最小正周期为，最大值为，最小值为；奇偶性的判断关键是解析式是否为或的形式．
5．已知向量，向量，则的最大值和最小值分别是（ ）
A．4，2 B．4，0 C．16，2 D．16，0
【答案】B
【分析】
利用向量的坐标运算得到，再利用三角函数求最值．
【解析】
向量，向量，则，，
所以，
所以的最大值，最小值分别是：16，0；
所以的最大值，最小值分别是4，0.
故选：B
【小结】
关键小结：解答本题的关键是把化简得到，后面利用三角函数的图象和性质解答就简单了.
6．已知函数)的图象在区间上恰有3个最高点，则的取值范围为
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
因为函数)的图象在区间上恰有3个最高点,
所以函数)的图象在区间上至少有两个周期加八分之一周期,少于三个周期加八分之一周期,
所以,
所以
本题选择C选项.

二、多选题
7．关于函数，则下列结论正确的是（ ）
A．是偶函数
B．是周期函数
C．在区间上单调递减
D．的最大值为1
【答案】ACD
【分析】
利用奇偶性和周期性的定义可判断选项AB，求出再的单调性即可判断C，求出的最大值即可判断选项D，进而可得正确选项.
【解析】
对于选项A: ,所以是偶函数,故选项A正确;
对于选项D：因为是偶函数，只考虑时的性质，此时，

当时，，
当时，，
所以的值域为，最大值为1，故选项D正确；
对于选项B：由选项D以及是偶函数可得图象如图所示：


所以不是周期函数.故选项B不正确；
对于选项C: 当时, ，此时,函数为减函数，故选项C正确；
故选：ACD
【小结】
本题的突破口是利用是偶函数，研究时的性质，即可判断整个定义域内的性质，对于含绝对值的要分象限讨论去绝对值.
8．已知函数（，）的最小正周期为，且图象过点，则（ ）
A．直线是函数图象的一条对称轴
B．的图象可由的图象向左平移个单位长度得到
C．在上的值域为
D．在区间上单调递减
【答案】AC
【分析】
先利用两角和的正弦公式化简，利用已知条件求出，得到，再利用三角函数的图象与性质逐一判断即可.
【解析】
，
由，
解得，
又函数的图象过点，
所以，
结合，
得，
所以.
当时，，
故直线是函数图象的一条对称轴，选项A正确；
，
将其图象向左平移个单位长度后，
得到函数的图象，
该解析式不能化为，故选项B错误；
当时，，
此时，选项C正确；
当时，，
结合正弦函数的图象可知，
在该区间上有增有减，故选项D错误.
故选：AC.
【小结】
关键小结：熟练掌握三角函数的图象与性质是解决本题的关键.
9．在现代社会中，信号处理是非常关键的技术，我们通过每天都在使用的电话或者互联网就能感受到．而信号处理背后的“功臣”就是正弦型函数．函数的图象就可以近似的模拟某种信号的波形，则（ ）
A．函数为周期函数，且最小正周期为
B．函数的图象关于点对称
C．函数的图象关于直线对称
D．函数的导函数的最大值为4
【答案】BCD
【分析】
利用周期的定义可判断A选项的正误；根据 可判断B选项的正误；利用函数的对称性可判断C选项的正误；求得函数的导数，求出的最大值，可判断D选项的正误.
【解析】
，
，
所以，不是函数的最小正周期，A选项错误；
，

，
所以，故函数的图象关于点对称，B选项正确；
，
所以，函数的图象关于直线对称，C选项正确；
，
，，，，
则，又，
所以函数的最大值为，D选项正确.
故选：BCD.
【小结】
本题考查正弦、余弦型函数基本性质的判断，涉及正弦型函数的周期性、对称性以及余弦型函数最值的判断，考查计算能力，属于中等题.
10．已知函数，则（ ）
A．的图象关于点对称 B．的图象的一条对称轴是
C．在上递减 D．在值域为
【答案】BC
【分析】
首先根据求导公式得到，再利用三角函数的性质依次判断选项即可.
【解析】
，所以.
对选项A，，故A错误；
对选项B，，所以为图象的一条对称轴，
故B正确.
对选项C，因为，所以，
所以函数在为增函数，
即在为减函数，故C正确.
对选项D，，所以，
所以，，故D错误.
故选：BC
11．若函数f(x)= sin2x的图象向右平移个单位得到的图象对应的函数为g(x)，则下列说法中正确的是（ ）
A．g(x)的图象关于x=对称
B．当x[0，]时，g(x)的值域为[-，]
C．g(x) 在区间，上单调递减
D．当x∈[0，]时，方程g(x)=0有3个根.
【答案】AC
【分析】
先由已知求出函数的解析式．
选项：因为，所以正确；
选项：当时，则，所以错误；
选项： ，由正弦函数的单调递减区间可得：正确；
选项：满足方程的的值分别为：，共两个根，所以错误.
【解析】
由已知可得函数，
选项：因为，所以正确，
选项：当时，，
则，所以错误，
选项：当时，，
由正弦函数的单调递减区间可得：正确，
选项：令，，解得，，
又，，所以满足方程的的值分别为：，共两个根，所以错误，
故选：AC
【小结】
求函数的单调区间，一般利用复合函数的单调性原理解答：首先是对复合函数进行分解，接着是根据复合函数的单调性原理分析出分解出的函数的单调性，最后根据分解函数的单调性求出复合函数的单调区间.
12．已知函数（[]表示不超过实数的最大整数部分），则（ ）
A．的最小正周期为 B．是偶函数
C．在单调递减 D．的值域为
【答案】AB
【分析】
根据正、余弦函数的图象性质及题目条件分析判断即可.
【解析】
因为，所以函数为偶函数，所以B正确；
根据正弦、余弦函数的图象性质可知的最小正周期为，故A正确；
又因为当和时，
，所以，，且在上无单调性，故C错；
当时，，所以，
；
当时，，所以，则，
所以函数的值域为，故D错.
故选：AB.
【小结】
本题考查三角函数图象性质的综合运用问题，较简单，解答时根据函数解析式的特点及奇偶性、周期性的概念判断即可.
13．函数的部分图象如图所示，且满足，现将图象沿轴向左平移个单位，得到函数的图象.下列说法正确的是（ ）

A．在上是增函数
B．的图象关于对称
C．是奇函数
D．在区间上的值域是
【答案】BCD
【分析】
根据三角函数的图象求出，根据图象变换求出，根据可知不正确；根据，可知正确；根据可知正确；利用正弦函数的图象求出的值域，可知正确.
【解析】
设的最小正周期为，由题图可知，所以，，当时，，即，
所以，因为，所以，，
所以，又，所以，
所以，
所以，
因为，所以不正确；
因为，所以正确；
因为，所以是奇函数，故正确；
当时，，，，故正确.
故选：BCD.
【小结】
本题考查了由三角函数的图象求解析式，考查了根据图象变换求解析式，考查了正弦型函数的单调性、对称轴、奇偶性、值域，属于中档题.

三、解答题
14．已知函数．
（I）求函数的最小正周期；
（II）求函数的单调增区间；
（III）当时，求函数的最小值．
【答案】（Ⅰ）最小正周期为；（Ⅱ），；（Ⅲ）-1.
【分析】
（I）先将解析式化为，然后利用正弦型函数的周期公式可计算出该函数的最小正周期；
（II）根据正弦函数的单调区间，利用整体法得出，，，即可求出该函数的单调增区间；
（III）由可计算出的取值范围，再根据正弦函数的性质，即可求出函数的最大值和最小值.
【解析】
解：（Ⅰ）因为，
则，
所以函数最小正周期为；
（Ⅱ）因为，，
所以，，
函数的单调增区间为，；
（Ⅲ）因为，所以，
而，，所以，
所以的最小值为．
【小结】
本题考查正弦型函数的最小正周期，利用整体法求正弦型函数的单调增区间，以及正弦型函数在给定区间的最值，熟练掌握正弦函数的图像和性质是解题的关键，属于常考题型.
15．若函数，的图象经过点，且相邻的两个零点差的绝对值为6．
（1）求函数的解析式；
（2）若将函数的图象向右平移3个单位后得到函数的图象，当时，求的值域．
【答案】（1）；（2）．
【分析】
（1）求出函数的周期，求解，利用函数经过的点，求解，然后得到函数的解析；
（2）利用函数的图象的平移变换推出函数的解析式，求解相位的范围，然后求解函数的最值，即可得的值域．
【解析】
（1）因为相邻的两个零点差的绝对值为6，
记的周期为，则，
所以，所以，
所以；
因为的图象经过点，所以，
所以，又，所以 ，
所以函数的解析式为．
（2）由(1)知，
因为将函数的图象向右平移3个单位后得到函数的图象，
所以函数的解析式为，
当时，，所以，
综上，当时，的值域为．
【小结】
由函数的部分图象确定解析式关键在于确定参数，的值．
(1)一般可由图象上的最大值、最小值来确定.
(2)因为，所以往往通过求周期来确定，可通过已知曲线与轴的交点从而确定，即相邻的最高点与最低点之间的距离为；相邻的两个最高点(或最低点)之间的距离为；相邻的两个零点之间的距离为.
16．已知函数
（1）求函数的最小正周期；
（2）求函数在上的值域.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）根据降幂公式与辅助角公式化简得，进而根据最小正周期公式即可得答案；
（2）由得，进而根据正弦函数的性质即可得值域.
【解析】
解：




故函数的最小正周期
当时，
则
所以
即函数在上的值域是.
【小结】
本题解题的关键是利用降幂公式和辅助角公式化简得，进而结合正弦函数的性质求解，考查运算求解能力，是基础题.
17．已知函数的图象关于直线对称，且图象上相邻两个最高点的距离为.
（1）求和的值；
（2）当时，求函数的最大值和最小值.
【答案】（1），；（2），.
【分析】
（1）由图象上相邻两个最高点的距离为得的最小正周期，故，由函数图象关于直线对称得，，再结合范围得；
（2）由（1）得，进而得，再结合正弦函数的性质即可得答案.
【解析】
（1）因为的图象上相邻两个最高点的距离为，
所以的最小正周期，从而.
又因为的图象关于直线对称，所以，，
又，
所以.
综上，，.
（2）由（1）知.
当时，可知.
故当，即时，.
当，即时，.
【小结】
本题解题的关键在于先根据得，进而结合正弦函数的性质，采用整体思想求解，考查运算求解能力，是中档题.
18．已知函数的图象的相邻两条对称轴间的距离为．
（1）求函数的单调增区间；
（2）当时，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）由对称轴间距离的两倍得到周期，求得,得到函数的解析式，根据正弦函数的性质求得的单调增区间；
（2）由的取值范围得到的取值范围，利用正弦函数的性质求得函数的值域.
【解析】
解：（1）由题意知，
∵，∴，
∴，
由得，
∴的单调增区间为．
（2）当时，，
∴，
∴．
【小结】
本题考查正弦函数的图象和性质，属基础题，注意相邻对称轴间的距离为半个周期，的单调区间是将看成一个整体，代入正弦函数的相应的单调区间，通过解不等式求得；函数的值域也是将看成一个整体，利用正弦函数的图象和性质或者利用单位圆得到其值域.
19．已知函数.
（1）求的最小正周期；
（2）求在区间上的最小值及单调减区间.
【答案】（1）最小正周期为；（2）；的单调递减区间为.
【分析】
(1)利用降幂公式、诱导公式及逆用正弦二倍角公式将函数化为一个角的正弦函数，再利用周期公式，即可求出的最小正周期；
(2)先求出内层函数的值域，再结合正弦函数的图象和性质，即可求出结果.
【解析】
(1)
.
所以的最小正周期为.
(2)因为，所以，
所以当，即时，函数取得最小值.
由，得，所以函数的单调递减区间为.
【小结】
本题的关键是根据式子结构，将函数化为的形式.
20．已知函数.
（1）若，，求的值域；
（2）若，，的最大值是，求的值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）时，先利用三角恒等变换公式化简函数，再利用三角函数的性质求出的值域；
（2）化简函数，根据三角函数的图象与性质求出的值．
【解析】
（1）


，
，，，
所以函数的值域为；
（2）由题意得：，
由于函数的最大值为，，
即，
得，又，故.
【小结】
对三角函数考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心，在研究三角函数的图象和性质问题时，一般先运用三角恒等变形，将表达式转化为一个角的三角函数的形式求解.
21．已知，是函数(>0)的两个相邻的零点.
（1）若对任意，恒成立，求实数m的取值范围；
（2）若关于x的方程在上有两个不同的解，求实数n的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）首先利用降幂公式化简函数，再利用周期求，将恒成立问题转化为，转化为求函数的最大值；（2）将方程化简为，，若方程有两个不同的解，转化为，与有两个交点，求的取值范围.
【解析】
（1）

.
由题意得，的最小正周期，，∴
∴
∵对任意，恒成立，
∴
∵，∴
∴
∴，
∴，即实数m的取值范围为
（2）原方程可化为
即，.
令，
∵，∴
∵关于x的方程在上有两个不同的解，
首先画出的图象，

若与有两不同的交点，转化为，与有两个交点，
∴，解得，即n的取值范围为.
【小结】
根据方程实数根的个数求参数的取值范围，一般可采用1.直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后观察求解，此时需要根据零点个数合理寻找“临界”情况，特别注意边界值的取舍.
22．已知函数
（I）求的最小正周期及对称轴方程；
（Ⅱ）求在区间上的最值．
【答案】（I）；，．（Ⅱ）最大值为，最小值为
【分析】
（I）利用辅助角公式化为一个角的三角函数，即的形式，然后由正弦函数的性质可求解．
（Ⅱ）由，求得，由正弦函数的性质可得最值即可．
【解析】
（I）由，
得的最小正周期；
的对称轴方程，
即，．
所以的最小正周期为，
对称轴方程为：，．
（Ⅱ），
，
，
∴ 当时，
即时，
，
当时，
即时，
；
所以在区间上的最大值为，最小值为.
【小结】
三角函数问题一般都要利用两角和与差的正弦（余弦）公式、二倍角公式、诱导公式等化为一个角的三角函数，即的形式，然后利用正弦函数性质求解．
23．已知向量，，函数．
（1）若，求的取值范围；
（2）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，，，求的面积．
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）根据向量数量积公式与三角恒等变换公式，化简得，再由利用正弦函数的图象与性质，可得的取值范围；
（2）根据的表达式化简（B），算出．再根据已知条件利用正弦定理算出，结合得出，由三角形内角和定理算出，得到是以为直角顶点的直角三角形，可得的面积．
【解析】
（1）向量，
．
由此可得函数，
又，得．
，即的取值范围是；
，（B），
又，，，可得．
，
根据正弦定理，可得，
由得，所以，
因此，可得是以为直角顶点的直角三角形，
的面积．
【小结】
三角恒等变换方法：三看（看角、看名、看式）→三变（变角、变名、变式）
（1）“变角”主要指把未知的角向已知的角转化，把未知的角变成已知角的和差，
或者变成已知角与特殊角的和差.是变换的主线，如, ,,等.
（2）“变名”指的是“切化弦”（正切余切化成正弦余弦.
（3）“变式”指的是利用升幂公式和降幂公式升幂降幂，利用和角和差角公式、辅助角公式展开和合并等.
.
24．已知函数
（1）求的最小正周期；
（2）若方程在有实根，求实数m的取值范围．
【答案】（1） ；（2）.
【分析】
（1）化简函数得，即得的最小正周期；
（2）由题得的值域为，即得解.
【解析】
解：（1）函数
，
最小正周期为．
（2）在区间上，，
故当时，函数取得最小值为-2，
当时，函数取得最大值为，故的值域为，
若方程在有实根，则实数的取值范围为.
【小结】
求三角函数在区间上的最值，一般先求出的范围，再利用三角函数的图象和性质分析得解.
25．补充问题中横线上的条件，并解答问题．
问题：已知，a＝____，b＝_____，写出函数的一个周期，并求在上的最大值．
【答案】答案见解析.
【分析】
提供两种思路：
补充一：取，，结合二倍角公式和辅助角公式可得，再利用正弦函数的图象与性质即可得解；
补充二：取，，结合二倍角公式和配方法可得，再证明得周期，利用二次函数的性质得最大值．
【解析】
补充一：
取，，则，
的一个周期为，
，，，
当，即时，取得最大值，最大值为．
补充二：
取，，则，
，
的一个周期为，
，
，，，
当，取得最大值，为．
【小结】
结论小结：本题属于条件不良题型，需补全条件，三角函数求最值时，一般包含两种常见题型，一种是能化简为类型的函数，这种求最值，需将看成一个整体，利用正弦函数的图象求最值，另一种是能化简为关于或的二次函数，利用二次函数求最值.
26．已知函数，先将的图象向左平移个单位长度后，再将所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象.
（1）当时，求函数的值域；
（2）求函数在上的单调递增区间.
【答案】（1）；（2）单调递增区间为和.
【分析】
（1）根据的范围求出的范围，再结合三角函数的性质求出的值域.
（2）根据函数的图形变换的规则，可写出的解析式，再根据的性质求出满足定义域的单调递增区间.
【解析】
（1）当时，，，.
（2）由题意得，将的图像向左平移个单位长度后，得到的图像，再将所得图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍，得到.
令，，解得，，函数的单调递增区间为.
又，故所求单调递增区间为和.
【小结】
（1）对于，可设
当，再根据的性质求出，的值域.
（2）三角函数图像变换：
，
当函数在方向上压缩为原来的；当时，函数在方向上扩大为原来的倍.

当时，函数在方向上扩大为原来的倍；当，函数在方向上压缩为原来的.
，函数图像向左平移个单位.
27．已知函数，，直线（）与函数，的图象分别交于M、N两点．
（Ⅰ）当时，求的值；
（Ⅱ）求在时的值域．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．
【分析】
（Ⅰ）直接根据计算可得解；
（Ⅱ）写出的解析式，利用两角和的余弦公式和正弦公式化简可得，再根据的范围求出，根据正弦函数的图象可得结果.
【解析】
（Ⅰ）直线（）与函数，的图象分别交于M、N两点．
当有，．
（Ⅱ）


，，
所以，所以，
的值域为．
【小结】
本题考查了两角和的余弦公式和正弦公式，考查了正弦函数的图象的应用，属于中档题.
28．已知函数（，，）的部分图象如图所示．

（1）求函数的解析式；
（2）将函数的图象向右平移个单位得到函数，当时，求函数的值域．
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）由图象先求周期可得，再利用过可以求出，利用与轴的交点坐标可以求，从而可得函数的解析式；
（2）先根据图象的平移变换求出解析式，可得解析式，利用辅助角公式化简，再利结合正弦函数图象即可求值域.
【解析】
由图知：，
所以，
又因为，且，令，得：，
由，得，所以，
（2），
所以

，
因为 ，所以 ，所以，
所以，
【小结】
本题主要考查了由部分图象求函数解析式，以及求三角函数指定区间的值域，属于中档题.
29．已知函数，将曲线向右平移个单位，得到的曲线关于原点对称.
（1）求；
（2）求在上的值域.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）先化简得，由题得到，即得解；
（2）根据的范围逐步求出函数在上的值域.
【解析】
（1）由题得，
将曲线向右平移个单位，得到.
由题得，，所以，.
因为，所以.
（2）由（1）知：，
因为，所以.
从而，
故在上的值域为.
【小结】
本题主要考查三角恒等变换，考查三角函数图象的变换和性质，考查三角函数的值域的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
30．函数f(x)=2sin(2x+φ) 部分图象如图所示.
 
（1）求f(x)的最小正周期及图中x0的值；
（2）求f(x)在区间上的最大值和最小值.
【答案】（1）π；x0=π；（2）最大值2，最小值-1.
【分析】
（1）利用函数解析式求出最小正周期；利用点在图象上，求出φ，再利用五点作图法可得x0的值；
（2）由（1）得出函数解析式，由0≤x≤，结合正弦函数的性质求出函数的最大值和最小值．
【解析】
（1）由题意得T==π.
因为点(0，1)在f(x)=2sin(2x+φ)图象上，
所以2sin(2×0+φ)=1.
又因为|φ|