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山东省聊城市莘县2020-2021学年九年级（上）期末数学试卷 解析版
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这是一份山东省聊城市莘县2020-2021学年九年级（上）期末数学试卷 解析版，共30页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
1．在平行四边形ABCD中，点E是边AD上一点，且AE＝2ED，EC交对角线BD于点F，则△BCF与△DEF的周长比为（ ）
A．3B．9C．D．2
2．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，BC＝2，则sinB的值为（ ）
A．B．C．D．
3．为防止疫情扩散，佩戴口罩成为疫情期间有效防范措施之一，某工厂为了能给市面上百日提供充足的口罩，第一个月至第三个月生产口罩由67500袋增加到90000袋，设该工厂第一个月至第三个月生产口罩平均每月增长率为x，则可列方程为（ ）
A．67500（1+2x）＝90000
B．67500×2（1+x）＝90000
C．67500+67500（1+x）+67500（1+x）2＝90000
D．67500（1+x）2＝90000
4．如图，在⊙O中，直径AB⊥CD，∠A＝26°，则∠D度数是（ ）
A．26°B．38°C．52°D．64°
5．若点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3）在反比例函数y＝﹣的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＞y2＞y3B．y2＞y3＞y1C．y1＞y3＞y2D．y3＞y2＞y1
6．在一个不透明的袋子中装有n个小球，这些球除颜色外均相同，其中红球有2个，如果从袋子中随机摸出一个球，这个球是红球的概率为，那么n的值是（ ）
A．6B．7C．8D．9
7．将二次函数y＝ax2的图象先向下平移2个单位，再向右平移3个单位，截x轴所得的线段长为4，则a＝（ ）
A．1B．C．D．
8．菱形ABCD中，AE⊥BC于E，交BD于F点，下列结论：
①BF为∠ABE的角平分线；
②DF＝2BF；
③2AB2＝DF•DB；
④sin∠BAE＝．其中正确的为（ ）
A．①③B．①②④C．①④D．①③④
9．如图，在半径为的⊙O中，弦AB与CD交于点E，∠DEB＝75°，AB＝6，AE＝1，则CD的长是（ ）
A．2B．2C．2D．4
10．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，D为AB上一点，且AD：DB＝3：2，过点D作DE⊥AC于E，连接BE，则tan∠CEB的值等于（ ）
A．B．2C．D．
11．如图，在平面直角坐标系中，将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，依此方式，绕点O连续旋转2020次得到正方形OA2020B2020C2020，如果点A的坐标为（1，0），那么点B2020的坐标为（ ）
A．（﹣1，1）B．C．（﹣1，﹣1）D．
12．如图，抛物线y＝﹣x2+x+2与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，若点P是线段BC上方的抛物线上一动点，当△BCP的面积取得最大值时，点P的坐标是（ ）
A．（2，3）B．（，）C．（1，3）D．（3，2）
二、填空题（本大题共5小题，共15分）
13．如图，△ABC内接于⊙O，BD是⊙O的直径，∠CBD＝21°，则∠A的度数为 ．
14．如图，正方形EFGH的四个顶点分别在正方形ABCD的四条边上，若正方形EFGH与正方形ABCD的相似比为，则（AE＜BE）的值为 ．
15．如图，在平面直角坐标系中，点A是函数y＝（x＜0）图象上的点，过点A作y轴的垂线交y轴于点B，点C在x轴上，若△ABC的面积为1，则k的值为 ．
16．如图，在扇形AOB中，∠AOB＝120°，半径OC交弦AB于点D，且OC⊥OA．若OA＝2，则阴影部分的面积为 ．
17．有五张正面分别标有数字﹣2，﹣1，0，1，2的卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，记卡片上的数字为a，则使关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣1）x+a（a﹣3）＝0有两个不相等的实数根，且以x为自变量的二次函数y＝x2﹣（a2+1）x﹣a+2的图象不经过点（1，0）的概率是 ．
三．解答题（共69分）
18.（1）计算：（）﹣2﹣|1﹣tan60°|+sin60°+；
（2）解方程：2x2﹣7x+6＝0．
19.如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B．
（1）求证：△ADF∽△DEC；
（2）若AB＝8，AD＝12，AF＝6，求AE的长．
20．“脱贫攻坚战”打响以来，全国贫困人口减少了8000多万人．某市为了扎实落实脱贫攻坚中“两不愁，三保障”的住房保障工作，2018年投入5亿元资金，之后投入资金逐年增长，2020年投入7.2亿元资金用于保障性住房建设．
（1）求该市这两年投入资金的年平均增长率．
（2）2021年该市计划保持相同的年平均增长率投入资金用于保障性住房建设，如果每户能得到保障房补助款3万元，则2021年该市能够帮助多少户建设保障性住房？
21.某地的一座人行天桥如图所示，天桥高为6米，坡面BC的坡度为1：1，文化墙PM在天桥底部正前方8米处（PB的长），为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面的坡度为1：．（参考数据：≈1.414，≈1.732）
（1）若新坡面坡角为α，求坡角α度数；
（2）有关部门规定，文化墙距天桥底部小于3米时应拆除，天桥改造后，该文化墙PM是否需要拆除？请说明理由．
22.某商店销售一种商品，每件进价为40元，对销售情况作了调查，结果发现月最大销售是y（件）与销售单价x（元）（50≤x≤90）之间的函数关系如图中的线段AB．（月最大销售量指进货量足够的情况下最多售出件数）
（1）求出y与x之间的函数表达式．
（2）该商品每月的总利润w（元），求w关于x的函数表达式，并指出销售单价x为多少元时利润w最大，该月进货数量应定为多少？
（3）若该商店进货350件，如果销售不完，就以亏本36元/件计入总利润，则销售单价定为多少，当月月利润最大？
23.如图，一次函数y＝kx+b的图象与坐标轴分别交于A、B两点，与反比例函数y＝的图象在第一象限的交点为点C，CD⊥x轴，垂足为点D，若OB＝3，OD＝6，△AOB的面积为3．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）直接写出当x＞0时，kx+b﹣＞0的解集．
24如图，PA为⊙O的切线，A为切点，过点A作AB⊥OP，垂足为点C，交⊙O于点B，延长BO与PA的延长线交于点D．
（1）求证：PB为⊙O的切线；
（2）若OB＝3，OD＝5，求PB和AB的长．
25 如图，抛物线y＝ax2+bx+6与x轴交于点A（6，0），B（﹣1，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M为该抛物线对称轴上一点，当CM+BM最小时，求点M的坐标．
（3）抛物线上是否存在点P，使△ACP为直角三角形？若存在，有几个？写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．
2020-2021学年山东省聊城市莘县九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．在平行四边形ABCD中，点E是边AD上一点，且AE＝2ED，EC交对角线BD于点F，则△BCF与△DEF的周长比为（ ）
A．3B．9C．D．2
【分析】由平行四边形的性质得出BC＝AD＝3ED，AD∥BC，证明△BCF∽△DEF，得出＝＝＝＝3，证出BF＝3DF，CF＝3EF，由相似三角形的性质即可得出答案．
【解答】解：∵AE＝2ED，∴AD＝3ED，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD＝3ED，AD∥BC，
∴△BCF∽△DEF，
∴＝＝＝＝3，
∴BF＝3DF，CF＝3EF，
∴＝＝＝3，
故选：A．
2．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，BC＝2，则sinB的值为（ ）
A．B．C．D．
【分析】先根据勾股定理求出斜边AB的值，再利用正弦函数的定义计算即可．
【解答】解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，BC＝2，
∴AB＝＝，
∴sinB＝＝＝，
故选：A．
3．为防止疫情扩散，佩戴口罩成为疫情期间有效防范措施之一，某工厂为了能给市面上百日提供充足的口罩，第一个月至第三个月生产口罩由67500袋增加到90000袋，设该工厂第一个月至第三个月生产口罩平均每月增长率为x，则可列方程为（ ）
A．67500（1+2x）＝90000
B．67500×2（1+x）＝90000
C．67500+67500（1+x）+67500（1+x）2＝90000
D．67500（1+x）2＝90000
【分析】根据该工厂第一个月及第三个月生产口罩的数量，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：依题意，得67500（1+x）2＝90000，
故选：D．
4．如图，在⊙O中，直径AB⊥CD，∠A＝26°，则∠D度数是（ ）
A．26°B．38°C．52°D．64°
【分析】连接OC，如图，先根据圆周角定理得到∠BOC＝2∠A＝52°，再利用互余计算出∠OCD＝38°，然后利用等腰三角形的性质得到∠D的度数．
【解答】解：连接OC，如图，
∵∠A＝26°，
∴∠BOC＝2∠A＝52°，
∵AB⊥CD，
∴∠OCD＝90°﹣∠BOC＝90°﹣52°＝38°，
∵OC＝OD，
∴∠D＝∠OCD＝38°．
故选：B．
5．若点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3）在反比例函数y＝﹣的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＞y2＞y3B．y2＞y3＞y1C．y1＞y3＞y2D．y3＞y2＞y1
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征求出y1、y2、y3的值，比较后即可得出结论．
【解答】解：∵点A（﹣1，y1）、B（2，y2）、C（3，y3）在反比例函数y＝﹣的图象上，
∴y1＝﹣＝6，y2＝﹣＝﹣3，y3＝﹣＝﹣2，
又∵﹣3＜﹣2＜6，
∴y1＞y3＞y2．
故选：C．
6．在一个不透明的袋子中装有n个小球，这些球除颜色外均相同，其中红球有2个，如果从袋子中随机摸出一个球，这个球是红球的概率为，那么n的值是（ ）
A．6B．7C．8D．9
【分析】根据概率公式得到＝，然后利用比例性质求出n即可．
【解答】解：根据题意得＝，解得n＝6，
所以口袋中小球共有6个．
故选：A．
7．将二次函数y＝ax2的图象先向下平移2个单位，再向右平移3个单位，截x轴所得的线段长为4，则a＝（ ）
A．1B．C．D．
【分析】根据题意可以写出平移后的函数解析式，然后根据截x轴所得的线段长为4，可以求得a的值，本题得以解决．
【解答】解：二次函数y＝ax2的图象先向下平移2个单位，再向右平移3个单位之后的函数解析式为y＝a（x﹣3）2﹣2，
当y＝0时，ax2﹣6ax+9a﹣2＝0，
设方程ax2﹣6ax+9a﹣2＝0的两个根为x1，x2，
则x1+x2＝6，x1x2＝，
∵平移后的函数截x轴所得的线段长为4，
∴|x1﹣x2|＝4，
∴（x1﹣x2）2＝16，
∴（x1+x2）2﹣4x1x2＝16，
∴36﹣4×＝16，
解得，a＝，
故选：D．
8．菱形ABCD中，AE⊥BC于E，交BD于F点，下列结论：
①BF为∠ABE的角平分线；
②DF＝2BF；
③2AB2＝DF•DB；
④sin∠BAE＝．其中正确的为（ ）
A．①③B．①②④C．①④D．①③④
【分析】由四边形ABCD是菱形，即可得BF为∠ABE的角平分线；可得①正确；由当∠ABC＝60°时，DF＝2BF，可得②错误；连接AC，易证得△AOD∽△FAD，由相似三角形的对应边成比例，可证得AD：DF＝OD：AD，继而可得2AB2＝DF•DB，即④正确；连接FC，易证得△ABF≌△CBF（SAS），可得∠BCF＝∠BAE，AF＝CF，然后由正弦函数的定义，可求得④正确．
【解答】解：①∵四边形ABCD是菱形，
∴BF为∠ABE的角平分线，
故①正确；
②连接AC交BD于点O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝AD，
∴当∠ABC＝60°时，△ABC是等边三角形，
即AB＝AC，
则DF＝2BF，
∵∠ABC的度数不定，
∴DF不一定等于2BF；
故②错误；
③∵AE⊥BC，AD∥BC，
∴AE⊥AD，
∴∠FAD＝90°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OB＝OD＝DB，AD＝AB，
∴∠AOD＝∠FAD＝90°，
∵∠ADO＝∠FDA，
∴△AOD∽△FAD，
∴AD：DF＝OD：AD，
∴AD2＝DF•OD，
∴AB2＝DF•DB，
即2AB2＝DF•DB；
故③正确；
④连接CF，
在△ABF和△CBF中，，
∴△ABF≌△CBF（SAS），
∴∠BCF＝∠BAE，AF＝CF，
在Rt△EFC中，sin∠ECF＝＝，
∴sin∠BAE＝．
故④正确．
故选：D．
9．如图，在半径为的⊙O中，弦AB与CD交于点E，∠DEB＝75°，AB＝6，AE＝1，则CD的长是（ ）
A．2B．2C．2D．4
【分析】过点O作OF⊥CD于点F，OG⊥AB于G，连接OB、OD、OE，由垂径定理得出DF＝CF，AG＝BG＝AB＝3，得出EG＝AG﹣AE＝2，由勾股定理得出OG＝＝2，证出△EOG是等腰直角三角形，得出∠OEG＝45°，OE＝OG＝2，求出∠OEF＝30°，由直角三角形的性质得出OF＝OE＝，由勾股定理得出DF═，即可得出答案．
【解答】解：过点O作OF⊥CD于点F，OG⊥AB于G，连接OB、OD、OE，如图所示：
则DF＝CF，AG＝BG＝AB＝3，
∴EG＝AG﹣AE＝2，
在Rt△BOG中，OG＝＝＝2，
∴EG＝OG，
∴△EOG是等腰直角三角形，
∴∠OEG＝45°，OE＝OG＝2，
∵∠DEB＝75°，
∴∠OEF＝30°，
∴OF＝OE＝，
在Rt△ODF中，DF＝＝＝，
∴CD＝2DF＝2；
故选：C．
10．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，D为AB上一点，且AD：DB＝3：2，过点D作DE⊥AC于E，连接BE，则tan∠CEB的值等于（ ）
A．B．2C．D．
【分析】在Rt△AED中，sinA＝＝，可以假设AD＝15k，DE＝9k，则AE＝12k，利用平行线分线段成比例定理，求出BC，EC即可解决问题；
【解答】解：在Rt△AED中，∵sinA＝＝，
∴可以假设AD＝15k，DE＝9k，则AE＝12k，
∵AD：DB＝3：2，
∴DB＝10k，
∵DE∥BC，
∴＝＝，
∴＝＝，
∴BC＝15k，AC＝20k，
∴EC＝AC﹣AE＝8k，
∴tan∠CEB＝＝，
故选：D．
11．如图，在平面直角坐标系中，将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，依此方式，绕点O连续旋转2020次得到正方形OA2020B2020C2020，如果点A的坐标为（1，0），那么点B2020的坐标为（ ）
A．（﹣1，1）B．C．（﹣1，﹣1）D．
【分析】根据图形可知：点B在以O为圆心，以OB为半径的圆上运动，由旋转可知：将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，相当于将线段OB绕点O逆时针旋转45°，可得对应点B的坐标，根据规律发现是8次一循环，可得结论．
【解答】解：∵四边形OABC是正方形，且OA＝1，
∴B（1，1），
连接OB，
由勾股定理得：OB＝，
由旋转得：OB＝OB1＝OB2＝OB3＝…＝，
∵将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，
相当于将线段OB绕点O逆时针旋转45°，依次得到∠AOB＝∠BOB1＝∠B1OB2＝…＝45°，
∴B1（0，），B2（﹣1，1），B3（﹣，0），B4（﹣1，﹣1），…，
发现是8次一循环，所以2020÷8＝252…4，
∴点B2020的坐标为（﹣1，﹣1）
故选：C．
12．如图，抛物线y＝﹣x2+x+2与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，若点P是线段BC上方的抛物线上一动点，当△BCP的面积取得最大值时，点P的坐标是（ ）
A．（2，3）B．（，）C．（1，3）D．（3，2）
【分析】由△BCP的面积＝S△PHB+S△BHC＝PH×OB，即可求解．
【解答】解：对于y＝﹣x2+x+2，令y＝﹣x2+x+2＝0，解得x＝﹣1或4，令x＝0，则y＝2，
故点A、B、C的坐标分别为（﹣1，0）、（4，0）、（0，2），
过点P作y轴的平行线交BC于点H，
由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为y＝﹣x+2，
设点P的坐标为（x，﹣x2+x+2），则点H的坐标为（x，﹣x+2），
则△BCP的面积＝S△PHB+S△BHC＝PH×OB＝×4×（﹣x2+x+2+x﹣2）＝﹣x2+4x，
∵﹣1＜0，故△BCP的面积有最大值，
当x＝2时，△BCP的面积有最大值，
此时，点P的坐标为（2，3），
故选：A．
二．填空题（共5小题）
13．如图，△ABC内接于⊙O，BD是⊙O的直径，∠CBD＝21°，则∠A的度数为 69° ．
【分析】直接利用圆周角定理得出∠BCD＝90°，进而得出答案．
【解答】解：∵△ABC内接于⊙O，BD是⊙O的直径，
∴∠BCD＝90°，
∵∠CBD＝21°，
∴∠A＝∠D＝90°﹣21°＝69°．
故答案为：69°
14．如图，正方形EFGH的四个顶点分别在正方形ABCD的四条边上，若正方形EFGH与正方形ABCD的相似比为，则（AE＜BE）的值为 ．
【分析】由正方形EFGH与正方形ABCD的相似比为，不妨假设EF＝k，AB＝3k，证明△HAE≌△EBF（AAS），推出AE＝BF，设AE＝BF＝x则EB＝3k﹣x，在Rt△EFB中，根据EF2＝BE2+BF2，构建方程即可解决问题．
【解答】解：∵正方形EFGH与正方形ABCD的相似比为，
∴不妨假设EF＝k，AB＝3k，
∵∠A＝∠B＝∠FEH＝90°，
∴∠AEH+∠BEF＝90°，∠BEF+∠EFB＝90°，
∴∠AEH＝∠EFB，
∵EH＝EF，
∴△HAE≌△EBF（AAS），
∴AE＝BF，设AE＝BF＝x则EB＝3k﹣x，
在Rt△EFB中，∵EF2＝BE2+BF2，
∴（k）2＝（3k﹣x）2+x2，
整理得x2﹣3kx+2k2＝0，
解得x＝k或2k（舍弃），
∴AE＝k，BE＝2k，
∴＝，
故答案为．
15．如图，在平面直角坐标系中，点A是函数y＝（x＜0）图象上的点，过点A作y轴的垂线交y轴于点B，点C在x轴上，若△ABC的面积为1，则k的值为 ﹣2 ．
【分析】根据已知条件得到三角形ABO的面积＝AB•OB，由于三角形ABC的面积＝AB•OB＝1，得到|k|＝2，即可得到结论．
【解答】解：∵AB⊥y轴，
∴AB∥CO，
∴三角形AOB的面积＝AB•OB，
∵S三角形ABC＝AB•OB＝1，
∴|k|＝2，
∵k＜0，
∴k＝﹣2，
故答案为﹣2．
16．如图，在扇形AOB中，∠AOB＝120°，半径OC交弦AB于点D，且OC⊥OA．若OA＝2，则阴影部分的面积为 +π ．
【分析】根据题意，作出合适的辅助线，然后根据图形可知阴影部分的面积是△AOD的面积与扇形OBC的面积之和再减去△BDO的面积，本题得以解决．
【解答】解：作OE⊥AB于点F，
∵在扇形AOB中，∠AOB＝120°，半径OC交弦AB于点D，且OC⊥OA．OA＝2，
∴∠AOD＝90°，∠BOC＝30°，OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA＝30°，
∴OD＝OA•tan30°＝×＝2，AD＝4，AB＝2AF＝2×2×＝6，OF＝，
∴BD＝2，
∴阴影部分的面积是：S△AOD+S扇形OBC﹣S△BDO＝＝+π，
故答案为：+π．
17．有五张正面分别标有数字﹣2，﹣1，0，1，2的卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，记卡片上的数字为a，则使关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣1）x+a（a﹣3）＝0有两个不相等的实数根，且以x为自变量的二次函数y＝x2﹣（a2+1）x﹣a+2的图象不经过点（1，0）的概率是 ．
【分析】首先根据使关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣1）x+a（a﹣3）＝0有两个不相等的实数根，且以x为自变量的二次函数y＝x2﹣（a2+1）x﹣a+2的图象不经过点（1，0）确定a的值，然后利用概率公式求解．
【解答】解：∵使关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣1）x+a（a﹣3）＝0有两个不相等的实数根，
∴[﹣2（a﹣1）]2﹣4×1×a（a﹣3）＞0，
解得：a＞﹣1，
∵以x为自变量的二次函数y＝x2﹣（a2+1）x﹣a+2的图象不经过点（1，0），
∴12﹣（a2+1）﹣a+2≠0，
∴a≠1且a≠﹣2，
∴满足条件的a只有0和2，
∴使关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣1）x+a（a﹣3）＝0有两个不相等的实数根，且以x为自变量的二次函数y＝x2﹣（a2+1）x﹣a+2的图象不经过点（1，0）的概率是，
故答案为：．
三．解答题
18.（1）计算：（）﹣2﹣|1﹣tan60°|+sin60°+；
（2）解方程：2x2﹣7x+6＝0．
【考点】实数的运算；负整数指数幂；解一元二次方程﹣因式分解法；特殊角的三角函数值．
【专题】实数；一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】（1）7﹣；
（2）x1＝2，x2＝1.5．
【分析】（1）先计算负整数指数幂、代入三角函数值、计算算术平方根，再去绝对值符号，最后计算加减即可；
（2）利用因式分解法求解即可．
【解答】解：（1）原式＝4﹣|1﹣|++2
＝4+1﹣++2
＝7﹣；
（2）∵2x2﹣7x+6＝0，
∴（x﹣2）（2x﹣3）＝0，
则x﹣2＝0或2x﹣3＝0，
解得x1＝2，x2＝1.5．
19.如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B．
（1）求证：△ADF∽△DEC；
（2）若AB＝8，AD＝12，AF＝6，求AE的长．
【考点】平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；图形的相似；几何直观；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）△ADF和△DEC中，易知∠ADF＝∠CED（平行线的内错角），而∠AFD和∠C是等角的补角，由此可判定两个三角形相似；
（2）根据平行四边形的性质可得出CD＝AB＝8，根据相似三角形的性质可得出＝，代入各线段长度可求出DE的长度，再在Rt△ADE中，利用勾股定理即可求出AE的长．．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠ADF＝∠CED，∠B+∠C＝180°；
∵∠AFE+∠AFD＝180°，∠AFE＝∠B，
∴∠AFD＝∠C，
∴△ADF∽△DEC；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC＝AB＝8．
∵△ADF∽△DEC，
∴＝，即＝，
∴DE＝16．
∵AD∥BC，AE⊥BC，
∴AE⊥AD．
在Rt△ADE中，∠EAD＝90°，DE＝16，AD＝12，
∴AE＝＝＝＝4．
20．“脱贫攻坚战”打响以来，全国贫困人口减少了8000多万人．某市为了扎实落实脱贫攻坚中“两不愁，三保障”的住房保障工作，2018年投入5亿元资金，之后投入资金逐年增长，2020年投入7.2亿元资金用于保障性住房建设．
（1）求该市这两年投入资金的年平均增长率．
（2）2021年该市计划保持相同的年平均增长率投入资金用于保障性住房建设，如果每户能得到保障房补助款3万元，则2021年该市能够帮助多少户建设保障性住房？
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】增长率问题；应用意识．
【答案】（1）该市这两年投入资金的年平均增长率为20%．
（2）2021年能帮助28800户建设保障性住房．
【分析】（1）今年年要投入资金是5（1+x）万元，在今年的基础上再增长x，就是明年的资金投入5（1+x）（1+x），由此可列出方程5（1+x）2＝7.2，求解即可；
（2）将（1）中求得的增长率代入即可求得2021年能够帮助多少户建设保障性住房．
【解答】解：（1）设年平均增长率为x，
依题意得：5（1+x）2＝7.2．
解得x1＝﹣2.2（舍去），x2＝0.2．
∴x＝0.2＝20%．
答：该市这两年投入资金的年平均增长率为20%．
（2）7.2×（1+20%）＝8.64（亿元）＝86400（万元）
86400÷3＝28800（户）
答：2021年能帮助28800户建设保障性住房．
21.某地的一座人行天桥如图所示，天桥高为6米，坡面BC的坡度为1：1，文化墙PM在天桥底部正前方8米处（PB的长），为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面的坡度为1：．（参考数据：≈1.414，≈1.732）
（1）若新坡面坡角为α，求坡角α度数；
（2）有关部门规定，文化墙距天桥底部小于3米时应拆除，天桥改造后，该文化墙PM是否需要拆除？请说明理由．
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
【专题】解直角三角形及其应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据新的坡度，可以求得坡角的正切值，从而可以解答本题；
（2）根据题意和题目中的数据可以求得PA的长度，然后与3比较大小即可解答本题．
【解答】解：（1）∵新坡面坡角为α，新坡面的坡度为1：，
∴tanα＝，
∴α＝30°；
（2）该文化墙PM不需要拆除，
理由：作CD⊥AB于点D，则CD＝6米，
∵新坡面的坡度为1：，
∴tan∠CAD＝，
解得，AD＝6米，
∵坡面BC的坡度为1：1，CD＝6米，
∴BD＝6米，
∴AB＝AD﹣BD＝（﹣6）米，
又∵PB＝8米，
∴PA＝PB﹣AB＝8﹣（﹣6）＝14﹣6≈14﹣6×1.732≈3.6米＞3米，
∴该文化墙PM不需要拆除．
22.某商店销售一种商品，每件进价为40元，对销售情况作了调查，结果发现月最大销售是y（件）与销售单价x（元）（50≤x≤90）之间的函数关系如图中的线段AB．（月最大销售量指进货量足够的情况下最多售出件数）
（1）求出y与x之间的函数表达式．
（2）该商品每月的总利润w（元），求w关于x的函数表达式，并指出销售单价x为多少元时利润w最大，该月进货数量应定为多少？
（3）若该商店进货350件，如果销售不完，就以亏本36元/件计入总利润，则销售单价定为多少，当月月利润最大？
【考点】二次函数的应用．
【专题】二次函数的应用；运算能力；应用意识．
【答案】（1）y＝﹣10x+1000；
（2）w＝﹣10（x﹣70）2+9000，70，300；
（3）52．
【分析】（1）根据函数图象中的数据，可以得到y与x之间的函数表达式；
（2）根据题意，可以得到w关于x的函数表达式，并指出销售单价x为多少元时利润w最大，该月进货数量应定为多少；
（3）根据题意，可以得到利润与单价之间的函数关系式，然后即可得到销售单价定为多少，当月月利润最大．
【解答】解：（1）设y与x的函数关系式为y＝kx+b，
∵点（50，500），（90，100）在函数y＝kx+b上，
∴，
解得，
即y与x的函数关系式为y＝﹣10x+1000；
（2）由题意可得，
w＝（x﹣40）（﹣10x+1000）＝﹣10（x﹣70）2+9000，
∴当x＝70时，w取得最大值，此时﹣10x+1000＝300，
即w关于x的函数表达式是w＝﹣10（x﹣70）2+9000，销售单价x为70元时利润w最大，该月进货数量应定为300件；
（3）设销售利润为W元，
W＝（x﹣40）（﹣10x+1000）﹣36[350﹣（﹣10x+1000）]＝﹣10（x﹣52）2+10440，
∴当x＝52时，W取得最大值，
即销售单价定为52元时，当月月利润最大．
23.如图，一次函数y＝kx+b的图象与坐标轴分别交于A、B两点，与反比例函数y＝的图象在第一象限的交点为点C，CD⊥x轴，垂足为点D，若OB＝3，OD＝6，△AOB的面积为3．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）直接写出当x＞0时，kx+b﹣＞0的解集．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【专题】反比例函数及其应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据三角形面积求出OA，得出A、B的坐标，代入一次函数的解析式即可求出解析式，把x＝6代入求出C的坐标，把C的坐标代入反比例函数的解析式求出即可；
（2）根据图象即可得出kx+b﹣＞0的解集．
【解答】解：（1）∵S△AOB＝3，OB＝3，
∴OA＝2，
∴B（3，0），A（0，﹣2），
代入y＝kx+b得：，
解得：k＝，b＝﹣2，
∴一次函数y＝x﹣2，
∵OD＝6，
∴D（6，0），CD⊥x轴，
当x＝6时，y＝×6﹣2＝2，
∴C（6，2），
∴n＝6×2＝12，
∴反比例函数的解析式是y＝；
（2）当x＞0时，kx+b﹣＞0的解集是x＞6．
24如图，PA为⊙O的切线，A为切点，过点A作AB⊥OP，垂足为点C，交⊙O于点B，延长BO与PA的延长线交于点D．
（1）求证：PB为⊙O的切线；
（2）若OB＝3，OD＝5，求PB和AB的长．
【考点】勾股定理；垂径定理；切线的判定与性质．
【专题】与圆有关的位置关系；推理能力．
【答案】（1）证明见解答过程；
（2）．
【分析】（1）连接OA，根据切线的性质得到∠OAP＝90°，证明△OBP≌△OAP，根据全等三角形的性质得到∠OBP＝∠OAP＝90°，根据切线的判定定理证明结论；
（2）先根据勾股定理求出AD，再求出PB，根据三角形的面积公式求出BC，根据垂径定理解答即可．
【解答】（1）证明：连接OA，
∴由垂径定理可知：∠BOC＝∠AOC，
∵PA是⊙O的切线，
∴∠OAP＝90°，
在△OBP与△OAP中，
，
∴△OBP≌△OAP（SAS），
∴∠OBP＝∠OAP＝90°，
∵OB是⊙O半径，
∴PB是⊙O的切线；
（2）解：在Rt△AOD中，AD＝＝4，
∵PA、PB为⊙O的切线，
∴PA＝PB，
在Rt△DBP中，PD2＝PB2+BD2，即（PA+4）2＝PB2+82，
解得，PB＝PA＝6，
在Rt△OBP中，OP＝＝3，
∵S△OBP＝×OP×BC＝×OB×PB，
∴×3×BC＝×3×6，
解得，BC＝，
∴AB＝2BC＝．
25 如图，抛物线y＝ax2+bx+6与x轴交于点A（6，0），B（﹣1，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M为该抛物线对称轴上一点，当CM+BM最小时，求点M的坐标．
（3）抛物线上是否存在点P，使△ACP为直角三角形？若存在，有几个？写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．
【考点】二次函数综合题．
【专题】代数几何综合题；几何直观．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）先确定C（0，6），设交点式y＝a（x+1）（x﹣6），然后把C点坐标代入求出a的值即可；
（2）连接AC，与对称轴交点即为所求点M，先利用待定系数法求出AC所在直线解析式，再将二次函数解析式配方得到其对称轴方程，继而可得答案；
（3）设P点坐标为（x，﹣x2+5x+6），根据两点间的距离公式得到PC2＝x2+（﹣x2+5x）2，PA2＝（x﹣6）2+（﹣x2+5x+6）2，AC2＝72，讨论：当∠PAC＝90°，利用勾股定理得到（x﹣6）2+（﹣x2+5x+6）2+72＝x2+（﹣x2+5x）2；当∠PCA＝90°，利用勾股定理得到72+x2+（﹣x2+5x）2＝（x﹣6）2+（﹣x2+5x+6）2；当∠APC＝90°，利用勾股定理得到（x﹣6）2+（﹣x2+5x+6）2+x2+（﹣x2+5x）2＝72，然后分别解方程即可得到对应的P点坐标．
【解答】解：（1）当x＝0时，y＝ax2+bx+6＝6，则C（0，6），
设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣6），
把C（0，6）代入得a•1•（﹣6）＝6，解得a＝﹣1，
∴抛物线的解析式为y＝﹣（x+1）（x﹣6），即y＝﹣x2+5x+6；
（2）连接AC，与对称轴交点即为所求点M，
设AC所在直线的解析式为y＝mx+n，
将A（6，0），C（0，6）代入，得：，
解得：，
则AC所在直线解析式为y＝﹣x+6，
又y＝﹣x2+5x+6＝﹣（x﹣）2+，
∴抛物线的对称轴为直线x＝，
在直线y＝﹣x+6中当x＝时，y＝，
则M的坐标为（，）；
（3）设P点坐标为（x，﹣x2+5x+6），
存在4个点P，使△ACP为直角三角形．
PC2＝x2+（﹣x2+5x）2，PA2＝（x﹣6）2+（﹣x2+5x+6）2，AC2＝62+62＝72，
当∠PAC＝90°，∵PA2+AC2＝PC2，
∴（x﹣6）2+（﹣x2+5x+6）2+72＝x2+（﹣x2+5x）2，
整理得x2﹣4x﹣12＝0，解得x1＝6（舍去），x2＝﹣2，此时P点坐标为（﹣2，﹣8）；
当∠PCA＝90°，∵PC2+AC2＝PA2，
72+x2+（﹣x2+5x）2＝（x﹣6）2+（﹣x2+5x+6）2，
整理得x2﹣4x＝0，解得x1＝0（舍去），x2＝4，此时P点坐标为（4，10）；
当∠APC＝90°，∵PA2+AC2＝PC2，
∴（x﹣6）2+（﹣x2+5x+6）2+x2+（﹣x2+5x）2＝72，
整理得x3﹣10x2+20x+24＝0，
x3﹣10x2+24x﹣4x+24＝0，
x（x2﹣10x+24）﹣4（x﹣6）＝0，
x（x﹣4）（x﹣6）﹣4（x﹣6）＝0，
（x﹣6）（x2﹣4x﹣4）＝0，
而x﹣6≠0，
所以x2﹣4x﹣4＝0，解得x1＝2+2，x2＝2﹣2，
此时P点坐标为（2+2，4+2）或（2﹣2，4﹣2）；
综上所述，符合条件的点P的坐标为（﹣2，﹣8）或（4，10）或（2+2，4+2）或（2﹣2，4﹣2）．
1．在平行四边形ABCD中，点E是边AD上一点，且AE＝2ED，EC交对角线BD于点F，则△BCF与△DEF的周长比为（ ）
A．3B．9C．D．2
2．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，BC＝2，则sinB的值为（ ）
A．B．C．D．
3．为防止疫情扩散，佩戴口罩成为疫情期间有效防范措施之一，某工厂为了能给市面上百日提供充足的口罩，第一个月至第三个月生产口罩由67500袋增加到90000袋，设该工厂第一个月至第三个月生产口罩平均每月增长率为x，则可列方程为（ ）
A．67500（1+2x）＝90000
B．67500×2（1+x）＝90000
C．67500+67500（1+x）+67500（1+x）2＝90000
D．67500（1+x）2＝90000
4．如图，在⊙O中，直径AB⊥CD，∠A＝26°，则∠D度数是（ ）
A．26°B．38°C．52°D．64°
5．若点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3）在反比例函数y＝﹣的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＞y2＞y3B．y2＞y3＞y1C．y1＞y3＞y2D．y3＞y2＞y1
6．在一个不透明的袋子中装有n个小球，这些球除颜色外均相同，其中红球有2个，如果从袋子中随机摸出一个球，这个球是红球的概率为，那么n的值是（ ）
A．6B．7C．8D．9
7．将二次函数y＝ax2的图象先向下平移2个单位，再向右平移3个单位，截x轴所得的线段长为4，则a＝（ ）
A．1B．C．D．
8．菱形ABCD中，AE⊥BC于E，交BD于F点，下列结论：
①BF为∠ABE的角平分线；
②DF＝2BF；
③2AB2＝DF•DB；
④sin∠BAE＝．其中正确的为（ ）
A．①③B．①②④C．①④D．①③④
9．如图，在半径为的⊙O中，弦AB与CD交于点E，∠DEB＝75°，AB＝6，AE＝1，则CD的长是（ ）
A．2B．2C．2D．4
10．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，D为AB上一点，且AD：DB＝3：2，过点D作DE⊥AC于E，连接BE，则tan∠CEB的值等于（ ）
A．B．2C．D．
11．如图，在平面直角坐标系中，将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，依此方式，绕点O连续旋转2020次得到正方形OA2020B2020C2020，如果点A的坐标为（1，0），那么点B2020的坐标为（ ）
A．（﹣1，1）B．C．（﹣1，﹣1）D．
12．如图，抛物线y＝﹣x2+x+2与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，若点P是线段BC上方的抛物线上一动点，当△BCP的面积取得最大值时，点P的坐标是（ ）
A．（2，3）B．（，）C．（1，3）D．（3，2）
二、填空题（本大题共5小题，共15分）
13．如图，△ABC内接于⊙O，BD是⊙O的直径，∠CBD＝21°，则∠A的度数为 ．
14．如图，正方形EFGH的四个顶点分别在正方形ABCD的四条边上，若正方形EFGH与正方形ABCD的相似比为，则（AE＜BE）的值为 ．
15．如图，在平面直角坐标系中，点A是函数y＝（x＜0）图象上的点，过点A作y轴的垂线交y轴于点B，点C在x轴上，若△ABC的面积为1，则k的值为 ．
16．如图，在扇形AOB中，∠AOB＝120°，半径OC交弦AB于点D，且OC⊥OA．若OA＝2，则阴影部分的面积为 ．
17．有五张正面分别标有数字﹣2，﹣1，0，1，2的卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，记卡片上的数字为a，则使关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣1）x+a（a﹣3）＝0有两个不相等的实数根，且以x为自变量的二次函数y＝x2﹣（a2+1）x﹣a+2的图象不经过点（1，0）的概率是 ．
三．解答题（共69分）
18.（1）计算：（）﹣2﹣|1﹣tan60°|+sin60°+；
（2）解方程：2x2﹣7x+6＝0．
19.如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B．
（1）求证：△ADF∽△DEC；
（2）若AB＝8，AD＝12，AF＝6，求AE的长．
20．“脱贫攻坚战”打响以来，全国贫困人口减少了8000多万人．某市为了扎实落实脱贫攻坚中“两不愁，三保障”的住房保障工作，2018年投入5亿元资金，之后投入资金逐年增长，2020年投入7.2亿元资金用于保障性住房建设．
（1）求该市这两年投入资金的年平均增长率．
（2）2021年该市计划保持相同的年平均增长率投入资金用于保障性住房建设，如果每户能得到保障房补助款3万元，则2021年该市能够帮助多少户建设保障性住房？
21.某地的一座人行天桥如图所示，天桥高为6米，坡面BC的坡度为1：1，文化墙PM在天桥底部正前方8米处（PB的长），为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面的坡度为1：．（参考数据：≈1.414，≈1.732）
（1）若新坡面坡角为α，求坡角α度数；
（2）有关部门规定，文化墙距天桥底部小于3米时应拆除，天桥改造后，该文化墙PM是否需要拆除？请说明理由．
22.某商店销售一种商品，每件进价为40元，对销售情况作了调查，结果发现月最大销售是y（件）与销售单价x（元）（50≤x≤90）之间的函数关系如图中的线段AB．（月最大销售量指进货量足够的情况下最多售出件数）
（1）求出y与x之间的函数表达式．
（2）该商品每月的总利润w（元），求w关于x的函数表达式，并指出销售单价x为多少元时利润w最大，该月进货数量应定为多少？
（3）若该商店进货350件，如果销售不完，就以亏本36元/件计入总利润，则销售单价定为多少，当月月利润最大？
23.如图，一次函数y＝kx+b的图象与坐标轴分别交于A、B两点，与反比例函数y＝的图象在第一象限的交点为点C，CD⊥x轴，垂足为点D，若OB＝3，OD＝6，△AOB的面积为3．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）直接写出当x＞0时，kx+b﹣＞0的解集．
24如图，PA为⊙O的切线，A为切点，过点A作AB⊥OP，垂足为点C，交⊙O于点B，延长BO与PA的延长线交于点D．
（1）求证：PB为⊙O的切线；
（2）若OB＝3，OD＝5，求PB和AB的长．
25 如图，抛物线y＝ax2+bx+6与x轴交于点A（6，0），B（﹣1，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M为该抛物线对称轴上一点，当CM+BM最小时，求点M的坐标．
（3）抛物线上是否存在点P，使△ACP为直角三角形？若存在，有几个？写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．
2020-2021学年山东省聊城市莘县九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．在平行四边形ABCD中，点E是边AD上一点，且AE＝2ED，EC交对角线BD于点F，则△BCF与△DEF的周长比为（ ）
A．3B．9C．D．2
【分析】由平行四边形的性质得出BC＝AD＝3ED，AD∥BC，证明△BCF∽△DEF，得出＝＝＝＝3，证出BF＝3DF，CF＝3EF，由相似三角形的性质即可得出答案．
【解答】解：∵AE＝2ED，∴AD＝3ED，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD＝3ED，AD∥BC，
∴△BCF∽△DEF，
∴＝＝＝＝3，
∴BF＝3DF，CF＝3EF，
∴＝＝＝3，
故选：A．
2．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，BC＝2，则sinB的值为（ ）
A．B．C．D．
【分析】先根据勾股定理求出斜边AB的值，再利用正弦函数的定义计算即可．
【解答】解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，BC＝2，
∴AB＝＝，
∴sinB＝＝＝，
故选：A．
3．为防止疫情扩散，佩戴口罩成为疫情期间有效防范措施之一，某工厂为了能给市面上百日提供充足的口罩，第一个月至第三个月生产口罩由67500袋增加到90000袋，设该工厂第一个月至第三个月生产口罩平均每月增长率为x，则可列方程为（ ）
A．67500（1+2x）＝90000
B．67500×2（1+x）＝90000
C．67500+67500（1+x）+67500（1+x）2＝90000
D．67500（1+x）2＝90000
【分析】根据该工厂第一个月及第三个月生产口罩的数量，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：依题意，得67500（1+x）2＝90000，
故选：D．
4．如图，在⊙O中，直径AB⊥CD，∠A＝26°，则∠D度数是（ ）
A．26°B．38°C．52°D．64°
【分析】连接OC，如图，先根据圆周角定理得到∠BOC＝2∠A＝52°，再利用互余计算出∠OCD＝38°，然后利用等腰三角形的性质得到∠D的度数．
【解答】解：连接OC，如图，
∵∠A＝26°，
∴∠BOC＝2∠A＝52°，
∵AB⊥CD，
∴∠OCD＝90°﹣∠BOC＝90°﹣52°＝38°，
∵OC＝OD，
∴∠D＝∠OCD＝38°．
故选：B．
5．若点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3）在反比例函数y＝﹣的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＞y2＞y3B．y2＞y3＞y1C．y1＞y3＞y2D．y3＞y2＞y1
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征求出y1、y2、y3的值，比较后即可得出结论．
【解答】解：∵点A（﹣1，y1）、B（2，y2）、C（3，y3）在反比例函数y＝﹣的图象上，
∴y1＝﹣＝6，y2＝﹣＝﹣3，y3＝﹣＝﹣2，
又∵﹣3＜﹣2＜6，
∴y1＞y3＞y2．
故选：C．
6．在一个不透明的袋子中装有n个小球，这些球除颜色外均相同，其中红球有2个，如果从袋子中随机摸出一个球，这个球是红球的概率为，那么n的值是（ ）
A．6B．7C．8D．9
【分析】根据概率公式得到＝，然后利用比例性质求出n即可．
【解答】解：根据题意得＝，解得n＝6，
所以口袋中小球共有6个．
故选：A．
7．将二次函数y＝ax2的图象先向下平移2个单位，再向右平移3个单位，截x轴所得的线段长为4，则a＝（ ）
A．1B．C．D．
【分析】根据题意可以写出平移后的函数解析式，然后根据截x轴所得的线段长为4，可以求得a的值，本题得以解决．
【解答】解：二次函数y＝ax2的图象先向下平移2个单位，再向右平移3个单位之后的函数解析式为y＝a（x﹣3）2﹣2，
当y＝0时，ax2﹣6ax+9a﹣2＝0，
设方程ax2﹣6ax+9a﹣2＝0的两个根为x1，x2，
则x1+x2＝6，x1x2＝，
∵平移后的函数截x轴所得的线段长为4，
∴|x1﹣x2|＝4，
∴（x1﹣x2）2＝16，
∴（x1+x2）2﹣4x1x2＝16，
∴36﹣4×＝16，
解得，a＝，
故选：D．
8．菱形ABCD中，AE⊥BC于E，交BD于F点，下列结论：
①BF为∠ABE的角平分线；
②DF＝2BF；
③2AB2＝DF•DB；
④sin∠BAE＝．其中正确的为（ ）
A．①③B．①②④C．①④D．①③④
【分析】由四边形ABCD是菱形，即可得BF为∠ABE的角平分线；可得①正确；由当∠ABC＝60°时，DF＝2BF，可得②错误；连接AC，易证得△AOD∽△FAD，由相似三角形的对应边成比例，可证得AD：DF＝OD：AD，继而可得2AB2＝DF•DB，即④正确；连接FC，易证得△ABF≌△CBF（SAS），可得∠BCF＝∠BAE，AF＝CF，然后由正弦函数的定义，可求得④正确．
【解答】解：①∵四边形ABCD是菱形，
∴BF为∠ABE的角平分线，
故①正确；
②连接AC交BD于点O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝AD，
∴当∠ABC＝60°时，△ABC是等边三角形，
即AB＝AC，
则DF＝2BF，
∵∠ABC的度数不定，
∴DF不一定等于2BF；
故②错误；
③∵AE⊥BC，AD∥BC，
∴AE⊥AD，
∴∠FAD＝90°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OB＝OD＝DB，AD＝AB，
∴∠AOD＝∠FAD＝90°，
∵∠ADO＝∠FDA，
∴△AOD∽△FAD，
∴AD：DF＝OD：AD，
∴AD2＝DF•OD，
∴AB2＝DF•DB，
即2AB2＝DF•DB；
故③正确；
④连接CF，
在△ABF和△CBF中，，
∴△ABF≌△CBF（SAS），
∴∠BCF＝∠BAE，AF＝CF，
在Rt△EFC中，sin∠ECF＝＝，
∴sin∠BAE＝．
故④正确．
故选：D．
9．如图，在半径为的⊙O中，弦AB与CD交于点E，∠DEB＝75°，AB＝6，AE＝1，则CD的长是（ ）
A．2B．2C．2D．4
【分析】过点O作OF⊥CD于点F，OG⊥AB于G，连接OB、OD、OE，由垂径定理得出DF＝CF，AG＝BG＝AB＝3，得出EG＝AG﹣AE＝2，由勾股定理得出OG＝＝2，证出△EOG是等腰直角三角形，得出∠OEG＝45°，OE＝OG＝2，求出∠OEF＝30°，由直角三角形的性质得出OF＝OE＝，由勾股定理得出DF═，即可得出答案．
【解答】解：过点O作OF⊥CD于点F，OG⊥AB于G，连接OB、OD、OE，如图所示：
则DF＝CF，AG＝BG＝AB＝3，
∴EG＝AG﹣AE＝2，
在Rt△BOG中，OG＝＝＝2，
∴EG＝OG，
∴△EOG是等腰直角三角形，
∴∠OEG＝45°，OE＝OG＝2，
∵∠DEB＝75°，
∴∠OEF＝30°，
∴OF＝OE＝，
在Rt△ODF中，DF＝＝＝，
∴CD＝2DF＝2；
故选：C．
10．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，D为AB上一点，且AD：DB＝3：2，过点D作DE⊥AC于E，连接BE，则tan∠CEB的值等于（ ）
A．B．2C．D．
【分析】在Rt△AED中，sinA＝＝，可以假设AD＝15k，DE＝9k，则AE＝12k，利用平行线分线段成比例定理，求出BC，EC即可解决问题；
【解答】解：在Rt△AED中，∵sinA＝＝，
∴可以假设AD＝15k，DE＝9k，则AE＝12k，
∵AD：DB＝3：2，
∴DB＝10k，
∵DE∥BC，
∴＝＝，
∴＝＝，
∴BC＝15k，AC＝20k，
∴EC＝AC﹣AE＝8k，
∴tan∠CEB＝＝，
故选：D．
11．如图，在平面直角坐标系中，将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，依此方式，绕点O连续旋转2020次得到正方形OA2020B2020C2020，如果点A的坐标为（1，0），那么点B2020的坐标为（ ）
A．（﹣1，1）B．C．（﹣1，﹣1）D．
【分析】根据图形可知：点B在以O为圆心，以OB为半径的圆上运动，由旋转可知：将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，相当于将线段OB绕点O逆时针旋转45°，可得对应点B的坐标，根据规律发现是8次一循环，可得结论．
【解答】解：∵四边形OABC是正方形，且OA＝1，
∴B（1，1），
连接OB，
由勾股定理得：OB＝，
由旋转得：OB＝OB1＝OB2＝OB3＝…＝，
∵将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，
相当于将线段OB绕点O逆时针旋转45°，依次得到∠AOB＝∠BOB1＝∠B1OB2＝…＝45°，
∴B1（0，），B2（﹣1，1），B3（﹣，0），B4（﹣1，﹣1），…，
发现是8次一循环，所以2020÷8＝252…4，
∴点B2020的坐标为（﹣1，﹣1）
故选：C．
12．如图，抛物线y＝﹣x2+x+2与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，若点P是线段BC上方的抛物线上一动点，当△BCP的面积取得最大值时，点P的坐标是（ ）
A．（2，3）B．（，）C．（1，3）D．（3，2）
【分析】由△BCP的面积＝S△PHB+S△BHC＝PH×OB，即可求解．
【解答】解：对于y＝﹣x2+x+2，令y＝﹣x2+x+2＝0，解得x＝﹣1或4，令x＝0，则y＝2，
故点A、B、C的坐标分别为（﹣1，0）、（4，0）、（0，2），
过点P作y轴的平行线交BC于点H，
由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为y＝﹣x+2，
设点P的坐标为（x，﹣x2+x+2），则点H的坐标为（x，﹣x+2），
则△BCP的面积＝S△PHB+S△BHC＝PH×OB＝×4×（﹣x2+x+2+x﹣2）＝﹣x2+4x，
∵﹣1＜0，故△BCP的面积有最大值，
当x＝2时，△BCP的面积有最大值，
此时，点P的坐标为（2，3），
故选：A．
二．填空题（共5小题）
13．如图，△ABC内接于⊙O，BD是⊙O的直径，∠CBD＝21°，则∠A的度数为 69° ．
【分析】直接利用圆周角定理得出∠BCD＝90°，进而得出答案．
【解答】解：∵△ABC内接于⊙O，BD是⊙O的直径，
∴∠BCD＝90°，
∵∠CBD＝21°，
∴∠A＝∠D＝90°﹣21°＝69°．
故答案为：69°
14．如图，正方形EFGH的四个顶点分别在正方形ABCD的四条边上，若正方形EFGH与正方形ABCD的相似比为，则（AE＜BE）的值为 ．
【分析】由正方形EFGH与正方形ABCD的相似比为，不妨假设EF＝k，AB＝3k，证明△HAE≌△EBF（AAS），推出AE＝BF，设AE＝BF＝x则EB＝3k﹣x，在Rt△EFB中，根据EF2＝BE2+BF2，构建方程即可解决问题．
【解答】解：∵正方形EFGH与正方形ABCD的相似比为，
∴不妨假设EF＝k，AB＝3k，
∵∠A＝∠B＝∠FEH＝90°，
∴∠AEH+∠BEF＝90°，∠BEF+∠EFB＝90°，
∴∠AEH＝∠EFB，
∵EH＝EF，
∴△HAE≌△EBF（AAS），
∴AE＝BF，设AE＝BF＝x则EB＝3k﹣x，
在Rt△EFB中，∵EF2＝BE2+BF2，
∴（k）2＝（3k﹣x）2+x2，
整理得x2﹣3kx+2k2＝0，
解得x＝k或2k（舍弃），
∴AE＝k，BE＝2k，
∴＝，
故答案为．
15．如图，在平面直角坐标系中，点A是函数y＝（x＜0）图象上的点，过点A作y轴的垂线交y轴于点B，点C在x轴上，若△ABC的面积为1，则k的值为 ﹣2 ．
【分析】根据已知条件得到三角形ABO的面积＝AB•OB，由于三角形ABC的面积＝AB•OB＝1，得到|k|＝2，即可得到结论．
【解答】解：∵AB⊥y轴，
∴AB∥CO，
∴三角形AOB的面积＝AB•OB，
∵S三角形ABC＝AB•OB＝1，
∴|k|＝2，
∵k＜0，
∴k＝﹣2，
故答案为﹣2．
16．如图，在扇形AOB中，∠AOB＝120°，半径OC交弦AB于点D，且OC⊥OA．若OA＝2，则阴影部分的面积为 +π ．
【分析】根据题意，作出合适的辅助线，然后根据图形可知阴影部分的面积是△AOD的面积与扇形OBC的面积之和再减去△BDO的面积，本题得以解决．
【解答】解：作OE⊥AB于点F，
∵在扇形AOB中，∠AOB＝120°，半径OC交弦AB于点D，且OC⊥OA．OA＝2，
∴∠AOD＝90°，∠BOC＝30°，OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA＝30°，
∴OD＝OA•tan30°＝×＝2，AD＝4，AB＝2AF＝2×2×＝6，OF＝，
∴BD＝2，
∴阴影部分的面积是：S△AOD+S扇形OBC﹣S△BDO＝＝+π，
故答案为：+π．
17．有五张正面分别标有数字﹣2，﹣1，0，1，2的卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，记卡片上的数字为a，则使关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣1）x+a（a﹣3）＝0有两个不相等的实数根，且以x为自变量的二次函数y＝x2﹣（a2+1）x﹣a+2的图象不经过点（1，0）的概率是 ．
【分析】首先根据使关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣1）x+a（a﹣3）＝0有两个不相等的实数根，且以x为自变量的二次函数y＝x2﹣（a2+1）x﹣a+2的图象不经过点（1，0）确定a的值，然后利用概率公式求解．
【解答】解：∵使关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣1）x+a（a﹣3）＝0有两个不相等的实数根，
∴[﹣2（a﹣1）]2﹣4×1×a（a﹣3）＞0，
解得：a＞﹣1，
∵以x为自变量的二次函数y＝x2﹣（a2+1）x﹣a+2的图象不经过点（1，0），
∴12﹣（a2+1）﹣a+2≠0，
∴a≠1且a≠﹣2，
∴满足条件的a只有0和2，
∴使关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣1）x+a（a﹣3）＝0有两个不相等的实数根，且以x为自变量的二次函数y＝x2﹣（a2+1）x﹣a+2的图象不经过点（1，0）的概率是，
故答案为：．
三．解答题
18.（1）计算：（）﹣2﹣|1﹣tan60°|+sin60°+；
（2）解方程：2x2﹣7x+6＝0．
【考点】实数的运算；负整数指数幂；解一元二次方程﹣因式分解法；特殊角的三角函数值．
【专题】实数；一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】（1）7﹣；
（2）x1＝2，x2＝1.5．
【分析】（1）先计算负整数指数幂、代入三角函数值、计算算术平方根，再去绝对值符号，最后计算加减即可；
（2）利用因式分解法求解即可．
【解答】解：（1）原式＝4﹣|1﹣|++2
＝4+1﹣++2
＝7﹣；
（2）∵2x2﹣7x+6＝0，
∴（x﹣2）（2x﹣3）＝0，
则x﹣2＝0或2x﹣3＝0，
解得x1＝2，x2＝1.5．
19.如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B．
（1）求证：△ADF∽△DEC；
（2）若AB＝8，AD＝12，AF＝6，求AE的长．
【考点】平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；图形的相似；几何直观；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）△ADF和△DEC中，易知∠ADF＝∠CED（平行线的内错角），而∠AFD和∠C是等角的补角，由此可判定两个三角形相似；
（2）根据平行四边形的性质可得出CD＝AB＝8，根据相似三角形的性质可得出＝，代入各线段长度可求出DE的长度，再在Rt△ADE中，利用勾股定理即可求出AE的长．．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠ADF＝∠CED，∠B+∠C＝180°；
∵∠AFE+∠AFD＝180°，∠AFE＝∠B，
∴∠AFD＝∠C，
∴△ADF∽△DEC；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC＝AB＝8．
∵△ADF∽△DEC，
∴＝，即＝，
∴DE＝16．
∵AD∥BC，AE⊥BC，
∴AE⊥AD．
在Rt△ADE中，∠EAD＝90°，DE＝16，AD＝12，
∴AE＝＝＝＝4．
20．“脱贫攻坚战”打响以来，全国贫困人口减少了8000多万人．某市为了扎实落实脱贫攻坚中“两不愁，三保障”的住房保障工作，2018年投入5亿元资金，之后投入资金逐年增长，2020年投入7.2亿元资金用于保障性住房建设．
（1）求该市这两年投入资金的年平均增长率．
（2）2021年该市计划保持相同的年平均增长率投入资金用于保障性住房建设，如果每户能得到保障房补助款3万元，则2021年该市能够帮助多少户建设保障性住房？
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】增长率问题；应用意识．
【答案】（1）该市这两年投入资金的年平均增长率为20%．
（2）2021年能帮助28800户建设保障性住房．
【分析】（1）今年年要投入资金是5（1+x）万元，在今年的基础上再增长x，就是明年的资金投入5（1+x）（1+x），由此可列出方程5（1+x）2＝7.2，求解即可；
（2）将（1）中求得的增长率代入即可求得2021年能够帮助多少户建设保障性住房．
【解答】解：（1）设年平均增长率为x，
依题意得：5（1+x）2＝7.2．
解得x1＝﹣2.2（舍去），x2＝0.2．
∴x＝0.2＝20%．
答：该市这两年投入资金的年平均增长率为20%．
（2）7.2×（1+20%）＝8.64（亿元）＝86400（万元）
86400÷3＝28800（户）
答：2021年能帮助28800户建设保障性住房．
21.某地的一座人行天桥如图所示，天桥高为6米，坡面BC的坡度为1：1，文化墙PM在天桥底部正前方8米处（PB的长），为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面的坡度为1：．（参考数据：≈1.414，≈1.732）
（1）若新坡面坡角为α，求坡角α度数；
（2）有关部门规定，文化墙距天桥底部小于3米时应拆除，天桥改造后，该文化墙PM是否需要拆除？请说明理由．
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
【专题】解直角三角形及其应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据新的坡度，可以求得坡角的正切值，从而可以解答本题；
（2）根据题意和题目中的数据可以求得PA的长度，然后与3比较大小即可解答本题．
【解答】解：（1）∵新坡面坡角为α，新坡面的坡度为1：，
∴tanα＝，
∴α＝30°；
（2）该文化墙PM不需要拆除，
理由：作CD⊥AB于点D，则CD＝6米，
∵新坡面的坡度为1：，
∴tan∠CAD＝，
解得，AD＝6米，
∵坡面BC的坡度为1：1，CD＝6米，
∴BD＝6米，
∴AB＝AD﹣BD＝（﹣6）米，
又∵PB＝8米，
∴PA＝PB﹣AB＝8﹣（﹣6）＝14﹣6≈14﹣6×1.732≈3.6米＞3米，
∴该文化墙PM不需要拆除．
22.某商店销售一种商品，每件进价为40元，对销售情况作了调查，结果发现月最大销售是y（件）与销售单价x（元）（50≤x≤90）之间的函数关系如图中的线段AB．（月最大销售量指进货量足够的情况下最多售出件数）
（1）求出y与x之间的函数表达式．
（2）该商品每月的总利润w（元），求w关于x的函数表达式，并指出销售单价x为多少元时利润w最大，该月进货数量应定为多少？
（3）若该商店进货350件，如果销售不完，就以亏本36元/件计入总利润，则销售单价定为多少，当月月利润最大？
【考点】二次函数的应用．
【专题】二次函数的应用；运算能力；应用意识．
【答案】（1）y＝﹣10x+1000；
（2）w＝﹣10（x﹣70）2+9000，70，300；
（3）52．
【分析】（1）根据函数图象中的数据，可以得到y与x之间的函数表达式；
（2）根据题意，可以得到w关于x的函数表达式，并指出销售单价x为多少元时利润w最大，该月进货数量应定为多少；
（3）根据题意，可以得到利润与单价之间的函数关系式，然后即可得到销售单价定为多少，当月月利润最大．
【解答】解：（1）设y与x的函数关系式为y＝kx+b，
∵点（50，500），（90，100）在函数y＝kx+b上，
∴，
解得，
即y与x的函数关系式为y＝﹣10x+1000；
（2）由题意可得，
w＝（x﹣40）（﹣10x+1000）＝﹣10（x﹣70）2+9000，
∴当x＝70时，w取得最大值，此时﹣10x+1000＝300，
即w关于x的函数表达式是w＝﹣10（x﹣70）2+9000，销售单价x为70元时利润w最大，该月进货数量应定为300件；
（3）设销售利润为W元，
W＝（x﹣40）（﹣10x+1000）﹣36[350﹣（﹣10x+1000）]＝﹣10（x﹣52）2+10440，
∴当x＝52时，W取得最大值，
即销售单价定为52元时，当月月利润最大．
23.如图，一次函数y＝kx+b的图象与坐标轴分别交于A、B两点，与反比例函数y＝的图象在第一象限的交点为点C，CD⊥x轴，垂足为点D，若OB＝3，OD＝6，△AOB的面积为3．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）直接写出当x＞0时，kx+b﹣＞0的解集．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【专题】反比例函数及其应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据三角形面积求出OA，得出A、B的坐标，代入一次函数的解析式即可求出解析式，把x＝6代入求出C的坐标，把C的坐标代入反比例函数的解析式求出即可；
（2）根据图象即可得出kx+b﹣＞0的解集．
【解答】解：（1）∵S△AOB＝3，OB＝3，
∴OA＝2，
∴B（3，0），A（0，﹣2），
代入y＝kx+b得：，
解得：k＝，b＝﹣2，
∴一次函数y＝x﹣2，
∵OD＝6，
∴D（6，0），CD⊥x轴，
当x＝6时，y＝×6﹣2＝2，
∴C（6，2），
∴n＝6×2＝12，
∴反比例函数的解析式是y＝；
（2）当x＞0时，kx+b﹣＞0的解集是x＞6．
24如图，PA为⊙O的切线，A为切点，过点A作AB⊥OP，垂足为点C，交⊙O于点B，延长BO与PA的延长线交于点D．
（1）求证：PB为⊙O的切线；
（2）若OB＝3，OD＝5，求PB和AB的长．
【考点】勾股定理；垂径定理；切线的判定与性质．
【专题】与圆有关的位置关系；推理能力．
【答案】（1）证明见解答过程；
（2）．
【分析】（1）连接OA，根据切线的性质得到∠OAP＝90°，证明△OBP≌△OAP，根据全等三角形的性质得到∠OBP＝∠OAP＝90°，根据切线的判定定理证明结论；
（2）先根据勾股定理求出AD，再求出PB，根据三角形的面积公式求出BC，根据垂径定理解答即可．
【解答】（1）证明：连接OA，
∴由垂径定理可知：∠BOC＝∠AOC，
∵PA是⊙O的切线，
∴∠OAP＝90°，
在△OBP与△OAP中，
，
∴△OBP≌△OAP（SAS），
∴∠OBP＝∠OAP＝90°，
∵OB是⊙O半径，
∴PB是⊙O的切线；
（2）解：在Rt△AOD中，AD＝＝4，
∵PA、PB为⊙O的切线，
∴PA＝PB，
在Rt△DBP中，PD2＝PB2+BD2，即（PA+4）2＝PB2+82，
解得，PB＝PA＝6，
在Rt△OBP中，OP＝＝3，
∵S△OBP＝×OP×BC＝×OB×PB，
∴×3×BC＝×3×6，
解得，BC＝，
∴AB＝2BC＝．
25 如图，抛物线y＝ax2+bx+6与x轴交于点A（6，0），B（﹣1，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M为该抛物线对称轴上一点，当CM+BM最小时，求点M的坐标．
（3）抛物线上是否存在点P，使△ACP为直角三角形？若存在，有几个？写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．
【考点】二次函数综合题．
【专题】代数几何综合题；几何直观．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）先确定C（0，6），设交点式y＝a（x+1）（x﹣6），然后把C点坐标代入求出a的值即可；
（2）连接AC，与对称轴交点即为所求点M，先利用待定系数法求出AC所在直线解析式，再将二次函数解析式配方得到其对称轴方程，继而可得答案；
（3）设P点坐标为（x，﹣x2+5x+6），根据两点间的距离公式得到PC2＝x2+（﹣x2+5x）2，PA2＝（x﹣6）2+（﹣x2+5x+6）2，AC2＝72，讨论：当∠PAC＝90°，利用勾股定理得到（x﹣6）2+（﹣x2+5x+6）2+72＝x2+（﹣x2+5x）2；当∠PCA＝90°，利用勾股定理得到72+x2+（﹣x2+5x）2＝（x﹣6）2+（﹣x2+5x+6）2；当∠APC＝90°，利用勾股定理得到（x﹣6）2+（﹣x2+5x+6）2+x2+（﹣x2+5x）2＝72，然后分别解方程即可得到对应的P点坐标．
【解答】解：（1）当x＝0时，y＝ax2+bx+6＝6，则C（0，6），
设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣6），
把C（0，6）代入得a•1•（﹣6）＝6，解得a＝﹣1，
∴抛物线的解析式为y＝﹣（x+1）（x﹣6），即y＝﹣x2+5x+6；
（2）连接AC，与对称轴交点即为所求点M，
设AC所在直线的解析式为y＝mx+n，
将A（6，0），C（0，6）代入，得：，
解得：，
则AC所在直线解析式为y＝﹣x+6，
又y＝﹣x2+5x+6＝﹣（x﹣）2+，
∴抛物线的对称轴为直线x＝，
在直线y＝﹣x+6中当x＝时，y＝，
则M的坐标为（，）；
（3）设P点坐标为（x，﹣x2+5x+6），
存在4个点P，使△ACP为直角三角形．
PC2＝x2+（﹣x2+5x）2，PA2＝（x﹣6）2+（﹣x2+5x+6）2，AC2＝62+62＝72，
当∠PAC＝90°，∵PA2+AC2＝PC2，
∴（x﹣6）2+（﹣x2+5x+6）2+72＝x2+（﹣x2+5x）2，
整理得x2﹣4x﹣12＝0，解得x1＝6（舍去），x2＝﹣2，此时P点坐标为（﹣2，﹣8）；
当∠PCA＝90°，∵PC2+AC2＝PA2，
72+x2+（﹣x2+5x）2＝（x﹣6）2+（﹣x2+5x+6）2，
整理得x2﹣4x＝0，解得x1＝0（舍去），x2＝4，此时P点坐标为（4，10）；
当∠APC＝90°，∵PA2+AC2＝PC2，
∴（x﹣6）2+（﹣x2+5x+6）2+x2+（﹣x2+5x）2＝72，
整理得x3﹣10x2+20x+24＝0，
x3﹣10x2+24x﹣4x+24＝0，
x（x2﹣10x+24）﹣4（x﹣6）＝0，
x（x﹣4）（x﹣6）﹣4（x﹣6）＝0，
（x﹣6）（x2﹣4x﹣4）＝0，
而x﹣6≠0，
所以x2﹣4x﹣4＝0，解得x1＝2+2，x2＝2﹣2，
此时P点坐标为（2+2，4+2）或（2﹣2，4﹣2）；
综上所述，符合条件的点P的坐标为（﹣2，﹣8）或（4，10）或（2+2，4+2）或（2﹣2，4﹣2）．
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