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山东省济宁市鱼台县2020-2021学年九年级（上）期末数学试卷 解析版
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这是一份山东省济宁市鱼台县2020-2021学年九年级（上）期末数学试卷 解析版，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．下列函数中是反比例函数的是（ ）
A．y＝﹣B．y＝x+2C．y＝﹣D．y＝+1
2．下列各点在反比例函数y＝﹣图象上的是（ ）
A．（1，4）B．（﹣2，2）C．（﹣2，﹣2）D．（﹣4，﹣1）
3．验光师测得一组关于近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）的对应数据如下表，根据表中数据，可得y关于x的函数表达式为（ ）
A．y＝B．y＝C．y＝D．y＝
4．如图，在△ABC中，若DE∥BC，，DE＝4cm，则BC的长是（ ）
A．7cmB．10cmC．13cmD．15cm
5．如图，在⊙O中，弦AB为8mm，圆心O到AB的距离为3mm，则⊙O的半径等于（ ）
A．3mmB．4mmC．5mmD．8mm
6．如图，若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD＝55°，则∠BCD的度数为（ ）
A．35°B．45°C．55°D．75°
7．已知一次函数y＝kx+b的图象如图，那么正比例函数y＝kx和反比例函数y＝在同一坐标系中的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
8．如图，下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是（ ）
A．∠ABD＝∠ACBB．∠ADB＝∠ABCC．AB2＝AD•ACD．＝
9．有四张背面一模一样的卡片，卡片正面分别写着一个函数关系式，分别是y＝2x，y＝x2﹣3（x＞0），y＝（x＞0），y＝﹣（x＜0），将卡片顺序打乱后，随意从中抽取一张，取出的卡片上的函数是y随x的增大而增大的概率是（ ）
A．B．C．D．1
10．用图中两个可自由转动的转盘做“配紫色”游戏；分别旋转两个转盘，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色，那么可配成紫色的概率是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（每题3分，满分15分，将答案填在答题纸上）
11．在﹣2，1，4，﹣3，0这5个数字中，任取一个数是负数的概率是 ．
12．已知反比例函数y＝过点（﹣2，），则k＝ ．
13．已知：是反比例函数，则m＝ ．
14．反比例函数y＝的图象在每一象限，函数值y都随x增大而减小，那么m的取值范围是 ．
15．已知P（﹣2，y1），Q（﹣1，y2）分别是反比例函数y＝﹣图象上的两点，则y1 y2．（用“＞”，“＜”或“＝”填空）
三、解答题（本题共计8小题，其中16-19每小题各6分，20小题7分，21-23每小题各小题8分，共55分）
16．若，且2a﹣b+3c＝21．试求a：b：c．
17.如图，已知△ABC，作⊙O，使它经过点A、B、C（保留作图痕迹，写出作法）．
18.不透明袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再随机摸出一个，求下列事件的概率．
（1）两次都摸到红球．
（2）第一次摸到红球，第二次摸到绿球．
19.一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象交于点A（2，1）、B（﹣1，n）两点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求一次函数的解析式；
（3）求△AOB的面积．
20.如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，点E为AC的中点，ED的延长线交AB的延长线于点F．求证：．
21.某汽车销售商推出分期付款购车促销活动，交付首付款后，余额要在30个月内结清，不计算利息，王先生在活动期间购买了价格为12万元的汽车，交了首付款后平均每月付款y万元，x个月结清．y与x的函数关系如图所示，根据图象回答下列问题：
（1）确定y与x的函数解析式，并求出首付款的数目；
（2）王先生若用20个月结清，平均每月应付多少万元？
（3）如果打算每月付款不超过4000元，王先生至少要几个月才能结清余额？
22.如图，A是半径为12cm的⊙O上的定点，动点P从A出发，以2πcm/s的速度沿圆周逆时针运动，当点P回到A地立即停止运动．
（1）如果∠POA＝90°，求点P运动的时间；
（2）如果点B是OA延长线上的一点，AB＝OA，那么当点P运动的时间为2s时，判断直线BP与⊙O的位置关系，并说明理由．
23.⊙O直径AB＝12cm，AM和BN是⊙O的切线，DC切⊙O于点E且交AM于点D，交BN于点C，设AD＝x，BC＝y．
（1）求y与x之间的关系式；
（2）x，y是关于t的一元二次方程2t2﹣30t+m＝0的两个根，求x，y的值；
（3）在（2）的条件下，求△COD的面积．
2020-2021学年山东省济宁市鱼台县九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．下列函数中是反比例函数的是（ ）
A．y＝﹣B．y＝x+2C．y＝﹣D．y＝+1
【分析】利用反比例函数定义进行解答即可．
【解答】解：A、是正比例函数，不是反比例函数，故此选项不合题意；
B、是一次函数，不是反比例函数，故此选项不合题意；
C、是反比例函数，故此选项符合题意；
D、不是反比例函数，故此选项不合题意；
故选：C．
2．下列各点在反比例函数y＝﹣图象上的是（ ）
A．（1，4）B．（﹣2，2）C．（﹣2，﹣2）D．（﹣4，﹣1）
【分析】根据y＝﹣得k＝xy＝﹣4，所以只要点的横坐标与纵坐标的积等于﹣4，就在函数图象上．
【解答】解：因为k＝xy＝﹣4，符合题意的只有B（﹣2，2），即k＝xy＝﹣2×2＝﹣4．
故选：B．
3．验光师测得一组关于近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）的对应数据如下表，根据表中数据，可得y关于x的函数表达式为（ ）
A．y＝B．y＝C．y＝D．y＝
【分析】直接利用已知数据可得xy＝100，进而得出答案．
【解答】解：由表格中数据可得：xy＝100，
故y关于x的函数表达式为：y＝．
故选：A．
4．如图，在△ABC中，若DE∥BC，，DE＝4cm，则BC的长是（ ）
A．7cmB．10cmC．13cmD．15cm
【分析】在△ABC中，DE∥BC，可得△ADE∽△ABC，又由AD：BD＝2：3，DE＝4cm，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得BC的长．
【解答】解：∵在△ABC中，DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴AD：AB＝DE：BC，
∵AD：DB＝2：3，
∴AD：AB＝2：5，
即2：5＝DE：BC，
∵DE＝4cm，
∴BC＝10cm．
故选：B．
5．如图，在⊙O中，弦AB为8mm，圆心O到AB的距离为3mm，则⊙O的半径等于（ ）
A．3mmB．4mmC．5mmD．8mm
【分析】连接OA，根据垂径定理求出AD，根据勾股定理计算即可．
【解答】解：连接OA，
∵OD⊥AB，
∴AD＝AB＝4，
由勾股定理得，OA＝＝5，
故选：C．
6．如图，若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD＝55°，则∠BCD的度数为（ ）
A．35°B．45°C．55°D．75°
【分析】首先连接AD，由直径所对的圆周角是直角，即可求得∠ADB＝90°，由直角三角形的性质，求得∠A的度数，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得∠BCD的度数．
【解答】解：连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠ABD＝55°，
∴∠A＝90°﹣∠ABD＝35°，
∴∠BCD＝∠A＝35°．
故选：A．
7．已知一次函数y＝kx+b的图象如图，那么正比例函数y＝kx和反比例函数y＝在同一坐标系中的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据一次函数图象可以确定k、b的符号，根据k、b的符号来判定正比例函数y＝kx和反比例函数y＝图象所在的象限．
【解答】解：如图所示，∵一次函数y＝kx+b的图象经过第一、三、四象限，∴k＞0，b＜0．
∴正比例函数y＝kx的图象经过第一、三象限，
反比例函数y＝的图象经过第二、四象限．
综上所述，符合条件的图象是C选项．
故选：C．
8．如图，下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是（ ）
A．∠ABD＝∠ACBB．∠ADB＝∠ABCC．AB2＝AD•ACD．＝
【分析】根据有两个角对应相等的三角形相似，以及根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，分别判断得出即可．
【解答】解：A、∵∠ABD＝∠ACB，∠A＝∠A，∴△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；
B、∵∠ADB＝∠ABC，∠A＝∠A，∴△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；
C、∵AB2＝AD•AC，∴＝，∠A＝∠A，△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；
D、＝不能判定△ADB∽△ABC，故此选项符合题意．
故选：D．
9．有四张背面一模一样的卡片，卡片正面分别写着一个函数关系式，分别是y＝2x，y＝x2﹣3（x＞0），y＝（x＞0），y＝﹣（x＜0），将卡片顺序打乱后，随意从中抽取一张，取出的卡片上的函数是y随x的增大而增大的概率是（ ）
A．B．C．D．1
【分析】利用正比例函数、二次函数以及反比例函数的性质可判断函数y＝2x，y＝x2﹣3（x＞0），y＝﹣（x＜0），是y随x的增大而增大，然后根据概率公式可求出取出的卡片上的函数是y随x的增大而增大的概率．
【解答】解：函数y＝2x，y＝x2﹣3（x＞0），y＝（x＞0），y＝﹣（x＜0）中，有y＝2x，y＝x2﹣3（x＞0），y＝﹣（x＜0），是y随x的增大而增大，
所以随意从中抽取一张，取出的卡片上的函数是y随x的增大而增大的概率是．
故选：C．
10．用图中两个可自由转动的转盘做“配紫色”游戏；分别旋转两个转盘，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色，那么可配成紫色的概率是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据题意，用列表法将所有可能出现的结果，分析可能得到紫色的概率，得到结论．
【解答】解：用列表法将所有可能出现的结果表示如下：所有可能出现的结果共有12种．
上面等可能出现的12种结果中，有5种情况可以得到紫色，
所以可配成紫色的概率是，
故选：B．
二．填空题（共5小题）
11．在﹣2，1，4，﹣3，0这5个数字中，任取一个数是负数的概率是 ．
【分析】根据概率公式：P（A）＝事件A可能出现的结果数：所有可能出现的结果数可得答案．
【解答】解：任取一个数是负数的概率是：P＝，
故答案为：．
12．已知反比例函数y＝过点（﹣2，），则k＝ ﹣1 ．
【分析】把点（﹣2，）代入反比例函数解析式中求得k的值．
【解答】解：∵反比例函数y＝过点（﹣2，），
∴＝，
解得k＝﹣1，
故答案为﹣1．
13．已知：是反比例函数，则m＝ ﹣2 ．
【分析】根据反比例函数的定义．即y＝（k≠0），只需令m2﹣5＝﹣1、m﹣2≠0即可．
【解答】解：因为是反比例函数，
所以x的指数m2﹣5＝﹣1，
即m2＝4，解得：m＝2或﹣2；
又m﹣2≠0，
所以m≠2，即m＝﹣2．
故答案为：﹣2．
14．反比例函数y＝的图象在每一象限，函数值y都随x增大而减小，那么m的取值范围是 m＞﹣2 ．
【分析】由反比例函数y＝中，当k＜0时，在每一象限，函数值y都随x增大而减小，列关于m的不等式，解出即可．
【解答】解：∵反比例函数y＝的图象在每一象限，函数值y都随x增大而减小，
∴m+2＞0，
∴m＞﹣2．
故答案为：m＞﹣2．
15．已知P（﹣2，y1），Q（﹣1，y2）分别是反比例函数y＝﹣图象上的两点，则y1 ＜ y2．（用“＞”，“＜”或“＝”填空）
【分析】先根据反比例函数中k＝﹣3＜0判断出函数图象所在的象限及增减性，再根据各点横坐标的特点即可得出结论．
【解答】解：∵比例函数y＝﹣中，k＜0，
∴此函数图象在二、四象限，
∵﹣2＜﹣1＜0，
∴P（﹣2，y1），Q（﹣1，y2）在第二象限，
∵函数图象在第二象限内为增函数，
∴y1＜y2．
故答案为：＜．
三．解答题
16．若，且2a﹣b+3c＝21．试求a：b：c．
【分析】设比值为k，然后用k表示出a、b、c，再代入等式求出k值，然后相比即可．
【解答】解：设＝＝＝k，
则a＝3k﹣2，b＝4k，c＝6k﹣5，
所以，2（3k﹣2）﹣4k+3（6k﹣5）＝21，
解得k＝2，
所以a＝6﹣2＝4，b＝8，c＝7，
所以a：b：c＝4：8：7．
17.如图，已知△ABC，作⊙O，使它经过点A、B、C（保留作图痕迹，写出作法）．
【考点】作图—复杂作图．
【专题】作图题；几何直观．
【答案】作图见解析部分．
【分析】作线段BC的垂直平分线MN，作线段AC的垂直平分线EF，直线MN交EF于点O，以O为圆心，OA为半径作⊙O即为所求作．
【解答】解：如图，⊙O即为所求作．
18.不透明袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再随机摸出一个，求下列事件的概率．
（1）两次都摸到红球．
（2）第一次摸到红球，第二次摸到绿球．
【考点】列表法与树状图法．
【专题】应用题；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）列表得出所有等可能的情况数，找出两次摸到红球的情况数，即可确定出所求的概率；
（2）由（1）表格 求出第一次摸到红球，第二次摸到绿球的概率．
【解答】解：（1）列表如下：
∵共有4种等可能的结果，两次都摸到红球的只有1种情况，
∴两次都摸到红球的概率＝．
（2）由（1）可知所有等可能的情况有4种，
所以第一次摸到红球，第二次摸到绿球的概率＝
19.一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象交于点A（2，1）、B（﹣1，n）两点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求一次函数的解析式；
（3）求△AOB的面积．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据反比例函数y＝的图象过点A（2，1）利用待定系数法求出即可；
（2）根据（1）中所求得出B点坐标，进而利用待定系数法求出一次函数解析式即可；
（3）将三角形AOB分割为S△AOB＝S△BOD+S△COD+S△AOC，求出即可．
【解答】解：（1）因为经过A（2，1），所以m＝2．
所以反比例函数的解析式为y＝．
（2）因为B（﹣1，n）在y＝上，所以n＝﹣2．
所以B的坐标是（﹣1，﹣2）．
把A（2，1）、B（﹣1，﹣2）代入y＝kx+b．得：
，
解得，
所以y＝x﹣1．
（3）设直线y＝x﹣1与坐标轴分别交于C、D，则C（1，0）、D（0，﹣1）．
所以：S△AOB＝S△BOD+S△COD+S△AOC＝×1×1+×1×1+×1×1＝．
20.如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，点E为AC的中点，ED的延长线交AB的延长线于点F．求证：．
【考点】直角三角形斜边上的中线；相似三角形的判定与性质．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】见解答．
【分析】先证明△ABD∽△CAD得到＝，再利用斜边上的中线性质得到DE＝AE＝CE，则∠C＝∠EDC，则可证明∠FDB＝∠DAB，接着证明△FDB∽△FAD，所以＝，然后利用等量代换得到结论．
【解答】证明：∵∠BAC＝90°，AD⊥BC，
∴∠C＝∠BAD，
∵∠ADB＝∠CDA，
∴△ABD∽△CAD，
∴＝，
∵点E为AC的中点，即DE为Rt△ADC斜边上的中线，
∴DE＝AE＝CE，
∴∠C＝∠EDC，
∵∠FDB＝∠CDE，
∴∠FDB＝∠DAB，
∵∠DFB＝∠AFD，∠FDB＝∠FAD，
∴△FDB∽△FAD，
∴＝，
∴＝．
21.某汽车销售商推出分期付款购车促销活动，交付首付款后，余额要在30个月内结清，不计算利息，王先生在活动期间购买了价格为12万元的汽车，交了首付款后平均每月付款y万元，x个月结清．y与x的函数关系如图所示，根据图象回答下列问题：
（1）确定y与x的函数解析式，并求出首付款的数目；
（2）王先生若用20个月结清，平均每月应付多少万元？
（3）如果打算每月付款不超过4000元，王先生至少要几个月才能结清余额？
【考点】反比例函数的应用．
【专题】反比例函数及其应用；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）从反比例图象上任意找一点向两坐标轴引垂线，形成的矩形面积等于k的绝对值，由图可知1.8×5＝9，即可求出解析式．
（2）在（1）的基础上，知道自变量，便可求出函数值．
（3）知道了自变量的范围，利用解析式即可求出函数的范围．
【解答】解：（1）由图象可知y与x成反比例，设y与x的函数关系式为y＝，
把（5，1.8）代入关系式得1.8＝，
∴k＝9，
∴y＝，
∴12﹣9＝3（万元）．
答：首付款为3万元；
（2）当x＝20时，y＝＝0.45（万元），
答：每月应付0.45万元；
（3）当y＝0.4时，0.4＝，
解得：x＝，
答：他至少23个月才能结清余款．
22.如图，A是半径为12cm的⊙O上的定点，动点P从A出发，以2πcm/s的速度沿圆周逆时针运动，当点P回到A地立即停止运动．
（1）如果∠POA＝90°，求点P运动的时间；
（2）如果点B是OA延长线上的一点，AB＝OA，那么当点P运动的时间为2s时，判断直线BP与⊙O的位置关系，并说明理由．
【考点】切线的判定．
【专题】动点型．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）当∠POA＝90°时，点P运动的路程为⊙O周长的或，所以分两种情况进行分析；
（2）直线BP与⊙O的位置关系是相切，根据已知可证得OP⊥BP，即直线BP与⊙O相切．
【解答】解：（1）当∠POA＝90°时，根据弧长公式可知点P运动的路程为⊙O周长的或，
设点P运动的时间为ts；
当点P运动的路程为⊙O周长的时，2π•t＝•2π•12，
解得t＝3；
当点P运动的路程为⊙O周长的时，2π•t＝•2π•12，
解得t＝9；
∴当∠POA＝90°时，点P运动的时间为3s或9s．
（2）如图，当点P运动的时间为2s时，直线BP与⊙O相切
理由如下：
当点P运动的时间为2s时，点P运动的路程为4πcm，
连接OP，PA；
∵半径AO＝12cm，
∴⊙O的周长为24πcm，
∴的长为⊙O周长的，
∴∠POA＝60°；
∵OP＝OA，
∴△OAP是等边三角形，
∴OP＝OA＝AP，∠OAP＝60°；
∵AB＝OA，
∴AP＝AB，
∵∠OAP＝∠APB+∠B，
∴∠APB＝∠B＝30°，
∴∠OPB＝∠OPA+∠APB＝90°，
∴OP⊥BP，
∴直线BP与⊙O相切．
23.⊙O直径AB＝12cm，AM和BN是⊙O的切线，DC切⊙O于点E且交AM于点D，交BN于点C，设AD＝x，BC＝y．
（1）求y与x之间的关系式；
（2）x，y是关于t的一元二次方程2t2﹣30t+m＝0的两个根，求x，y的值；
（3）在（2）的条件下，求△COD的面积．
【考点】圆的综合题．
【专题】代数几何综合题；圆的有关概念及性质；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据切线长定理得到BF＝AD＝x，CE＝CB＝y，则DC＝DE+CE＝x+y，在直角△DFC中根据勾股定理，就可以求出y与x的关系，
（2）由（1）求得xy＝36；最后由根与系数的关系求得a的值，通过解一元二次方程即可求得x、y的值；
（3）由AM，BN是⊙O的两条切线，DC切⊙O于E，得到OE⊥CD，AD＝DE，BC＝CE，推出S△AOD＝S△ODE，S△OBC＝S△COE，S△COD＝××（3+12）×12＝45．
【解答】解：（1）如图1，作DF⊥BN交BC于F；
∵AM、BN与⊙O切于点定A、B，
∴AB⊥AM，AB⊥BN．
又∵DF⊥BN，
∴∠BAD＝∠ABC＝∠BFD＝90°，
∴四边形ABFD是矩形，
∴BF＝AD＝x，DF＝AB＝12，
∵BC＝y，
∴FC＝BC﹣BF＝y﹣x；
∵DE切⊙O于E，
∴DE＝DA＝xCE＝CB＝y，
则DC＝DE+CE＝x+y，
在Rt△DFC中，
由勾股定理得：（x+y）2＝（y﹣x）2+122，
整理为：y＝，
∴y与x的函数关系式是y＝．
（2）由（1）知xy＝36，
x，y是方程2x2﹣30x+a＝0的两个根，
∴根据韦达定理知，xy＝，即a＝72；
∴原方程为x2﹣15x+36＝0，
解得或．
（3）如图2，连接OD，OE，OC，
∵AD，BC，CD是⊙O的切线，
∴OE⊥CD，AD＝DE，BC＝CE，
∴S△AOD＝S△ODE，
S△OBC＝S△COE，
∴S△COD＝××（3+12）×12＝45．
近视眼镜的度数y（度）
200
250
400
500
1000
镜片焦距x（米）
0.50
0.40
0.25
0.20
0.10
近视眼镜的度数y（度）
200
250
400
500
1000
镜片焦距x（米）
0.50
0.40
0.25
0.20
0.10
红
（红，红）
（蓝，红）
（蓝，红）
蓝
（红，蓝）
（蓝，蓝）
（蓝，蓝）
红
（红，红）
（蓝，红）
（蓝，红）
黄
（红，黄）
（蓝，黄）
（蓝，黄）
红
蓝
蓝
红
绿
红
（红，红）
（绿，红）
绿
（红，绿）
（绿，绿）
1．下列函数中是反比例函数的是（ ）
A．y＝﹣B．y＝x+2C．y＝﹣D．y＝+1
2．下列各点在反比例函数y＝﹣图象上的是（ ）
A．（1，4）B．（﹣2，2）C．（﹣2，﹣2）D．（﹣4，﹣1）
3．验光师测得一组关于近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）的对应数据如下表，根据表中数据，可得y关于x的函数表达式为（ ）
A．y＝B．y＝C．y＝D．y＝
4．如图，在△ABC中，若DE∥BC，，DE＝4cm，则BC的长是（ ）
A．7cmB．10cmC．13cmD．15cm
5．如图，在⊙O中，弦AB为8mm，圆心O到AB的距离为3mm，则⊙O的半径等于（ ）
A．3mmB．4mmC．5mmD．8mm
6．如图，若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD＝55°，则∠BCD的度数为（ ）
A．35°B．45°C．55°D．75°
7．已知一次函数y＝kx+b的图象如图，那么正比例函数y＝kx和反比例函数y＝在同一坐标系中的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
8．如图，下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是（ ）
A．∠ABD＝∠ACBB．∠ADB＝∠ABCC．AB2＝AD•ACD．＝
9．有四张背面一模一样的卡片，卡片正面分别写着一个函数关系式，分别是y＝2x，y＝x2﹣3（x＞0），y＝（x＞0），y＝﹣（x＜0），将卡片顺序打乱后，随意从中抽取一张，取出的卡片上的函数是y随x的增大而增大的概率是（ ）
A．B．C．D．1
10．用图中两个可自由转动的转盘做“配紫色”游戏；分别旋转两个转盘，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色，那么可配成紫色的概率是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（每题3分，满分15分，将答案填在答题纸上）
11．在﹣2，1，4，﹣3，0这5个数字中，任取一个数是负数的概率是 ．
12．已知反比例函数y＝过点（﹣2，），则k＝ ．
13．已知：是反比例函数，则m＝ ．
14．反比例函数y＝的图象在每一象限，函数值y都随x增大而减小，那么m的取值范围是 ．
15．已知P（﹣2，y1），Q（﹣1，y2）分别是反比例函数y＝﹣图象上的两点，则y1 y2．（用“＞”，“＜”或“＝”填空）
三、解答题（本题共计8小题，其中16-19每小题各6分，20小题7分，21-23每小题各小题8分，共55分）
16．若，且2a﹣b+3c＝21．试求a：b：c．
17.如图，已知△ABC，作⊙O，使它经过点A、B、C（保留作图痕迹，写出作法）．
18.不透明袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再随机摸出一个，求下列事件的概率．
（1）两次都摸到红球．
（2）第一次摸到红球，第二次摸到绿球．
19.一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象交于点A（2，1）、B（﹣1，n）两点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求一次函数的解析式；
（3）求△AOB的面积．
20.如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，点E为AC的中点，ED的延长线交AB的延长线于点F．求证：．
21.某汽车销售商推出分期付款购车促销活动，交付首付款后，余额要在30个月内结清，不计算利息，王先生在活动期间购买了价格为12万元的汽车，交了首付款后平均每月付款y万元，x个月结清．y与x的函数关系如图所示，根据图象回答下列问题：
（1）确定y与x的函数解析式，并求出首付款的数目；
（2）王先生若用20个月结清，平均每月应付多少万元？
（3）如果打算每月付款不超过4000元，王先生至少要几个月才能结清余额？
22.如图，A是半径为12cm的⊙O上的定点，动点P从A出发，以2πcm/s的速度沿圆周逆时针运动，当点P回到A地立即停止运动．
（1）如果∠POA＝90°，求点P运动的时间；
（2）如果点B是OA延长线上的一点，AB＝OA，那么当点P运动的时间为2s时，判断直线BP与⊙O的位置关系，并说明理由．
23.⊙O直径AB＝12cm，AM和BN是⊙O的切线，DC切⊙O于点E且交AM于点D，交BN于点C，设AD＝x，BC＝y．
（1）求y与x之间的关系式；
（2）x，y是关于t的一元二次方程2t2﹣30t+m＝0的两个根，求x，y的值；
（3）在（2）的条件下，求△COD的面积．
2020-2021学年山东省济宁市鱼台县九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．下列函数中是反比例函数的是（ ）
A．y＝﹣B．y＝x+2C．y＝﹣D．y＝+1
【分析】利用反比例函数定义进行解答即可．
【解答】解：A、是正比例函数，不是反比例函数，故此选项不合题意；
B、是一次函数，不是反比例函数，故此选项不合题意；
C、是反比例函数，故此选项符合题意；
D、不是反比例函数，故此选项不合题意；
故选：C．
2．下列各点在反比例函数y＝﹣图象上的是（ ）
A．（1，4）B．（﹣2，2）C．（﹣2，﹣2）D．（﹣4，﹣1）
【分析】根据y＝﹣得k＝xy＝﹣4，所以只要点的横坐标与纵坐标的积等于﹣4，就在函数图象上．
【解答】解：因为k＝xy＝﹣4，符合题意的只有B（﹣2，2），即k＝xy＝﹣2×2＝﹣4．
故选：B．
3．验光师测得一组关于近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）的对应数据如下表，根据表中数据，可得y关于x的函数表达式为（ ）
A．y＝B．y＝C．y＝D．y＝
【分析】直接利用已知数据可得xy＝100，进而得出答案．
【解答】解：由表格中数据可得：xy＝100，
故y关于x的函数表达式为：y＝．
故选：A．
4．如图，在△ABC中，若DE∥BC，，DE＝4cm，则BC的长是（ ）
A．7cmB．10cmC．13cmD．15cm
【分析】在△ABC中，DE∥BC，可得△ADE∽△ABC，又由AD：BD＝2：3，DE＝4cm，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得BC的长．
【解答】解：∵在△ABC中，DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴AD：AB＝DE：BC，
∵AD：DB＝2：3，
∴AD：AB＝2：5，
即2：5＝DE：BC，
∵DE＝4cm，
∴BC＝10cm．
故选：B．
5．如图，在⊙O中，弦AB为8mm，圆心O到AB的距离为3mm，则⊙O的半径等于（ ）
A．3mmB．4mmC．5mmD．8mm
【分析】连接OA，根据垂径定理求出AD，根据勾股定理计算即可．
【解答】解：连接OA，
∵OD⊥AB，
∴AD＝AB＝4，
由勾股定理得，OA＝＝5，
故选：C．
6．如图，若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD＝55°，则∠BCD的度数为（ ）
A．35°B．45°C．55°D．75°
【分析】首先连接AD，由直径所对的圆周角是直角，即可求得∠ADB＝90°，由直角三角形的性质，求得∠A的度数，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得∠BCD的度数．
【解答】解：连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠ABD＝55°，
∴∠A＝90°﹣∠ABD＝35°，
∴∠BCD＝∠A＝35°．
故选：A．
7．已知一次函数y＝kx+b的图象如图，那么正比例函数y＝kx和反比例函数y＝在同一坐标系中的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据一次函数图象可以确定k、b的符号，根据k、b的符号来判定正比例函数y＝kx和反比例函数y＝图象所在的象限．
【解答】解：如图所示，∵一次函数y＝kx+b的图象经过第一、三、四象限，∴k＞0，b＜0．
∴正比例函数y＝kx的图象经过第一、三象限，
反比例函数y＝的图象经过第二、四象限．
综上所述，符合条件的图象是C选项．
故选：C．
8．如图，下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是（ ）
A．∠ABD＝∠ACBB．∠ADB＝∠ABCC．AB2＝AD•ACD．＝
【分析】根据有两个角对应相等的三角形相似，以及根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，分别判断得出即可．
【解答】解：A、∵∠ABD＝∠ACB，∠A＝∠A，∴△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；
B、∵∠ADB＝∠ABC，∠A＝∠A，∴△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；
C、∵AB2＝AD•AC，∴＝，∠A＝∠A，△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；
D、＝不能判定△ADB∽△ABC，故此选项符合题意．
故选：D．
9．有四张背面一模一样的卡片，卡片正面分别写着一个函数关系式，分别是y＝2x，y＝x2﹣3（x＞0），y＝（x＞0），y＝﹣（x＜0），将卡片顺序打乱后，随意从中抽取一张，取出的卡片上的函数是y随x的增大而增大的概率是（ ）
A．B．C．D．1
【分析】利用正比例函数、二次函数以及反比例函数的性质可判断函数y＝2x，y＝x2﹣3（x＞0），y＝﹣（x＜0），是y随x的增大而增大，然后根据概率公式可求出取出的卡片上的函数是y随x的增大而增大的概率．
【解答】解：函数y＝2x，y＝x2﹣3（x＞0），y＝（x＞0），y＝﹣（x＜0）中，有y＝2x，y＝x2﹣3（x＞0），y＝﹣（x＜0），是y随x的增大而增大，
所以随意从中抽取一张，取出的卡片上的函数是y随x的增大而增大的概率是．
故选：C．
10．用图中两个可自由转动的转盘做“配紫色”游戏；分别旋转两个转盘，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色，那么可配成紫色的概率是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据题意，用列表法将所有可能出现的结果，分析可能得到紫色的概率，得到结论．
【解答】解：用列表法将所有可能出现的结果表示如下：所有可能出现的结果共有12种．
上面等可能出现的12种结果中，有5种情况可以得到紫色，
所以可配成紫色的概率是，
故选：B．
二．填空题（共5小题）
11．在﹣2，1，4，﹣3，0这5个数字中，任取一个数是负数的概率是 ．
【分析】根据概率公式：P（A）＝事件A可能出现的结果数：所有可能出现的结果数可得答案．
【解答】解：任取一个数是负数的概率是：P＝，
故答案为：．
12．已知反比例函数y＝过点（﹣2，），则k＝ ﹣1 ．
【分析】把点（﹣2，）代入反比例函数解析式中求得k的值．
【解答】解：∵反比例函数y＝过点（﹣2，），
∴＝，
解得k＝﹣1，
故答案为﹣1．
13．已知：是反比例函数，则m＝ ﹣2 ．
【分析】根据反比例函数的定义．即y＝（k≠0），只需令m2﹣5＝﹣1、m﹣2≠0即可．
【解答】解：因为是反比例函数，
所以x的指数m2﹣5＝﹣1，
即m2＝4，解得：m＝2或﹣2；
又m﹣2≠0，
所以m≠2，即m＝﹣2．
故答案为：﹣2．
14．反比例函数y＝的图象在每一象限，函数值y都随x增大而减小，那么m的取值范围是 m＞﹣2 ．
【分析】由反比例函数y＝中，当k＜0时，在每一象限，函数值y都随x增大而减小，列关于m的不等式，解出即可．
【解答】解：∵反比例函数y＝的图象在每一象限，函数值y都随x增大而减小，
∴m+2＞0，
∴m＞﹣2．
故答案为：m＞﹣2．
15．已知P（﹣2，y1），Q（﹣1，y2）分别是反比例函数y＝﹣图象上的两点，则y1 ＜ y2．（用“＞”，“＜”或“＝”填空）
【分析】先根据反比例函数中k＝﹣3＜0判断出函数图象所在的象限及增减性，再根据各点横坐标的特点即可得出结论．
【解答】解：∵比例函数y＝﹣中，k＜0，
∴此函数图象在二、四象限，
∵﹣2＜﹣1＜0，
∴P（﹣2，y1），Q（﹣1，y2）在第二象限，
∵函数图象在第二象限内为增函数，
∴y1＜y2．
故答案为：＜．
三．解答题
16．若，且2a﹣b+3c＝21．试求a：b：c．
【分析】设比值为k，然后用k表示出a、b、c，再代入等式求出k值，然后相比即可．
【解答】解：设＝＝＝k，
则a＝3k﹣2，b＝4k，c＝6k﹣5，
所以，2（3k﹣2）﹣4k+3（6k﹣5）＝21，
解得k＝2，
所以a＝6﹣2＝4，b＝8，c＝7，
所以a：b：c＝4：8：7．
17.如图，已知△ABC，作⊙O，使它经过点A、B、C（保留作图痕迹，写出作法）．
【考点】作图—复杂作图．
【专题】作图题；几何直观．
【答案】作图见解析部分．
【分析】作线段BC的垂直平分线MN，作线段AC的垂直平分线EF，直线MN交EF于点O，以O为圆心，OA为半径作⊙O即为所求作．
【解答】解：如图，⊙O即为所求作．
18.不透明袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再随机摸出一个，求下列事件的概率．
（1）两次都摸到红球．
（2）第一次摸到红球，第二次摸到绿球．
【考点】列表法与树状图法．
【专题】应用题；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）列表得出所有等可能的情况数，找出两次摸到红球的情况数，即可确定出所求的概率；
（2）由（1）表格 求出第一次摸到红球，第二次摸到绿球的概率．
【解答】解：（1）列表如下：
∵共有4种等可能的结果，两次都摸到红球的只有1种情况，
∴两次都摸到红球的概率＝．
（2）由（1）可知所有等可能的情况有4种，
所以第一次摸到红球，第二次摸到绿球的概率＝
19.一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象交于点A（2，1）、B（﹣1，n）两点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求一次函数的解析式；
（3）求△AOB的面积．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据反比例函数y＝的图象过点A（2，1）利用待定系数法求出即可；
（2）根据（1）中所求得出B点坐标，进而利用待定系数法求出一次函数解析式即可；
（3）将三角形AOB分割为S△AOB＝S△BOD+S△COD+S△AOC，求出即可．
【解答】解：（1）因为经过A（2，1），所以m＝2．
所以反比例函数的解析式为y＝．
（2）因为B（﹣1，n）在y＝上，所以n＝﹣2．
所以B的坐标是（﹣1，﹣2）．
把A（2，1）、B（﹣1，﹣2）代入y＝kx+b．得：
，
解得，
所以y＝x﹣1．
（3）设直线y＝x﹣1与坐标轴分别交于C、D，则C（1，0）、D（0，﹣1）．
所以：S△AOB＝S△BOD+S△COD+S△AOC＝×1×1+×1×1+×1×1＝．
20.如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，点E为AC的中点，ED的延长线交AB的延长线于点F．求证：．
【考点】直角三角形斜边上的中线；相似三角形的判定与性质．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】见解答．
【分析】先证明△ABD∽△CAD得到＝，再利用斜边上的中线性质得到DE＝AE＝CE，则∠C＝∠EDC，则可证明∠FDB＝∠DAB，接着证明△FDB∽△FAD，所以＝，然后利用等量代换得到结论．
【解答】证明：∵∠BAC＝90°，AD⊥BC，
∴∠C＝∠BAD，
∵∠ADB＝∠CDA，
∴△ABD∽△CAD，
∴＝，
∵点E为AC的中点，即DE为Rt△ADC斜边上的中线，
∴DE＝AE＝CE，
∴∠C＝∠EDC，
∵∠FDB＝∠CDE，
∴∠FDB＝∠DAB，
∵∠DFB＝∠AFD，∠FDB＝∠FAD，
∴△FDB∽△FAD，
∴＝，
∴＝．
21.某汽车销售商推出分期付款购车促销活动，交付首付款后，余额要在30个月内结清，不计算利息，王先生在活动期间购买了价格为12万元的汽车，交了首付款后平均每月付款y万元，x个月结清．y与x的函数关系如图所示，根据图象回答下列问题：
（1）确定y与x的函数解析式，并求出首付款的数目；
（2）王先生若用20个月结清，平均每月应付多少万元？
（3）如果打算每月付款不超过4000元，王先生至少要几个月才能结清余额？
【考点】反比例函数的应用．
【专题】反比例函数及其应用；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）从反比例图象上任意找一点向两坐标轴引垂线，形成的矩形面积等于k的绝对值，由图可知1.8×5＝9，即可求出解析式．
（2）在（1）的基础上，知道自变量，便可求出函数值．
（3）知道了自变量的范围，利用解析式即可求出函数的范围．
【解答】解：（1）由图象可知y与x成反比例，设y与x的函数关系式为y＝，
把（5，1.8）代入关系式得1.8＝，
∴k＝9，
∴y＝，
∴12﹣9＝3（万元）．
答：首付款为3万元；
（2）当x＝20时，y＝＝0.45（万元），
答：每月应付0.45万元；
（3）当y＝0.4时，0.4＝，
解得：x＝，
答：他至少23个月才能结清余款．
22.如图，A是半径为12cm的⊙O上的定点，动点P从A出发，以2πcm/s的速度沿圆周逆时针运动，当点P回到A地立即停止运动．
（1）如果∠POA＝90°，求点P运动的时间；
（2）如果点B是OA延长线上的一点，AB＝OA，那么当点P运动的时间为2s时，判断直线BP与⊙O的位置关系，并说明理由．
【考点】切线的判定．
【专题】动点型．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）当∠POA＝90°时，点P运动的路程为⊙O周长的或，所以分两种情况进行分析；
（2）直线BP与⊙O的位置关系是相切，根据已知可证得OP⊥BP，即直线BP与⊙O相切．
【解答】解：（1）当∠POA＝90°时，根据弧长公式可知点P运动的路程为⊙O周长的或，
设点P运动的时间为ts；
当点P运动的路程为⊙O周长的时，2π•t＝•2π•12，
解得t＝3；
当点P运动的路程为⊙O周长的时，2π•t＝•2π•12，
解得t＝9；
∴当∠POA＝90°时，点P运动的时间为3s或9s．
（2）如图，当点P运动的时间为2s时，直线BP与⊙O相切
理由如下：
当点P运动的时间为2s时，点P运动的路程为4πcm，
连接OP，PA；
∵半径AO＝12cm，
∴⊙O的周长为24πcm，
∴的长为⊙O周长的，
∴∠POA＝60°；
∵OP＝OA，
∴△OAP是等边三角形，
∴OP＝OA＝AP，∠OAP＝60°；
∵AB＝OA，
∴AP＝AB，
∵∠OAP＝∠APB+∠B，
∴∠APB＝∠B＝30°，
∴∠OPB＝∠OPA+∠APB＝90°，
∴OP⊥BP，
∴直线BP与⊙O相切．
23.⊙O直径AB＝12cm，AM和BN是⊙O的切线，DC切⊙O于点E且交AM于点D，交BN于点C，设AD＝x，BC＝y．
（1）求y与x之间的关系式；
（2）x，y是关于t的一元二次方程2t2﹣30t+m＝0的两个根，求x，y的值；
（3）在（2）的条件下，求△COD的面积．
【考点】圆的综合题．
【专题】代数几何综合题；圆的有关概念及性质；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据切线长定理得到BF＝AD＝x，CE＝CB＝y，则DC＝DE+CE＝x+y，在直角△DFC中根据勾股定理，就可以求出y与x的关系，
（2）由（1）求得xy＝36；最后由根与系数的关系求得a的值，通过解一元二次方程即可求得x、y的值；
（3）由AM，BN是⊙O的两条切线，DC切⊙O于E，得到OE⊥CD，AD＝DE，BC＝CE，推出S△AOD＝S△ODE，S△OBC＝S△COE，S△COD＝××（3+12）×12＝45．
【解答】解：（1）如图1，作DF⊥BN交BC于F；
∵AM、BN与⊙O切于点定A、B，
∴AB⊥AM，AB⊥BN．
又∵DF⊥BN，
∴∠BAD＝∠ABC＝∠BFD＝90°，
∴四边形ABFD是矩形，
∴BF＝AD＝x，DF＝AB＝12，
∵BC＝y，
∴FC＝BC﹣BF＝y﹣x；
∵DE切⊙O于E，
∴DE＝DA＝xCE＝CB＝y，
则DC＝DE+CE＝x+y，
在Rt△DFC中，
由勾股定理得：（x+y）2＝（y﹣x）2+122，
整理为：y＝，
∴y与x的函数关系式是y＝．
（2）由（1）知xy＝36，
x，y是方程2x2﹣30x+a＝0的两个根，
∴根据韦达定理知，xy＝，即a＝72；
∴原方程为x2﹣15x+36＝0，
解得或．
（3）如图2，连接OD，OE，OC，
∵AD，BC，CD是⊙O的切线，
∴OE⊥CD，AD＝DE，BC＝CE，
∴S△AOD＝S△ODE，
S△OBC＝S△COE，
∴S△COD＝××（3+12）×12＝45．
近视眼镜的度数y（度）
200
250
400
500
1000
镜片焦距x（米）
0.50
0.40
0.25
0.20
0.10
近视眼镜的度数y（度）
200
250
400
500
1000
镜片焦距x（米）
0.50
0.40
0.25
0.20
0.10
红
（红，红）
（蓝，红）
（蓝，红）
蓝
（红，蓝）
（蓝，蓝）
（蓝，蓝）
红
（红，红）
（蓝，红）
（蓝，红）
黄
（红，黄）
（蓝，黄）
（蓝，黄）
红
蓝
蓝
红
绿
红
（红，红）
（绿，红）
绿
（红，绿）
（绿，绿）
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