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-湖北省武汉市硚口区2020-2021学年八年级上学期期末数学试卷 （解析版）
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这是一份-湖北省武汉市硚口区2020-2021学年八年级上学期期末数学试卷 （解析版），共22页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．要使分式有意义，则x应满足的条件是（ ）
A．x≠﹣2B．x≠2C．x≠0D．x＞2
3．某种芯片每个探针单元的面积为0.00000164cm2，0.00000164用科学记数法可表示为（ ）
A．1.64×10﹣5B．1.64×10﹣6C．16.4×10﹣7D．0.164×10﹣5
4．下列运算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6B．a3÷a＝a3C．（a2）3＝a5D．（3a2）2＝9a4
5．下列因式分解结果正确的是（ ）
A．﹣x2+4x＝﹣x（x+4）B．4x2﹣y2＝（4x+y）（4x﹣y）
C．﹣x2﹣2x﹣1＝﹣（x+1）2D．x2﹣5x﹣6＝（x﹣2）（x﹣3）
6．下列各式中，正确的是（ ）
A．＝B．＝
C．＝D．＝﹣
7．三边都不相等的三角形有两边长分别为3和5，第三边长是奇数，则其周长为（ ）
A．15B．13C．11D．15或13或11
8．如图，有一张边长为b的正方形纸板，在它的四角各剪去边长为a的正方形．然后将四周突出的部分折起，制成一个无盖的长方体纸盒．用M表示其底面积与侧面积的差，则M可因式分解为（ ）
A．（b﹣6a）（b﹣2a）B．（b﹣3a）（b﹣2a）
C．（b﹣5a）（b﹣a）D．（b﹣2a）2
9．关于x的二次三项式x2+10x+a有最小值﹣10，则常数a的值为（ ）
A．12B．13C．14D．15
10．如图，在△ABC中，AI平分∠BAC，BI平分∠ABC，点O是AC、BC的垂直平分线的交点，连接AO、BO，若∠AIB＝α，则∠AOB的大小为（ ）
A．αB．4α﹣360°C．α+90°D．180°﹣α
二、填空题：（每小题3分，共18分）
11．分式的值为0，则x的值是 ．
12．x2+kx+9是完全平方式，则k＝ ．
13．已知a+b＝4，ab＝2，则a2b+ab2的值为 ．
14．计算（x+2y﹣z）（x﹣2y+z）＝ ．
15．某次列车平均提速vkm/h．用相同的时间，列车提速前行驶skm．提速后比提速前多行驶50km．设提速前列车的平均速度是xkm/h．根据题意分别列出下列四个方程：①；②；③；④．则其中正确的方程有 ．
16．如图，△ABC和△ADE都是等边三角形，点D在BC上，DE与AC交于点F，若AB＝5，BD＝3，则＝ ．
三、解答题（共8小题，共72分）
17．解分式方程：
（1）；
（2）+2．
18．如图，AB＝AC，F，E分别是AB，AC的中点．求证：∠B＝∠C．
19．因式分解：
（1）x3﹣16x；
（2）3x2﹣12xy+12y2；
（3）﹣2x3﹣6x2y+20xy2．
20．（1）计算：[（﹣5a6）2+（﹣3a3）3•（﹣a3）]÷4a4；
（2）先化简后求值：，其中x＝2．
21．在平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标都是整数的点称为整点．如图，A（﹣1，3），B（﹣3．﹣1），C（﹣1，﹣1）都是整点．请仅用无制度的直尺画图并回答下列问题．
（1）在图1中画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）在图1中取整点D，画CD⊥AB．垂足为E，直接写出点D的坐标是 ；
（3）在图2的AC边上画点F．使∠ABF＝45°，并直接写出线段AF的长为 ．
22．甲、乙两工程队承包某道路改造工程．若由甲、乙两工程队合做20天可以完成；若甲工程队先单独施工40天，再由乙工程队单独施工10天也可以完成．
（1）求甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要多少天？
（2）如果甲工程队施工每天需付施工费1万元，乙工程队施工每天需付施工费2.5万元．若要求尽快完成整个工程，但总施工费用不超过66万元，求乙工程队最多施工多少天？
23．在等边△ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，以DE为边向右作等边△DEF．
（1）如图1，若AD＝2BE．
①求证：∠CEF＝∠BDE；
②连接CF，求∠ECF的度数．
（2）如图2，已知△ABC的面积是9cm2，AB＝6cm，若BE＝2AD，O为AC的中点，直接写出：
①OF的最小值为 cm；
②AF+OF的最小值为 cm．
24．平面直角坐标系中，点A（x，y），且x2﹣8x+16+＝0，△ABC是以AB为斜边的等腰直角三角形（点A、B、C逆时针排列）．
（1）直接写出点A的坐标是 ；
（2）如图1，已知点B（0，n）且0＜n＜4，连接OC．求四边形ABOC的面积；
（3）如图2，已知点B（m，n）且0＜m＜4，0＜n＜4，过点A作AD⊥y轴于D，连接OB，M为OB的中点，连接DM，CM．求证DM⊥CM．
参考答案
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中均有四个备选答案，其中有且只有一个正确，请在答题卡上将正确答案的字母代号涂黑。
1．在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】直接利用轴对称图形的性质分析得出答案．
解：A、不是轴对称图形，不合题意；
B、不是轴对称图形，不合题意；
C、是轴对称图形，符合题意；
D、不是轴对称图形，不合题意；
故选：C．
2．要使分式有意义，则x应满足的条件是（ ）
A．x≠﹣2B．x≠2C．x≠0D．x＞2
【分析】根据分式有意义的条件可得x+2≠0，再解即可．
解：由题意得：x+2≠0，
解得：x≠﹣2，
故选：A．
3．某种芯片每个探针单元的面积为0.00000164cm2，0.00000164用科学记数法可表示为（ ）
A．1.64×10﹣5B．1.64×10﹣6C．16.4×10﹣7D．0.164×10﹣5
【分析】根据科学记数法的要求，将一个数字写成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．
解：0.00000164＝1.64×10﹣6，
故选：B．
4．下列运算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6B．a3÷a＝a3C．（a2）3＝a5D．（3a2）2＝9a4
【分析】根据同底数幂的除法，底数不变，指数相减；同底数幂的乘法，底数不变，指数相加；幂的乘方，底数不变，指数相乘；积的乘方，等于积中各个因式各自乘方，对各选项计算后，利用排除法求解．
解：A、a2•a3＝a2+3＝a5，故本选项错误；
B、a3÷a＝a3﹣1＝a2，故本选项错误；
C、（a2）3＝a2×3＝a6，故本选项错误；
D、（3a2）2＝9a4，故本选项正确．
故选：D．
5．下列因式分解结果正确的是（ ）
A．﹣x2+4x＝﹣x（x+4）B．4x2﹣y2＝（4x+y）（4x﹣y）
C．﹣x2﹣2x﹣1＝﹣（x+1）2D．x2﹣5x﹣6＝（x﹣2）（x﹣3）
【分析】根据提公因式法、平方差公式以及十字相乘法进行解答．
解：A、原式＝﹣x（x﹣4），故本选项不符合题意．
B、原式＝（2x+y）（2x﹣y），故本选项不符合题意．
C、原式＝﹣（x+1）2，故本选项符合题意．
D、原式＝（x+1）（x﹣6），故本选项不符合题意．
故选：C．
6．下列各式中，正确的是（ ）
A．＝B．＝
C．＝D．＝﹣
【分析】根据分式的分子分母都乘或除以同一个不为零的整式，分式的值不变，可得答案．
【解答】解；A、分式的分子分母都乘或除以同一个不为零的整式，故A错误；
B、分子除以（a﹣2），分母除以（a+2），故B错误；
C、分式的分子分母都乘或除以同一个不为零的整式，分式的值不变，故C正确；
D、分式的分子分母都乘或除以同一个不为零的整式，分式的值不变，故D错误；
故选：C．
7．三边都不相等的三角形有两边长分别为3和5，第三边长是奇数，则其周长为（ ）
A．15B．13C．11D．15或13或11
【分析】本题可先求出第三边的取值范围，找出其中三边都不相等，且为奇数的数，即为第三边的长，再将三者相加即可得出周长的值．
解：设第三边长为x．
根据三角形的三边关系，则有5﹣3＜x＜5+3，
即2＜x＜8，
因为三边都不相等，第三边长是奇数，
所以x＝7，
所以周长＝3+5+7＝15．
故选：A．
8．如图，有一张边长为b的正方形纸板，在它的四角各剪去边长为a的正方形．然后将四周突出的部分折起，制成一个无盖的长方体纸盒．用M表示其底面积与侧面积的差，则M可因式分解为（ ）
A．（b﹣6a）（b﹣2a）B．（b﹣3a）（b﹣2a）
C．（b﹣5a）（b﹣a）D．（b﹣2a）2
【分析】先表示出底面积和侧面积，然后求它们的差，再提取公因式分解因式即可．
解：底面积为（b﹣2a）2，
侧面积为a•（b﹣2a）•4＝4a•（b﹣2a），
∴M＝（b﹣2a）2﹣4a•（b﹣2a），
提取公式（b﹣2a），
M＝（b﹣2a）•（b﹣2a﹣4a），
＝（b﹣2a）•（b﹣6a），
故选：A．
9．关于x的二次三项式x2+10x+a有最小值﹣10，则常数a的值为（ ）
A．12B．13C．14D．15
【分析】利用配方法将x2+10x+a转换为（x+5）2+a﹣25，利用非负数的性质得到a﹣25＝﹣10．
解：x2+10x+a＝（x+5）2+a﹣25，
∵（x+5）2≥0，
∴（x+5）2+a﹣25≥a﹣25，
∵关于x的二次三项式x2+10x+a有最小值﹣10，
∴a﹣25＝﹣10．
解得a＝15．
故选：D．
10．如图，在△ABC中，AI平分∠BAC，BI平分∠ABC，点O是AC、BC的垂直平分线的交点，连接AO、BO，若∠AIB＝α，则∠AOB的大小为（ ）
A．αB．4α﹣360°C．α+90°D．180°﹣α
【分析】连接CO并延长至D，根据三角形内角和定理得到∠IAB+∠IBA＝180°﹣α，根据角平分线的定义得到∠CAB+∠CBA＝360°﹣2α，求出∠ACB，根据线段垂直平分线的性质得到OA＝OC，OB＝OC，
根据等腰三角形的性质得到∠OCA＝∠OAC，∠OCB＝∠OBC，根据三角形的外角性质计算，得到答案．
解：连接CO并延长至D，
∵∠AIB＝α，
∴∠IAB+∠IBA＝180°﹣α，
∵AI平分∠BAC，BI平分∠ABC，
∴∠IAB＝∠CAB，∠IBA＝∠CBA，
∴∠CAB+∠CBA＝2（∠IAB+∠IBA）＝360°﹣2α，
∴∠ACB＝180°﹣（∠CAB+∠CBA）＝2α﹣180°，
∵点O是AC、BC的垂直平分线的交点，
∴OA＝OC，OB＝OC，
∴∠OCA＝∠OAC，∠OCB＝∠OBC，
∵∠AOD是△AOC的一个外角，
∴∠AOD＝∠OCA+∠OAC＝2∠OCA，
同理，∠BOD＝2∠OCB，
∴∠AOB＝∠AOD+∠BOD＝2∠OCA+2∠OCB＝4α﹣360°，
故选：B．
二、填空题：（每小题3分，共18分）
11．分式的值为0，则x的值是 1 ．
【分析】根据分式的值为零的条件得到x﹣1＝0且x≠0，易得x＝1．
解：∵分式的值为0，
∴x﹣1＝0且x≠0，
∴x＝1．
故答案为1．
12．x2+kx+9是完全平方式，则k＝ ±6 ．
【分析】这里首末两项是x和3这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去x和3的积的2倍，故k＝±6．
解：中间一项为加上或减去x和3的积的2倍，
故k＝±6．
13．已知a+b＝4，ab＝2，则a2b+ab2的值为 8 ．
【分析】直接提取公因式ab，进而将已知代入求出即可．
解：∵a+b＝4，ab＝2，
∴a2b+ab2＝ab（a+b）＝4×2＝8．
故答案为：8．
14．计算（x+2y﹣z）（x﹣2y+z）＝ x2﹣4y2+4yz﹣z2 ．
【分析】根据平方差公式和完全平方公式即可求解．
解：（x+2y﹣z）（x﹣2y+z）
＝x2﹣（2y﹣z）2
＝x2﹣4y2+4yz﹣z2．
故答案是：x2﹣4y2+4yz﹣z2．
15．某次列车平均提速vkm/h．用相同的时间，列车提速前行驶skm．提速后比提速前多行驶50km．设提速前列车的平均速度是xkm/h．根据题意分别列出下列四个方程：①；②；③；④．则其中正确的方程有 ①③④ ．
【分析】设提速前列车平均速度是xkm/h，则提速后列车平均速度是（x+v）km/h，根据时间＝路程÷速度及相同时间里面路程比等于速度比，即可得出关于x的分式方程，再对比四个选项后即可得出结论．
解：设提速前列车平均速度是xkm/h，则提速后列车平均速度是（x+v）km/h，
依题意得：①；③；④．
故其中正确的方程有①③④．
故答案为：①③④．
16．如图，△ABC和△ADE都是等边三角形，点D在BC上，DE与AC交于点F，若AB＝5，BD＝3，则＝ ．
【分析】连接CE，过点F作FM⊥BC于点M，FN⊥CE于点N，证明△BAD≌△CAE（SAS），由全等三角形的性质得出BD＝CE＝3，∠ABD＝∠ACE＝60°，根据三角形面积得出．
解：连接CE，过点F作FM⊥BC于点M，FN⊥CE于点N，
∵△ABC和△ADE为等边三角形，
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE＝3，∠ABD＝∠ACE＝60°，
∵AB＝BC＝5，
∴DC＝2，
∵∠ACB＝∠ACE＝60°，FM⊥BC，FN⊥CE，
∴FM＝FN，
∵S△DFC＝DC•FM，S△FCE＝CE•FN，
∴，
∴，
故答案为：．
三、解答题（共8小题，共72分）
17．解分式方程：
（1）；
（2）+2．
【分析】两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
解：（1）去分母得：x+3＝5x，
解得：x＝，
经检验x＝是分式方程的解；
（2）去分母得：2x＝3+4（x﹣1），
解得：x＝，
经检验x＝是分式方程的解．
18．如图，AB＝AC，F，E分别是AB，AC的中点．求证：∠B＝∠C．
【分析】先由中点的定义得出AF＝AB，AE＝AC，由AB＝AC，得到AF＝AE．又∠A公共，根据SAS即可证明△ABE≌△ACF，由全等三角形的性质可得出答案．
【解答】证明：∵F、E是AB、AC的中点，
∴AF＝AB，AE＝AC，
∵AB＝AC，
∴AF＝AE．
在△ABE与△ACF中，
，
∴△ABE≌△ACF（SAS），
∴∠B＝∠C．
19．因式分解：
（1）x3﹣16x；
（2）3x2﹣12xy+12y2；
（3）﹣2x3﹣6x2y+20xy2．
【分析】（1）原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可；
（2）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可；
（3）原式提取公因式，再利用十字相乘法分解即可．
解：（1）原式＝x（x2﹣16）
＝x（x+4）（x﹣4）；
（2）原式＝3（x2﹣4xy+4y2）
＝3（x﹣2y）2；
（3）原式＝﹣2x（x2+3xy﹣10y2）
＝﹣2x（x+5y）（x﹣2y）．
20．（1）计算：[（﹣5a6）2+（﹣3a3）3•（﹣a3）]÷4a4；
（2）先化简后求值：，其中x＝2．
【分析】（1）先计算乘方和乘法，再计算加法，最后计算除法即可；
（2）先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算即可．
解：（1）原式＝（25a12+27a12）÷4a4
＝52a12÷4a4
＝13a8；
（2）原式＝（﹣）÷
＝•
＝，
当x＝2时，原式＝．
21．在平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标都是整数的点称为整点．如图，A（﹣1，3），B（﹣3．﹣1），C（﹣1，﹣1）都是整点．请仅用无制度的直尺画图并回答下列问题．
（1）在图1中画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）在图1中取整点D，画CD⊥AB．垂足为E，直接写出点D的坐标是 （3，﹣3） ；
（3）在图2的AC边上画点F．使∠ABF＝45°，并直接写出线段AF的长为 ．
【分析】（1）分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可．
（2）取格点D，作直线CD交AB于E，点E即为所求作．
（3）利用等腰直角三角形的性质解决问题即可．
解：（1）如图1中，△A1B1C1即为所求作．
（2）如图1中，直线CD，点E即为所求作，D（3，﹣3）．
故答案为（3，﹣3）．
（3）取格点E，连接AE，BE，BE交AC于点F，点F即为所求作．观察图象可知CF＝，
∴AF＝4﹣＝．
故答案为：
22．甲、乙两工程队承包某道路改造工程．若由甲、乙两工程队合做20天可以完成；若甲工程队先单独施工40天，再由乙工程队单独施工10天也可以完成．
（1）求甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要多少天？
（2）如果甲工程队施工每天需付施工费1万元，乙工程队施工每天需付施工费2.5万元．若要求尽快完成整个工程，但总施工费用不超过66万元，求乙工程队最多施工多少天？
【分析】（1）设甲工程队单独完成此项工程需要x天，则甲工程队的工作效率为，乙工程队的工作效率为（﹣），根据“甲工程队先单独施工40天，再由乙工程队单独施工10天也可以完成改造工程”，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设乙工程队施工m天，则甲工程队施工（60﹣2m）天，根据总施工费用不超过66万元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
解：（1）设甲工程队单独完成此项工程需要x天，则甲工程队的工作效率为，乙工程队的工作效率为（﹣），
依题意得：+10（﹣）＝1，
解得：x＝60，
经检验，x＝60是原方程的解，且符合题意，
∴1÷（﹣）＝30．
答：甲工程队单独完成此项工程需要60天，乙工程队单独完成此项工程需要30天．
（2）设乙工程队施工m天，则甲工程队施工＝（60﹣2m）天，
依题意得：60﹣2m+2.5m≤66，
解得：m≤12．
答：乙工程队最多施工12天．
23．在等边△ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，以DE为边向右作等边△DEF．
（1）如图1，若AD＝2BE．
①求证：∠CEF＝∠BDE；
②连接CF，求∠ECF的度数．
（2）如图2，已知△ABC的面积是9cm2，AB＝6cm，若BE＝2AD，O为AC的中点，直接写出：
①OF的最小值为 cm；
②AF+OF的最小值为 3 cm．
【分析】（1）①由三角形的外角可求解；
②在EC上取点G，使∠EGF＝60°，证明△BDE≌△GEF（AAS），由全等三角形的性质得出BD＝EG，BE＝GF，由等腰三角形的性质得出∠GCF＝∠GFC，则可得出答案；
（2）①过点E作EM⊥AB于点M，证明△DME≌△ECF（SAS），得出∠DME＝∠ECF＝90°，则点F在垂直于直线BC的直线上运动，过点O作OG⊥CF于点G，则OF的最小值为OG的长，由直角三角形的性质求出OG的长，则可得出答案；
②作点A关于CF的对称点N，连接ON，则AF+OF的最小值为ON，由轴对称的性质及三角形的面积可求出答案．
解：（1）①证明：∵△ABC，△DEF是等边三角形，
∴∠ABC＝∠DEF＝60°，
∵∠CED＝∠BDE+∠B，∠CED＝∠DEF+∠CEF，
∴∠CEF＝∠BDE；
②如图1，在EC上取点G，使∠EGF＝60°，
由①得，∠BDE＝∠GEF，
在△BDE和△GEF中，
，
∴△BDE≌△GEF（AAS），
∴BD＝EG，BE＝GF，
又∵AB＝BC，
∴AD＝BE+CG，
∵AD＝2BE，
∴BE＝CG＝GF，
∴∠GCF＝∠GFC，
又∠GCF+∠GFC＝∠EGF＝60°，
∴∠GCF＝30°．
（2）①如图2，过点E作EM⊥AB于点M，
设AD＝t，则BE＝2t，
∵等边△ABC的边长AB为6cm，
∴CE＝6﹣2t（cm），
∵∠B＝60°，
∴∠BEM＝30°，
∴BM＝BE＝t（cm），
∴DM＝AB﹣AD﹣BM＝6﹣2t（cm），
∴DM＝CE，
又∵∠MDE＝∠FEC，DE＝EF，
∴△DME≌△ECF（SAS），
∴∠DME＝∠ECF＝90°，
∴点F在垂直于直线BC的直线上运动，
过点O作OG⊥CF于点G，则OF的最小值为OG的长，
∵∠ACB＝60°，
∴∠OCG＝30°，
∴OG＝＝（cm），
故答案为：．
②作点A关于CF的对称点N，连接ON，则AF+OF的最小值为ON，
由轴对称的性质得出AC＝CN，∠ACG＝∠NCG＝30°，
∴∠ACN＝60°，
∴△ACN为等边三角形，
∵S△ABC＝9cm2，
∴cm2，
∴＝9，
∴ON＝3（cm）．
故答案为：3．
24．平面直角坐标系中，点A（x，y），且x2﹣8x+16+＝0，△ABC是以AB为斜边的等腰直角三角形（点A、B、C逆时针排列）．
（1）直接写出点A的坐标是 （4，4） ；
（2）如图1，已知点B（0，n）且0＜n＜4，连接OC．求四边形ABOC的面积；
（3）如图2，已知点B（m，n）且0＜m＜4，0＜n＜4，过点A作AD⊥y轴于D，连接OB，M为OB的中点，连接DM，CM．求证DM⊥CM．
【分析】（1）由非负数的性质求出x＝4，y＝4，可得出答案；
（2）过点A作AD⊥y轴于点D，过点C作CE⊥y轴于点E，CF⊥AD于点F，证明△CBE≌△CAF（AAS），由全等三角形的性质得出CE＝CF，BE＝AF，设CE＝CF＝a，则BD＝2a﹣4，由四边形面积公式S四边形ABCO＝S四边形DOCF+S△ACF﹣S△ADB可得出答案；
（3）延长CM至点N，使NM＝CM，连接DC，DN，证明△OMN≌△BMC（SAS），由全等三角形的性质得出ON＝BC＝AC，∠ONM＝∠BCM，由平行线的判定得出ON∥BC，延长NO和AC的延长线交于点Q，证明△DON≌△DAC（SAS），由全等三角形的性质得出DN＝DC，由等腰三角形的性质可得出结论．
解：（1）∵x2﹣8x+16+＝0．
∴（x﹣4）2+＝0，
又∵（x﹣4）2≥0，y﹣4≥0，
∴x＝4，y＝4，
∴A（4，4）；
故答案为：（4，4）；
（2）过点A作AD⊥y轴于点D，过点C作CE⊥y轴于点E，CF⊥AD于点F，
∴∠CEB＝∠CFA＝90°，∠ECF＝∠ACB＝90°，
∴∠BCE＝90°﹣∠BCF＝∠ACF，
在△CBE和△CAF中，
，
∴△CBE≌△CAF（AAS），
∴CE＝CF，BE＝AF，
设CE＝CF＝a，则BD＝a﹣（4﹣a）＝2a﹣4，
∴S四边形ABCO＝S四边形DOCF+S△ACF﹣S△ADB
＝×4×（2a﹣4）
＝﹣4a+8
＝8；
（3）证明：延长CM至点N，使NM＝CM，连接DC，DN，
∵M为OB的中点，
∴OM＝BM，
在△OMN和△BMC中，
，
∴△OMN≌△BMC（SAS），
∴ON＝BC＝AC，∠ONM＝∠BCM，
∴ON∥BC，
延长NO和AC的延长线交于点Q，
∵BC⊥AC，
∴NO⊥AC，
∴∠AQN＝90°＝∠ADO，
∴∠DAC+∠DOQ＝180°，
又∵∠DON+∠DOQ＝180°，
∴∠DON＝∠DAC，
在△DON和△DAC中，
，
∴△DON≌△DAC（SAS），
∴DN＝DC，
又∵NM＝CM，
∴DM⊥CM．
1．在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．要使分式有意义，则x应满足的条件是（ ）
A．x≠﹣2B．x≠2C．x≠0D．x＞2
3．某种芯片每个探针单元的面积为0.00000164cm2，0.00000164用科学记数法可表示为（ ）
A．1.64×10﹣5B．1.64×10﹣6C．16.4×10﹣7D．0.164×10﹣5
4．下列运算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6B．a3÷a＝a3C．（a2）3＝a5D．（3a2）2＝9a4
5．下列因式分解结果正确的是（ ）
A．﹣x2+4x＝﹣x（x+4）B．4x2﹣y2＝（4x+y）（4x﹣y）
C．﹣x2﹣2x﹣1＝﹣（x+1）2D．x2﹣5x﹣6＝（x﹣2）（x﹣3）
6．下列各式中，正确的是（ ）
A．＝B．＝
C．＝D．＝﹣
7．三边都不相等的三角形有两边长分别为3和5，第三边长是奇数，则其周长为（ ）
A．15B．13C．11D．15或13或11
8．如图，有一张边长为b的正方形纸板，在它的四角各剪去边长为a的正方形．然后将四周突出的部分折起，制成一个无盖的长方体纸盒．用M表示其底面积与侧面积的差，则M可因式分解为（ ）
A．（b﹣6a）（b﹣2a）B．（b﹣3a）（b﹣2a）
C．（b﹣5a）（b﹣a）D．（b﹣2a）2
9．关于x的二次三项式x2+10x+a有最小值﹣10，则常数a的值为（ ）
A．12B．13C．14D．15
10．如图，在△ABC中，AI平分∠BAC，BI平分∠ABC，点O是AC、BC的垂直平分线的交点，连接AO、BO，若∠AIB＝α，则∠AOB的大小为（ ）
A．αB．4α﹣360°C．α+90°D．180°﹣α
二、填空题：（每小题3分，共18分）
11．分式的值为0，则x的值是 ．
12．x2+kx+9是完全平方式，则k＝ ．
13．已知a+b＝4，ab＝2，则a2b+ab2的值为 ．
14．计算（x+2y﹣z）（x﹣2y+z）＝ ．
15．某次列车平均提速vkm/h．用相同的时间，列车提速前行驶skm．提速后比提速前多行驶50km．设提速前列车的平均速度是xkm/h．根据题意分别列出下列四个方程：①；②；③；④．则其中正确的方程有 ．
16．如图，△ABC和△ADE都是等边三角形，点D在BC上，DE与AC交于点F，若AB＝5，BD＝3，则＝ ．
三、解答题（共8小题，共72分）
17．解分式方程：
（1）；
（2）+2．
18．如图，AB＝AC，F，E分别是AB，AC的中点．求证：∠B＝∠C．
19．因式分解：
（1）x3﹣16x；
（2）3x2﹣12xy+12y2；
（3）﹣2x3﹣6x2y+20xy2．
20．（1）计算：[（﹣5a6）2+（﹣3a3）3•（﹣a3）]÷4a4；
（2）先化简后求值：，其中x＝2．
21．在平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标都是整数的点称为整点．如图，A（﹣1，3），B（﹣3．﹣1），C（﹣1，﹣1）都是整点．请仅用无制度的直尺画图并回答下列问题．
（1）在图1中画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）在图1中取整点D，画CD⊥AB．垂足为E，直接写出点D的坐标是 ；
（3）在图2的AC边上画点F．使∠ABF＝45°，并直接写出线段AF的长为 ．
22．甲、乙两工程队承包某道路改造工程．若由甲、乙两工程队合做20天可以完成；若甲工程队先单独施工40天，再由乙工程队单独施工10天也可以完成．
（1）求甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要多少天？
（2）如果甲工程队施工每天需付施工费1万元，乙工程队施工每天需付施工费2.5万元．若要求尽快完成整个工程，但总施工费用不超过66万元，求乙工程队最多施工多少天？
23．在等边△ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，以DE为边向右作等边△DEF．
（1）如图1，若AD＝2BE．
①求证：∠CEF＝∠BDE；
②连接CF，求∠ECF的度数．
（2）如图2，已知△ABC的面积是9cm2，AB＝6cm，若BE＝2AD，O为AC的中点，直接写出：
①OF的最小值为 cm；
②AF+OF的最小值为 cm．
24．平面直角坐标系中，点A（x，y），且x2﹣8x+16+＝0，△ABC是以AB为斜边的等腰直角三角形（点A、B、C逆时针排列）．
（1）直接写出点A的坐标是 ；
（2）如图1，已知点B（0，n）且0＜n＜4，连接OC．求四边形ABOC的面积；
（3）如图2，已知点B（m，n）且0＜m＜4，0＜n＜4，过点A作AD⊥y轴于D，连接OB，M为OB的中点，连接DM，CM．求证DM⊥CM．
参考答案
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中均有四个备选答案，其中有且只有一个正确，请在答题卡上将正确答案的字母代号涂黑。
1．在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】直接利用轴对称图形的性质分析得出答案．
解：A、不是轴对称图形，不合题意；
B、不是轴对称图形，不合题意；
C、是轴对称图形，符合题意；
D、不是轴对称图形，不合题意；
故选：C．
2．要使分式有意义，则x应满足的条件是（ ）
A．x≠﹣2B．x≠2C．x≠0D．x＞2
【分析】根据分式有意义的条件可得x+2≠0，再解即可．
解：由题意得：x+2≠0，
解得：x≠﹣2，
故选：A．
3．某种芯片每个探针单元的面积为0.00000164cm2，0.00000164用科学记数法可表示为（ ）
A．1.64×10﹣5B．1.64×10﹣6C．16.4×10﹣7D．0.164×10﹣5
【分析】根据科学记数法的要求，将一个数字写成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．
解：0.00000164＝1.64×10﹣6，
故选：B．
4．下列运算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6B．a3÷a＝a3C．（a2）3＝a5D．（3a2）2＝9a4
【分析】根据同底数幂的除法，底数不变，指数相减；同底数幂的乘法，底数不变，指数相加；幂的乘方，底数不变，指数相乘；积的乘方，等于积中各个因式各自乘方，对各选项计算后，利用排除法求解．
解：A、a2•a3＝a2+3＝a5，故本选项错误；
B、a3÷a＝a3﹣1＝a2，故本选项错误；
C、（a2）3＝a2×3＝a6，故本选项错误；
D、（3a2）2＝9a4，故本选项正确．
故选：D．
5．下列因式分解结果正确的是（ ）
A．﹣x2+4x＝﹣x（x+4）B．4x2﹣y2＝（4x+y）（4x﹣y）
C．﹣x2﹣2x﹣1＝﹣（x+1）2D．x2﹣5x﹣6＝（x﹣2）（x﹣3）
【分析】根据提公因式法、平方差公式以及十字相乘法进行解答．
解：A、原式＝﹣x（x﹣4），故本选项不符合题意．
B、原式＝（2x+y）（2x﹣y），故本选项不符合题意．
C、原式＝﹣（x+1）2，故本选项符合题意．
D、原式＝（x+1）（x﹣6），故本选项不符合题意．
故选：C．
6．下列各式中，正确的是（ ）
A．＝B．＝
C．＝D．＝﹣
【分析】根据分式的分子分母都乘或除以同一个不为零的整式，分式的值不变，可得答案．
【解答】解；A、分式的分子分母都乘或除以同一个不为零的整式，故A错误；
B、分子除以（a﹣2），分母除以（a+2），故B错误；
C、分式的分子分母都乘或除以同一个不为零的整式，分式的值不变，故C正确；
D、分式的分子分母都乘或除以同一个不为零的整式，分式的值不变，故D错误；
故选：C．
7．三边都不相等的三角形有两边长分别为3和5，第三边长是奇数，则其周长为（ ）
A．15B．13C．11D．15或13或11
【分析】本题可先求出第三边的取值范围，找出其中三边都不相等，且为奇数的数，即为第三边的长，再将三者相加即可得出周长的值．
解：设第三边长为x．
根据三角形的三边关系，则有5﹣3＜x＜5+3，
即2＜x＜8，
因为三边都不相等，第三边长是奇数，
所以x＝7，
所以周长＝3+5+7＝15．
故选：A．
8．如图，有一张边长为b的正方形纸板，在它的四角各剪去边长为a的正方形．然后将四周突出的部分折起，制成一个无盖的长方体纸盒．用M表示其底面积与侧面积的差，则M可因式分解为（ ）
A．（b﹣6a）（b﹣2a）B．（b﹣3a）（b﹣2a）
C．（b﹣5a）（b﹣a）D．（b﹣2a）2
【分析】先表示出底面积和侧面积，然后求它们的差，再提取公因式分解因式即可．
解：底面积为（b﹣2a）2，
侧面积为a•（b﹣2a）•4＝4a•（b﹣2a），
∴M＝（b﹣2a）2﹣4a•（b﹣2a），
提取公式（b﹣2a），
M＝（b﹣2a）•（b﹣2a﹣4a），
＝（b﹣2a）•（b﹣6a），
故选：A．
9．关于x的二次三项式x2+10x+a有最小值﹣10，则常数a的值为（ ）
A．12B．13C．14D．15
【分析】利用配方法将x2+10x+a转换为（x+5）2+a﹣25，利用非负数的性质得到a﹣25＝﹣10．
解：x2+10x+a＝（x+5）2+a﹣25，
∵（x+5）2≥0，
∴（x+5）2+a﹣25≥a﹣25，
∵关于x的二次三项式x2+10x+a有最小值﹣10，
∴a﹣25＝﹣10．
解得a＝15．
故选：D．
10．如图，在△ABC中，AI平分∠BAC，BI平分∠ABC，点O是AC、BC的垂直平分线的交点，连接AO、BO，若∠AIB＝α，则∠AOB的大小为（ ）
A．αB．4α﹣360°C．α+90°D．180°﹣α
【分析】连接CO并延长至D，根据三角形内角和定理得到∠IAB+∠IBA＝180°﹣α，根据角平分线的定义得到∠CAB+∠CBA＝360°﹣2α，求出∠ACB，根据线段垂直平分线的性质得到OA＝OC，OB＝OC，
根据等腰三角形的性质得到∠OCA＝∠OAC，∠OCB＝∠OBC，根据三角形的外角性质计算，得到答案．
解：连接CO并延长至D，
∵∠AIB＝α，
∴∠IAB+∠IBA＝180°﹣α，
∵AI平分∠BAC，BI平分∠ABC，
∴∠IAB＝∠CAB，∠IBA＝∠CBA，
∴∠CAB+∠CBA＝2（∠IAB+∠IBA）＝360°﹣2α，
∴∠ACB＝180°﹣（∠CAB+∠CBA）＝2α﹣180°，
∵点O是AC、BC的垂直平分线的交点，
∴OA＝OC，OB＝OC，
∴∠OCA＝∠OAC，∠OCB＝∠OBC，
∵∠AOD是△AOC的一个外角，
∴∠AOD＝∠OCA+∠OAC＝2∠OCA，
同理，∠BOD＝2∠OCB，
∴∠AOB＝∠AOD+∠BOD＝2∠OCA+2∠OCB＝4α﹣360°，
故选：B．
二、填空题：（每小题3分，共18分）
11．分式的值为0，则x的值是 1 ．
【分析】根据分式的值为零的条件得到x﹣1＝0且x≠0，易得x＝1．
解：∵分式的值为0，
∴x﹣1＝0且x≠0，
∴x＝1．
故答案为1．
12．x2+kx+9是完全平方式，则k＝ ±6 ．
【分析】这里首末两项是x和3这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去x和3的积的2倍，故k＝±6．
解：中间一项为加上或减去x和3的积的2倍，
故k＝±6．
13．已知a+b＝4，ab＝2，则a2b+ab2的值为 8 ．
【分析】直接提取公因式ab，进而将已知代入求出即可．
解：∵a+b＝4，ab＝2，
∴a2b+ab2＝ab（a+b）＝4×2＝8．
故答案为：8．
14．计算（x+2y﹣z）（x﹣2y+z）＝ x2﹣4y2+4yz﹣z2 ．
【分析】根据平方差公式和完全平方公式即可求解．
解：（x+2y﹣z）（x﹣2y+z）
＝x2﹣（2y﹣z）2
＝x2﹣4y2+4yz﹣z2．
故答案是：x2﹣4y2+4yz﹣z2．
15．某次列车平均提速vkm/h．用相同的时间，列车提速前行驶skm．提速后比提速前多行驶50km．设提速前列车的平均速度是xkm/h．根据题意分别列出下列四个方程：①；②；③；④．则其中正确的方程有 ①③④ ．
【分析】设提速前列车平均速度是xkm/h，则提速后列车平均速度是（x+v）km/h，根据时间＝路程÷速度及相同时间里面路程比等于速度比，即可得出关于x的分式方程，再对比四个选项后即可得出结论．
解：设提速前列车平均速度是xkm/h，则提速后列车平均速度是（x+v）km/h，
依题意得：①；③；④．
故其中正确的方程有①③④．
故答案为：①③④．
16．如图，△ABC和△ADE都是等边三角形，点D在BC上，DE与AC交于点F，若AB＝5，BD＝3，则＝ ．
【分析】连接CE，过点F作FM⊥BC于点M，FN⊥CE于点N，证明△BAD≌△CAE（SAS），由全等三角形的性质得出BD＝CE＝3，∠ABD＝∠ACE＝60°，根据三角形面积得出．
解：连接CE，过点F作FM⊥BC于点M，FN⊥CE于点N，
∵△ABC和△ADE为等边三角形，
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE＝3，∠ABD＝∠ACE＝60°，
∵AB＝BC＝5，
∴DC＝2，
∵∠ACB＝∠ACE＝60°，FM⊥BC，FN⊥CE，
∴FM＝FN，
∵S△DFC＝DC•FM，S△FCE＝CE•FN，
∴，
∴，
故答案为：．
三、解答题（共8小题，共72分）
17．解分式方程：
（1）；
（2）+2．
【分析】两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
解：（1）去分母得：x+3＝5x，
解得：x＝，
经检验x＝是分式方程的解；
（2）去分母得：2x＝3+4（x﹣1），
解得：x＝，
经检验x＝是分式方程的解．
18．如图，AB＝AC，F，E分别是AB，AC的中点．求证：∠B＝∠C．
【分析】先由中点的定义得出AF＝AB，AE＝AC，由AB＝AC，得到AF＝AE．又∠A公共，根据SAS即可证明△ABE≌△ACF，由全等三角形的性质可得出答案．
【解答】证明：∵F、E是AB、AC的中点，
∴AF＝AB，AE＝AC，
∵AB＝AC，
∴AF＝AE．
在△ABE与△ACF中，
，
∴△ABE≌△ACF（SAS），
∴∠B＝∠C．
19．因式分解：
（1）x3﹣16x；
（2）3x2﹣12xy+12y2；
（3）﹣2x3﹣6x2y+20xy2．
【分析】（1）原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可；
（2）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可；
（3）原式提取公因式，再利用十字相乘法分解即可．
解：（1）原式＝x（x2﹣16）
＝x（x+4）（x﹣4）；
（2）原式＝3（x2﹣4xy+4y2）
＝3（x﹣2y）2；
（3）原式＝﹣2x（x2+3xy﹣10y2）
＝﹣2x（x+5y）（x﹣2y）．
20．（1）计算：[（﹣5a6）2+（﹣3a3）3•（﹣a3）]÷4a4；
（2）先化简后求值：，其中x＝2．
【分析】（1）先计算乘方和乘法，再计算加法，最后计算除法即可；
（2）先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算即可．
解：（1）原式＝（25a12+27a12）÷4a4
＝52a12÷4a4
＝13a8；
（2）原式＝（﹣）÷
＝•
＝，
当x＝2时，原式＝．
21．在平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标都是整数的点称为整点．如图，A（﹣1，3），B（﹣3．﹣1），C（﹣1，﹣1）都是整点．请仅用无制度的直尺画图并回答下列问题．
（1）在图1中画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）在图1中取整点D，画CD⊥AB．垂足为E，直接写出点D的坐标是 （3，﹣3） ；
（3）在图2的AC边上画点F．使∠ABF＝45°，并直接写出线段AF的长为 ．
【分析】（1）分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可．
（2）取格点D，作直线CD交AB于E，点E即为所求作．
（3）利用等腰直角三角形的性质解决问题即可．
解：（1）如图1中，△A1B1C1即为所求作．
（2）如图1中，直线CD，点E即为所求作，D（3，﹣3）．
故答案为（3，﹣3）．
（3）取格点E，连接AE，BE，BE交AC于点F，点F即为所求作．观察图象可知CF＝，
∴AF＝4﹣＝．
故答案为：
22．甲、乙两工程队承包某道路改造工程．若由甲、乙两工程队合做20天可以完成；若甲工程队先单独施工40天，再由乙工程队单独施工10天也可以完成．
（1）求甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要多少天？
（2）如果甲工程队施工每天需付施工费1万元，乙工程队施工每天需付施工费2.5万元．若要求尽快完成整个工程，但总施工费用不超过66万元，求乙工程队最多施工多少天？
【分析】（1）设甲工程队单独完成此项工程需要x天，则甲工程队的工作效率为，乙工程队的工作效率为（﹣），根据“甲工程队先单独施工40天，再由乙工程队单独施工10天也可以完成改造工程”，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设乙工程队施工m天，则甲工程队施工（60﹣2m）天，根据总施工费用不超过66万元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
解：（1）设甲工程队单独完成此项工程需要x天，则甲工程队的工作效率为，乙工程队的工作效率为（﹣），
依题意得：+10（﹣）＝1，
解得：x＝60，
经检验，x＝60是原方程的解，且符合题意，
∴1÷（﹣）＝30．
答：甲工程队单独完成此项工程需要60天，乙工程队单独完成此项工程需要30天．
（2）设乙工程队施工m天，则甲工程队施工＝（60﹣2m）天，
依题意得：60﹣2m+2.5m≤66，
解得：m≤12．
答：乙工程队最多施工12天．
23．在等边△ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，以DE为边向右作等边△DEF．
（1）如图1，若AD＝2BE．
①求证：∠CEF＝∠BDE；
②连接CF，求∠ECF的度数．
（2）如图2，已知△ABC的面积是9cm2，AB＝6cm，若BE＝2AD，O为AC的中点，直接写出：
①OF的最小值为 cm；
②AF+OF的最小值为 3 cm．
【分析】（1）①由三角形的外角可求解；
②在EC上取点G，使∠EGF＝60°，证明△BDE≌△GEF（AAS），由全等三角形的性质得出BD＝EG，BE＝GF，由等腰三角形的性质得出∠GCF＝∠GFC，则可得出答案；
（2）①过点E作EM⊥AB于点M，证明△DME≌△ECF（SAS），得出∠DME＝∠ECF＝90°，则点F在垂直于直线BC的直线上运动，过点O作OG⊥CF于点G，则OF的最小值为OG的长，由直角三角形的性质求出OG的长，则可得出答案；
②作点A关于CF的对称点N，连接ON，则AF+OF的最小值为ON，由轴对称的性质及三角形的面积可求出答案．
解：（1）①证明：∵△ABC，△DEF是等边三角形，
∴∠ABC＝∠DEF＝60°，
∵∠CED＝∠BDE+∠B，∠CED＝∠DEF+∠CEF，
∴∠CEF＝∠BDE；
②如图1，在EC上取点G，使∠EGF＝60°，
由①得，∠BDE＝∠GEF，
在△BDE和△GEF中，
，
∴△BDE≌△GEF（AAS），
∴BD＝EG，BE＝GF，
又∵AB＝BC，
∴AD＝BE+CG，
∵AD＝2BE，
∴BE＝CG＝GF，
∴∠GCF＝∠GFC，
又∠GCF+∠GFC＝∠EGF＝60°，
∴∠GCF＝30°．
（2）①如图2，过点E作EM⊥AB于点M，
设AD＝t，则BE＝2t，
∵等边△ABC的边长AB为6cm，
∴CE＝6﹣2t（cm），
∵∠B＝60°，
∴∠BEM＝30°，
∴BM＝BE＝t（cm），
∴DM＝AB﹣AD﹣BM＝6﹣2t（cm），
∴DM＝CE，
又∵∠MDE＝∠FEC，DE＝EF，
∴△DME≌△ECF（SAS），
∴∠DME＝∠ECF＝90°，
∴点F在垂直于直线BC的直线上运动，
过点O作OG⊥CF于点G，则OF的最小值为OG的长，
∵∠ACB＝60°，
∴∠OCG＝30°，
∴OG＝＝（cm），
故答案为：．
②作点A关于CF的对称点N，连接ON，则AF+OF的最小值为ON，
由轴对称的性质得出AC＝CN，∠ACG＝∠NCG＝30°，
∴∠ACN＝60°，
∴△ACN为等边三角形，
∵S△ABC＝9cm2，
∴cm2，
∴＝9，
∴ON＝3（cm）．
故答案为：3．
24．平面直角坐标系中，点A（x，y），且x2﹣8x+16+＝0，△ABC是以AB为斜边的等腰直角三角形（点A、B、C逆时针排列）．
（1）直接写出点A的坐标是 （4，4） ；
（2）如图1，已知点B（0，n）且0＜n＜4，连接OC．求四边形ABOC的面积；
（3）如图2，已知点B（m，n）且0＜m＜4，0＜n＜4，过点A作AD⊥y轴于D，连接OB，M为OB的中点，连接DM，CM．求证DM⊥CM．
【分析】（1）由非负数的性质求出x＝4，y＝4，可得出答案；
（2）过点A作AD⊥y轴于点D，过点C作CE⊥y轴于点E，CF⊥AD于点F，证明△CBE≌△CAF（AAS），由全等三角形的性质得出CE＝CF，BE＝AF，设CE＝CF＝a，则BD＝2a﹣4，由四边形面积公式S四边形ABCO＝S四边形DOCF+S△ACF﹣S△ADB可得出答案；
（3）延长CM至点N，使NM＝CM，连接DC，DN，证明△OMN≌△BMC（SAS），由全等三角形的性质得出ON＝BC＝AC，∠ONM＝∠BCM，由平行线的判定得出ON∥BC，延长NO和AC的延长线交于点Q，证明△DON≌△DAC（SAS），由全等三角形的性质得出DN＝DC，由等腰三角形的性质可得出结论．
解：（1）∵x2﹣8x+16+＝0．
∴（x﹣4）2+＝0，
又∵（x﹣4）2≥0，y﹣4≥0，
∴x＝4，y＝4，
∴A（4，4）；
故答案为：（4，4）；
（2）过点A作AD⊥y轴于点D，过点C作CE⊥y轴于点E，CF⊥AD于点F，
∴∠CEB＝∠CFA＝90°，∠ECF＝∠ACB＝90°，
∴∠BCE＝90°﹣∠BCF＝∠ACF，
在△CBE和△CAF中，
，
∴△CBE≌△CAF（AAS），
∴CE＝CF，BE＝AF，
设CE＝CF＝a，则BD＝a﹣（4﹣a）＝2a﹣4，
∴S四边形ABCO＝S四边形DOCF+S△ACF﹣S△ADB
＝×4×（2a﹣4）
＝﹣4a+8
＝8；
（3）证明：延长CM至点N，使NM＝CM，连接DC，DN，
∵M为OB的中点，
∴OM＝BM，
在△OMN和△BMC中，
，
∴△OMN≌△BMC（SAS），
∴ON＝BC＝AC，∠ONM＝∠BCM，
∴ON∥BC，
延长NO和AC的延长线交于点Q，
∵BC⊥AC，
∴NO⊥AC，
∴∠AQN＝90°＝∠ADO，
∴∠DAC+∠DOQ＝180°，
又∵∠DON+∠DOQ＝180°，
∴∠DON＝∠DAC，
在△DON和△DAC中，
，
∴△DON≌△DAC（SAS），
∴DN＝DC，
又∵NM＝CM，
∴DM⊥CM．
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