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初中数学北师大版七年级下册第二章 相交线与平行线综合与测试课后作业题
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这是一份初中数学北师大版七年级下册第二章 相交线与平行线综合与测试课后作业题，文件包含第二章相交线与平行线重难点提升卷原卷版docx、第二章相交线与平行线重难点提升卷解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共24页， 欢迎下载使用。
A．2对B．3对C．4对D．5对
【分析】根据第三条截线可能是直线AB、直线AC、直线l，结合同旁内角的定义，数出同旁内角即可．
【解答】解：直线AC与直线AB被直线l所截形成的同旁内角有：∠ADE与∠AED、∠CDE与∠BED；
直线AC与直线DE被直线AB所截形成的同旁内角有：∠DAE与∠DEA；
直线AB与直线DE被直线AC所截形成的同旁内角有：∠EAD与∠EDA；
故选：C．
【点睛】本题考查了同位角、内错角、同旁内角的定义，要结合图形，熟记同位角、内错角、同旁内角的位置特点．
2．（3分）（2020春•禅城区期末）平面上4条不重合的直线两两相交，交点最多的个数是（ ）
A．4个B．3个C．6个D．5个
【分析】4条直线相交，有3种位置关系，画出图形，进行解答．
【解答】解：若4条直线相交，其位置关系有3种，如图所示：
则交点的个数有1个或4个或6个．所以最多有6个交点．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了直线相交时交点的情况，关键是画出图形．
3．（3分）（2020春•肇东市期末）如图，从点A到点B有3条路，其中走ADB最近，其数学依据是（ ）
A．经过两点有且只有一条直线
B．两条直线相交只有一个交点
C．两点之间的所有连线中，线段最短
D．直线比曲线短
【分析】根据两点之间线段最短的性质解答．
【解答】解：从点A到点B有3条路，其中走ADB最近，其数学依据是两点之间的所有连线中，线段最短．
故选：C．
【点睛】本题考查了两点之间线段最短的应用，正确应用线段的性质是解题关键．
4．（3分）（2020春•三台县期中）下列说法错误的个数是（ ）
①经过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
②垂直于同一条直线的两条直线互相平行；
③直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这个点到直线的距离；
④同一平面内不相交的两条直线叫做平行线．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据平行公理，点到直线的距离，可得答案．
【解答】解：①经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故①错误；
②在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，故②错误；
③直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到直线的距离，故③错误；
④同一平面内不相交的两条直线叫做平行线，故④正确；
故选：C．
【点睛】本题考查了平行公理，注意平行公理是在同一个平面内．
5．（3分）（2020春•瑞安市期中）如图，下列条件中，能判定AB∥CD的是（ ）
A．∠1＝∠4B．∠2＝∠3
C．∠1＝∠5D．∠4+∠ADC＝180°
【分析】根据平行线的判定定理对各选项进行逐一分析即可．
【解答】解：A、∠1＝∠4不能判定AB∥CD，不符合题意；
B、∵∠2＝∠3，∴AB∥CD，符合题意；
C、∵∠1＝∠5，∴AD∥BC，不能判定AB∥CD，不符合题意；
D、∵∠4+∠ADC＝180°，∴AD∥BC，不能判定AB∥CD，不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查的是平行线的判定，熟知平行线的判定定理是解答此题的关键．
6．（3分）（2020春•集贤县期末）如图所示，一条公路修到湖边时，需拐弯绕道而过，如果第一次拐的角∠A＝115°，第二次拐的角∠B＝145°，第三次拐的角是∠C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则∠C是（ ）
A．120°B．135°C．150°D．165°
【分析】过点B作BD∥AM，则BD∥CN，由BD∥AM，利用“两直线平行，内错角相等”可求出∠ABD的度数，结合∠ABC＝∠ABD+∠CBD可求出∠CBD的度数，由BD∥CN，利用“两直线平行，同旁内角互补”可求出∠C度数．
【解答】解：过点B作BD∥AM，则BD∥CN，如图所示．
∵BD∥AM，
∴∠ABD＝∠A＝115°．
又∵∠ABC＝∠ABD+∠CBD，
∴∠CBD＝145°﹣115°＝30°．
∵BD∥CN，
∴∠C＝180°﹣∠CBD＝150°．
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质，牢记“两直线平行，内错角相等（同旁内角互补）”是解题的关键．
7．（3分）（2020春•柯桥区期中）如图，小敏在作业中的一道题：如图1，直线a，b所成的角跑到画板外面去了，你有什么办法量出这两条直线所成的角的度数？小敏的做法是：如图2，画PC∥a，量出直线b与PC的夹角度数，即直线a，b所成角的度数．其依据是（ ）
A．两直线平行，同位角相等
B．同旁内角互补，两直线平行
C．内错角相等，两直线平行
D．同位角相等，两直线平行
【分析】根据两直线平行，同位角相等求解．
【解答】解：根据两直线平行，同位角相等得到直线a和直线b的夹角与直线b和直线PC的夹角相等．
故选：A．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质：同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；内错角相等，两直线平行．两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．
8．（3分）（2020春•瑞安市期中）如图，将一块长方形纸条折成如图的形状，若已知∠1＝α，则∠2的度数为（ ）
A．90°﹣αB．90°+αC．90°-α2D．90°+α2
【分析】根据平行线的性质即可求解．
【解答】解：如图，标出字母，
∵AB∥CD，
∴∠1+∠FBC+∠2＝180°，
∵纸条是对折，
∴∠FBC＝∠2，
∴2∠2+∠1＝180°，
∵∠1＝α，
∴∠2=12×（180°﹣α），
∴∠2＝90°-12α，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质，本题的解题关键找出是纸条对折后的角度关系，据此即可得出答案．
9．（3分）（2020春•汉阳区校级期中）若两个角的两边分别平行，而其中一个角比另一个角的3倍少40°，那么这两个角的度数是（ ）
A．20°或 55°B．20°或 160°
C．20°、20°或 55°、125°D．20°、125°或 20°、70°
【分析】根据平行线的性质即可求解．
【解答】解：∵两个角的两边分别平行，
∴这两个角大小相等或互补，
①这两个角大小相等，如下图所示，
由题意得，∠B＝∠E，∠B＝3∠E﹣40°，
∴∠B＝∠E＝20°，
②这两个角互补，如下图所示，
由题意得，∠B+∠E＝180°，∠E＝3∠B﹣40°，
∴∠B＝55°，∠E＝125°，
综上所述，这两个角的度数为20°，20°或55°，125°，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质，解题的关键是根据平行线的性质找出图中角度之间的关系．
10．（3分）（2020春•硚口区期中）如图，直线AB∥CD，点E在CD上，点O、点F在AB上，∠EOF的角平分线OG交CD于点G，过点F作FH⊥OE于点H，已知∠OGD＝148°，则∠OFH的度数为（ ）
A．26°B．30°C．32°D．36°
【分析】先由平角性质求得∠CGO，再由平行线的性质求得∠BOG，由角平分的定义得∠HOF，最后根据三角形的内角和定理求得结果．
【解答】解：∵∠OGD＝148°，
∴∠CGO＝180°﹣∠OGD＝32°，
∵AB∥CD，
∴∠BOG＝∠CGO＝32°，
∵OG平分∠EOF，
∴∠HOF＝2∠BOG＝64°，
∵FH⊥OE，
∴∠OHF＝90°，
∴∠OFH＝180°﹣∠OHF﹣∠HOF＝26°，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，平角的性质，角平分线的性质，三角形内角和定理，关键在求∠BOG．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（2020春•鄂州期中）已知∠1的对顶角为123°，则∠1的邻补角度数为 57° ．
【分析】直接利用对顶角的定义得出∠1的度数，再利用邻补角的定义得出答案．
【解答】解：∵∠1的对顶角为123°，
∴∠1＝123°，
则∠1的邻补角度数为：180°﹣123°＝57°．
故答案为：57°．
【点睛】此题主要考查了对顶角、邻补角，正确把握相关定义是解题关键．
12．（3分）（2020春•海淀区校级期中）如图，一条公路两次转弯后，和原来的方向相同如果第一次的拐角∠A是130°，则第二次的拐角∠B是 130° ，根据是 两直线平行，内错角相等 ．
【分析】利用平行线的性质即可解决问题．
【解答】解：∵一条公路两次转弯后，和原来的方向相同，
∴前后两条道路平行，
∴∠B＝∠A＝130°（两直线平行，内错角相等）．
故答案为：130°；两直线平行，内错角相等．
【点睛】此题考查平行线的性质，解答此题的关键是将实际问题转化为几何问题，利用平行线的性质求解．
13．（3分）（2020春•天宁区校级期中）如图，直线c与a，b相交，∠1＝40°，∠2＝70°，要使直线a与b平行，直线a顺时针旋转的度数至少是 30 °．
【分析】根据同位角相等两直线平行，求出旋转后∠2的同位角的度数，然后用∠3减去∠1即可得到直线a顺时针旋转的度数．
【解答】解：如图．
∵∠3＝∠2＝70°时，a∥b，
∴要使直线a与b平行，直线a顺时针旋转的度数至少是70°﹣40°＝30°．
故答案为：30．
【点睛】本题考查了旋转的性质，平行线的判定，根据同位角相等两直线平行求出旋转后∠2的同位角的度数是解题的关键．
14．（3分）（2020秋•东城区校级期中）如图，D为△ABC中BA延长线上一点，AE∥BC，若∠1＝∠2，∠BAC＝36°，则∠B＝ 72 °．
【分析】根据平行线的性质，可以得到∠1＝∠B，根据平角的定义和∠1＝∠2，∠BAC＝36°，可以得到∠1的度数，从而可以得到∠B的度数．
【解答】解：∵∠BAC＝36°，∠1+∠2+∠BAC＝180°，
∴∠1+∠2＝144°，
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠2＝72°，
∵AE∥BC，
∴∠1＝∠B，
∴∠B＝72°，
故答案为：72．
【点睛】本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
15．（3分）（2020春•江都区期中）一副三角板按如图所示叠放在一起，其中点B、D重合，若固定三角形AOB，改变三角板ACD的位置（其中A点位置始终不变），当∠BAD＝ 30°或150° 时，CD∥AB．
【分析】分两种情况，根据CD∥AB，利用平行线的性质，即可得到∠BAD的度数．
【解答】解：如图所示：当CD∥AB时，∠BAD＝∠D＝30°；
如图所示，当AB∥CD时，∠C＝∠BAC＝60°，
∴∠BAD＝60°+90°＝150°；
故答案为：150°或30°．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由直线的平行关系来寻找角的数量关系．
16．（3分）（2020春•成华区校级期中）如图，如果AB∥CD，则角α＝130°，γ＝20°，则β＝ 70° ．
【分析】过点E作EF∥AB，根据AB∥CD，可得AB∥CD∥EF，根据平行线的性质即可求出β的度数．
【解答】解：如图，过点E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，
∴∠A+∠AEF＝180°，∠D＝∠FED，
∴∠AEF＝180°﹣130°＝50°，∠FED＝20°，
∴∠AED＝∠AEF+∠FED＝50°+20°＝70°．
即β＝70°．
故答案为：70°．
【点睛】本题考查了平行线的性质，解决本题的关键是掌握平行线的性质．
三．解答题（共6小题，满分52分）
17．（8分）（2018春•金华期中）如图所示，把一根筷子一端放在水里，一端露出水面，筷子变弯了，它真的弯了吗？其实没有，这是光的折射现象，光从空气中射入水中，光的传播方向发生了改变．
（1）请指出与∠1是同旁内角的有哪些角？请指出与∠2是内错角的有哪些角？
（2）若∠1＝115°，测得∠BOM＝145°，从水面上看斜插入水中的筷子，水下部分向上折弯了多少度？请说明理由．
【分析】（1）根据同旁内角、内错角的定义（两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角；处于两条直线之间，处于第三条直线两侧的两个角叫内错角）逐个判断即可．
（2）根据平行线的性质解答即可．
【解答】解：（1）与∠1是同旁内角的有∠AOE，∠MOE，∠ADE；
与∠2是内错角的有∠MOE，∠AOE；
（2）∵AB∥CD，
∴∠BOE＝∠1＝115°，
∵∠BOM＝145°，
∴∠MOE＝∠BOM﹣∠BOE＝145°﹣115°＝30°，
∴向上折弯了30°．
【点睛】本题考查了对同旁内角定义，内错角定义的应用，主要考查学生的理解能力，题目是一道比较好的题目，难度适中．
18．（8分）如图所示，已知∠α和∠β（∠α＞∠β），求作：（1）∠α+∠β；（2）∠α﹣∠β．
【分析】（1）可先作∠AOC＝∠α，然后以点O为顶点，射线OC为边，在∠AOC的外部作∠COB＝∠β即可；
（2）先作∠AOC＝∠α，然后以点O为顶点，射线OC为边，在∠AOC的内部作∠COB＝∠β即可．
【解答】解：作法：（1）作∠AOC＝∠α，
以点O为顶点，射线OC为边，在∠AOC的外部作∠COB＝∠β，
则∠AOB就是所求的角；
（2）作∠AOC＝∠α，
以点O为顶点，射线OC为边，在∠AOC的内部作∠COB＝∠β，
则∠AOB就是所求的角．
【点睛】本题需灵活运用作一个角等于已知角来解决问题．
19．（8分）（2020春•瑞安市期中）如图，∠1＝∠2．
（1）试说明：AB∥CD．
（2）若∠1＝76°，GM平分∠BGH，求∠HMG的度数．
【分析】（1）根据同位角相等，两直线平行，即可说明AB∥CD；
（2）根据∠BGH＝∠1＝76°，GM平分∠BGH，即可求∠HMG的度数．
【解答】解：（1）∵∠1＝∠2，∠2＝∠CHE，
∴∠1＝∠CHE，
∴AB∥CD；
（2）∠1＝76°，
∵GM平分∠BGH，
∴∠BGM＝∠HGM=12∠BGH=12∠1＝38°，
∵AB∥CD，
∴∠HMG＝∠BGM＝38°．
答：∠HMG的度数为38°．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质．
20．（8分）（2020秋•惠来县期末）如图，直线EF、CD相交于点O，∠AOB＝90°，OC平分∠AOF．
（1）若∠AOE＝40°，求∠BOD的度数；
（2）若∠AOE＝30°，请直接写出∠BOD的度数；
（3）观察（1）、（2）的结果，猜想∠AOE和∠BOD的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）根据互余、互补以及角平分线的意义，可求出答案；
（2）方法同（1），只是角度值改变而已；
（3）利用角平分线的意义、互余的意义以及等量代换，可得出答案．
【解答】解：（1）∵∠AOE+∠AOF＝180°，∠AOE＝40°，
∴∠AOF＝180°﹣∠AOE＝140°
∵OC平分∠AOF，
∴∠AOC=12∠AOF=12×140°＝70°
∵∠AOB＝90°
∴∠BOD＝180°﹣∠AOC﹣∠AOB＝180°﹣70°﹣90°＝20°
（2）方法同（1）可得，若∠AOE＝30°，则∠BOD＝15°
（3）猜想：∠BOD=12∠AOE，
理由如下：
∵OC平分∠AOF
∴∠AOC=12∠AOF
∵∠AOE+∠AOF＝180°，
∴∠AOF＝180°﹣∠AOE
∵∠BOD+∠AOB+∠AOC＝180°，∠AOB＝90°
∴∠BOD+90°+12∠AOF＝180°，
∴∠BOD＝90°-12∠AOF＝90°﹣90°+12∠AOE=12∠AOE．
【点睛】考查角平分线的意义，互为余角、互为补角的意义，等量代换和恒等变形是常用的方法．
21．（10分）（2020春•淮滨县期中）阅读第（1）题解答过程，在括号中填理由，并解答第（2）题．
（1）已知：如图1，AB∥CD，P为AB、CD之间一点，求∠B+∠C+∠BPC的大小．
解：过点P作PM∥AB，
∵AB∥CD，（已知）
∴PM∥CD，（ 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 ）
∴∠B+∠1＝180°，（ 两直线平行，同旁内角互补 ）
∴∠C+∠2＝180°，（ 两直线平行，同旁内角互补 ）
∵∠BPC＝∠1+∠2，
∴∠B+∠C+∠BPC＝360°．
（2）我们生活中经常接触小刀，小刀刀柄外形是一个直角梯形（挖去一个小半圆）如图2，刀片上、下是平行的，转动刀片时会形成∠1和∠2，那么∠1+∠2的大小是否会随刀片的转动而改变？说明理由．
【分析】（1）利用平行线的性质，根据两直线平行，同旁内角互补，即可求得答案；
（2）首先过点E作EF∥AB，根据两直线平行，内错角相等，即可求得答案；
【解答】
解：（1）过点P作PM∥AB
∵AB∥CD（已知），
∴PM∥CD（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行），
∴∠B+∠1＝180°（两直线平行，同旁内角互补），
∴∠C+∠2＝180°（两直线平行，同旁内角互补），
∵∠BPC＝∠1+∠2，
∴∠B+∠C+∠BPC＝360°；
故答案为：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，同旁内角互补；
（2）∠1+∠2＝90°不会变．理由如下：
如图，过点E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥EF∥CD，
∴∠3＝∠1，∠4＝∠2，
∵∠AEC＝90°，
即∠3+∠4＝90°，
∴∠1+∠2＝90°．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质．
22．（10分）（2020秋•南岗区期中）如图，AE平分∠BAC，∠CAE＝∠CEA．
（1）如图1，求证：AB∥CD；
（2）如图2，点F为线段AC上一点，连接EF，求证：∠BAF+∠AFE+∠DEF＝360°；
（3）如图3，在（2）的条件下，在射线AB上取点G，连接EG，使得∠GEF＝∠C，当∠AEF＝35°，∠GED＝2∠GEF时，求∠C的度数．
【分析】（1）根据角平分线的定义得出∠BAE＝∠CAE，求出∠CEA＝∠BAE，根据平行线的判定得出即可；
（2）过F作FM∥AB，求出AB∥FM∥CD，根据平行线的性质得出∠BAF+∠AFM＝180°，∠DEF+∠EFM＝180°，即可求出答案；
（3）设∠GEF＝∠C＝x°，求出∠GED＝2x°，根据平行线的性质得出∠BAC＝180°﹣x°，根据角平分线的定义得出∠BAE=12∠BAC＝90°-12x°，根据平行线的性质得出∠BAE+∠AED＝180°，得出方程90-12x+x﹣35+2x＝180，求出x即可．
【解答】（1）证明：∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠CAE，
∵∠CAE＝∠CEA，
∴∠CEA＝∠BAE，
∴AB∥CD；
（2）证明：过F作FM∥AB，如图，
∵AB∥CD，
∴AB∥FM∥CD，
∴∠BAF+∠AFM＝180°，∠DEF+∠EFM＝180°，
∴∠BAF+∠AFM+∠DEF+∠EFM＝360°，
即∠BAF+∠AFE+∠DEF＝360°；
（3）解：设∠GEF＝∠C＝x°，
∵∠GEF＝∠C，∠GED＝2∠GEF，
∴∠GED＝2x°，
∵AB∥CD，
∴∠C+∠BAC＝180°，
∴∠BAC＝180°﹣x°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=12∠BAC=12（180°﹣x°）＝90°-12x°，
由（1）知：AB∥CD，
∴∠BAE+∠AED＝180°，
∵∠AEF＝35°，
∴90-12x+x﹣35+2x＝180，
解得：x＝50，
即∠C＝50°．
【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，角平分线的定义等知识点，能灵活根据平行线的性质和判定进行推理是解此题的关键．
A．2对B．3对C．4对D．5对
【分析】根据第三条截线可能是直线AB、直线AC、直线l，结合同旁内角的定义，数出同旁内角即可．
【解答】解：直线AC与直线AB被直线l所截形成的同旁内角有：∠ADE与∠AED、∠CDE与∠BED；
直线AC与直线DE被直线AB所截形成的同旁内角有：∠DAE与∠DEA；
直线AB与直线DE被直线AC所截形成的同旁内角有：∠EAD与∠EDA；
故选：C．
【点睛】本题考查了同位角、内错角、同旁内角的定义，要结合图形，熟记同位角、内错角、同旁内角的位置特点．
2．（3分）（2020春•禅城区期末）平面上4条不重合的直线两两相交，交点最多的个数是（ ）
A．4个B．3个C．6个D．5个
【分析】4条直线相交，有3种位置关系，画出图形，进行解答．
【解答】解：若4条直线相交，其位置关系有3种，如图所示：
则交点的个数有1个或4个或6个．所以最多有6个交点．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了直线相交时交点的情况，关键是画出图形．
3．（3分）（2020春•肇东市期末）如图，从点A到点B有3条路，其中走ADB最近，其数学依据是（ ）
A．经过两点有且只有一条直线
B．两条直线相交只有一个交点
C．两点之间的所有连线中，线段最短
D．直线比曲线短
【分析】根据两点之间线段最短的性质解答．
【解答】解：从点A到点B有3条路，其中走ADB最近，其数学依据是两点之间的所有连线中，线段最短．
故选：C．
【点睛】本题考查了两点之间线段最短的应用，正确应用线段的性质是解题关键．
4．（3分）（2020春•三台县期中）下列说法错误的个数是（ ）
①经过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
②垂直于同一条直线的两条直线互相平行；
③直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这个点到直线的距离；
④同一平面内不相交的两条直线叫做平行线．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据平行公理，点到直线的距离，可得答案．
【解答】解：①经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故①错误；
②在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，故②错误；
③直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到直线的距离，故③错误；
④同一平面内不相交的两条直线叫做平行线，故④正确；
故选：C．
【点睛】本题考查了平行公理，注意平行公理是在同一个平面内．
5．（3分）（2020春•瑞安市期中）如图，下列条件中，能判定AB∥CD的是（ ）
A．∠1＝∠4B．∠2＝∠3
C．∠1＝∠5D．∠4+∠ADC＝180°
【分析】根据平行线的判定定理对各选项进行逐一分析即可．
【解答】解：A、∠1＝∠4不能判定AB∥CD，不符合题意；
B、∵∠2＝∠3，∴AB∥CD，符合题意；
C、∵∠1＝∠5，∴AD∥BC，不能判定AB∥CD，不符合题意；
D、∵∠4+∠ADC＝180°，∴AD∥BC，不能判定AB∥CD，不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查的是平行线的判定，熟知平行线的判定定理是解答此题的关键．
6．（3分）（2020春•集贤县期末）如图所示，一条公路修到湖边时，需拐弯绕道而过，如果第一次拐的角∠A＝115°，第二次拐的角∠B＝145°，第三次拐的角是∠C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则∠C是（ ）
A．120°B．135°C．150°D．165°
【分析】过点B作BD∥AM，则BD∥CN，由BD∥AM，利用“两直线平行，内错角相等”可求出∠ABD的度数，结合∠ABC＝∠ABD+∠CBD可求出∠CBD的度数，由BD∥CN，利用“两直线平行，同旁内角互补”可求出∠C度数．
【解答】解：过点B作BD∥AM，则BD∥CN，如图所示．
∵BD∥AM，
∴∠ABD＝∠A＝115°．
又∵∠ABC＝∠ABD+∠CBD，
∴∠CBD＝145°﹣115°＝30°．
∵BD∥CN，
∴∠C＝180°﹣∠CBD＝150°．
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质，牢记“两直线平行，内错角相等（同旁内角互补）”是解题的关键．
7．（3分）（2020春•柯桥区期中）如图，小敏在作业中的一道题：如图1，直线a，b所成的角跑到画板外面去了，你有什么办法量出这两条直线所成的角的度数？小敏的做法是：如图2，画PC∥a，量出直线b与PC的夹角度数，即直线a，b所成角的度数．其依据是（ ）
A．两直线平行，同位角相等
B．同旁内角互补，两直线平行
C．内错角相等，两直线平行
D．同位角相等，两直线平行
【分析】根据两直线平行，同位角相等求解．
【解答】解：根据两直线平行，同位角相等得到直线a和直线b的夹角与直线b和直线PC的夹角相等．
故选：A．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质：同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；内错角相等，两直线平行．两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．
8．（3分）（2020春•瑞安市期中）如图，将一块长方形纸条折成如图的形状，若已知∠1＝α，则∠2的度数为（ ）
A．90°﹣αB．90°+αC．90°-α2D．90°+α2
【分析】根据平行线的性质即可求解．
【解答】解：如图，标出字母，
∵AB∥CD，
∴∠1+∠FBC+∠2＝180°，
∵纸条是对折，
∴∠FBC＝∠2，
∴2∠2+∠1＝180°，
∵∠1＝α，
∴∠2=12×（180°﹣α），
∴∠2＝90°-12α，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质，本题的解题关键找出是纸条对折后的角度关系，据此即可得出答案．
9．（3分）（2020春•汉阳区校级期中）若两个角的两边分别平行，而其中一个角比另一个角的3倍少40°，那么这两个角的度数是（ ）
A．20°或 55°B．20°或 160°
C．20°、20°或 55°、125°D．20°、125°或 20°、70°
【分析】根据平行线的性质即可求解．
【解答】解：∵两个角的两边分别平行，
∴这两个角大小相等或互补，
①这两个角大小相等，如下图所示，
由题意得，∠B＝∠E，∠B＝3∠E﹣40°，
∴∠B＝∠E＝20°，
②这两个角互补，如下图所示，
由题意得，∠B+∠E＝180°，∠E＝3∠B﹣40°，
∴∠B＝55°，∠E＝125°，
综上所述，这两个角的度数为20°，20°或55°，125°，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质，解题的关键是根据平行线的性质找出图中角度之间的关系．
10．（3分）（2020春•硚口区期中）如图，直线AB∥CD，点E在CD上，点O、点F在AB上，∠EOF的角平分线OG交CD于点G，过点F作FH⊥OE于点H，已知∠OGD＝148°，则∠OFH的度数为（ ）
A．26°B．30°C．32°D．36°
【分析】先由平角性质求得∠CGO，再由平行线的性质求得∠BOG，由角平分的定义得∠HOF，最后根据三角形的内角和定理求得结果．
【解答】解：∵∠OGD＝148°，
∴∠CGO＝180°﹣∠OGD＝32°，
∵AB∥CD，
∴∠BOG＝∠CGO＝32°，
∵OG平分∠EOF，
∴∠HOF＝2∠BOG＝64°，
∵FH⊥OE，
∴∠OHF＝90°，
∴∠OFH＝180°﹣∠OHF﹣∠HOF＝26°，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，平角的性质，角平分线的性质，三角形内角和定理，关键在求∠BOG．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（2020春•鄂州期中）已知∠1的对顶角为123°，则∠1的邻补角度数为 57° ．
【分析】直接利用对顶角的定义得出∠1的度数，再利用邻补角的定义得出答案．
【解答】解：∵∠1的对顶角为123°，
∴∠1＝123°，
则∠1的邻补角度数为：180°﹣123°＝57°．
故答案为：57°．
【点睛】此题主要考查了对顶角、邻补角，正确把握相关定义是解题关键．
12．（3分）（2020春•海淀区校级期中）如图，一条公路两次转弯后，和原来的方向相同如果第一次的拐角∠A是130°，则第二次的拐角∠B是 130° ，根据是 两直线平行，内错角相等 ．
【分析】利用平行线的性质即可解决问题．
【解答】解：∵一条公路两次转弯后，和原来的方向相同，
∴前后两条道路平行，
∴∠B＝∠A＝130°（两直线平行，内错角相等）．
故答案为：130°；两直线平行，内错角相等．
【点睛】此题考查平行线的性质，解答此题的关键是将实际问题转化为几何问题，利用平行线的性质求解．
13．（3分）（2020春•天宁区校级期中）如图，直线c与a，b相交，∠1＝40°，∠2＝70°，要使直线a与b平行，直线a顺时针旋转的度数至少是 30 °．
【分析】根据同位角相等两直线平行，求出旋转后∠2的同位角的度数，然后用∠3减去∠1即可得到直线a顺时针旋转的度数．
【解答】解：如图．
∵∠3＝∠2＝70°时，a∥b，
∴要使直线a与b平行，直线a顺时针旋转的度数至少是70°﹣40°＝30°．
故答案为：30．
【点睛】本题考查了旋转的性质，平行线的判定，根据同位角相等两直线平行求出旋转后∠2的同位角的度数是解题的关键．
14．（3分）（2020秋•东城区校级期中）如图，D为△ABC中BA延长线上一点，AE∥BC，若∠1＝∠2，∠BAC＝36°，则∠B＝ 72 °．
【分析】根据平行线的性质，可以得到∠1＝∠B，根据平角的定义和∠1＝∠2，∠BAC＝36°，可以得到∠1的度数，从而可以得到∠B的度数．
【解答】解：∵∠BAC＝36°，∠1+∠2+∠BAC＝180°，
∴∠1+∠2＝144°，
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠2＝72°，
∵AE∥BC，
∴∠1＝∠B，
∴∠B＝72°，
故答案为：72．
【点睛】本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
15．（3分）（2020春•江都区期中）一副三角板按如图所示叠放在一起，其中点B、D重合，若固定三角形AOB，改变三角板ACD的位置（其中A点位置始终不变），当∠BAD＝ 30°或150° 时，CD∥AB．
【分析】分两种情况，根据CD∥AB，利用平行线的性质，即可得到∠BAD的度数．
【解答】解：如图所示：当CD∥AB时，∠BAD＝∠D＝30°；
如图所示，当AB∥CD时，∠C＝∠BAC＝60°，
∴∠BAD＝60°+90°＝150°；
故答案为：150°或30°．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由直线的平行关系来寻找角的数量关系．
16．（3分）（2020春•成华区校级期中）如图，如果AB∥CD，则角α＝130°，γ＝20°，则β＝ 70° ．
【分析】过点E作EF∥AB，根据AB∥CD，可得AB∥CD∥EF，根据平行线的性质即可求出β的度数．
【解答】解：如图，过点E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，
∴∠A+∠AEF＝180°，∠D＝∠FED，
∴∠AEF＝180°﹣130°＝50°，∠FED＝20°，
∴∠AED＝∠AEF+∠FED＝50°+20°＝70°．
即β＝70°．
故答案为：70°．
【点睛】本题考查了平行线的性质，解决本题的关键是掌握平行线的性质．
三．解答题（共6小题，满分52分）
17．（8分）（2018春•金华期中）如图所示，把一根筷子一端放在水里，一端露出水面，筷子变弯了，它真的弯了吗？其实没有，这是光的折射现象，光从空气中射入水中，光的传播方向发生了改变．
（1）请指出与∠1是同旁内角的有哪些角？请指出与∠2是内错角的有哪些角？
（2）若∠1＝115°，测得∠BOM＝145°，从水面上看斜插入水中的筷子，水下部分向上折弯了多少度？请说明理由．
【分析】（1）根据同旁内角、内错角的定义（两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角；处于两条直线之间，处于第三条直线两侧的两个角叫内错角）逐个判断即可．
（2）根据平行线的性质解答即可．
【解答】解：（1）与∠1是同旁内角的有∠AOE，∠MOE，∠ADE；
与∠2是内错角的有∠MOE，∠AOE；
（2）∵AB∥CD，
∴∠BOE＝∠1＝115°，
∵∠BOM＝145°，
∴∠MOE＝∠BOM﹣∠BOE＝145°﹣115°＝30°，
∴向上折弯了30°．
【点睛】本题考查了对同旁内角定义，内错角定义的应用，主要考查学生的理解能力，题目是一道比较好的题目，难度适中．
18．（8分）如图所示，已知∠α和∠β（∠α＞∠β），求作：（1）∠α+∠β；（2）∠α﹣∠β．
【分析】（1）可先作∠AOC＝∠α，然后以点O为顶点，射线OC为边，在∠AOC的外部作∠COB＝∠β即可；
（2）先作∠AOC＝∠α，然后以点O为顶点，射线OC为边，在∠AOC的内部作∠COB＝∠β即可．
【解答】解：作法：（1）作∠AOC＝∠α，
以点O为顶点，射线OC为边，在∠AOC的外部作∠COB＝∠β，
则∠AOB就是所求的角；
（2）作∠AOC＝∠α，
以点O为顶点，射线OC为边，在∠AOC的内部作∠COB＝∠β，
则∠AOB就是所求的角．
【点睛】本题需灵活运用作一个角等于已知角来解决问题．
19．（8分）（2020春•瑞安市期中）如图，∠1＝∠2．
（1）试说明：AB∥CD．
（2）若∠1＝76°，GM平分∠BGH，求∠HMG的度数．
【分析】（1）根据同位角相等，两直线平行，即可说明AB∥CD；
（2）根据∠BGH＝∠1＝76°，GM平分∠BGH，即可求∠HMG的度数．
【解答】解：（1）∵∠1＝∠2，∠2＝∠CHE，
∴∠1＝∠CHE，
∴AB∥CD；
（2）∠1＝76°，
∵GM平分∠BGH，
∴∠BGM＝∠HGM=12∠BGH=12∠1＝38°，
∵AB∥CD，
∴∠HMG＝∠BGM＝38°．
答：∠HMG的度数为38°．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质．
20．（8分）（2020秋•惠来县期末）如图，直线EF、CD相交于点O，∠AOB＝90°，OC平分∠AOF．
（1）若∠AOE＝40°，求∠BOD的度数；
（2）若∠AOE＝30°，请直接写出∠BOD的度数；
（3）观察（1）、（2）的结果，猜想∠AOE和∠BOD的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）根据互余、互补以及角平分线的意义，可求出答案；
（2）方法同（1），只是角度值改变而已；
（3）利用角平分线的意义、互余的意义以及等量代换，可得出答案．
【解答】解：（1）∵∠AOE+∠AOF＝180°，∠AOE＝40°，
∴∠AOF＝180°﹣∠AOE＝140°
∵OC平分∠AOF，
∴∠AOC=12∠AOF=12×140°＝70°
∵∠AOB＝90°
∴∠BOD＝180°﹣∠AOC﹣∠AOB＝180°﹣70°﹣90°＝20°
（2）方法同（1）可得，若∠AOE＝30°，则∠BOD＝15°
（3）猜想：∠BOD=12∠AOE，
理由如下：
∵OC平分∠AOF
∴∠AOC=12∠AOF
∵∠AOE+∠AOF＝180°，
∴∠AOF＝180°﹣∠AOE
∵∠BOD+∠AOB+∠AOC＝180°，∠AOB＝90°
∴∠BOD+90°+12∠AOF＝180°，
∴∠BOD＝90°-12∠AOF＝90°﹣90°+12∠AOE=12∠AOE．
【点睛】考查角平分线的意义，互为余角、互为补角的意义，等量代换和恒等变形是常用的方法．
21．（10分）（2020春•淮滨县期中）阅读第（1）题解答过程，在括号中填理由，并解答第（2）题．
（1）已知：如图1，AB∥CD，P为AB、CD之间一点，求∠B+∠C+∠BPC的大小．
解：过点P作PM∥AB，
∵AB∥CD，（已知）
∴PM∥CD，（ 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 ）
∴∠B+∠1＝180°，（ 两直线平行，同旁内角互补 ）
∴∠C+∠2＝180°，（ 两直线平行，同旁内角互补 ）
∵∠BPC＝∠1+∠2，
∴∠B+∠C+∠BPC＝360°．
（2）我们生活中经常接触小刀，小刀刀柄外形是一个直角梯形（挖去一个小半圆）如图2，刀片上、下是平行的，转动刀片时会形成∠1和∠2，那么∠1+∠2的大小是否会随刀片的转动而改变？说明理由．
【分析】（1）利用平行线的性质，根据两直线平行，同旁内角互补，即可求得答案；
（2）首先过点E作EF∥AB，根据两直线平行，内错角相等，即可求得答案；
【解答】
解：（1）过点P作PM∥AB
∵AB∥CD（已知），
∴PM∥CD（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行），
∴∠B+∠1＝180°（两直线平行，同旁内角互补），
∴∠C+∠2＝180°（两直线平行，同旁内角互补），
∵∠BPC＝∠1+∠2，
∴∠B+∠C+∠BPC＝360°；
故答案为：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，同旁内角互补；
（2）∠1+∠2＝90°不会变．理由如下：
如图，过点E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥EF∥CD，
∴∠3＝∠1，∠4＝∠2，
∵∠AEC＝90°，
即∠3+∠4＝90°，
∴∠1+∠2＝90°．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质．
22．（10分）（2020秋•南岗区期中）如图，AE平分∠BAC，∠CAE＝∠CEA．
（1）如图1，求证：AB∥CD；
（2）如图2，点F为线段AC上一点，连接EF，求证：∠BAF+∠AFE+∠DEF＝360°；
（3）如图3，在（2）的条件下，在射线AB上取点G，连接EG，使得∠GEF＝∠C，当∠AEF＝35°，∠GED＝2∠GEF时，求∠C的度数．
【分析】（1）根据角平分线的定义得出∠BAE＝∠CAE，求出∠CEA＝∠BAE，根据平行线的判定得出即可；
（2）过F作FM∥AB，求出AB∥FM∥CD，根据平行线的性质得出∠BAF+∠AFM＝180°，∠DEF+∠EFM＝180°，即可求出答案；
（3）设∠GEF＝∠C＝x°，求出∠GED＝2x°，根据平行线的性质得出∠BAC＝180°﹣x°，根据角平分线的定义得出∠BAE=12∠BAC＝90°-12x°，根据平行线的性质得出∠BAE+∠AED＝180°，得出方程90-12x+x﹣35+2x＝180，求出x即可．
【解答】（1）证明：∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠CAE，
∵∠CAE＝∠CEA，
∴∠CEA＝∠BAE，
∴AB∥CD；
（2）证明：过F作FM∥AB，如图，
∵AB∥CD，
∴AB∥FM∥CD，
∴∠BAF+∠AFM＝180°，∠DEF+∠EFM＝180°，
∴∠BAF+∠AFM+∠DEF+∠EFM＝360°，
即∠BAF+∠AFE+∠DEF＝360°；
（3）解：设∠GEF＝∠C＝x°，
∵∠GEF＝∠C，∠GED＝2∠GEF，
∴∠GED＝2x°，
∵AB∥CD，
∴∠C+∠BAC＝180°，
∴∠BAC＝180°﹣x°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=12∠BAC=12（180°﹣x°）＝90°-12x°，
由（1）知：AB∥CD，
∴∠BAE+∠AED＝180°，
∵∠AEF＝35°，
∴90-12x+x﹣35+2x＝180，
解得：x＝50，
即∠C＝50°．
【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，角平分线的定义等知识点，能灵活根据平行线的性质和判定进行推理是解此题的关键．
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