北京市昌平区2020-2021学年九年级上学期期末数学试题（word版 含答案）

这是一份北京市昌平区2020-2021学年九年级上学期期末数学试题（word版 含答案），共21页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

北京市昌平区2020-2021学年九年级上学期期末数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________


一、单选题
1．下列命题是真命题的是（ ）.
A．对角线相互垂直的四边形是平行四边形 B．对角线相等且相互垂直的四边形是菱形
C．四条边相等的四边形是正方形 D．对角线相等且相互平分的四边形是矩形
2．某工厂今年元月份的产量是50万元，3月份的产值达到了72万元．若求2、3月份的产值平均增长率，设这两个月的产值平均月增长率为x，依题意可列方程
A．72(x+1)2=50 B．50(x+1)2=72 C．50(x-1)2=72 D．72(x-1)2=50
3．在“绿水青山就是金山银山”这句话中任选一个汉字，这个字是“绿”的概率为（　　）
A． B． C． D．
4．下列各组中的四条线段不是成比例线段的是（　　）
A．a=1，b=1，c=1，d=1 B．a=1，b=2，c=2，d=4
C．a=1，b=3，c=2，d=4 D．a=2，b=1，c=8，d=4
5．对于函数y＝，下列说法错误的是（ ）
A．点（，6）在这个函数图象上 B．这个函数的图象位于第一、三象限
C．这个函数的图象既是轴对称轴图形又是中心对称图形 D．当x＞0时，y随x的增大而增大
6．计算sin30°·tan45°的结果是(　 　)
A． B． C． D．
7．当函数y=（x-1）2-2的函数值y随着x的增大而减小时，x的取值范围是（　　）
A． B． C． D．x为任意实数
8．如图，已知☉O的半径为7，弦AB的长为12，则圆心O到AB的距离为（ ）

A． B．2 C．2 D．
9．若ab＜0，则一次函数y＝ax﹣b与反比例函数y＝在同一直角坐标系中的图象大致可能是（　　）
A． B．
C． D．
10．抛物线的图象如图所示，抛物线过点，则下列结论：
①；②；③；④（为一切实数）；⑤；正确的个数有（ ）.

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

二、填空题
11．已知关于x的方程x2+ax-3=0有一个根为-3，则另一个根为____.
12．菱形的两条对角线长分别为3和4，则菱形的面积是_____．
13．如图，AB∥CD，AD与BC相交于点O，若AO=2，DO=4，BO=2.5，则CO=_______

14．若y＝是反比例函数，则m=________．
15．计算2sin30°+2cos60°+3tan45°=_______．
16．如图，在⊙O中，弦AB∥CD，若∠ABC=35°，则∠BOD=____.

17．已知方程x2+5x+1=0的两个实数根分别为x1、x2， 则+=________．
18．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣1，下列结论中：
①abc＜0；②9a﹣3b+c＜0；③b2﹣4ac＞0；④a＞b，
正确的结论是_____（只填序号）


三、解答题
19．计算下列各题：
（1）；
（2）．
20．解一元二次方程
（1）3x2﹣1=4x （2）（2x+1）2=3（2x+1）
21．如图，矩形ABCD中，AC与BD交于点O，BE⊥AC，CF⊥BD，垂足分别为E， F．
（1）求证：BE=CF．
（2）若∠AOB=60°，AB=8，求矩形的面积．

22．先阅读，再填空解答：
方程的根为；
方程的根为.
⑴．方程的根是
⑵．若是关于x的一元二次方程的两个实数根，那么与系数a、b、c的关系是：
⑶．如果是方程的两个根，根据⑵所得的结论，求的值.
23．如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y＝（m≠0）的图象相交于C、D两点，和x轴交于A点，y轴交于B点．已知点C的坐标为（3，6），CD＝2BC．
（1）求点D的坐标及一次函数的解析式；
（2）求△COD的面积．

24．已知：如图，BE是△ABC的外接圆O的直径，CD是△ABC的高．
（1）求证：AC·BC＝BE·CD；
（2）已知CD＝6、AD＝3、BD＝8，求⊙O的直径BE的长．

25．在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+2与x轴交于点B，与y轴交于点C，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过B，C两点，且与x轴的负半轴交于点A．
(1)求二次函数的表达式；
(2)如图1，点D是抛物线第四象限上的一动点，连接DC，DB，当S△DCB＝S△ABC时，求点D坐标；
(3)如图2，在(2)的条件下，点Q在CA的延长线上，连接DQ，AD，过点Q作QP∥y轴，交抛物线于P，若∠AQD＝∠ACO+∠ADC，请求出PQ的长．



参考答案
1．D
【分析】
根据菱形，正方形，平行四边形，矩形的判定定理，进行判定，即可解答
【详解】
A. 对角线互相平分的四边形是平行四边形，故错误；
B. 对角线相互垂直平分的四边形是菱形，故错误；
C. 四条边相等的四边形是菱形，故错误；
D. 对角线相等且相互平分的四边形是矩形，正确；
故选D.
【点睛】
考查菱形，正方形，平行四边形，矩形的判定，掌握它们的判定定理是解题的关键.
2．B
【分析】
根据这两个月的产值平均月增长率为x，则2月份的产值是50（1+x），3月份的产值是50（1+x）（1+x），从而列方程即可．
【详解】
解：根据题意，得
50（x+1）2=72．
故选：B．
3．B
【详解】
分析：直接利用概率公式求解．
详解：这句话中任选一个汉字，这个字是“绿”的概率=．
故选B．
点睛：本题考查了概率公式：随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．
4．C
【分析】
如果两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，我们就说这四条线段叫做成比例线段．
【详解】
∵1×1=3×2，故选项A中的四条线段成比例，
∵1×4=2×2，故选项B中的四条线段成比例，
∵1×4≠2×3，故选项C中的四条线段不成比例，
∵2×4=1×8，故选项D中的四条线段不成比例，
故选C．
【点睛】
本题考查的知识点是比例线段的概念，解题关键是注意相乘的时候，让最大的和最小的相乘，剩下的两条再相乘，看它们的积是否相等．
5．D
【分析】
把代入函数解析式即可判断出A选项正误；根据反比例函数的性质和图象可判断B、C、D选项的正误.
【详解】
A.把代入函数y＝得，所以点（，6）在这个函数图象上，故A选项正确；
B.函数y＝的图象位于第一、第三象限，故B选项正确；
C.反比例函数图象既是轴对称轴图形又是中心对称图形，故C选项正确；
D.对于函数y＝，在每一个象限内，函数值y随自变量x的增大而减小，故D选项错误.
故选D.
【点睛】
本题考查了反比例函数的图象和性质.掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键.
6．A
【详解】
【分析】根据特殊角的三角函数值进行计算即可得.
【详解】sin30°·tan45°
=
=，
故选A.
【点睛】本题考查了含有特殊角的三角函数值的式子的计算，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键.
7．B
【详解】
分析：利用二次函数的增减性求解即可，画出图形，可直接看出答案．
详解：对称轴是：x=1，且开口向上，如图所示，
∴当x＜1时，函数值y随着x的增大而减小；
故选B．

点睛：本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟记二次函数的性质．
8．D
【分析】
过点O作OD⊥AB于点D，连接OA，由垂径定理可知AD=AB，在Rt△AOD中利用勾股定理即可求出OD的长．
【详解】
过点O作OD⊥AB于点D，连接OA，
∵AB=12cm，OD⊥AB，
∴AD=AB=×12=6cm，
在Rt△AOD中，
∵AD=6cm，OA=7cm，
∴OD=cm．

故选：D
【点睛】
本题考查的是垂径定理及勾股定理，即根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此题的关键．
9．B
【分析】
根据一次函数图象判定a、b的符号，根据ab的符号判定反比例函数图象所在的象限．
【详解】
A、反比例函数中b＜0，则a＞0，与一次函数中y随x的增大而减小相矛盾，选项错误；
B、正确；
C、反比例函数在二、四象限，则b＜0，则a＞0，而一次函数与y轴交于y轴的下方，则-b＜0，与前边的b＜0相矛盾，故选项错误；
D、反比例函数中b＞0，则a＜0，与一次函数中y随x的增大而减小相矛盾，选项错误．
故选B．
【点睛】
本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．
10．A
【分析】
由抛物线开口方向，对称轴的位置以及与轴的交点位置，确定的正负，即可①；抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=，即可判断②；抛物线与x轴的一个交点 (，0)，得到另一个交点，把b=−2a代入即可判断③，根据抛物线的最大值判断④；由抛物线与x轴有两个交点得到b2-4ac>0，即可判断⑤.
【详解】
①∵抛物线开口向下，
∴a<0，
∵对称轴是：
∴a、b异号，
∴b>0，
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴c>0，
∴abc<0，
∴选项①不正确；
②抛物线对称轴是：
b=−2a，
2a+b=0，
选项②不正确;
③抛物线与x轴的一个交点 (，0)，则另一个交点为(，0)，

把b=−2a代入得：
∴选项③不正确；
④抛物线在时取得最大值，

即
故选项④不正确；
⑤ ∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2-4ac>0
即
∴选项⑤正确；
正确的有1个，
故选A
【点睛】
考查二次函数与系数的关系.二次项系数决定抛物线的开口方向，共同决定了对称轴的位置，常数项决定了抛物线与轴的交点位置.是中考常考题型.
11．1
【分析】
设方程的另一根为t，利用根与系数的关系可得到关于t的方程，可求得答案．
【详解】
设方程的另一根为t，
∵方程x2+ax-3=0一个根为-3，
∴-3t=-3，解得t=1，即方程的另一根为1，
故答案为1
【点睛】
本题主要考查根与系数的关系，掌握两根之积等于是解题的关键．
12．6
【分析】
根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式进行计算即可得解．
【详解】
解：∵菱形的两条对角线长分别为3和4，
∴菱形的面积=×3×4=6．
故答案为6．
【点睛】
本题考查了菱形的性质，菱形的面积通常有两种求法，可以用底乘以高，也可以用对角线乘积的一半求解，计算时要根据具体情况灵活运用．
13．5
【分析】
由平行线分线段成比例定理，得到=；利用AO、BO、DO的长度，求出CO的长度．
【详解】
解：∵AB∥CD，
∴=；
∵AO=2，DO=4，BO=2.5，
∴=，
∴CO=5.
故答案为5.
【点睛】
本题主要考查了平行线分线段成比例定理及其应用问题．掌握平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例是解题的关键．
14．-3
【分析】
根据反比例函数的定义，由 且 ，即可求出 m的值．
【详解】
由题意得 ：
且 ，
解之得 ：．
故答案为：-3．
【点睛】
本题考查了反比例函数的定义，正确的列出方程是解题的关键．特别要注意不要忽略k≠0这个条件．
15．5
【分析】
2sin30°+2cos60°+3tan45°，
＝
＝5.
故答案为5.
【详解】
本题考查了特殊角的三角函数值.牢记特殊角的三角函数值是解题的关键.
16．70°
【详解】
解：∵AB∥CD，∴∠C=∠ABC=35°，∴∠BOD=2∠C=70°．故答案为70°．
点睛：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角的度数等于它所对的圆心角度数的一半．也考查了平行线的性质．
17．23
【分析】
由根与系数的关系可得，，将其代入x12+x22=(x1+x2)2-2x1•x2中，即可求出结论．
【详解】
∵方程x2+5x+1=0的两个实数根分别为，
∴，，
∴x12+x22=(x1+x2)2-2x1•x2=(-5)2﹣2×1=23．
故答案为：23．
【点睛】
本题考查了根与系数的关系，若()的两根为，则，．
18．②③④
【分析】
运用二次函数的图形与性质进行判断即可.
【详解】
解析:①因为抛物线开口向下,所以a<0.因为抛物线的对称轴为直线x=-1＜0, b＜0,因为抛物线与y轴的交点在y轴正半轴上,所以c>0.所以abc>0.故①错误;
②因为由图像得当x=一3时,y＜0,所以9a-3b+c<0.故②正确;
③因为图像与z轴有两个交点,所以b2﹣4ac＞0.故③正确;
④因为抛物线的对称轴为直线x=-1,,b=2a
所以a-b=a-2a=-a＞0,所以a>b.故④正确.
故正确的有②③④，
故答案：②③④.
【点睛】
本题主要二次函数的图形与性质，注意牢记公式及数形结合是解题的关键.
19．（1）2 （2）
【详解】
解：（1）

+1+1=2.
（2）
= =.
20．（1）x1=，x2=；（2）x1=﹣，x2=1．
【详解】
（1）先把方程化为一般式，然后利用求根公式法解方程；
（2）先移项得到（2x+1）2-3（2x+1）=0，然后利用因式分解法解方程.
解：（1）∵原方程可化为3x2﹣4x﹣1=0，
∴a=3，b=﹣4，c=﹣1，
∴△=（﹣4）2﹣4×3×（﹣1）=2，
∴x=，
∴x1=，x2=；
（2）∵原方程可化为（2x+1）（2x﹣2）=0，
∴2x+1=0或2x﹣2=0，
∴x1=﹣，x2=1．
21．（1）见解析；（2）．
【分析】
（1）由矩形ABCD可得OB=OC，再由垂直可得两直角相等，再由“角角边”定理可证的△BEO≌△CFO，根据全等三角形的性质即可得BE=CF．
（2）结合四边形ABCD是矩形，∠AOB=60°，△AOB是等边三角形，再根据勾股定理即可求解．
【详解】
（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，OA=OC=AC，OB=OD=BD，
∴OB=OC，
∵BE⊥AC，CF⊥BD，
∴∠BEO=∠CFO=90°，
在△BEO和△CFO中，
，
∴△BEO≌△CFO（AAS），
∴BE=CF；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，AC=BD，OA=OC=AC，OB=OD=BD，
∴OB=OA，
∵∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB=AO=OB=8，
∴AC=16，
由勾股定理得： ，
∴矩形的面积是 ．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的相关性质和等边三角形的性质，矩形的性质以及勾股定理是解决本题的关键．
22．（1）见解析；（2）见解析；（3）7.
【分析】
（1）解方程求出方程的两个根，再利用根与系数的关系求出两根之和，与两根之积；
（2）根据根与系数的关系可知x1+x2=-，x1x2=；
（3）利用完全平方公式把x12+x22变化成（x1+x2）2-2x1x2的形式，再利用根与系数的关系求值．
【详解】
（1）方程的根是1，
故答案为1，；
（2）若是关于x的一元二次方程的两个实数根，
那么与系数a、b、c的关系是：；
（3）如果是方程的两个根，根据⑵所得的结论，
得
==（-1）2-2×（-3）=7.
【点睛】
本题是一个信息题，通过阅读题目所给材料，然后根据材料解决题目问题，注意题目中每个小题的联系，在解题的过程中善于发现规律是解决本题的关键．
23．（1）（9，2），y＝﹣x+8；（2）24
【分析】
（1）由点C的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出反比例函数系数m的值，根据比例关系即可找出点D的横坐标，由反比例函数图象上点的坐标特征和m得值即可得出点D的坐标，再结合点C、D的坐标利用待定系数法即可求出一次函数的解析式；
（2）根据一次函数解析式求出点A的坐标，通过分割图形结合三角形的面积公式即可得出结论．
【详解】
（1）∵反比例函数y（m≠0）过点C（3，6），∴m＝3×6＝18．
∵CD＝2BC，BD＝BC+CD，∴BD＝3BC，∴点D的横坐标为3×3＝9．
∵点D在反比例函数y的图象上，∴点D的坐标为（9，2）．
把点C（3，6）、点D（9，2）代入一次函数y＝kx+b（k≠0）中得：
，解得：，∴一次函数的解析式为yx+8．
（2）令一次函数yx+8中y＝0，则0x+8，解得：x＝12，即点A的坐标为（12，0），∴S△COD＝S△OAC﹣S△OADOA•（yC﹣yD）12×（6﹣2）＝24．
【点睛】
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、反比例函数图象上点的坐标特征、三角形的面积公式以及待定系数法求函数解析式，解题的关键是：（1）利用待定系数法求函数解析式；（2）求出点A的坐标．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，找出点的坐标，再结合点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是关键．
24．（1）见解析；（2）
【详解】
试题分析：（1）欲证AC•BC=BE•CD，可以证明△ADC∽△ECB得出；
（2）求⊙O的直径BE的长，由AC•BC=BE•CD知，可在Rt△ACD和Rt△BCD中，根据已知条件求出BC，AC的长即可．
试题解析：（1）证明：连接CE．
∵BE是⊙O的直径，∴∠ECB=90°．
∵CD⊥AB，∴∠ADC=90°，∴∠ECB=∠ADC．
又∵∠A=∠E（同弧所对的圆周角相等），∴△ADC∽△ECB，∴，∴AC•BC=BE•CD；
（2）解：∵CD=6，AD=3，BD=8，∴BC===10，∴AC===．
∵AC•BC=BE•CD，∴×10=BE•6，∴BE=，∴⊙O的直径BE的长是．

点睛：本题考查了同弧所对的圆周角相等、直径所对的圆周角为直角及勾股定理等知识，同时考查了相似三角形的判定和性质，综合性较强．
25．（1）；（2）；（3）6
【分析】
（1）先求出B、C的坐标，然后代入二次函数的解析式，解方程组即可；
(2)过D作DG⊥x轴于G，过C作CF⊥DG于F，过B作BE⊥CF于E．设D（x，y），则x＞0，y＜0．求出S△ABC．根据S△CBD=S△CDF－S△CEB－S梯形EBDF解方程解得到x的值，从而得到D的坐标；
(3)连接AD，过D作DM⊥x轴于M．先求出直线CD的解析式为y=－x+2，得到CO=OR=2，则∠ORC=45°．再证明∠AQD=45°．通过勾股定理的逆定理得到AC2+AD2= DC2，即有∠CAD=90°，从而有△AQD是等腰直角三角形，由等腰三角形的性质得到AQ=AD．通过证明△QAN≌△ADM，得到NA，QN的长，进而得到ON=4，即可得到N（－4，0），则P点横坐标为x=-4，代入二次函数即可得到y的值，从而得到结论．
【详解】
（1）在中，令y=0，解得：x=4，∴B(4，0)，令x=0，得：y=2，∴C(0，2)．把B(4，0)，C(0，2)代入中，得：，解得：，∴二次函数的表达式为：．
(2)过D作DG⊥x轴于G，过C作CF⊥DG于F，过B作BE⊥CF于E．设D（x，y）．
∵D在第四象限，∴x＞0，y＜0．
∵B（4，0），C(0，2)，∴CE=OB=4，CO=BE=FG=2，EF=BG=x-4，DF=DG+FG=2-y，S△ABC=AB×OC=×（4+1）×2=5．
S△CBD=S△CDF－S△CEB－S梯形EBDF=，化简得：x+2y=－1．
∵D（x，y）在二次函数上，∴，化简得：，∴（x－5）（x+1）=0，∴x=5或x=－1（舍去）．
当x=5时，y==－3，∴D（5，－3）．

(3)如图，连接AD，过D作DM⊥x轴于M．设直线CD的解析式为y=kx+b，把C（0，2），D（5，－3）代入得到：，解得：，∴直线CD的解析式为y=－x+2，令y=0，解得：x=2，∴R(2，0)，∴CO=OR=2，∴∠ORC=45°．
∵∠ACO+∠CAO=90°，∠CAO+∠OAD=90°，∴∠ACO=∠OAD，∴∠ACO+∠ADC=∠OAD+∠ADC=∠ARC=45°，∴∠AQD=45°．
∵AC2=12+22=5，AD2=(5+1)2+32=45，DC2=52+(2+3)2=50，∴AC2+AD2=5+45=50= DC2，∴∠CAD=90°，∴∠QAD=90°．
∵∠AQD=45°，∴△AQD是等腰直角三角形，∴AQ=AD．
∵∠QAD=90°，∴∠NAQ+∠DAM=90°．
∵∠NAQ+∠AQN=90°，∴∠AQN=∠MAD．在△QAN和△ADM中，∵∠AQN=∠MAD，∠QNA=∠AMD=90°，AQ=AD，∴△QAN≌△ADM，∴NA=DM=3，QN=AM=6，∴ON=4，∴N（－4，0）．设P（x，y）．
∵QP∥y轴，∴P点横坐标为x=-4，∴y==－12，∴PN=12，∴PQ=PN-QN=12－6=6．

【点睛】
本题是二次函数综合题．考查了用待定系数法求函数解析式，勾股定理及逆定理，全等三角形的判定与性质．综合性强，难度较大．