高中数学人教版新课标A必修4第一章 三角函数1.3 三角函数的诱导公式评课ppt课件
展开1.了解三角函数的诱导公式的意义和作用.2.理解诱导公式的推导过程.3.能运用有关诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题.
1.设α为任意角,则π+α,-α,π-α的终边与α的终边之间的对称关系如表
2.诱导公式一~四(1)公式一:sin(α+2kπ)= ,cs(α+2kπ)= ,tan(α+2kπ)= ,其中k∈Z.(2)公式二:sin(π+α)= ,cs(π+α)= ,tan(π+α)= .(3)公式三:sin(-α)= ,cs(-α)= ,tan(-α)= .(4)公式四:sin(π-α)= ,cs(π-α)= ,tan(π-α)= .
在前面的学习中,我们知道终边相同的角的同名三角函数相等,即公式一,并且利用公式一可以把绝对值较大的角的三角函数转化为0°~360°内的角的三角函数值,对于90°~360°内的三角函数我们能否进一步把它们转化到锐角范围内来求解?这就是本节学习的内容.
思考1 设角α的终边与单位圆交于点P1(x,y),则角π+α的终边与角α的终边有什么关系? 角π+α的终边与单位圆的交点P2的坐标如何?
答 角π+α与角α的终边关于原点O对称;P2(-x,-y)
思考2 根据三角函数定义,sin(π+α) 、cs(π+α)、tan(π+α)的值分别是什么?对比sin α,cs α,tan α的值,π+α的三角函数与α的三角函数有什么关系?答 sin(π+α)=-y,cs(π+α)=-x,
sin(π+α)=-sin α,cs(π+α)=-cs α,tan(π+α)=tan α.
思考3 公式二有何作用?答 第三象限角的三角函数转化为第一象限角的三角函数,例如:
思考1 设角α的终边与单位圆的交点为P1(x,y),角-α的终边与角α的终边有什么关系?如图,-α的终边与单位圆的交点P2坐标如何?
答 角-α的终边与角α的终边关于x轴对称;角-α的终边与单位圆的交点为P2(x,-y).
sin(-α)=-sin α,cs(-α)=cs α,tan(-α)=-tan α.
思考3 诱导公式三有何作用?答 将负角的三角函数转化为正角的三角函数.
思考1 利用π-α=π+(-α),结合公式二、三,你能得到什么结论?答 由诱导公式二和诱导公式三可得:sin(π-α)=sin[π+(-α)]=-sin(-α)=sin α,cs(π-α)=cs[π+(-α)]=-cs(-α)=-cs α.tan(π-α)=tan[π+(-α)]=tan(-α)=-tan α.
即sin(π-α)=sin α,cs(π-α)=-cs α,tan(π-α)=-tan α.即诱导公式四
sin(π-α)=sin α,cs(π-α)=-cs α,tan(π-α)=-tan α.
思考2 诱导公式四有何作用?答 将第二象限角的三角函数转化为第一象限角的三角函数.
思考3 公式一~四都叫做诱导公式,他们分别反映了2kπ+α(k∈Z),π+α,-α,π-α的三角函数与α的三角函数之间的关系,你能概括一下这四组公式的共同特点和规律吗? 答 2kπ+α(k∈Z),π+α,-α,π-α的三角函数值,等于α的同名函数值,前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号. 简记为“函数名不变,符号看象限”!
例1 利用公式求下列三角函数的值:(1)cs 225°;
解 (1)cs 225°=cs(180°+45°)
(4)cs(-2 040°).
反思与感悟 利用诱导公式求三角函数值时,先将不是[0,2π)内的角的三角函数,转化为[0,2π)内的角的三角函数,或先将负角转化为正角后再转化到 范围内的角的三角函数值.
跟踪训练1 求下列三角函数值.
(3)tan(-855°).
解 tan(-855°)=-tan 855°
=-tan(2×360°+135°)=-tan 135°=-tan(180°-45°)=tan 45°=1.
解 sin(-α-180°)=sin[-(180°+α)]=-sin(180°+α)=-(-sin α)=sin α,cs(-180°-α)=cs[-(180°+α)]=cs(180°+α)=-cs α,
反思与感悟 利用诱导公式进行化简,主要是进行角的转化,最终达到角的统一,能求值的要求出值.
反思与感悟 对于给值求值问题,要注意观察题目条件中的角与所求问题中的角之间的联系,然后选择恰当的诱导公式进行转化,一般采用代入法求值.
∴sin(α-3π)+cs(α-π)=-sin(3π-α)+cs(π-α)=-sin(π-α)+(-cs α)=-sin α-cs α=-(sin α+cs α)
1.求下列三角函数的值.(1)sin 690°;
(3)tan(-1 845°).解 tan(-1 845°)=tan(-5×360°-45°)=tan(-45°)=-tan 45°=-1.
解 当k=2n(n∈Z)时,
当k=2n+1(n∈Z)时,
证明 当n为偶数时,令n=2k,k∈Z,
右边=(-1)2kcs α=cs α,∴左边=右边.当n为奇数时,令n=2k-1,k∈Z,
右边=(-1)2k-1cs α=-cs α,∴左边=右边.
1.明确各诱导公式的作用
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