高中数学人教版新课标A必修41.4 三角函数的图象与性质说课课件ppt

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1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义.2.会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acs(ωx＋φ)的周期.3.掌握函数y＝sin x，y＝cs x的奇偶性，会判断简单三角函数的奇偶性.
1.函数的周期性(1)对于函数f(x)，如果存在一个 ，使得当x取定义域内的 时，都有 ，那么函数f(x)就叫做周期函数.非零常数T叫做这个函数的周期.(2)如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的 .
f(x＋T)＝f(x)
2.正弦函数、余弦函数的周期性由sin(x＋2kπ)＝ ，cs(x＋2kπ)＝cs x(k∈Z)知y＝sin x与y＝cs x都是 函数，2kπ (k∈Z且k≠0)都是它们的周期，且它们的最小正周期都是2π.3.正弦函数、余弦函数的奇偶性(1)正弦函数y＝sin x与余弦函数y＝cs x的定义域都是__，定义域关于 对称.
(2)由sin(－x)＝ 知正弦函数y＝sin x是R上的 函数，它的图象关于 对称.(3)由cs(－x)＝ 知余弦函数y＝cs x是R上的偶函数，它的图象关于 对称.
自然界存在许多周而复始的现象，如地球自转和公转，物理学中的单摆运动和弹簧振动，圆周运动等.数学中从正弦函数和余弦函数的定义知，角α的终边每转一周又会与原来的终边重合，也具有周而复始的变化规律，为定量描述这种变化规律，需引入一个新的数学概念——函数周期性.
探究点一　周期函数的定义
思考1　观察正弦函数图象知，正弦曲线每相隔2π个单位重复出现其理论依据是什么？答　诱导公式sin(x＋2kπ)＝sin x(k∈Z)当自变量x的值增加2π的整数倍时，函数值重复出现.数学上，用周期性这个概念来定量地刻画这种“周而复始”的变化规律.
思考2　设f(x)＝sin x，则sin(x＋2kπ)＝sin x可以怎样表示？把函数f(x)＝sin x称为周期函数，那么，一般地，如何定义周期函数呢？答　f(x＋2kπ)＝f(x)(k∈Z)这就是说：当自变量x的值增加到x＋2kπ时，函数值重复出现.一般地，对于函数y＝f(x)，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，f(x＋T)＝f(x)都成立，那么就把函数y＝f(x)叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期.
小结　为了突出函数的这个特性，我们把函数f(x)＝sin x称为周期函数，2kπ为这个函数的周期 (其中k∈Z且k≠0).
思考3　正弦函数y＝sin x的周期是否唯一？正弦函数y＝sin x的周期有哪些？答　正弦函数y＝sin x的周期不止一个. ±2π，±4π，±6π，…都是正弦函数的周期，事实上，任何一个常数2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期.
导引　如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数， 则这个最小正数叫做f(x)的最小正周期. 周期函数不一定都有最小正周期.如：f(x)＝C(C为常数，x∈R )，对于非零实数T都是它的周期， 而最小正周期不存在.
思考　我们知道±2π，±4π，±6π，…都是y＝sin x的周期，那么函数y＝sin x有最小正周期吗？若有，那么最小正周期T等于多少？答　正弦函数y＝sin x有最小正周期，且最小正周期T＝2π.
小结　如果非零常数T是函数y＝f(x)的一个周期，那么kT(k∈Z且k≠0)都是函数y＝f(x)的周期.例如，正弦函数y＝sin x和余弦函数y＝cs x的最小正周期都是2π，它们的所有周期可以表示为2kπ(k∈Z且k≠0).
探究点三　函数y＝Asin(ωx＋φ)(或y＝A·cs(ωx＋φ))(A>0，ω≠0)的周期
思考　求函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(或f(x)＝Acs(ωx＋φ))的最小正周期？答　由诱导公式一知：对任意x∈R，都有Asin[(ωx＋φ)＋2π]＝Asin(ωx＋φ)，
探究点四　正弦、余弦函数的奇偶性
思考1　观察正弦曲线和余弦曲线的对称性，你有什么发现？答　正弦函数y＝sin x的图象关于原点对称，余弦函数y＝cs x的图象关于y轴对称.思考2　上述对称性反映出正弦、余弦函数分别具有什么性质？如何从理论上加以验证？答　正弦函数是R上的奇函数，余弦函数是R上的偶函数.根据诱导公式得，sin(－x)＝－sin x，cs(－x)＝cs x均对一切x∈R恒成立.
例1　求下列三角函数的周期.(1)y＝3cs x，x∈R；
解　∵3cs(x＋2π)＝3cs x，∴自变量x只要并且至少要增加到x＋2π，函数y＝3cs x，x∈R的值才能重复出现，所以，函数y＝3cs x，x∈R的周期是2π.
(2)y＝sin 2x，x∈R；
解　∵sin(2x＋2π)＝sin2(x＋π)＝sin 2x，∴自变量x只要并且至少要增加到x＋π，函数y＝sin 2x，x∈R的值才能重复出现，所以，函数y＝sin 2x，x∈R的周期是π.
∴自变量x只要并且至少要增加到x＋4π，
跟踪训练1　求下列函数的周期：(1)y＝cs 2x；
(3)y＝|cs x|.
解　∵f(x)的最小正周期是π，
∵f(x)是R上的偶函数，
反思与感悟　解决此类问题关键是综合运用函数的周期性和奇偶性，把自变量x的值转化到可求值区间内.
(2)f(x)＝lg(1－sin x)－lg(1＋sin x)；
∴f(x)的定义域关于原点对称.又∵f(x)＝lg(1－sin x)－lg(1＋sin x)∴f(－x)＝lg[1－sin(－x)]－lg[1＋sin(－x)] ＝lg(1＋sin x)－lg(1－sin x)＝－f(x). ∴f(x)为奇函数.
解　∵1＋sin x≠0，∴sin x≠－1，
∵定义域不关于原点对称，∴该函数是非奇非偶函数.
反思与感悟　判断函数奇偶性，要先判断函数的定义域是否关于原点对称，定义域关于原点对称是函数为奇函数或偶函数的前提条件，然后再判断f(－x)与f(x)之间的关系.
解　f(x)＝sin 2x＋x2sin x，又∵x∈R，f(－x)＝sin(－2x)＋(－x)2sin(－x)＝－sin 2x－x2sin x＝－f(x)，∴f(x)是奇函数.
∴f(x)既是奇函数又是偶函数.
3.已知f(x)是R上的奇函数，且f(1)＝2，f(x＋3)＝f(x)，则f(8)＝ .解析　∵f(x＋3)＝f(x)，∴f(x)是周期函数，3就是它的一个周期，且f(－x)＝－f(x).∴f(8)＝f(2＋2×3)＝f(2)＝f(－1＋3)＝f(－1)＝－f(1)＝－2.
∴f(－x)＝－f(x).∴f(x)为奇函数.