人教版新课标A必修42.2 平面向量的线性运算课文配套课件ppt

这是一份人教版新课标A必修42.2 平面向量的线性运算课文配套课件ppt，共39页。PPT课件主要包含了明目标知重点，填要点记疑点，探要点究所然，当堂测查疑缺，知重点，填要点·记疑点，λμa，λa＋μa，λa＋λb，－λa等内容，欢迎下载使用。

1.了解向量数乘的概念，并理解这种运算的几何意义.2.理解并掌握向量数乘的运算律，会运用向量数乘运算律进行向量运算.3.理解并掌握两向量共线的性质及其判定方法，并能熟练地运用这些知识处理有关共线向量问题.
1.向量数乘运算：实数λ与向量a的积是一个 ，这种运算叫做向量的 ，记作 ，其长度与方向规定如下：(1)|λa|＝ .
(2)λa(a≠0)的方向
特别地，当λ＝0或a＝0时，0a＝ 或λ0＝ .
2.向量数乘的运算律(1)λ(μa)＝ .(2)(λ＋μ)a＝ .(3)λ(a＋b)＝ .特别地，有(－λ)a＝ ＝ ；λ(a－b)＝ .
3.共线向量定理：向量a (a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使 .4.向量的线性运算：向量的 、 、 运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a、b，以及任意实数λ、μ1、μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝ .
引入：位移、力、速度、加速度等都是向量，而时间、质量等都是数量，这些向量与数量的关系常常在物理公式中体现.如力与加速度的关系F＝ma，位移与速度的关系s＝vt.这些公式都是实数与向量间的关系.
师：我们已经学习了向量的加法，请同学们作出a＋a＋a和(－a)＋(－a)＋(－a)向量，并请同学们指出相加后，和的长度与方向有什么变化？这些变化与哪些因素有关？生： a＋a＋a的长度是a的长度的3倍，其方向与a的方向相同，(－a)＋(－a)＋(－a)的长度是a长度的3倍，其方向与a的方向相反.师：很好！本节课我们就来讨论实数与向量的乘积问题.
探究点一　向量数乘运算的物理背景
思考1　一物体作匀速直线运动，一秒钟的位移对应向量v，那么在同方向上3秒钟的位移对应的向量用3v表示，试在直线l上画出3v向量，看看向量3v与v的关系如何？
∴3v与v的方向相同，|3v|＝3|v|.
思考2　已知非零向量a，作出a＋a＋a和(－a)＋(－a)＋(－a)，你能说明它们与向量a之间的关系吗？
＝(－a)＋(－a)＋(－a)＝－3a.
思考3　一般地，我们规定：实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘.记作λa，该向量的长度与方向与向量a有什么关系？答　λa仍然是一个向量.(1)|λa|＝|λ||a|；(2)λ>0时，λa与a方向相同；λ<0时，λa与a方向相反；λ＝0时，λa ＝0.方向任意.
探究点二　向量数乘的运算律
思考1　根据实数与向量积的定义，可以得哪些数乘运算律？答　设λ，μ∈R，则有①λ(μa)＝(λμ)a；②(λ＋μ)a＝λa＋μa；③λ(a＋b)＝λa＋λb.
思考2　向量等式的证明依据是相等向量的定义，既要证明等式两边的模相等，又要证明方向相同.你能根据这两条证明其中的第①条运算律吗？答　①λ(μa)＝(λμ)a(λ，μ∈R).如果λ＝0或μ＝0或a＝0，则①式显然成立；如果λ≠0，μ≠0，a≠0，则由向量数乘的定义有|λ(μa)|＝|λ||μa|＝|λ||μ||a|，|(λμ)a|＝|λμ||a|＝|λ||μ||a|，故|λ(μa)|＝|(λμ)a|.
如果λ、μ同号，则①式两边向量的方向都与a同向；如果λ、μ异号，则①式两边向量的方向都与a反向.因此，向量λ(μa)与(λμ)a有相等的模和相同的方向，所以λ(μa)＝(λμ)a.
例1　计算：(1)(－3)×4a；(2)3(a＋b)－2(a－b)－a；(3)(2a＋3b－c)－(3a－2b＋c).解　(1)原式＝(－3×4)a＝－12a；(2)原式＝3a＋3b－2a＋2b－a＝5b；(3)原式＝2a＋3b－c－3a＋2b－c＝－a＋5b－2c.
反思与感悟　向量的线性运算类似于代数多项式的运算，主要是“合并同类项”、“提取公因式”，但这里的“同类项”、“公因式”指向量，实数看作是向量的系数.
跟踪训练1　计算：(1)6(3a－2b)＋9(－2a＋b)；
解　原式＝18a－12b－18a＋9b＝－3b.
(3)6(a－b＋c)－4(a－2b＋c)－2(－2a＋c).
解　原式＝6a－6b＋6c－4a＋8b－4c＋4a－2c＝(6a－4a＋4a)＋(8b－6b)＋(6c－4c－2c)＝6a＋2b.
思考1　请观察a＝m－n，b＝－2m＋2n，回答a、b有何关系？答　因为b＝－2a，所以a、b是平行向量.思考2　若a、b是平行向量(a≠0)能否得出b＝λa？为什么？ 答　可以.因为a、b平行，它们的方向相同或相反.
探究点三　共线向量定理及应用
例2　已知e1，e2是不共线的向量，a＝3e1＋4e2，b＝6e1－8e2，则a与b是否共线？解　若a与b共线，则存在λ∈R，使a＝λb，即3e1＋4e2＝λ(6e1－8e2)，所以(3－6λ)e1＋(4＋8λ)e2＝0，
所以λ不存在，所以a与b不共线.
反思与感悟　(1)本题充分利用了向量共线定理，即b与a(a≠0)共线⇔b＝λa，因此用它既可以证明点共线或线共线问题，也可以根据共线求参数的值.(2)向量共线的判断(证明)是把两向量用共同的已知向量来表示，进而互相表示，从而判断共线.
跟踪训练2　已知非零向量e1，e2不共线.
(2)欲使ke1＋e2和e1＋ke2共线，试确定实数k的值.
解　∵ke1＋e2与e1＋ke2共线，∴存在λ，使ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，即(k－λ)e1＝(λk－1)e2，由于e1与e2不共线，
探究点四　三点共线的判定
令1－λ＝α，λ＝β，则
观察发现，不论向量a、b怎样变化，点B始终在直线AC上，猜想A、B、C三点共线.
反思与感悟　本题给出了证明三点共线的方法，利用向量共线定理，关键是找到唯一实数λ，使a＝λb，先证向量共线，再证三点共线.
＝10e1＋15e2.
1.化简：(1)8(2a－b＋c)－6(a－2b＋c)－2(2a＋c)；
解　原式＝16a－8b＋8c－6a＋12b－6c－4a－2c＝(16－6－4)a＋(－8＋12)b＋(8－6－2)c＝6a＋4b.
4.已知向量a＝2e1－3e2，b＝2e1＋3e2，其中e1、e2不共线，向量c＝2e1－9e2.问是否存在这样的实数λ、μ，使向量d＝λa＋μb与c共线？解　∵d＝λ(2e1－3e2)＋μ(2e1＋3e2)＝(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2，要使d与c共线，则应有实数k，使d＝kc，即(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2＝2ke1－9ke2，
故存在这样的实数λ、μ，只要λ＝－2μ，就能使d与c共线.