高中第一讲 不等式和绝对值不等式综合与测试复习ppt课件

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【核心速填】 1.不等式的基本性质(1)对称性:a>b⇔____.(2)传递性:a>b,b>c⇒____.(3)加(减):a>b⇒________.(4)乘(除):a>b,c>0⇒______;a>b,c<0⇒______.
(5)乘方:a>b>0⇒_____,n∈N*,且n≥2.(6)开方:a>b>0⇒_________,n∈N*,且n≥2.
2.基本不等式(1)定理1:如果a,b∈R,那么a2+b2≥____(当且仅当a=b时,等号成立).(2)定理2:如果a,b>0,那么 ≥____(当且仅当a=b时,等号成立).
(3)引理:如果a,b,c∈R+,那么a3+b3+c3≥_____(当且仅当a=b=c时,等号成立).(4)定理3:如果a,b,c∈R+,那么 ≥____(当且仅当a=b=c时,等号成立).(5)推论:如果a1,a2…an∈R+,那么 ≥_________(当且仅当a1=a2=…=an时,等号成立).
3.绝对值三角不等式(1)|a|的几何意义表示数轴上的点到原点的_____,|a-b|的几何意义表示数轴上两点间的_____.(2)|a+b|≤________(a,b∈R,ab≥0时等号成立).(3)______≤|a-b|+|b-c|(a,b,c∈R,(a-b)(b-c)≥0时等号成立).
(4)||a|-|b||≤|a+b|≤________(a,b∈R,左边“=”成立的条件是ab≤0,右边“=”成立的条件是ab≥0).(5)__________≤|a-b|≤|a|+|b|(a,b∈R,左边“=”成立的条件是ab≥0,右边“=”成立的条件是ab≤0).
【易错警示】 1.关注不等式性质的条件(1)要注意不等式的等价性.(2)应用不等式时,要注意不等式成立的条件.
2.基本不等式求最值时的关注点要注意考虑所给式子是否满足“一正,二定,三相等”的要求.3.解绝对值不等式的关注点由绝对值不等式转化为不含绝对值不等式时,要注意转化的等价性,特别是平方时,两边应均为非负数.
类型一　不等式的基本性质的应用【典例1】已知:a>b>0,c<0,求证: 【证明】 ,因为a>b>0,c<0,所以c(b-a)>0,ab>0,所以 >0,所以
【方法技巧】不等式的基本性质应用的注意点(1)注意不等式成立的条件,若弱化或强化了条件都可能得出错误的结论.(2)注意明确各步推理的依据,以防出现解题失误.
【变式训练】1.若a,b是任意实数,且a>b,则(　　)A.a2>b2　　　　B. <1C.lg(a-b)>0D. 【解析】选D.因为y= 是减函数,所以a>b⇔
2.“x>0”是“x+ ≥2”的　(　　)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
【解析】选C.当x>0时, =2,因为x,同号,所以当x+ ≥2时,则x>0, >0,所以x>0.
3.已知:x>y>0,m>n>0求证: 【证明】因为m>n>0,所以 >0,因为x>y>0,所以 >0,所以
类型二　基本不等式的应用【典例2】(1)x,y,z∈R+,x-2y+3z=0,求 的最小值.(2)若a,b,c∈R+,且a+b+c=1,求证:
【解析】(1)由x-2y+3z=0,得y= ,则 当且仅当x=3z时,等号成立.
(2)因为a,b,c∈R+且a+b+c=1,所以2=(a+b)+(b+c)+(c+a)所以[(a+b)+(b+c)+(c+a)]· 所以
【方法技巧】利用基本不等式求最值问题的类型(1)和为定值时,积有最大值.(2)积为定值时,和有最小值.在具体应用基本不等式解题时,一定要注意适用的范围和条件:“一正、二定、三相等”.
【变式训练】1.已知x∈R+,则函数y=x2·(1-x)的最大值为_________.【解析】y=x2(1-x)=x·x(1-x)=x·x·(2-2x)×
当且仅当x=2-2x,即x= 时取等号.此时,ymax= .答案:
2.求函数y= 的最小值.【解析】y= +2+2tan2α=3+ +2tan2α≥3+2 =3+2 .当且仅当2tan2α= 即tanα= 时,等号成立.所以ymin=3+2 .
类型三　绝对值不等式的解法【典例3】解关于x的不等式|2x-1|<|x|+1.【解析】当x<0时,原不等式可化为-2x+1<-x+1,解得x>0,又x<0,故x不存在.当0≤x< 时,原不等式可化为
得 所以0【方法技巧】绝对值不等式的常见类型及解法(1)|f(x)|>g(x)⇔f(x)>g(x)或f(x)<-g(x).(2)|f(x)|g(x)⇔[f(x)]2>[g(x)]2.
(4)|x-a|+|x-b|≥c(c>0)和|x-a|+|x-b|≤c(c>0)型:①零点分段讨论法;②利用|x-a|的几何意义法;③在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象.
【变式训练】1.解不等式|x+1|>|x-3|.【解析】方法一:由|x+1|>|x-3|两边平方得(x+1)2>(x-3)2,所以8x>8,所以x>1,所以原不等式的解集为{x|x>1}.
方法二:当x≤-1时,有-x-1>-x+3,此时x无解;当-1-x+3,即x>1,所以此时13时,有x+1>x-3成立,所以x>3.所以原不等式解集为{x|x>1}.
2.已知函数f(x)=|2x+1|-|x|-2.(1)解不等式f(x)≥0.(2)若存在实数x,使得f(x)≤|x|+a,求实数a的取值范围.
【解析】(1)函数f(x)=|2x+1|-|x|-2
当x<- 时,由-x-3≥0,可得x≤-3,当- ≤x<0时,由3x-1≥0,求得x∈∅,当x≥0时,由x-1≥0,求得x≥1.综上可得,不等式的解集为{x|x≤-3或x≥1}.
(2)f(x)≤|x|+a,即 ①,由题意可得,不等式①有解,由于 -|x|表示数轴上的x点到- 点的距离减去它到原点的距离,故 故有 解得a≥-3.
类型四　绝对值不等式的恒成立问题【典例4】(2016·衡阳高二检测)设函数f(x)=|2x-a|+|2x+1|(a>0),g(x)=x+2.(1)当a=1时,求不等式f(x)≤g(x)的解集.(2)若f(x)≥g(x)恒成立,求实数a的取值范围.
【解析】(1)当a=1时,不等式f(x)≤g(x),即|2x-1|+|2x+1|≤x+2,
解①求得x无解,解②求得0≤x< 解③求得 综上,不等式的解集为
(2)由题意可得|2x-a|+|2x+1|≥x+2恒成立,转化为|2x-a|+|2x+1|-x-2≥0恒成立,令h(x)=|2x-a|+|2x+1|-x-2=
易得h(x)的最小值为 -1,令 -1≥0,解得a≥2.
【方法技巧】对于恒成立不等式求参数范围问题的常见类型及其解法(1)分离参数法:运用“f(x)≤a⇔f(x)max≤a,f(x)≥a⇔f(x)min≥a”可解决恒成立中的参数范围问题.
(2)更换主元法:不少含参数的不等式恒成立问题,若直接从主元入手非常困难或不可能时,可转换思维角度,将主元与参数互换,常可得到简捷的解法.(3)数形结合法:在研究曲线交点的恒成立问题时,若能数形结合,揭示问题所蕴含的几何背景,发挥形象思维与抽象思维各自的优势,可直观地解决问题.
【变式训练】1.若不等式|x-a|+|x-2|≥1对任意实数x恒成立,求实数a的取值范围.【解析】设y=|x-a|+|x-2|,则ymin=|a-2|因为不等式|x-a|+|x-2|≥1对任意x恒成立,所以|a-2|≥1,解得a≥3或a≤1.
2.(2016·南昌高二检测)已知函数f(x)=|2x+1|,g(x)=|x|+a.(1)当a=0时,解不等式f(x)≥g(x).(2)若存在x∈R,使得f(x)≤g(x)成立,求实数a的取值范围.
【解析】(1)当a=0时,由f(x)≥g(x)得|2x+1|≥|x|,两边平方整理得3x2+4x+1≥0,解得x≤-1或x≥- ,所以原不等式的解集为(-∞,-1]∪