2021年云南省昆明市四校中考数学第一次联考试卷 解析版

这是一份2021年云南省昆明市四校中考数学第一次联考试卷 解析版，共23页。试卷主要包含了因式分解，当x　 　时，分式有意义等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）比较大小关系 1.5（填“＞”、“＝”或“＜”）．
2．（3分）因式分解：a3﹣9ab2＝ ．
3．（3分）当x 时，分式有意义．
4．（3分）如图，将长方形纸片ABCD沿对角线BD折叠，点C的对应点为E．若∠CBD＝32°，则∠ADE的度数为 ．
5．（3分）若点A（n，m）在反比例函数的图象上，若n＞2，则m的取值范围为 ．
6．（3分）等腰△ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝30°，以AC为边作等边△ACD，则点B到CD的距离为 ．
二．选择题（每小题4分，满分32分）
7．（4分）如图所示的几何体，从上面看得到的图形是（ ）
A．B．C．D．
8．（4分）随着我国金融科技不断发展，网络消费、网上购物已成为人们生活不可或缺的一部分，今年“双十一”天猫成交额高达2684亿元．将数据“2684亿”用科学记数法表示（ ）
A．2.684×103B．2.684×1011C．2.684×1012 D．2.684×107
9．（4分）下列计算结果正确的是（ ）
A．2a3+a3＝3a6B．（﹣a）2•a3＝﹣a6
C．（﹣）﹣2＝4D．（﹣2）0＝﹣1
10．（4分）将若干个大小相等的正五边形排成环状，如图所示是前3个五边形，要完成这一圆环还需_______个正五边形（ ）
A．6B．7C．8D．9
11．（4分）有下列说法：
①无限小数都是无理数；
②数轴上的点和有理数一一对应；
③在1和3之间的无理数有且只有，，，，，这6个；
④是分数，它是有理数；
⑤近似数7.30所表示的准确数a的范围是：7.295≤a＜7.305；
其中正确的是（ ）
A．⑤B．④⑤C．③④⑤D．①④⑤
12．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，将D边绕点A顺时针旋转，使点D正好落在BC边上的点D′处，则阴影部分的扇形面积为（ ）
A．πB．C．D．
13．（4分）不等式组的解集是（ ）
A．x＞1B．x≤2C．x＜﹣1D．1＜x≤2
14．（4分）观察等式：1+2+22＝23﹣1；1+2+22+23＝24﹣1；1+2+22+23+24＝25﹣1；若1+2+22+…+29＝210﹣1＝a，则用含a的式子表示210+211+212+…+218+219的结果是（ ）
A．a20﹣1B．a2+aC．a2+a+1D．a2﹣a
三．解答题
15．（6分）先化简：（﹣）÷，再从﹣3、﹣2、﹣1、0、1中选一个合适的数作为a的值代入求值．
16．（6分）如图，已知∠A＝∠D＝90°，E、F在线段BC上，DE与AF交于点O，且AB＝CD，BE＝CF．
求证：（1）Rt△ABF≌Rt△DCE；（2）OE＝OF．
17．（9分）4月23日是世界读书日，全称为世界图书与版权日，又称“世界图书日“，设立的目的是推动更多的人去阅读和写作，希望所有人都能尊重和感谢为人类文明做出过巨大贡献的文学、文化、科学、思想大师们，保护知识产权．习近平说：“我爱好挺多，最大的爱好是读书，读书已成为我的一种生活方式，读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”学校某兴趣小组为了了解学生课外阅读的情况，抽样调查了部分学生每周用于课外阅读的时间，过程如下：
【收集数据】从学校随机抽取20名学生，进行了每周用于课外阅读时间的调查，数据如表（单位：min）：
【整理数据】按如表分段整理样本数据：
【分析数据】对样本数据进行分析得到如表分析表：
【得出结论】
（1）补全分析表中的数据：m＝ ，n＝ ；
（2）如果该校现有学生1600人，请估计每周阅读时间超过90min的学生有多少名？
（3）假设平均阅读一本课外书的时间为260分钟，请你选择一种统计量估计该校学生每人一年（按52周计算）平均阅读多少本课外书？
18．（8分）受新冠肺炎疫情影响，口罩、体温计、消毒液等一度紧缺，某药店用3200元采购一批耳温计（测量体温的），上市后发现供不应求，很快销售完了，该药店又去采购第二批同样的耳温计，进货价比第一批贵了5元，该店用了9900元，所购数量是第一批的3倍．
（1）求第一批采购的耳温计单价是多少元？
（2）若该药店按每个耳温计的售价为210元，销售光这两批耳温计，总共获利多少元？
19．（8分）小颖和小亮都想去观看“垃圾分类”宣传演出，但只有一张入场券，于是他们设计了一个“配紫色”游戏：A，B是两个可以自由转动的转盘，每个转盘都被分成面积相等的几个扇形．同时转动两个转盘，如果其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么可以配成紫色．若配成紫色，则小颖去观看，否则小亮去观看．这个游戏对双方公平吗？请说明理由．
20．（8分）AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，连接AC、BC，直线MN过点C，满足∠BCM＝∠BAC＝α．
（1）如图①，求证：直线MN是⊙O的切线；
（2）如图②，点D在线段BC上，过点D作DH⊥MN于点H，直线DH交⊙O于点E、F，连接AF并延长交直线MN于点G，连接CE，且CE＝，若⊙O的半径为1，csα＝，求AG•ED的值．
21．（8分）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2+bx+c过点P（2，3），Q（﹣1，6）．
（Ⅰ）求该抛物线的解析式及其顶点坐标；
（Ⅱ）若点M（m，n）在此抛物线上．
①当n＝11时，求m的值；
②若点M到y轴的距离小于2，求n的取值范围．
22．（8分）某水果批发商经销一种水果，进货价是12元/千克，如果销售价定为22元/千克，每日可售出500千克；经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克．
（1）若要每天销售盈利恰好为6000元，同时又可使顾客得到实惠，每千克应涨价为多少元？
（2）当销售价是多少时，每天的盈利最多？最多是多少？
23．（9分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，BC＝14，过点A作AD⊥BC于点D，E为腰AC上一动点，连接DE，以DE为斜边向左上方作等腰直角△DEF，连接AF．
（1）如图1，当点F落在线段AD上时，求证：AF＝EF；
（2）如图2，当点F落在线段AD左侧时，（1）中结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
（3）在点E的运动过程中，若AF＝，求线段CE的长．
2021年云南省昆明市四校中考数学第一次联考试卷
参考答案与试题解析
一．填空题（每小题3分，满分18分）
1．（3分）比较大小关系 ＞ 1.5（填“＞”、“＝”或“＜”）．
【分析】先估算出的范围，再求出的范围即可．
【解答】解：∵2＜＜3，
∴3＜+1＜4，
∴＜2，
即＞1.5，
故答案为：＞．
2．（3分）因式分解：a3﹣9ab2＝ a（a﹣3b）（a+3b） ．
【分析】首先提取公因式a，进而利用平方差公式分解因式得出即可．
【解答】解：a3﹣9ab2＝a（a2﹣9b2）＝a（a﹣3b）（a+3b）．
故答案为：a（a﹣3b）（a+3b）．
3．（3分）当x ≠﹣ 时，分式有意义．
【分析】根据分式有意义的条件可得2x+3≠0，再解即可．
【解答】解：由题意得：2x+3≠0，
解得：x≠﹣，
故答案为：≠﹣．
4．（3分）如图，将长方形纸片ABCD沿对角线BD折叠，点C的对应点为E．若∠CBD＝32°，则∠ADE的度数为 26° ．
【分析】根据折叠的性质和平行线的性质，可以得到∠ADB和∠EDB的度数，然后即可得到∠ADE的度数．
【解答】解：由折叠的性质可得，
∠CDB＝∠EDB，
∵AD∥BC，∠CBD＝32°，
∴∠CBD＝∠ADB＝32°，
∵∠C＝90°，
∴∠CDB＝58°，
∴∠EDB＝58°，
∴∠ADE＝∠EDB﹣∠ADB＝58°﹣32°＝26°，
故答案为：26°．
5．（3分）若点A（n，m）在反比例函数的图象上，若n＞2，则m的取值范围为 ．
【分析】把点A的坐标代入反比例函数解析式得到：m＝，结合n的取值范围求得m的取值范围．
【解答】解：∵中的3＞0．
∴该函数图象位于第一、三象限．
∵n＞2．
∴A（n，m）位于第一象限．
∴m＞0．
把点（n，m）代入，得m＝，
∴n＝．
∵n＞2，
∴＞2．
∴m＜．
∴．
故答案是：．
6．（3分）等腰△ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝30°，以AC为边作等边△ACD，则点B到CD的距离为 2或4 ．
【分析】分两种情况讨论，利用等边三角形的性质和勾股定理可求解．
【解答】解：当点D在AC的左侧时，设AB与CD交于点E，
∵△ACD是等边三角形，
∴AC＝AD＝CD＝4，∠DAC＝60°，
又∵∠BAC＝30°，
∴∠DAE＝∠BAC＝30°，
∴AB⊥CD，
∵∠BAC＝30°，
∴CE＝AC＝2，AE＝EC＝2，
∴BE＝AB﹣AE＝4﹣2；
当点D在AC的右侧时，过点B作BE⊥CD，交DC的延长线于点E，连接BD，
∵△ACD是等边三角形，
∴AC＝AD＝CD＝AB＝4，∠DAC＝60°，
∴∠BAD＝90°，
∴BD＝＝＝4，
∵AB＝AC，∠BAC＝30°，
∴∠ACB＝75°，
∴∠BCE＝180°﹣∠ACD﹣∠ACB＝45°，
∵BE⊥CE，
∴∠BCE＝∠CBE＝45°，
∴BE＝CE，
∵BD2＝BE2+DE2，
∴32＝BE2+（CE+4）2，
∴BE＝2﹣2，
综上所述：点B到CD的距离为2﹣2或4﹣2．
二．选择题（每小题4分，满分32分）
7．（4分）如图所示的几何体，从上面看得到的图形是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．
【解答】解：从上边看是一个六边形，中间为圆．
故选：D．
8．（4分）随着我国金融科技不断发展，网络消费、网上购物已成为人们生活不可或缺的一部分，今年“双十一”天猫成交额高达2684亿元．将数据“2684亿”用科学记数法表示（ ）
A．2.684×103B．2.684×1011C．2.684×1012 D．2.684×107
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将2684亿＝268400000000用科学记数法表示为：2.684×1011．
故选：B．
9．（4分）下列计算结果正确的是（ ）
A．2a3+a3＝3a6B．（﹣a）2•a3＝﹣a6
C．（﹣）﹣2＝4D．（﹣2）0＝﹣1
【分析】根据同底数幂的乘法的性质，负整数指数幂，零指数幂，合并同类项的法则，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、2a3+a3＝3a3，故错误；
B、（﹣a）2•a3＝a5，故错误；
C、正确；
D、（﹣2）0＝1，故错误；
故选：C．
10．（4分）将若干个大小相等的正五边形排成环状，如图所示是前3个五边形，要完成这一圆环还需_______个正五边形（ ）
A．6B．7C．8D．9
【分析】先根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°求出正五边形的每一个内角的度数，再延长五边形的两边相交于一点，并根据四边形的内角和求出这个角的度数，然后根据周角等于360°求出完成这一圆环需要的正五边形的个数，然后减去3即可得解．
【解答】解：五边形的内角和为（5﹣2）•180°＝540°，
所以正五边形的每一个内角为540°÷5＝108°，
如图，延长正五边形的两边相交于点O，则∠1＝360°﹣108°×3＝360°﹣324°＝36°，
360°÷36°＝10，
∵已经有3个五边形，
∴10﹣3＝7，
即完成这一圆环还需7个五边形．
故选：B．
11．（4分）有下列说法：
①无限小数都是无理数；
②数轴上的点和有理数一一对应；
③在1和3之间的无理数有且只有，，，，，这6个；
④是分数，它是有理数；
⑤近似数7.30所表示的准确数a的范围是：7.295≤a＜7.305；
其中正确的是（ ）
A．⑤B．④⑤C．③④⑤D．①④⑤
【分析】根据实数与数轴的一一对应关系，有理数、近似数与有效数字、无理数的定义作答．
【解答】解：①无限小数不一定是无理数，如是无限小数不是无理数，故不符合题意；
②实数与数轴上的点一一对应，故不符合题意；
③在1和3之间的无理数有无数个，故不符合题意；
④是无理数，故不符合题意．
⑤近似数7.30所表示的准确数a的范围是：7.295≤a＜7.305，故符合题意．
故选：A．
12．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，将D边绕点A顺时针旋转，使点D正好落在BC边上的点D′处，则阴影部分的扇形面积为（ ）
A．πB．C．D．
【分析】先根据图形旋转的性质得出AD′的长，再根据直角三角形的性质得出∠AD′B的度数，进而得出∠DAD′的度数，由扇形的面积公式S＝即可得出结论．
【解答】解：∵线段AD′由线段AD旋转而成，AD＝4，
∴AD′＝AD＝4．
∵AB＝2，∠ABD′＝90°，
∴sin∠AD′B＝＝，
∴∠AD′B＝30°．
∵AD∥BC，
∴∠DAD′＝∠AD′B＝30°，
∴S阴影＝＝π．
故选：D．
13．（4分）不等式组的解集是（ ）
A．x＞1B．x≤2C．x＜﹣1D．1＜x≤2
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式﹣x+2＜1，得：x＞1，
解不等式2x﹣3≤1，得：x≤2，
则不等式组的解集为1＜x≤2，
故选：D．
14．（4分）观察等式：1+2+22＝23﹣1；1+2+22+23＝24﹣1；1+2+22+23+24＝25﹣1；若1+2+22+…+29＝210﹣1＝a，则用含a的式子表示210+211+212+…+218+219的结果是（ ）
A．a20﹣1B．a2+aC．a2+a+1D．a2﹣a
【分析】由已知规律可得：1+2+22+…+29+210+211+212+…+218+219＝220﹣1，再由已知1+2+22+…+29＝210﹣1＝a，可求210+211+212+…+218+219＝220﹣1﹣210+1＝220﹣210＝a（a+1）．
【解答】解：由已知可得1+2+22+…+29+210+211+212+…+218+219＝220﹣1，
∵1+2+22+…+29＝210﹣1＝a，
∴210+211+212+…+218+219＝220﹣1﹣210+1＝220﹣210，
∵210﹣1＝a，
∴220﹣210＝a（a+1），
故选：B．
三．解答题
15．（6分）先化简：（﹣）÷，再从﹣3、﹣2、﹣1、0、1中选一个合适的数作为a的值代入求值．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝•
＝
＝
＝，
当a＝﹣3，﹣1，0，1时，原式没有意义，舍去，
当a＝﹣2时，原式＝﹣．
16．（6分）如图，已知∠A＝∠D＝90°，E、F在线段BC上，DE与AF交于点O，且AB＝CD，BE＝CF．
求证：（1）Rt△ABF≌Rt△DCE；（2）OE＝OF．
【分析】（1）由于△ABF与△DCE是直角三角形，根据直角三角形全等的判定的方法即可证明；
（2）先根据三角形全等的性质得出∠AFB＝∠DEC，再根据等腰三角形的性质得出结论．
【解答】证明：（1）∵BE＝CF，
∴BE+EF＝CF+EF，即BF＝CE，
∵∠A＝∠D＝90°，
∴△ABF与△DCE都为直角三角形，
在Rt△ABF和Rt△DCE中，，
∴Rt△ABF≌Rt△DCE（HL）；
（2）∵Rt△ABF≌Rt△DCE（已证），
∴∠AFB＝∠DEC，
∴OE＝OF．
17．（9分）4月23日是世界读书日，全称为世界图书与版权日，又称“世界图书日“，设立的目的是推动更多的人去阅读和写作，希望所有人都能尊重和感谢为人类文明做出过巨大贡献的文学、文化、科学、思想大师们，保护知识产权．习近平说：“我爱好挺多，最大的爱好是读书，读书已成为我的一种生活方式，读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”学校某兴趣小组为了了解学生课外阅读的情况，抽样调查了部分学生每周用于课外阅读的时间，过程如下：
【收集数据】从学校随机抽取20名学生，进行了每周用于课外阅读时间的调查，数据如表（单位：min）：
【整理数据】按如表分段整理样本数据：
【分析数据】对样本数据进行分析得到如表分析表：
【得出结论】
（1）补全分析表中的数据：m＝ 81 ，n＝ 81 ；
（2）如果该校现有学生1600人，请估计每周阅读时间超过90min的学生有多少名？
（3）假设平均阅读一本课外书的时间为260分钟，请你选择一种统计量估计该校学生每人一年（按52周计算）平均阅读多少本课外书？
【分析】（1）先将数据重新排列，再根据众数和中位数的概念求解可得；
（2）用总人数乘以样本中每周阅读时间超过90min的学生数所占比例即可得；
（3）用样本平均时间乘以总周数，再除以每本书的阅读时间即可得．
【解答】解：（1）将数据重新排列为10、20、30、40、50、60、60、70、81、81、81、81、90、100、100、110、120、130、140、146，
数据81出现次数最多，所以众数为81，
第10、11个数据均为81，
所以中位数为＝81，
故答案为：81、81；
（2）估计每周阅读时间超过90min的学生有1600×＝560（人）；
（3）因为该校学生平均每周阅读时间为80min，
所以＝16，即估计该校学生每人一年（按52周计算）平均阅读16本课外书．
18．（8分）受新冠肺炎疫情影响，口罩、体温计、消毒液等一度紧缺，某药店用3200元采购一批耳温计（测量体温的），上市后发现供不应求，很快销售完了，该药店又去采购第二批同样的耳温计，进货价比第一批贵了5元，该店用了9900元，所购数量是第一批的3倍．
（1）求第一批采购的耳温计单价是多少元？
（2）若该药店按每个耳温计的售价为210元，销售光这两批耳温计，总共获利多少元？
【分析】（1）设第一批采购的耳温计的单价为x元，则第二批采购的耳温计的单价是（x+5）元，由题意列出分式方程，解方程即可；
（2）求出第一批采购的耳温计的数量为20（个），第二批采购的耳温计数量为60（个），再由销售额减去两批进货的费用即可．
【解答】解：（1）设第一批采购的耳温计的单价为x元，则第二批采购的耳温计的单价是（x+5）元，
依题意，得：，
解得：x＝160，
经检验，x＝160是原方程的解，且符合题意，
答：第一批采购的耳温计的单价是160元；
（2）第一批采购的耳温计的数量为3200÷160＝20（个），第二批采购的耳温计数量为20×3＝60（个），
∴销售完这两批耳温计共获利210×（20+60）﹣3200﹣9900＝3700元．
答：销售光这两批耳温计，总共获利3700元．
19．（8分）小颖和小亮都想去观看“垃圾分类”宣传演出，但只有一张入场券，于是他们设计了一个“配紫色”游戏：A，B是两个可以自由转动的转盘，每个转盘都被分成面积相等的几个扇形．同时转动两个转盘，如果其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么可以配成紫色．若配成紫色，则小颖去观看，否则小亮去观看．这个游戏对双方公平吗？请说明理由．
【分析】用列表法表示所有可能出现的结果情况，进而求出小亮、小颖去的概率，进而判断游戏是否公平．
【解答】解：这个游戏公平，理由如下：
用列表法表示所有可能出现的结果如下：
共有6种可能出现的结果，其中配成紫色的有3种，配不成紫色的有3种，
∴P（小颖）＝＝，
P（小亮）＝＝，
因此游戏是公平．
20．（8分）AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，连接AC、BC，直线MN过点C，满足∠BCM＝∠BAC＝α．
（1）如图①，求证：直线MN是⊙O的切线；
（2）如图②，点D在线段BC上，过点D作DH⊥MN于点H，直线DH交⊙O于点E、F，连接AF并延长交直线MN于点G，连接CE，且CE＝，若⊙O的半径为1，csα＝，求AG•ED的值．
【分析】（1）由圆周角定理的推论和直角三角形的性质可得∠A+∠B＝90°，由OC＝OB可得∠B＝∠OCB，推出∠OCB+∠BCM＝90°，从而可得结论；
（2）由已知条件易求出AC的长，根据对顶角相等和圆周角定理可得∠GFH＝∠ACE，根据余角的性质可得∠ECD＝∠AGC，进而可得△EDC∽△ACG，根据相似三角形的性质变形可得AG•DE＝AC•CE，即可求出结果．
【解答】（1）证明：连接OC，如图①，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∵OC＝OB，
∴∠B＝∠OCB，
∵∠BCM＝∠A，
∴∠OCB+∠BCM＝90°，即OC⊥MN，
∴MN是⊙O的切线；
（2）解：如图②，∵AB是⊙O的直径，⊙O的半径为1，
∴AB＝2，
∵cs∠BAC＝，即，
∴，
∵∠AFE＝∠ACE，∠GFH＝∠AFE，
∴∠GFH＝∠ACE，
∵DH⊥MN，
∴∠GFH+∠AGC＝90°，
∵∠ACE+∠ECD＝90°，
∴∠ECD＝∠AGC，
又∵∠DEC＝∠CAG，
∴△EDC∽△ACG，
∴，
∴．
21．（8分）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2+bx+c过点P（2，3），Q（﹣1，6）．
（Ⅰ）求该抛物线的解析式及其顶点坐标；
（Ⅱ）若点M（m，n）在此抛物线上．
①当n＝11时，求m的值；
②若点M到y轴的距离小于2，求n的取值范围．
【分析】（Ⅰ）利用待定系数法求抛物线解析式，然后把解析式配成顶点式得到顶点坐标；
（Ⅱ）①把（m，11）代入抛物线解析式得到m2﹣2m+3＝11，然后解关于m的一元二次方程即可；
②利用点M到y轴的距离小于2得到﹣2＜m＜2，由于m＝﹣2时，n＝11；m＝2时，n＝3；x＝1时，y有最小值2，然后写出﹣2＜m＜2时对应的函数值即可．
【解答】解：（Ⅰ）把P（2，3），Q（﹣1，6）代入y＝x2+bx+c得，解得，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣2x+3；
∵y＝（x﹣1）2+2，
∴抛物线的顶点坐标为（1，2）；
（Ⅱ）∵点M（m，n）在此抛物线上，
∴n＝m2﹣2m+3；
①当n＝11时，m2﹣2m+3＝11，
解得m1＝﹣2，m2＝4；
即m的值为﹣2或4；
②∵点M到y轴的距离小于2，
∴|m|＜2，
∴﹣2＜m＜2，
而m＝﹣2时，n＝11；m＝2时，n＝3，
∵y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，x＝1时，y有最小值2，
∴当﹣2＜m＜2时，n的范围为2≤n＜11．
22．（8分）某水果批发商经销一种水果，进货价是12元/千克，如果销售价定为22元/千克，每日可售出500千克；经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克．
（1）若要每天销售盈利恰好为6000元，同时又可使顾客得到实惠，每千克应涨价为多少元？
（2）当销售价是多少时，每天的盈利最多？最多是多少？
【分析】（1）设每千克应涨价为x元，根据（售价﹣进价+涨价额）×销售量＝6000，可得关于x的一元二次方程，求得方程的解并根据要使顾客得到实惠，可得答案；
（2）设销售价为a元时，每天的盈利为w，由题意得w关于a的二次函数，将其写成顶点式，根据二次函数的性质可得答案．
【解答】解：（1）设每千克应涨价为x元，由题意得：
（22﹣12+x）（500﹣20x）＝6000，
整理得：x2﹣15x+50＝0，
解得：x1＝5，x2＝10．
∵要使顾客得到实惠，
∴x＝5．
∴每千克应涨价5元．
（2）设销售价为a元时，每天的盈利为w，由题意得：
w＝（a﹣12）[500﹣20（a﹣22）]
＝﹣20a2+1180a﹣11280
＝﹣20+6125，
∵二次项系数为负，抛物线开口向下，
∴当a＝时，w有最大值为6125．
∴当销售价是时，每天的盈利最多，最多是6125元．
23．（9分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，BC＝14，过点A作AD⊥BC于点D，E为腰AC上一动点，连接DE，以DE为斜边向左上方作等腰直角△DEF，连接AF．
（1）如图1，当点F落在线段AD上时，求证：AF＝EF；
（2）如图2，当点F落在线段AD左侧时，（1）中结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
（3）在点E的运动过程中，若AF＝，求线段CE的长．
【分析】（1）先根据等腰三角形三线合一的性质得∠CAD＝45°，再证明∠AEF＝∠CAD，可得结论；
（2）仍然成立，如图2，取AC的中点G，连接DG，FG，证明△FDG∽△EDC，得∠FGD＝∠ECD＝45°，再证明△FGA≌△FGD（SAS），可得结论；
（3）取AC的中点G，连接DG，FG，设直线FG与AD相交于点P，先计算PF的长；分两种情况：①如图2，当点F落在线段AD左侧时，②如图3，当点F落在线段AD的右侧时，证明△FDG∽△EDC，列比例式可得结论．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，∠BAC＝90°，AD⊥BC，
∴∠CAD＝45°，
∵△EFD是等腰直角三角形，
∴∠EFD＝∠AFE＝90°，
∴∠AEF＝180°﹣∠CAD﹣∠AFE＝45°，
∴∠EAF＝∠AEF，
∴AF＝EF；
（2）解：当点F落在线段AD左侧时，（1）中结论AF＝EF仍然成立，理由如下：
如图2，取AC的中点G，连接DG，FG，
在Rt△ADC中，∴DG＝CG＝AG，
∴∠GDC＝∠C＝45°，
∴∠DGC＝90°，
∴△DGC是等腰直角三角形，
∵△DFE是等腰直角三角形，
∴＝，
∵∠FDG＝∠FDE+∠EDG＝45°+∠EDG，
∠EDC＝∠GDC+∠EDG＝45°+∠EDG，
∴∠FDG＝∠EDC，
∴△FDG∽△EDC，
∴∠FGD＝∠ECD＝45°，
∴∠FGA＝45°，
在△FGA和△FGD中，
，
∴△FGA≌△FGD（SAS），
∴AF＝DF，
∵DF＝EF，
∴AF＝EF；
（3）在Rt△ABC中，BC＝14，D是BC中点，
∴AD＝7，
取AC的中点G，连接DG，FG，设直线FG与AD相交于点P，
由（2）可知∠FGD＝45°＝∠GDC，
∴FG∥DC，
∴GP⊥AD且AP＝DP＝PG＝AD＝，
在Rt△APF中，AP＝，AF＝，
∴PF＝＝＝，
①如图2，当点F落在线段AD左侧时，FG＝4，
∵△FDG∽△EDC，
∴＝，
∴EC＝4；
②如图3，当点F落在线段AD的右侧时，
∴FG＝PG﹣PF＝DP﹣PF＝3.5﹣0.5＝3，
同理得△FDG∽△EDC，
∴＝，
∴EC＝3．
综上，EC的长是4或3．
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课外阅读时间x（min）
0≤x＜40
40≤x＜80
80≤x＜120
120≤x≤160
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