2018年北师大版小升初数学复习卷（14）

这是一份2018年北师大版小升初数学复习卷（14），共23页。试卷主要包含了解答题等内容，欢迎下载使用。
2018年北师大版小升初数学复习卷（14）
一、解答题（共10小题，满分0分）
1．（2012•广州模拟）瓶中装有浓度为15%的酒精溶液1000克．现在又分别倒入100克和400克的A，B两种酒精溶液，瓶里的浓度变成了14%．已知A种酒精溶液是B种酒精溶液浓度的2倍．那么A种酒精溶液的浓度是多少？
2．某商店分别花同样多的钱，购进甲、乙、丙三种不同的糖果．已知甲、乙、丙三种糖果每千克的价格分别是9.60元、16元、18元．如果把这三种糖果混合成什锦糖，按20%的利润来定价，那么这种什锦糖每千克定价是多少元？
3．甲地到乙地都是坡路，有上坡也有下坡．某人骑自行车往返甲、乙两地共用4.5小时，若已知此人上坡时速度为12千米/小时，下坡速度为18千米/小时，那么甲、乙两地全长多少？
4．一项工程，甲一人需1小时36分完成，甲、乙二人合作要1小时完成．现在由甲一人完成以后，甲、乙二人一起干，但因途中甲休息，全部工作用了1小时38分完成，那么由乙单独做那部分占全部工程的几分之几？
5．设A，B，C三人沿同一方向，以一定的速度绕校园一周的时间分别是6、7、11分．由开始点A出发后，B比A晚1分钟出发，C比B晚5分钟出发，那么A，B，C第一次同时通过开始出发的地点是在A出发后几分钟？
6．某班同学分成若干组去植树，若每组植树N棵，且N为质数，则剩下树苗20棵，若每组植树9棵，则还缺少2棵，这个班的同学共分成几组？
7．学校举行计算机汉字输入技能竞赛，原计划评选出一等奖15人，二等奖20人，现将一等奖中的后5人调整为二等奖，这样一等奖获得者的平均速度提高了8字/分，二等奖获得者平均速度提高了6字/分，那么原来一等奖平均速度比二等奖平均速度多多少？
8．红光农场原定9时来车接601班同学去劳动，为了争取时间，8时同学们就从学校步行向农场出发，在途中遇到准时来接他们的汽车，于是乘车去农场，这样比原定时间早到12分钟．汽车每小时行48千米，同学们步行的速度是每小时几千米？
9．甲、乙两地公路长74千米，8：15一辆汽车从甲地到乙地，半个小时后，又有一辆同样速度的汽车从甲地开往乙地．王叔叔8：25从乙地骑摩托车出发去甲地，在差5分不到9点时，他遇到了第一辆汽车，9：16遇到第二辆汽车，王叔叔骑摩托车的速度是多少？
10．在底面边长为60厘米的正方形的一个长方体的容器里，直立着一个长1米，底面为正方形，边长15厘米的四棱柱铁棍．这时容器里的水半米深．现在把铁棍轻轻地向正上方提起24厘米，露出水面的四棱柱切棍浸湿部分长多少厘米？

2018年北师大版小升初数学复习卷（14）
参考答案与试题解析
一、解答题（共10小题，满分0分）
1．（2012•广州模拟）瓶中装有浓度为15%的酒精溶液1000克．现在又分别倒入100克和400克的A，B两种酒精溶液，瓶里的浓度变成了14%．已知A种酒精溶液是B种酒精溶液浓度的2倍．那么A种酒精溶液的浓度是多少？
【考点】38：百分数的实际应用；LB：浓度问题．菁优网版权所有
【分析】浓度是指溶质占溶液的百分比，计算方法为：浓度100%．只要知道了其中的2个量就可以求出另一个量．本题中根据倒入前后的不同浓度分别求出含酒精的量，再根据“A种酒精溶液是B种酒精溶液浓度的2倍”我们就可以把这两种溶液看成一种来计算，根据含酒精的量和溶液的总重量就可以求出浓度．
【解答】解：三种混合后溶液重：
1000+100+400＝1500（克），
总含酒精：
14%×1500＝210（克），
原来含酒精：
15%×1000＝150（克），
AB两种溶液共含酒精：
210﹣150＝60（克）．
由于A的浓度是B的2倍，那么400克B溶液的酒精含量相当于A溶液酒精的含量：
400÷2＝200（克）；
A溶液的浓度是：
60÷（100+200）×100%＝20%．
答：A种酒精溶液的浓度是20%．
【点评】本题关键是对于“A种酒精溶液是B种酒精溶液浓度的2倍”的理解，这句话说明要使AB两种溶液的溶质的质量相等，那么B溶液的质量应是A溶液的2倍．
2．某商店分别花同样多的钱，购进甲、乙、丙三种不同的糖果．已知甲、乙、丙三种糖果每千克的价格分别是9.60元、16元、18元．如果把这三种糖果混合成什锦糖，按20%的利润来定价，那么这种什锦糖每千克定价是多少元？
【考点】LA：利润和利息问题．菁优网版权所有
【专题】12：应用题；48I：分数百分数应用专题．
【分析】根据题意，某商店分别花同样多的钱，购进甲、乙、丙三种不同的糖果，把同样多的钱看作单位“1”，可以分别求出甲、乙、丙三种糖果买的数量，即：1÷9.6，1÷16，1÷18，再用它们的总钱数3，除以总数量，就是把这三种糖果混合成什锦糖的成本价，然后再进一步解答即可．
【解答】解：3÷（1÷9.6+1÷16+1÷18）×（1+20%）
＝3÷（）×120%
＝3120%
＝13.5×120%
＝16.2（元）；
答：那么这种什锦糖每千克定价是16.2元．
【点评】本题的关键是把花同样多的钱看作单位“1”，求出成本价，然后再进一步解答即可．
3．甲地到乙地都是坡路，有上坡也有下坡．某人骑自行车往返甲、乙两地共用4.5小时，若已知此人上坡时速度为12千米/小时，下坡速度为18千米/小时，那么甲、乙两地全长多少？
【考点】M2：追及问题．菁优网版权所有
【专题】48G：综合行程问题．
【分析】去是上坡返回就是下坡，可以先求出上下坡的平均速度，再用平均速度乘时间4.5小时，便于计算我们用12和18的最小公倍数表示出一段路程，12和18的最小公倍数是36，因此往返36千米共需要36÷12+36÷18＝5小时，所以1小时可以往返36÷5＝7.2千米．4.5小时可以往返7.2×4.5＝32.4千米，再除以2，就是甲、乙两地的全长．
【解答】解：12＝2×2×3
18＝2×3×3
12和18的最小公倍数是：2×2×3×3＝36
当往返36千米共需要的时间是：
36÷12+36÷18
＝3+2
＝5（小时）
36÷5＝7.2（千米/小时）
7.2×4.5÷2＝16.2（千米）
答：甲、乙两地全长16.2千米．
【点评】解决本题关键在于如何计算上下坡的平均速度，再根据路程＝速度×时间求解．
4．一项工程，甲一人需1小时36分完成，甲、乙二人合作要1小时完成．现在由甲一人完成以后，甲、乙二人一起干，但因途中甲休息，全部工作用了1小时38分完成，那么由乙单独做那部分占全部工程的几分之几？
【考点】L9：工程问题．菁优网版权所有
【专题】48H：工程问题专题．
【分析】1小时36分＝96分，1小时38分＝98分，把这项工程看成单位“1”，由甲一人需96分完成，甲、乙二人合作要60分完成．可求出乙的工作效率：，乙和甲的工效比是：3：5．乙的工作效率就甲的，甲完成用的时间是968分钟，后来用了98﹣8＝90分钟，如果合做90分钟就要完成90÷60，实际少完成了（1），甲休息这段时间可以做，而乙只能完成甲的，用乘法求出即可
【解答】解：由甲一人需96分完成，甲、乙二人合作要60分完成．可求出乙的工作效率：，
乙和甲的工效比是：3：5．乙的工作效率就是甲的．
968（分钟），
98﹣8＝90（分），
合做90分能完成的任务：90÷60，
少完成的任务：（1），
乙独做完成的任务：；
答：乙单独做那部分占全部工程的．
【点评】根据甲乙合做完成任务的时间和甲独做完成任务的时间求出甲乙的工效比，通过数量关系求出甲在休息这段时间能完成的工作量，再提过甲乙的工效比就可求出乙在这段时间完成的工作量．
5．设A，B，C三人沿同一方向，以一定的速度绕校园一周的时间分别是6、7、11分．由开始点A出发后，B比A晚1分钟出发，C比B晚5分钟出发，那么A，B，C第一次同时通过开始出发的地点是在A出发后几分钟？
【考点】M5：环形跑道问题．菁优网版权所有
【专题】48G：综合行程问题．
【分析】从条件可以知道，C出发时，A刚好行了5+1＝6分钟，即一圈，也就是说，A和C再次同时经过出发点时，是6×11＝66的倍数分钟后．由于B还需要7﹣5＝2分钟才能通过，说明要满足66的倍数除以7余2分钟．当66×3＝198分钟时，198÷7＝28…2分钟，满足条件．因此ABC第一次同时通过出发地点是A出发后6+198＝204分钟的时候，解答即可．
【解答】解：由分析可知：C出发时，A刚好行了：
5+1＝6（分钟），即一圈，
也就是说，A和C再次同时经过出发点时，是6×11＝66的倍数分钟后．
由于B还需要：7﹣5＝2（分钟）才能通过，说明要满足66的倍数除以7余2分钟．
当66×3＝198（分钟）时，198÷7＝28…2分钟，满足条件．
因此ABC第一次同时通过出发地点是A出发后：
6+198＝204（分钟）
答：A，B，C第一次同时通过开始出发的地点是在A出发后204分钟．
【点评】此题考查推理与论证的应用，得到ABC三人路程的等量关系是解决本题的关键．
6．某班同学分成若干组去植树，若每组植树N棵，且N为质数，则剩下树苗20棵，若每组植树9棵，则还缺少2棵，这个班的同学共分成几组？
【考点】NB：盈亏问题．菁优网版权所有
【专题】48L：传统应用题专题．
【分析】由题意可得N是小于9的质数，相差20+2＝22，说明组数是22的约数，9﹣N也是22的约数，9﹣N小于11，所以9﹣N＝2，所以组数就是22÷2＝11组，据此解答即可．
【解答】解：可以看出N是小于9的质数，相差20+2＝22．
说明组数是22的约数，9﹣N也是22的约数．
9﹣N小于11，所以9﹣N＝2．
所以组数就是22÷2＝11组．
【点评】本题考查了盈亏问题，关键是得出9﹣N也是22的约数，9﹣N小于11，所以9﹣N＝2．
7．学校举行计算机汉字输入技能竞赛，原计划评选出一等奖15人，二等奖20人，现将一等奖中的后5人调整为二等奖，这样一等奖获得者的平均速度提高了8字/分，二等奖获得者平均速度提高了6字/分，那么原来一等奖平均速度比二等奖平均速度多多少？
【考点】NA：平均数问题．菁优网版权所有
【专题】45G：平均数问题．
【分析】调整5个人，调整后每分钟提高的字数为（15﹣5）×8+（20+5）×6＝80+150＝230（字），由于调整前后总分数不变，只调整了5个人，那么230÷5＝46，就是原来的一等奖的平均速度比二等奖的平均速度多的字数．
【解答】解：[（15﹣5）×8+（20+5）×6]÷5
＝[80+150]÷5
＝230÷5
＝46（字/分）
答：原来一等奖的平均速度比二等奖平均速度多46字/分．
【点评】此题也可这样解答：原一等奖最后5人平均速度比原二等奖的平均速度慢：（15﹣5）×8÷5＝16（字/分），原一等奖最后5人平均速度比原二等奖平均速度快：（20+5）×6÷5＝30（字/分），原一等奖平均速度比原二等奖平均速度每分钟多：16+30＝46（字/分）．
8．红光农场原定9时来车接601班同学去劳动，为了争取时间，8时同学们就从学校步行向农场出发，在途中遇到准时来接他们的汽车，于是乘车去农场，这样比原定时间早到12分钟．汽车每小时行48千米，同学们步行的速度是每小时几千米？
【考点】M1：相遇问题．菁优网版权所有
【专题】48G：综合行程问题．
【分析】早到的12分钟应为汽车从相遇地点到学校并返回相遇地点所需的时间，所以学生步行的路程，汽车需要12÷2＝6分钟，说明是在9：00前6分钟接到学生，即8：54分，即相遇时刻为8时54分．这样就可以知道同学们走54分的路程相当于汽车行6分钟，汽车的速度是步行的54÷6＝9倍，所以因此步行的速度是每小时行48÷9千米．
【解答】解：12÷2＝6（分钟）
9时﹣6分钟＝8时54分
8时54分﹣8时＝54分钟
54÷6＝9
48÷9（千米）
答：同学们步行的速度是每小时千米．
【点评】此题属于比较复杂的相遇行程问题，做题时应认真审题，然后根据路程、速度和时间的关系即可列式解决问题，关键是求出同学们走54分的路程相当于汽车行6分钟．
9．甲、乙两地公路长74千米，8：15一辆汽车从甲地到乙地，半个小时后，又有一辆同样速度的汽车从甲地开往乙地．王叔叔8：25从乙地骑摩托车出发去甲地，在差5分不到9点时，他遇到了第一辆汽车，9：16遇到第二辆汽车，王叔叔骑摩托车的速度是多少？
【考点】3E：简单的行程问题．菁优网版权所有
【专题】45F：行程问题．
【分析】根据题意，汽车40分钟和摩托车30分钟共行74千米，汽车31分和摩托车51分钟共行74千米．可以知道汽车40﹣31＝9（分钟）行的路程相当于摩托车51﹣30＝21（分钟）行的；可以得到摩托车行完全程需要40÷9×21+30（分钟）；所以摩托车小时行74×60＝36（千米）．
【解答】8：45﹣8：15＝30（分）
8：55﹣8：15＝40（分）
9：16﹣8：25＝51（分）
9：16﹣8：45＝31（分）
74÷（40÷9×21+30）×60
＝7460
＝36（千米）
答：王叔叔骑摩托车的速度是36千米．
【点评】本题属于典型的追及问题，解决问题的关键在于理清题干中的时间差．
10．在底面边长为60厘米的正方形的一个长方体的容器里，直立着一个长1米，底面为正方形，边长15厘米的四棱柱铁棍．这时容器里的水半米深．现在把铁棍轻轻地向正上方提起24厘米，露出水面的四棱柱切棍浸湿部分长多少厘米？
【考点】OF：体积的等积变形．菁优网版权所有
【专题】48M：几何的计算与计数专题．
【分析】根据“这时容器中的水深50厘米”，可知原来铁棍被水浸湿的部分是在50厘米处，后来将铁棍提起24厘米，就会露出浸湿的24厘米，同时将铁棍提起，水位肯定是要下降的，据此只要把水位下降的高度求出来（用长、宽都是15厘米，高是24厘米铁块的体积除以容器的底面积），进而加上提起的24厘米，即为露出水面的铁棍上被水浸湿的那部分的长度，列式解答即可．
【解答】解：水位下降的高度：
15×15×24÷（60×60﹣15×15）
＝5400÷3375
＝1.6（厘米）
露出水面被水浸湿的部分：
24+1.6＝25.6（厘米）
答：露出水面的铁棍上被水浸湿的部分长25.6厘米．
【点评】解决此题明确露出水面的铁棍上被水浸湿的部分是由两部分组成的：水位下降高度和铁棍提起高度；关键是先求出水位下降高度是多少，进而得解．

考点卡片
1．百分数的实际应用
【知识点归纳】
①出勤率：
发芽率＝发芽种子数÷试验种子数×100%
小麦的出粉率＝面粉的重量÷小麦的重量×100%
产品的合格率＝合格的产品数÷产品总数×100%
职工的出勤率＝实际出勤人数÷应出勤人数×100%
②纳税问题：
缴纳的税款叫应纳税款
应纳税额与各种收入的比率叫做税率
税款＝应纳税金×税率
③利息问题：
存入银行的钱叫本金；取款时，银行多支付的钱叫做利息
利息与本金的比值叫做利率
利息＝本金×利率×时间

【命题方向】
常考题型：
例1：某公司开会，有25人缺席，有100人出席，这个会议的出席率是（　　）
A、80% B、75% C、100%
分析：出席率是指出席的人数占总人数的百分之几，计算方法为：100%＝出席率，由此列式解答即可．
解：100%＝80%，
答：出席率是80%；
故选：A．
点评：此题属于百分率问题，计算的结果最大值为100%，都是用一部分数量（或全部数量）除以全部数量乘以百分之百．

例2：某商店同时卖出两件商品，每件各得60元，但其中一件赚20%，另一件亏本20%，这个商店卖出这两件商品是赚钱还是亏本？
分析：可以这样想，赚了20%，亏本20%是和谁比较呢？是与原价比较，因此原价是单位“1”，赚了20%就是说原价的（1+20%）是60元，求原价，用除法，60÷（1+20%）＝50（元），同理亏本20%就是说原价的（1﹣20%）是60元，求原价，用除法，60÷（1﹣20%）＝75（元）．
解：[60÷（1+20%）+60÷（1﹣20%）]﹣60×2
＝[50+75]﹣120；
＝125﹣120；
＝5（元）；
答：这两件商品亏了5元．
点评：解决这个问题的关键是正确确定单位“1”，找出对应关系．
2．简单的行程问题
【知识点归纳】
计算路程，时间，速度的问题，叫做行程问题．
解题关键及规律：
同时同地相背而行：路程＝速度和×时间
同时相向而行：两地的路程＝速度和×时间
同时同向而行（速度慢的在前，快的在后）：追及问题＝路程÷速度差
同时同地同向而行（ 速度慢在后，快的在前）：路程＝速度差×时间．

【命题方向】
常考题型：
例1：甲乙两车从A、B两地同时相对开出，甲车每小时行63.5千米，乙车每小时行56.5千米，4小时相遇．A、B两地相距多少千米？
分析：要求A、B∝两地相距多少千米，根据题意，应先求出两车的速度和，即63.5+56.5＝120（千米），然后乘相遇时间，列式解答即可．
解：（63.5+56.5）×4
＝120×4
＝480（千米）
答：A、B两地相距480千米．
点评：此题考查了关系式：速度和×相遇时间＝路程．

例2：王华以每小时4千米的速度从家去学校，小时行了全程的，王华家离学校有多少千米？
分析：先依据路程＝速度×时间，求出王华小时行驶的路程，再运用分数除法意义即可解答．
解：4，
，
＝1（千米），
答：王华家离学校有1千米．
点评：分数除法意义是解答本题的依据，关键是求出王华小时行驶的路程．

例3：甲、乙两车同时从两地相向而行，距中点14千米的地方相遇，两车相遇时，它们所行路程的差是（　　）千米．
A、7 B、14 C、28 D、42
分析：由题意可知：两车相遇时，快车超过中点14千米，而慢车距离终点还有14千米，因此它们的路程差为14×2＝28千米，据此即可进行解答．
解：因为两车相遇时，快车超过中点14千米，
而慢车距离终点还有14千米，
因此它们的路程差为14×2＝28千米；
故选：C．
点评：本题主要考查学生时间、路程、速度差的掌握情况．
3．工程问题
【知识点归纳】
工程问题公式
（1）一般公式：工效×工时＝工作总量；　　工作总量÷工时＝工效；
　　工作总量÷工效＝工时．
（2）用假设工作总量为“1”的方法解工程问题的公式：
　　1÷工作时间＝单位时间内完成工作总量的几分之几；
　　1÷单位时间能完成的几分之几＝工作时间．
（注意：用假设法解工程题，可任意假定工作总量为2、3、4、5…．特别是假定工作总量为几个工作时间的最小公倍数时，分数工程问题可以转化为比较简单的整数工程问题，计算将变得比较简便．）
解答工程问题利用常见的数学思想方法，如代换法、比例法、列表法、方程法等．抛开“工作总量”和“时间”，抓住题目给出的工作效率之间的数量关系，转化出与所求相关的工作效率，最后再利用先前的假设“把整个工程看成一个单位”，求得问题答案．一般情况下，工程问题求的是时间．

【命题方向】
经典题型：
例1：师徒两人共同加工一批零件，师傅每小时加工9个，徒弟每小时加工5个，完成任务时，徒弟比师傅少加工120个．这批零件共有多少个？
分析：求出师傅比徒弟每小时多加工零件个数，然后依据工作时间＝多的工作总量÷每小时多做零件个数，求出两人完成任务需要的时间，最后根据工作总量＝工作效率×工作时间即可解答．
解：120÷（9﹣5）×（9+5）
＝120÷4×14
＝420（个）
答：这批零件共有420个．
点评：解答本题的关键是求出两人完成任务需要的时间，解答依据是工作时间，工作效率以及工作总量之间数量关系．

例2：一项工程，甲、乙两人合做8天可完成．甲单独做需12天完成．现两人合做几天后，余下的工程由乙独自完成，使乙前后两段所用时间比为1：3．这个工程实际工期为多少天？
分析：由题意可知，甲、乙合作8天完成，甲、乙的合作工作效率为，甲单独12天完成，甲的工作效率为，那么乙的工作效率．人合做几天后，余下的工程由乙独自完成，使乙前后两段所用时间比为1：3，设两人合作x天，那么乙单独做3x天，由此可得方程：x3x＝1，解此方程求出两人的合作时间后，即能求出实际工期为多少天．
解：．
设两人合作x天，那么乙单独做3x天，由此可得方程：
x3x＝1，
xx＝1，
x＝1，
x＝4．
4+4×3
＝4+12，
＝16（天）．
答：这个工程实际工期为16天．
点评：首先根据题意求出乙的工作效率，然后通过设未知数列出等量关系式是完成本题的关键．
4．利润和利息问题
【知识点归纳】
主要公式：
①商品利润＝商品售价﹣商品进价；
②商品利润率＝商品利润/商品进价×100%；
③商品销售额＝商品销售价×商品销售量；
④商品的销售利润＝（销售价﹣成本价）×销售量．
⑤商品售价＝商品标价×折扣率．
利息＝本金×利率×存期；（注意：利息税）．
本息＝本金+利息，
利息税＝利息×利息税率．
注意利率有日利率、月利率和年利率，年利率＝月利率×12＝日利率×365．

【命题方向】
常考题型：
例1：商店购进了一批钢笔，决定以每支9.5元的价格出售．第一个星期卖出了60%，这时还差84元收回全部成本．又过了一个星期后全部售出，总共获得利润372元．那么商店购进这批钢笔的价格是每支多少元？
分析：又过了一个星期全部售出后，总共获得利润372元，在这之前是还差84元才可以收回全部成本，说明又买出的这部分的总额为372+84＝456（元），买出的这部分钢笔的数量是456÷9.5＝48（支），而这48支相当于总数的1﹣60%＝40%，求出总支数为48÷40%＝120（支）；然后求出每支钢笔盈利为372÷120＝3.1（元），再用每支钢笔的定价减去盈利的部分即为购进价．
解：这批钢笔的总数量：
（372+84）÷9.5÷（1﹣60%），
＝456÷9.5÷0.4，
＝48÷0.4，
＝120（支）；
每支钢笔的购进价：
9.5﹣372÷120，
＝9.5﹣3.1，
＝6.4（元）；
答：商店购进这批钢笔的价格是每支6.4元．
点评：此题条件较复杂，需认真分析，先求出这批钢笔的数量是解决此题的关键．
5．浓度问题
【知识点归纳】
基本数量关系：
溶液质量＝溶质质量+溶剂质量；
溶质质量＝溶液中所含溶质的质量分数．
这类问题常根据配制前后的溶质质量或溶剂质量找等量关系，分析时可采用列表的方法来帮助理解题意．

【命题方向】
经典题型：
例1：A，B，C三个试管中各盛有10克、20克、30克水．把某种浓度的盐水10克倒入A中，混合后取出10克倒入B中，混合后又从B中取出 10克倒入C中．现在C中盐水浓度是0.5%．问最早倒入A中的盐水浓度是多少？
分析：混合后，三个试管中的盐水分别是20克、30克、40克，又知C管中的浓度为0.5%，可算出C管中的盐是：40×0.5%＝0.2（克）．由于原来C管中只有水，说明这0.2克的盐来自从B管中倒入的10克盐水里．
B管倒入C管的盐水和留下的盐水浓度是一样的，10克盐水中有0.2克盐，那么原来B管30克盐水就应该含盐：0.2×3＝0.6（克）．而且这0.6克盐来自从A管倒入的10克盐水中．
A管倒入B管的盐水和留下的盐水的浓度是一样的，10克盐水中有0.6克盐，说明原A管中20克盐水含盐：0.6×2＝1.2（克），而且这1.2克的盐全部来自某种浓度的盐水．即说明倒入A管中的10克盐水含盐1.2克．所以，某种浓度的盐水的浓度是1.2÷10×100%＝12%

解：B中盐水的浓度是：
（30+10）×0.5%÷10×100%，
＝40×0.005÷10×100%，
＝2%．
现在A中盐水的浓度是：
（20+10）×2%÷10×100%，
＝30×0.002÷10×100%，
＝6%．
最早倒入A中的盐水浓度为：
（10+10）×6%÷10，
＝20×6%÷10，
＝12%．
答：最早倒入A中的盐水浓度为12%．
点评：不管是哪类的浓度问题，最关键的思维是要抓住题中没有变化的量，不管哪个试管中的盐，都是来自最初的某种浓度的盐水中，运用倒推的思维来解答．
6．相遇问题
【知识点归纳】
两个运动物体作相向运动或在环形跑道上作背向运动，随着时间的发展，必然面对面地相遇，这类问题叫做相遇问题．它的特点是两个运动物体共同走完整个路程．　　小学数学教材中的行程问题，一般是指相遇问题．
相遇问题根据数量关系可分成三种类型：求路程，求相遇时间，求速度．
它们的基本关系式如下：
总路程＝（甲速+乙速）×相遇时间
相遇时间＝总路程÷（甲速+乙速）
另一个速度＝甲乙速度和﹣已知的一个速度．

【命题方向】
常考题型：
例1：根据算式选择问题．甲、乙两人同时从两地相向而行，甲骑车每小时行15千米，乙步行每小时行6千米，经过4小时两人相遇．
（1）甲、乙两人每小时共行多少千米？
（2）两地之间的路程是多少千米？
（3）相遇时，甲行了多少千米？
分析：（1）根据甲乙两人的速度求和，求出甲、乙两人每小时共行多少千米即可；
（2）根据速度×时间＝路程，用甲乙的速度之和乘以相遇用的时间，求出两地之间的路程是多少千米即可；
（3）根据速度×时间＝路程，用甲的速度乘以骑车的时间，求出相遇时甲行了多少千米即可．
解：（1）15+6＝21（千米）
答：甲、乙两人每小时共行21千米．

（2）21×4＝84（千米）
答：两地之间的路程是84千米．

（3）15×4＝60（千米）
答：相遇时，甲行了60千米．
点评：此题主要考查了行程问题中速度、时间和路程的关系：速度×时间＝路程，路程÷时间＝速度，路程÷速度＝时间，要熟练掌握．
7．追及问题
【知识点归纳】
1．追击问题的概念：
追及问题的地点可以相同（如环形跑道上的追及问题），也可以不同，但方向一般是相同的．由于速度不同，就发生快的追及慢的问题．
2．追及问题公式：根据速度差、距离差和追及时间三者之间的关系，常用下面的公式：
距离差＝速度差×追及时间
追及时间＝距离差÷速度差
速度差＝距离差÷追及时间
速度差＝快速﹣慢速
3．解题的关键是在互相关联、互相对应的距离差、速度差、追及时间三者之中，找出两者，然后运用公式求出第三者来达到解题目的．

【命题方向】
常考题型：
例1：上午8时8分，小明骑自行车从家里出发，8分后，爸爸骑摩托车去追他，在离家4千米的地方追上了他，然后爸爸立刻回家．到家后又立刻回头去追小明，再追上他的时候，离家恰好是8千米，问这时是几时几分？
分析：由题意可知：爸爸第一次追上小明后，立即回家，到家后又回头去追小明，再追上小明时走了12千米．可见小明的速度是爸爸的速度的．爸爸从家到第一次追上小明，小明走了4千米，若爸爸与小明同时出发，则爸爸应走出12千米，但是由于爸爸晚出发8分钟，所以只走了4千米，所以爸爸8分钟应走8千米，则爸爸的速度为1千米/分钟．
那么，小明先走8分钟后，爸爸只花了4分钟即可追上，这段时间爸爸走了4千米．
解：爸爸的速度是小明的几倍：（4+8）÷4＝3（倍），
爸爸从家到第一次追上小明，小明走了4千米，若爸爸与小明同时出发，则爸爸应走出12千米，但是由于爸爸晚出发8分钟，所以只走了4千米，所以爸爸8分钟应走8千米，则爸爸的速度为1千米/分钟．
爸爸所用的时间：（4+4+8）÷1＝16（分钟）
16+16＝32（分钟）
答：这时是8时32分．
点评：此题既需要根据关系式而且还要更加深刻的理解题意．
8．环形跑道问题
【知识点归纳】
1．环形跑道问题，从同一地点出发，如果是相向而行，则每相遇一次合走一圈（每隔第一次相遇时间就相遇一次）；第几次相遇就合走几圈；如果是同向而行，则每多跑一圈就追上一次（每隔第一次追及时间就追上一次）．第几次追上就多跑几圈．
环形跑道：同相向而行的等量关系：乙程﹣甲程＝跑道长，背向而行的等量关系：乙程+甲程＝跑道长．
2．解题方法：
（1）审题：看题目有几个人或物参与； 看题目时间：“再过多长时间”就是从此时开始计时，“多长时间后”就是从开始计时；看地点是指是同地还是两地甚至更多． 看方向是同向、背向还是相向；看事件指的是结果是相遇还是追及 相遇问题中一个重要的环节是确定相遇地点，准确找到相遇地点对我们解题有很大帮助，一些是题目中直接给出在哪里相遇，有些则需要我们自己根据两人速度来判断． 追击问题中一个重要环节就是确定追上地点，从而找到路程差．比如“用10秒钟快比慢多跑100米”我们立刻知道快慢的速度差．这个是追击问题经常用到的，通过路程差求速度差
（2）简单题利用公式
（3）复杂题，尤其是多人多次相遇，一定要画路径图，即怎么走的线路画出来．相遇问题就找路程和，追击问题就找路程差．

【命题方向】
经典题型：
例1：环绕小山一周的公路长1920米，甲、乙两人沿公路竞走，两人同时同地出发，反方向行走，甲比乙走得快，12分钟后两人相遇．如果两人每分钟多走16米，则相遇地点与前次相差20米．
（1）求甲乙两人原来的行走速度．
（2）如果甲、乙两人各以原速度同时同地出发，同向行走，则甲在何处第二次追上乙？

分析：（1）根据题干不难得出甲乙的速度之和是：1920÷12＝160米/分；则提高速度后的速度之和就是160+16+16＝192米/分，所以提高速度后甲乙二人相遇的时间是：1920÷192＝10分钟；
因为甲的速度较快，提高速度之后，二人行走的时间变短，所以甲比原来少走了20米，由此设甲原来的速度是x米/分，则提高速度后，甲的速度是x+16米/分，由此根据，即可列出方程，求出x的值即可解答．
（2）甲第二次追上乙时，比乙多走了两周，用两周的路程除以速度差即可得走的时间，用甲的速度乘以时间再除以一周的路程，余数即是离出发点的距离．
解：（1）甲乙原来的速度之和是：1920÷12＝160（米），
提高速度之后的速度之和是：160+16+16＝192（米），
所以提高速度之后二人相遇的时间是：1920÷192＝10（分钟），
设甲原来的速度是x米/分，则提高速度后，甲的速度是（x+16）米/分，根据题意可得方程：
12x﹣10（x+16）＝20，
12x﹣10x﹣160＝20，
2x＝180，
x＝90，
则乙原来的速度是：160﹣90＝70（米/分），
答：甲原来的速度是90米/分，乙原来的速度是70米/分；

（2）1920×2÷（90﹣70）
＝1920×2÷20
＝192（分），
192×90÷1920＝9，说明正好在出发点．
答：甲在出发点第二次追上乙．
点评：本题考查了环形跑道问题．解答此题的关键是根据甲乙第一次相遇的时间求出甲乙的速度之和，从而得出第二次相遇的时间，设出甲的速度，利用甲前后两次行走的路程之差即可列出方程解决问题．
9．平均数问题
【知识点归纳】
求平均数问题是小学学习阶段经常接触的一类典型应用题，如“求一个班级学生的平均年龄、平均身高、平均分数…”
平均数问题包括算术平均数、加权平均数、连续数和求平均数、调和平均数和基准数求平均数．
解答这类应用题时，主要是弄清楚总数、份数、一份数三量之间的关系，根据总数除以它相对应的份数，求出一份数，即平均数．

【命题方向】
常考题型：
例1：在抗震救灾的日子里，解放军张叔叔前4天在一线共奋战了74小时，后3天平均每天在一线工作15小时，这一周，张叔叔平均每天在一线工作多少小时？
分析：根据题意可以求出张叔叔在7天一共工作了几小时，用总的小时数除以总天数，就是要求的答案．
解：（74+15×3）÷（4+3），
＝（74+45）÷7，
＝119÷7，
＝17（小时）；
答：这一周，张叔叔平均每天在一线工作17小时．
点评：此题是典型的解答平均数应用题，关键在于确定“总数量”以及和总数量对应的总份数．

例2：甲、乙、丙三种糖果每千克分别是14元、10元、8元．现把甲种糖果4千克，乙种糖果3千克，丙种糖果5千克混合在一起，问买2千克这种混合糖果需多少元？
分析：用三种糖混合糖的总钱数除以总千克数就是三种糖混合后的平均价，再用平均价乘2千克就是要求的答案．
解：甲、乙、丙三种糖混合后的平均价是：
（14×4+10×3+8×5）÷（4+3+5），
＝126÷12，
＝10.5（元），
买2千克混合糖果的价钱是：
10.5×2＝21（元），
答：买2千克这种混合糖果需21元．
点评：解答此题的关键是根据平均数的意义，先求出甲、乙、丙三种糖混合后的平均价，那2千克混合糖的价钱即可求出．
10．盈亏问题
【知识点归纳】
把若干物体平均分给一定数量的对象，并不是每次都能正好分完．如果物体还有剩余，就叫盈；如果物体不够分，少了，叫亏．凡是研究盈和亏这一类算法的应用题就叫盈亏问题．
解盈亏问题的公式
一盈一亏的解法：（盈数+亏数）÷两次每人分配数的差
双盈的解法：（大盈﹣小盈）÷两次每人分配数的差
双亏的解法：（大亏﹣小亏）÷两次每人分配数的差．

【命题方向】
经典题型：
例1：小红给房里的人分饼干，如果其中3人每人分4块，其余每人分2块，还多出4块．如果其中2人分6块，其余每人分3块，则缺12块．问房间里有多少人？
分析：如果其中有3个人每人分4块，其余每人分2块，就多了4块糖，也就是如果每人都分2块，就多了3×（4﹣2）+4＝10块糖；如果其中2人分6块，其余每人分3块，则缺12块，即如果每人都分3块的话，则缺12﹣2×（6﹣3）＝6块；即盈10，亏6，两次分配的差为3﹣2，则共有（10+6）÷（3﹣2）＝16人．
解：[3×（4﹣2）+4]+[12﹣2×（6﹣3）]
＝[6+4]+[12﹣6]，
＝10+6，
＝16（块）；
16÷（3﹣2），
＝16÷1，
＝16（人）；
答：房间内共有16人．
点评：由于两次分配的数量不统一，因此据已知条件将每次分配的数量统一后，算出盈与亏是完成本题的关键．
11．体积的等积变形
【知识点归纳】
体积的等积变形主要是用排水法，主要有以下几种情形：
1．当物体浸没于容器中时，要根据物体的体积等于容器内下降（升高）部分水的体积这一隐含条件来解题；
2．当物体仍有部分露于水面时，要根据水的体积未变，只是底面积变了，且体积＝底面积×高这一隐含条件来解题；
3．要使得高相等，要记得把物质的体积看做一个整体，然后根据总体积未变，只是底面积变了，且体积＝底面积×高这一隐含条件来解题．
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日期：2019/5/6 9:14:08；用户：jiangwenxiu；邮箱：jiangwenxiu@xyh.com；学号：26799902