2018年北师大版小升初数学复习卷（4）

这是一份2018年北师大版小升初数学复习卷（4），共20页。试卷主要包含了解答题等内容，欢迎下载使用。
2018年北师大版小升初数学复习卷（4）
一、解答题（共10小题，满分100分）
1．（10分）一个四位数除以119余96，除以120余80．求这四位数．
2．（10分）有四个不同的自然数，其中任意两个数之和是2的倍数，任意三个数的和是3的倍数，求满足条件的最小的四个自然数．
3．（10分）在一环形跑道上，甲从A点，乙从B点同时出发反向而行，6分钟后两人相遇，再过4分钟甲到达B点，又过8分钟两人再次相遇．甲、乙环行一周各需要多少分钟？
4．（10分）甲、乙沿同一公路相向而行，甲的速度是乙的1.5倍．已知甲上午8点经过邮局，乙上午10点经过邮局，问甲、乙在中途何时相遇？
5．（10分）（2017•长沙）甲、乙两人同时从山脚开始爬山，到达山顶后就立即下山．他们两人下山的速度都是各自上山速度的2倍．甲到山顶时，乙距山顶还有400米，甲回到山脚时，乙刚好下到半山腰．求从山顶到山脚的距离．
6．（10分）一辆公共汽车载了一些乘客从起点出发，在第一站下车的乘客是车上总数（含一名司机和两名售票员）的1/7，第二站下车的乘客是车上总人数的1/6，…第六站下车的乘客是车上总人数的1/2，再开车是车上就剩下1名乘客了．已知途中没有人上车，问从起点出发时，车上有多少名乘客？
7．（10分）有三块草地，面积分别是4亩、8亩、10亩．草地上的草一样厚，而且长得一样快，第一块草地可供24头牛吃6周，第二块草地可供36头牛吃12周．问第三块草地可供50头牛吃几周？
8．（10分）B地在A，C两地之间．甲从B地到A地去，出发后1小时，乙从B地出发到C地，乙出发后1小时，丙突然想起要通知甲、乙一件重要的事情，于是从B地出发骑车去追赶甲和乙．已知甲和乙的速度相等，丙的速度是甲、乙速度的3倍，为使丙从B地出发到最终赶回B地所用的时间最少，丙应当先追甲再返回追乙，还是先追乙再返回追甲？
9．（10分）一把小刀售价3元．如果小明买了这把小刀，那么小明与小强的钱数之比是2：5；如果小强买了这把小刀，那么两人的钱数之比是8：13．小明原来有多少元钱？
10．（10分）环形跑道周长是500米，甲乙两人从起点按顺时针方向同时出发．甲每分钟跑120米，乙每分钟跑100米，两人都是每跑200米停下休息1分钟．那么甲第一次追上乙需要多少分钟？

2018年北师大版小升初数学复习卷（4）
参考答案与试题解析
一、解答题（共10小题，满分100分）
1．（10分）一个四位数除以119余96，除以120余80．求这四位数．
【考点】NB：盈亏问题．菁优网版权所有
【专题】48L：传统应用题专题．
【分析】因为120比119多1，也就是说，那个数分别只除以1次的话，除以1次119，就要比除以1次120的余数要多1，即余数多1就表示除了1次119，现在是余数96比80多16，那就说明，这个数除以119有16次，即商为16，根据“被除数＝除数×商+余数”，代入数字，进行解答即可．
【解答】解：96﹣80＝16，
119×16+96
＝1904+96
＝2000
或：120×16+80
＝2000
答：这个四位数为2000．
【点评】此题解答时应根据题意，结合两个数的特点进行分析，然后根据被除数、除数、商和余数的关系进行计算．
2．（10分）有四个不同的自然数，其中任意两个数之和是2的倍数，任意三个数的和是3的倍数，求满足条件的最小的四个自然数．
【考点】J1：数字问题；P1：最大与最小．菁优网版权所有
【专题】485：数性的判断专题．
【分析】任意两个数之和是2的倍数，则可得到这些数必然全部是奇数或者全部是偶数；任意三个数的和是3的倍数，则这些数除以三的余数必须相同
【解答】解：任意两个数之和是2的倍数，说明这些数全部是偶数或者全部是奇数．
任意三个数的和是3的倍数，说明这些数除以3的余数相同．
要满足条件的最小自然数，因为0是自然数了．所以我认为结果是0、6、12、18．
【点评】本题主要考查整除的性质，难度一般．
3．（10分）在一环形跑道上，甲从A点，乙从B点同时出发反向而行，6分钟后两人相遇，再过4分钟甲到达B点，又过8分钟两人再次相遇．甲、乙环行一周各需要多少分钟？
【考点】M1：相遇问题．菁优网版权所有
【专题】48G：综合行程问题．
【分析】根据题意，第一次相遇后，甲经过4分钟到达B点，也就是甲用4分钟可以走完的路程乙要用6分钟走完；从第一次相遇到第二次相遇，所经过的时间是4+8＝12分钟，也就是两人都走了12分钟，那么甲再走乙12分钟的走过的路程就是走了一圈，甲12分钟走过的路乙可以用12÷6×4＝8分钟走完；这时甲走一圈的时间就是12+8＝20分钟；乙行一圈需要20÷4×6＝30分钟．
【解答】解：甲乙合行一圈需要8+4＝12分钟．乙行6分钟的路程，甲只需4分钟．
所以乙行的12分钟，甲需要12÷6×4＝8分钟，
所以甲行一圈需要8+12＝20分钟；
乙行一圈需要20÷4×6＝30分钟；
答：甲环行一周需要20分钟；乙环行一各需要30分钟．
【点评】本题的关键是求出两人走同一段路程的时间的关系，然后再进一步解答即可．
4．（10分）甲、乙沿同一公路相向而行，甲的速度是乙的1.5倍．已知甲上午8点经过邮局，乙上午10点经过邮局，问甲、乙在中途何时相遇？
【考点】M1：相遇问题．菁优网版权所有
【分析】根据甲的速度是乙的1.5倍，把乙每小时行的路程看作1份，甲上午8点经过邮局，乙上午10点经过邮局，相差2小时，即甲、乙相距看作2份，由路程÷速度和＝时间，列式解答．
【解答】解：我们把乙行1小时的路程看作1份，
那么上午8时，甲乙相距10﹣8＝2份．
所以相遇时，乙行了2÷（1+1.5）＝0.8份，0.8×60＝48分钟，
所以在8点48分相遇．
答：甲、乙作中途8点48分相遇．
【点评】解答此题首先设乙每小时行的路程为1份，再求甲乙达到邮局相差多少，根据相遇问题的基本数量关系式解答即可．
5．（10分）（2017•长沙）甲、乙两人同时从山脚开始爬山，到达山顶后就立即下山．他们两人下山的速度都是各自上山速度的2倍．甲到山顶时，乙距山顶还有400米，甲回到山脚时，乙刚好下到半山腰．求从山顶到山脚的距离．
【考点】36：分数除法应用题．菁优网版权所有
【分析】把“山顶到山脚的距离”看作单位“1”，假设甲乙可以继续上行，那么甲乙的速度比是（1+1÷2）：（12）＝6：5；由于甲、乙所用时间是相同的，所以他们的速度比就是他们所行的路程比；当甲行到山顶时，乙就行了全程的，这时“乙距山顶还有400米”，也就是全程的（1）是400米，据此关系可用除法解答．
【解答】解：假设甲乙可以继续上行，那么甲、乙的速度比是：
（1+1÷2）：（12）＝6：5；
当甲行到山顶时，乙就行了全程的，还剩下400米；
所以从山顶到山脚的距离是：
400÷（1）
＝400
＝2400（米）；
答：从山顶到山脚的距离是2400米．
【点评】此题是较难的分数应用题，解答此类题目要找准单位“1”，理清题中的数量关系，据关系列式解答．
6．（10分）一辆公共汽车载了一些乘客从起点出发，在第一站下车的乘客是车上总数（含一名司机和两名售票员）的1/7，第二站下车的乘客是车上总人数的1/6，…第六站下车的乘客是车上总人数的1/2，再开车是车上就剩下1名乘客了．已知途中没有人上车，问从起点出发时，车上有多少名乘客？
【考点】36：分数除法应用题．菁优网版权所有
【分析】本题中有多个分数，也对应着多个未知的单位“1”，可以从第六站开始逆推分析；由条件“第六站下车的乘客是车上总人数的，再开车是车上就剩下1名乘客了”可知：最后剩下的是1名乘客、一名司机和两名售票员共4人，这4人应占当时车上总人数的（1），所以先把“第六站车上的总人数”看作单位“1”，未知，可用除法求得；而这个人数就是第五站时车上总人数的（1），再把“第五站时车上总人数”看作单位“1”，未知，可用除法求得；…依次逆推到第一站；当算出第一站车上的总人数时，还要用总人数减去一名司机和两名售票员，才是起点时车上乘客的人数．
【解答】解：最后剩下：1+1+2＝4（人）；
那么车上总人数是：
4÷（1）÷（1）÷（1）÷（1）÷（1）÷（1）
＝4×2
＝28（人）；
起点时车上乘客有：28﹣3＝25（人）；
答：从起点出发时车上有25名乘客．
【点评】此题是复杂的连除应用题，题中有多个未知的单位“1”，可以先从“小”的单位“1”求起，再层层逆推到“大”的单位“1”．
7．（10分）有三块草地，面积分别是4亩、8亩、10亩．草地上的草一样厚，而且长得一样快，第一块草地可供24头牛吃6周，第二块草地可供36头牛吃12周．问第三块草地可供50头牛吃几周？
【考点】N9：牛吃草问题．菁优网版权所有
【专题】48L：传统应用题专题．
【分析】这是一道比较复杂的牛吃草问题．把每头牛每周吃的草看作1份；第一块草地4亩可供24头牛吃6周，说明每亩可供24÷4＝6头牛吃6周；第二块草地8亩可共36头牛吃12周，说明每亩草地可供36÷8＝4.5头牛吃12周；
所以，每亩草地每周要长（4.5×12﹣6×6）÷（12﹣6）＝3份，那么，每亩原有草6×6﹣6×3＝18份；
因此，第三块草地原有草18×10＝180份，每周长3×10＝30份，所以，第三块草地可供50头牛吃180÷（50﹣30）＝9周．
【解答】解：设每头牛每周吃1份草；
第一块草地4亩可供24头牛吃6周，可得：每亩可供24÷4＝6头牛吃6周；
第二块草地8亩可共36头牛吃12周，可得每亩草地可供36÷8＝4.5头牛吃12周；
每亩草地每周要长：（4.5×12﹣6×6）÷（12﹣6）＝3（份）；
每亩原有草：6×6﹣6×3＝18（份）；
第三块草地原有草：18×10＝180（份）；
第三块草地每周长：3×10＝30（份）；
第三块草地可供50头牛吃：180÷（50﹣30）＝9（周）．
答：第三块草地可供50头牛吃9周．
【点评】本题为典型的牛吃草问题，要根据“牛吃的草量﹣生长的草量＝消耗原有草量”这个关系式认真分析解决．
8．（10分）B地在A，C两地之间．甲从B地到A地去，出发后1小时，乙从B地出发到C地，乙出发后1小时，丙突然想起要通知甲、乙一件重要的事情，于是从B地出发骑车去追赶甲和乙．已知甲和乙的速度相等，丙的速度是甲、乙速度的3倍，为使丙从B地出发到最终赶回B地所用的时间最少，丙应当先追甲再返回追乙，还是先追乙再返回追甲？
【考点】M2：追及问题．菁优网版权所有
【分析】此题应把甲的速度看作“1”，则乙的速度也是“1”，丙的速度则是“3”；如果先追乙返回，时间是1÷（3﹣1）×2＝1小时，再追甲后返回，时间是3÷（3﹣1）×2＝3小时，共用去3+1＝4小时，如果先追甲返回，时间是2÷（3﹣1）×2＝2小时，再追乙后返回，时间是3÷（3﹣1）×2＝3小时，共用去2+3＝5小时，所以先追乙时间最少．故先追乙再返回追甲．
【解答】解：先追乙，再追甲：（1×1）÷（3﹣1）×2+（1×3）÷（3﹣1）×2＝1+3＝4（小时），
先追甲，再追乙：（1×2）÷（3﹣1）×2+（1×3）÷（3﹣1）×2＝2+3＝5（小时），
4小时＜5小时，所以先追乙，再追甲用的时间少．
答：先追乙，再追甲用的时间少．
【点评】此题属于复杂的追及应用题，做题时应认真审题，找出题中的数量间的关系，然后根据追及时间、速度之差和路程之差之间的关系进行解答即可．
9．（10分）一把小刀售价3元．如果小明买了这把小刀，那么小明与小强的钱数之比是2：5；如果小强买了这把小刀，那么两人的钱数之比是8：13．小明原来有多少元钱？
【考点】6A：比的应用．菁优网版权所有
【专题】45C：比和比例应用题．
【分析】小明买后与小强的钱数比是2：5，因为两人买完后钱数总和不变，总和为7份，所以，小明买后的钱数：小强的钱数：总钱数＝2：5：7，即：6：15：21．用同样方法，小明的钱数：小强买后的钱数：总钱数是：8：13：21．由此可知，小刀3元占总钱数的（8﹣6）2份，每份是（3÷2）1.5元．小明不买时占了8份，因此小明的钱数即可求出．
【解答】解：小明买后的钱数：小强的钱数：总钱数＝2：5：7＝6：15：21，
小明的钱数：小强买后的钱数：总钱数＝8：13：21，
[3÷（8﹣6）]×8
[3÷2]×8
＝1.5×8
＝12（元）
答：小明原有12元钱．
【点评】解答此题的关键是：根据两人买后钱数和总钱数的两个连比，求出每份是多少钱．
10．（10分）环形跑道周长是500米，甲乙两人从起点按顺时针方向同时出发．甲每分钟跑120米，乙每分钟跑100米，两人都是每跑200米停下休息1分钟．那么甲第一次追上乙需要多少分钟？
【考点】M2：追及问题；M5：环形跑道问题．菁优网版权所有
【专题】48G：综合行程问题．
【分析】甲追上乙时，甲比乙多跑一圈，即500米．追及时间＝路程差÷速度差＝500÷（120﹣100）分钟，即可得此时间内甲乙跑了的距离和休息时间；当休息时间相同时即能追上，若不相同还要按以上方式进行计算，直到相等为止．甲追上乙一圈需要时间+休息时间之和，即可得解．
【解答】解：（500+200）÷（120﹣100）
＝700÷20
＝35（分钟）
120×35÷200﹣1
＝4200÷200﹣1
＝20（次）
35+20＝55（分钟）
答：甲第一次追上乙需要55分钟．
【点评】本题考查了环形跑道的追击问题，读懂题意并找到等量关系是解题的关键．此题考查了追及问题，难点在于考虑休息时间，难度较大．

考点卡片
1．分数除法应用题
【知识点归纳】
求一个数是另一个数的几分之几（或百分之几）是多少．
特征：已知一个数和另一个数，求一个数是另一个数的几分之几或百分之几．“一个数”是比较量，“另一个数”是标准量．求分率或百分率，也就是求它们的倍数关系．
解题关键：从问题入手，搞清是把谁看做标准的数也就是把谁看做了单位“1”，谁知单位“1”的量比较，谁就作为被除数．
甲是乙的几分之几（或百分之几）：甲是比较量，乙是标准量，用甲除以乙．
甲比乙多（或少）几分之几（或百分之几）：甲减乙比乙多（或少）几分之几（或百分之几）．
关系式：（甲数﹣乙数）÷乙数，或（甲数﹣乙数）÷甲数．
特征：已知一个实际数量和它相对应的分率，求单位“1”的量．
解题关键：准确判断单位“1”的量，把单位“1”的量看成x，根据分数乘法的意义列方程，或者根据分数除法的意义列算式，但必须找准和分率相对应的已知实际数量．

【命题方向】
常考题型：
例1：一个长方形长5厘米，宽3厘米，表示（　　）几分之几．
A、长比宽多 B、长比宽少 C、宽比长少 D，宽比长多
分析：据题意5﹣3表示宽比长少的数量，除以5表示宽比长少的数量占长的几分之几．
解：表示宽比长少的占长的几分之几．
故选：C．
点评：此题考查分数应用题的基本类型：一个数比另一个多（或）几分之几的数，多的（或少的）除以另一个数．

例2：弟弟身高120厘米，比哥哥矮，计算哥哥身高的正确式子（　　）
A、120×（1） B、120÷（1） C、120×（1） D、120÷（1）
分析：根据题意“弟弟身高120厘米，比哥哥矮”把哥哥的身高看作单位“1”，哥哥的身高是未知的，用除法计算，数量120除以对应分率（1），据此解答即可．
解：哥哥的身高：120÷（1）．
故选：D．
点评：此题考查分数除法应用题，关键找准单位“1”，单位“1”是未知的，用除法计算，数量除以对应分率．
2．比的应用
【知识点归纳】
1．按比例分配问题的解题方法：
（1）把比看作分得的份数，用先求出每一份的方法来解答．解题步骤：
a．求出总份数；
b．求出每一份是多少；
c．求出各部分相应的具体数量．
（2）转化成份数乘法来解答．解题步骤：
a．先根据比求出总份数；
b．再求出各部分量占总量的几分之几；
c．求出各部分的数量．
2．按比例分配问题常用解题方法的应用：
（1）已知一个数量的各部分的比和其中某一部分的量，求另外几个部分量；
（2）已知两个量或几个量的比和其中两个量的差，求总量．

【命题方向】
常考题型：
例1：一个三角形与一个平行四边形的面积和底部都相等，这个三角形与平行四边形高的比是（　　）
A、2：1 B、1：2 C、1：1 D、3：1
分析：根据三角形和平行四边形的面积公式可得：三角形的高＝面积×2÷底；平行四边形的高＝面积÷底，由此即可进行比较，解答问题．
解：三角形的高＝面积×2÷底，
平行四边形的高＝面积÷底，
当三角形和平行四边形的面积和底分别相等时，三角形的高是平行四边形的高的2倍．
所以这个三角形与平行四边形高的比是2：1．
故选：A．
点评：考查了平行四边形的面积和三角形的面积公式，解题的关键是知道底相等、面积也相等的三角形和平行四边形中三角形的高是平行四边形的高的2倍．

例2：甲、乙两人各走一段路，他们的速度比是3：4，路程比是8：3，那么他们所需时间比是（　　）
A、2：1 B、32：9 C、1：2 D、4：3
分析：根据题意，把乙的速度看作1，那么甲的速度就为；把甲的路程看作1，那么乙的路程就为；根据时间＝路程÷速度，可得甲用的时间为1，乙用的时间为1；进而写出甲和乙所需的时间比，再把比化成最简比即可．
解：把乙的速度看作1，那么甲的速度就为，
把甲的路程看做1，那么乙的路程就为，
甲用的时间为：1，
乙用的时间为：1，
甲乙用的时间比：：（24）：（24）＝32：9；
答：甲乙所需的时间比是32：9．
故选：B．
点评：关键是把速度和路程设出来，然后根据时间＝路程÷速度，先求得各自用的时间，再写出所用的时间比并化简比．
3．数字问题
【知识点归纳】
1．数字问题的主要题型：
数字问题是研究有关数字的特殊结构、特殊关系以及数字运算中变换问题的一类问题，相对来说，难度较大．通常情况下题目会给出某个数各个位数关系，求这个数为多少．
2．核心知识
（1）数字的拆分
是将一个数拆分成几个因数相乘或者相加的形式，经常需要综合应用整除性质、奇偶性质、因式分解、同余理论等．
（2）数字的排列与位数关系
解答数字的排列与位数关系时，经常需要借助于首尾数法进行考虑、判断，同时可以利用列方程法、代入法、假设法等一些方法，进行快速求解．

【命题方向】
常考题型：
例1：在1到400的整数中，至少能被3和5中的一个数整除的数有（　　）个5．
A、213 B、187 C、133 D、80
分析：先求出400里面有几个3，就是1﹣400中有多少个数能被3整除，再求出400里面有几个5，就是1﹣400中有多少个数能被5整除；能同时倍3和5整除的数是15的倍数；求出400里面有多少个15，就是能同时被3和5整除的数，然后用3的倍数的个数加上5的倍数的个数然后减去15的倍数的个数即可．
解：1到400中能被3整除有：400÷3≈133（个）；
1到400中能被5整除有：400÷5＝80（个）；
1到400中既能被3也能被5整除有：400÷（3×5）≈26（个）；
在1到400的整数中，至少能被3和5中的一个数整除的数：133+80﹣26＝187（个）；
故选：B．
点评：本题要注意能同时被3和5整除的数，是重复计算的数字．

例2：自然数12321，90009，41014 …有一个共同特征：它们倒过来写还是原来的数，那么具有这种“特征”的五位偶数有　400　个．
分析：倒过来写还是原来的数，具有这种“特征”的五位偶数万位和个位有2，4，6，8这4种选择；千位和十位有0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10种选择；百位有0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10种选择．可以组成倒过来写还是原来的数具有这种“特征”的五位偶数则有4×10×10＝400个．
解：根据分析，倒过来写还是原来的数，具有这种“特征”的五位偶数有4×10×10＝400个．
答：具有这种“特征”的五位偶数有400个．
故答案为：400．
点评：根据这种数的特征，分析各对称数位会出现的数字可能，把出现可能的种数相乘即可得这种特征数的个数．
4．相遇问题
【知识点归纳】
两个运动物体作相向运动或在环形跑道上作背向运动，随着时间的发展，必然面对面地相遇，这类问题叫做相遇问题．它的特点是两个运动物体共同走完整个路程．　　小学数学教材中的行程问题，一般是指相遇问题．
相遇问题根据数量关系可分成三种类型：求路程，求相遇时间，求速度．
它们的基本关系式如下：
总路程＝（甲速+乙速）×相遇时间
相遇时间＝总路程÷（甲速+乙速）
另一个速度＝甲乙速度和﹣已知的一个速度．

【命题方向】
常考题型：
例1：根据算式选择问题．甲、乙两人同时从两地相向而行，甲骑车每小时行15千米，乙步行每小时行6千米，经过4小时两人相遇．
（1）甲、乙两人每小时共行多少千米？
（2）两地之间的路程是多少千米？
（3）相遇时，甲行了多少千米？
分析：（1）根据甲乙两人的速度求和，求出甲、乙两人每小时共行多少千米即可；
（2）根据速度×时间＝路程，用甲乙的速度之和乘以相遇用的时间，求出两地之间的路程是多少千米即可；
（3）根据速度×时间＝路程，用甲的速度乘以骑车的时间，求出相遇时甲行了多少千米即可．
解：（1）15+6＝21（千米）
答：甲、乙两人每小时共行21千米．

（2）21×4＝84（千米）
答：两地之间的路程是84千米．

（3）15×4＝60（千米）
答：相遇时，甲行了60千米．
点评：此题主要考查了行程问题中速度、时间和路程的关系：速度×时间＝路程，路程÷时间＝速度，路程÷速度＝时间，要熟练掌握．
5．追及问题
【知识点归纳】
1．追击问题的概念：
追及问题的地点可以相同（如环形跑道上的追及问题），也可以不同，但方向一般是相同的．由于速度不同，就发生快的追及慢的问题．
2．追及问题公式：根据速度差、距离差和追及时间三者之间的关系，常用下面的公式：
距离差＝速度差×追及时间
追及时间＝距离差÷速度差
速度差＝距离差÷追及时间
速度差＝快速﹣慢速
3．解题的关键是在互相关联、互相对应的距离差、速度差、追及时间三者之中，找出两者，然后运用公式求出第三者来达到解题目的．

【命题方向】
常考题型：
例1：上午8时8分，小明骑自行车从家里出发，8分后，爸爸骑摩托车去追他，在离家4千米的地方追上了他，然后爸爸立刻回家．到家后又立刻回头去追小明，再追上他的时候，离家恰好是8千米，问这时是几时几分？
分析：由题意可知：爸爸第一次追上小明后，立即回家，到家后又回头去追小明，再追上小明时走了12千米．可见小明的速度是爸爸的速度的．爸爸从家到第一次追上小明，小明走了4千米，若爸爸与小明同时出发，则爸爸应走出12千米，但是由于爸爸晚出发8分钟，所以只走了4千米，所以爸爸8分钟应走8千米，则爸爸的速度为1千米/分钟．
那么，小明先走8分钟后，爸爸只花了4分钟即可追上，这段时间爸爸走了4千米．
解：爸爸的速度是小明的几倍：（4+8）÷4＝3（倍），
爸爸从家到第一次追上小明，小明走了4千米，若爸爸与小明同时出发，则爸爸应走出12千米，但是由于爸爸晚出发8分钟，所以只走了4千米，所以爸爸8分钟应走8千米，则爸爸的速度为1千米/分钟．
爸爸所用的时间：（4+4+8）÷1＝16（分钟）
16+16＝32（分钟）
答：这时是8时32分．
点评：此题既需要根据关系式而且还要更加深刻的理解题意．
6．环形跑道问题
【知识点归纳】
1．环形跑道问题，从同一地点出发，如果是相向而行，则每相遇一次合走一圈（每隔第一次相遇时间就相遇一次）；第几次相遇就合走几圈；如果是同向而行，则每多跑一圈就追上一次（每隔第一次追及时间就追上一次）．第几次追上就多跑几圈．
环形跑道：同相向而行的等量关系：乙程﹣甲程＝跑道长，背向而行的等量关系：乙程+甲程＝跑道长．
2．解题方法：
（1）审题：看题目有几个人或物参与； 看题目时间：“再过多长时间”就是从此时开始计时，“多长时间后”就是从开始计时；看地点是指是同地还是两地甚至更多． 看方向是同向、背向还是相向；看事件指的是结果是相遇还是追及 相遇问题中一个重要的环节是确定相遇地点，准确找到相遇地点对我们解题有很大帮助，一些是题目中直接给出在哪里相遇，有些则需要我们自己根据两人速度来判断． 追击问题中一个重要环节就是确定追上地点，从而找到路程差．比如“用10秒钟快比慢多跑100米”我们立刻知道快慢的速度差．这个是追击问题经常用到的，通过路程差求速度差
（2）简单题利用公式
（3）复杂题，尤其是多人多次相遇，一定要画路径图，即怎么走的线路画出来．相遇问题就找路程和，追击问题就找路程差．

【命题方向】
经典题型：
例1：环绕小山一周的公路长1920米，甲、乙两人沿公路竞走，两人同时同地出发，反方向行走，甲比乙走得快，12分钟后两人相遇．如果两人每分钟多走16米，则相遇地点与前次相差20米．
（1）求甲乙两人原来的行走速度．
（2）如果甲、乙两人各以原速度同时同地出发，同向行走，则甲在何处第二次追上乙？

分析：（1）根据题干不难得出甲乙的速度之和是：1920÷12＝160米/分；则提高速度后的速度之和就是160+16+16＝192米/分，所以提高速度后甲乙二人相遇的时间是：1920÷192＝10分钟；
因为甲的速度较快，提高速度之后，二人行走的时间变短，所以甲比原来少走了20米，由此设甲原来的速度是x米/分，则提高速度后，甲的速度是x+16米/分，由此根据，即可列出方程，求出x的值即可解答．
（2）甲第二次追上乙时，比乙多走了两周，用两周的路程除以速度差即可得走的时间，用甲的速度乘以时间再除以一周的路程，余数即是离出发点的距离．
解：（1）甲乙原来的速度之和是：1920÷12＝160（米），
提高速度之后的速度之和是：160+16+16＝192（米），
所以提高速度之后二人相遇的时间是：1920÷192＝10（分钟），
设甲原来的速度是x米/分，则提高速度后，甲的速度是（x+16）米/分，根据题意可得方程：
12x﹣10（x+16）＝20，
12x﹣10x﹣160＝20，
2x＝180，
x＝90，
则乙原来的速度是：160﹣90＝70（米/分），
答：甲原来的速度是90米/分，乙原来的速度是70米/分；

（2）1920×2÷（90﹣70）
＝1920×2÷20
＝192（分），
192×90÷1920＝9，说明正好在出发点．
答：甲在出发点第二次追上乙．
点评：本题考查了环形跑道问题．解答此题的关键是根据甲乙第一次相遇的时间求出甲乙的速度之和，从而得出第二次相遇的时间，设出甲的速度，利用甲前后两次行走的路程之差即可列出方程解决问题．
7．牛吃草问题
【知识点归纳】
牛顿问题的难点在于草每天都在不断生长，草的数量都在不断变化．解答这类题目的关键是想办法从变化中找出不变量，我们可以把总草量看成两部分的和，即原有的草量加新长的草量．显而易见，原有的草量是一定的，新长的草量虽然在变，但如果是匀速生长，我们也能找到另一个不变量﹣﹣每天（每周）新长出的草的数量．
基本思路：假设每头牛吃草的速度为“1”份，根据两次不同的吃法，求出其中的总草量的差；再找出造成这种差异的原因，即可确定草的生长速度和总草量．
　　基本特点：原草量和新草生长速度是不变的；
　　关键问题：确定两个不变的量．
　　基本公式：
　　生长量＝（较长时间×长时间牛头数﹣较短时间×短时间牛头数）÷（长时间﹣短时间）；
　　原有草量＝较长时间×长时间牛头数﹣较长时间×生长量；
　　牛吃草问题常用到四个基本公式：
　　牛吃草问题又称为消长问题，是17世纪英国伟大的科学家牛顿提出来的．典型牛吃草问题的条件是假设草的生长速度固定不变，不同头数的牛吃光同一片草地所需的天数各不相同，求若干头牛吃这片草地可以吃多少天．由于吃的天数不同，草又是天天在生长的，所以草的存量随着吃的天数不断地变化．解决牛吃草问题常用到四个基本公式，分别是：
　　（1）草的生长速度＝（对应的牛头数×吃的较多天数﹣相应的牛头数×吃的较少天数）÷（吃的较多天数﹣吃的较少天数）；
　　（2）原有草量＝牛头数×吃的天数﹣草的生长速度×吃的天数；
　　（3）吃的天数＝原有草量÷（牛头数﹣草的生长速度）；
　　（4）牛头数＝原有草量÷吃的天数+草的生长速度．
　　这四个公式是解决消长问题的基础．
　　由于牛在吃草的过程中，草是不断生长的，所以解决消长问题的重点是要想办法从变化中找到不变量．牧场上原有的草是不变的，新长的草虽然在变化，但由于是匀速生长，所以每天新长出的草量应该是不变的．正是由于这个不变量，才能够导出上面的四个基本公式．

【命题方向】
经典题型：
例1：牧场上一片青草，每天牧草都匀速生长．这片牧草可供10头牛吃20天，或者可供15头牛吃10天．问：可供25头牛吃几天？
分析：这类题难就难在牧场上草的数量每天都在发生变化，我们要想办法从变化当中找到不变的量．总草量可以分为牧场上原有的草和新生长出来的草两部分．牧场上原有的草是不变的，新长出的草虽然在变化，因为是匀速生长，所以这片草地每天新长出的草的数量相同，即每天新长出的草是不变的．即：
（1）每天新长出的草量是通过已知的两种不同情况吃掉的总草量的差及吃的天数的差计算出来的．
（2）在已知的两种情况中，任选一种，假定其中几头牛专吃新长出的草，由剩下的牛吃原有的草，根据吃的天数可以计算出原有的草量．
（3）在所求的问题中，让几头牛专吃新长出的草，其余的牛吃原有的草，根据原有的草量可以计算出能吃几天．
解：设1头牛1天吃的草为“1“，由条件可知，前后两次青草的问题相差为10×20﹣15×10＝50．
为什么会多出这50呢？这是第二次比第一次多的那（20﹣10）＝10天生长出来的，所以每天生长的青草为50÷10＝5．
现从另一个角度去理解，这个牧场每天生长的青草正好可以满足5头牛吃．由此，我们可以把每次来吃草的牛分为两组，一组是抽出的15头牛来吃当天长出的青草，另一组来吃是原来牧场上的青草，那么在这批牛开始吃草之前，牧场上有多少青草呢？（10﹣5）×20＝100．
那么：第一次吃草量20×10＝200，第二次吃草量，15×10＝150；
每天生长草量50÷10＝5．
原有草量（10﹣5）×20＝100或200﹣5×20＝100．
25头牛分两组，5头去吃生长的草，其余20头去吃原有的草那么100÷20＝5（天）．
答：可供25头牛吃5天．
点评：解题关键是弄清楚已知条件，进行对比分析，从而求出每日新长草的数量，再求出草地里原有草的数量，进而解答题中所求的问题．
这类问题的基本数量关系是：
1、（牛的头数×吃草较多的天数﹣牛头数×吃草较少的天数）÷（吃的较多的天数﹣吃的较少的天数）＝草地每天新长草量．
2、牛的头数×吃草天数﹣每天新长量×吃草天数＝草地原有的草．
8．盈亏问题
【知识点归纳】
把若干物体平均分给一定数量的对象，并不是每次都能正好分完．如果物体还有剩余，就叫盈；如果物体不够分，少了，叫亏．凡是研究盈和亏这一类算法的应用题就叫盈亏问题．
解盈亏问题的公式
一盈一亏的解法：（盈数+亏数）÷两次每人分配数的差
双盈的解法：（大盈﹣小盈）÷两次每人分配数的差
双亏的解法：（大亏﹣小亏）÷两次每人分配数的差．

【命题方向】
经典题型：
例1：小红给房里的人分饼干，如果其中3人每人分4块，其余每人分2块，还多出4块．如果其中2人分6块，其余每人分3块，则缺12块．问房间里有多少人？
分析：如果其中有3个人每人分4块，其余每人分2块，就多了4块糖，也就是如果每人都分2块，就多了3×（4﹣2）+4＝10块糖；如果其中2人分6块，其余每人分3块，则缺12块，即如果每人都分3块的话，则缺12﹣2×（6﹣3）＝6块；即盈10，亏6，两次分配的差为3﹣2，则共有（10+6）÷（3﹣2）＝16人．
解：[3×（4﹣2）+4]+[12﹣2×（6﹣3）]
＝[6+4]+[12﹣6]，
＝10+6，
＝16（块）；
16÷（3﹣2），
＝16÷1，
＝16（人）；
答：房间内共有16人．
点评：由于两次分配的数量不统一，因此据已知条件将每次分配的数量统一后，算出盈与亏是完成本题的关键．
9．最大与最小
【知识点归纳】
研究某种量（或几种量）在一定条件下取得最大值或最小值的问题，我们称为最大和最小问题．
在日常生活、科学研究和生产实践中，存在大量的最大与最小问题．如，把一些物资从一个地方运到另一个地方，怎样运才能使路程尽可能短，运费最省；一项（或多项）工作，如何安排调配，才能使工期最短、效率最高等等，都是最大与最小问题．这里贯穿了一种统筹的数学思想﹣最优化原则．概括起来就是：要在尽可能节省人力、物力和时间的前提下，争取获得在可能范围内的最佳效果．这一原则在生产、科学研究及日常生活中有广泛的应用．

【命题方向】
常考题型：
例1：用一块长12米、宽8米的长方形铁皮剪成半径是1.5米的小圆（不能剪拼），至多能做（　　）个．
A、11 B、8 C、10 D、13
分析：因为从边长是3米的正方形里最大可以剪出半径是1.5米的圆，剪出半径为1.5米的圆，就相当于要剪边长是3米的正方形．分别求出长方形的长和宽各自能放几个这样的正方形，就可以求出至多能做多少个圆了．
解：8÷（1.5×2）＝2（个）…2（米）；
12÷（1.5×2）＝4（个）；
4×2＝8（个）；
故选：B．
点评：注意：因为不能剪拼，所以本题不能用面积来计算．
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日期：2019/5/6 9:13:25；用户：jiangwenxiu；邮箱：jiangwenxiu@xyh.com；学号：26799902