2018年北师大版小升初数学复习卷（11）

这是一份2018年北师大版小升初数学复习卷（11），共20页。试卷主要包含了解答题等内容，欢迎下载使用。
2018年北师大版小升初数学复习卷（11）
一、解答题（共10小题，满分0分）
1．自动扶梯以均匀的速度向上行驶，一男孩与一女孩同时从自动扶梯底部向上走，男孩的速度是女孩的2倍，已知男孩走了27级到达扶梯的顶部，女孩走了18级到达扶梯的顶部，问扶梯露在外面的部分共多少级？
2．两堆苹果一样重，第一堆卖出，第二堆卖出50千克，如果第一堆剩下的苹果比第二堆剩下的苹果少，那么两堆剩下的苹果至少有多少千克？
3．甲、乙两车同时从A地出发，不停的往返行驶于A、B两地之间．已知甲车的速度比乙车快，并且两车出发后第一次和第二次相遇都在途中C地，甲车的速度是乙车的几倍？
4．一只小船从甲地到乙地往返一次共用2小时，回来时顺水，比去时的速度每小时多行8千米，因此第二小时比第一小时多行6千米．求甲、乙两地的距离．
5．甲、乙两车分别从A、B两地出发，并在A，B两地间不断往返行驶．已知甲车的速度是15千米/小时，乙车的速度是每小时35千米，甲、乙两车第三次相遇地点与第四次相遇地点相差100千米．求A、B两地的距离．
6．某人沿着向上移动的自动扶梯从顶部朝底下用了7分30秒，而他沿着自动扶梯从底朝上走到顶部只用了1分30秒．如果此人不走，那么乘着扶梯从底到顶要多少时间？如果停电，那么此人沿扶梯从底走到顶要多少时间？
7．甲、乙两个圆柱体容器，底面积比为5：3，甲容器水深20厘米，乙容器水深10厘米．再往两个容器中注入同样多的水，使得两个容器中的水深相等．这时水深多少厘米？
8．A、B两地相距207千米，甲、乙两车8：00同时从A地出发到B地，速度分别为60千米/小时，54千米/小时，丙车8：30从B地出发到A地，速度为48千米/小时．丙车与甲、乙两车距离相等时是几点几分？
9．一个长方形的周长是130厘米，如果它的宽增加，长减少，就得到一个相同周长的新长方形．求原长方形的面积．
10．有一长方形，它的长与宽的比是5：2，对角线长29厘米，求这个长方形的面积．

2018年北师大版小升初数学复习卷（11）
参考答案与试题解析
一、解答题（共10小题，满分0分）
1．自动扶梯以均匀的速度向上行驶，一男孩与一女孩同时从自动扶梯底部向上走，男孩的速度是女孩的2倍，已知男孩走了27级到达扶梯的顶部，女孩走了18级到达扶梯的顶部，问扶梯露在外面的部分共多少级？
【考点】N9：牛吃草问题．菁优网版权所有
【专题】16：压轴题．
【分析】假设甲乙同时从底部向顶部走，甲到达顶部的时候，甲走了27级，此时乙走了27÷2＝13.5级，而乙还要再走18﹣13.5＝4.5级才能到达顶部，在乙走完这4.5级到达顶部的过程中，这是因为在乙走这4.5个台阶的同时，扶梯又将乙往上送了27﹣18＝9个台阶，到达27阶处，因此扶梯速度为乙速度的9÷4.5＝2倍．据此解答．
【解答】解：[（27﹣18）÷（18﹣27÷2）+1]×18
＝[9÷（18﹣13.5）+1]×18
＝[9÷4.5+1]×18
＝[2+1]×18
＝3×18
＝54（级）
答：扶梯露在外面部分有54级．
【点评】本题的关键是求出自动扶梯的速度是乙速度的多少倍．
2．两堆苹果一样重，第一堆卖出，第二堆卖出50千克，如果第一堆剩下的苹果比第二堆剩下的苹果少，那么两堆剩下的苹果至少有多少千克？
【考点】L6：分数和百分数应用题（多重条件）．菁优网版权所有
【专题】45A：分数百分数应用题．
【分析】第一堆剩下的苹果比第二堆少，那么卖掉的就比第二堆多，先计算出原来的苹果至少有多重，然后求第一堆和第二堆还剩下多少千克，从而求出两堆剩下的苹果至少有多少千克．
【解答】解：5075（千克）
每堆苹果原来重在75千克以上，是3的倍数，又最接近75千克的是78千克，
78×（1）+（78﹣50）
＝26+28
＝54（千克）
答：两堆剩下的苹果至少有54千克．
【点评】本题主要考查了学生分数应用题的解题能力，本题关键是求出每堆苹果原来的重量．
3．甲、乙两车同时从A地出发，不停的往返行驶于A、B两地之间．已知甲车的速度比乙车快，并且两车出发后第一次和第二次相遇都在途中C地，甲车的速度是乙车的几倍？
【考点】M1：相遇问题．菁优网版权所有
【专题】48G：综合行程问题．
【分析】我们知道像这样的情况是它们的每次相遇都是共行了2个A、B之间的全程．所以据题意画图（见解答）可知：第一次相遇时乙走了AC，甲走了AC+2BC；第二次相遇时，乙走了2BC，即AC＝2BC；这样即可求出AC+2BC与AC的数量关系，再结合“相同时间内，路程比等于速度比”就可知道此数量关系是甲、乙之间的速度关系．
【解答】解：根据题意可画出下图（黄色路线是甲走的，红色路线是乙走的）

由图可知：第一次相遇，乙走了AC的路程；第二次相遇乙走了CB+BC，则
AC＝2BC
（AC+2BC）：AC＝2AC：AC＝2（倍）
答：甲车的速度是乙车的2倍．
【点评】此题利用画图便于理清思路和其中的数量关系，然后即可轻松作答．
4．一只小船从甲地到乙地往返一次共用2小时，回来时顺水，比去时的速度每小时多行8千米，因此第二小时比第一小时多行6千米．求甲、乙两地的距离．
【考点】M3：流水行船问题．菁优网版权所有
【专题】48G：综合行程问题．
【分析】由于回来时是顺水，因此，2小时不能平均分配．第一小时到不了乙地，设到A地，为逆水行驶，第二小时，先从A地到乙地为逆水，再从乙地到甲地为顺水．由顺水每小时多行8千米，第二小时比第一小时多行6千米，可知，顺水的时间为6÷8（小时），则逆水的时间为2（小时），第二小时逆水时间为1（小时），第二小时逆水行的路程为6÷2＝3（千米），第二小时逆水的速度为312（千米），再用逆水的速度乘逆水的时间就是从甲到到乙地的距离．
【解答】解：6÷8（小时）
2（小时）
1（小时）
6÷2＝3（千米）
312（千米/小时）
1215（千米）
答：甲、乙两地相距15千米．
【点评】此题比较难，关键是一弄清题意，明白第一小时全逆水，第二小时先逆水后顺水；关键二是记住速度、路程、时间三者之间的关系．
5．甲、乙两车分别从A、B两地出发，并在A，B两地间不断往返行驶．已知甲车的速度是15千米/小时，乙车的速度是每小时35千米，甲、乙两车第三次相遇地点与第四次相遇地点相差100千米．求A、B两地的距离．
【考点】M4：多次相遇问题．菁优网版权所有
【专题】48G：综合行程问题．
【分析】根据题意可知，甲、乙速度之比是15：35＝3：7，因此我们可以设整个路程为3+7＝10份，这样一个全程中甲走3份，第三次相遇总共走了5个全程，所以甲总共走了3×5＝15份，第四次相遇总共走了7个全程，所以甲总共走了3×7＝21份，由全程共10份，所以第三次相遇地点与第四次相遇地点相差（15﹣10）﹣（21﹣10×2）＝4份，第三次相遇（这里特指面对面的相遇）的地点与第四次相遇的地点恰好相距100千米，所以每份：100÷4＝25千米，所以总长为25×10＝250千米．据此解答．
【解答】解：甲、乙速度之比是15：35＝3：7，这里的相遇存在迎面相遇和追上相遇两种．（如果两车相差的路程是AB的距离的倍数，就是追上相遇），因此我们可以设整个路程为3+7＝10份，这样一个全程中甲走3份．
则第三次相遇甲总共走了3×5＝15份，第四次相遇甲总共走了3×7＝21份；
第三次相遇地点与第四次相遇地点相差
（15﹣10）﹣（21﹣10×2）
＝5﹣1
＝4份，
所以总长为：
（100÷4）×10
＝25×10
＝250（千米）．
答：A、B两地之间的距离等于250 千米．
【点评】在多次相遇问题中，相遇次数与共行全程的个数的关系为：第一次相遇共行以一个全程，以后每相遇一次就共行两个全程，如相遇次数为N，共行全程的个数＝1+（N﹣1）×2．
6．某人沿着向上移动的自动扶梯从顶部朝底下用了7分30秒，而他沿着自动扶梯从底朝上走到顶部只用了1分30秒．如果此人不走，那么乘着扶梯从底到顶要多少时间？如果停电，那么此人沿扶梯从底走到顶要多少时间？
【考点】L6：分数和百分数应用题（多重条件）．菁优网版权所有
【专题】45A：分数百分数应用题．
【分析】根据题意，把扶梯长度看作单位“1“；某人沿着向上移动的自动扶梯从顶部朝底下用了7分30秒，也就是人的速度﹣扶梯速度＝1÷7.5；他沿着自动扶梯从底朝上走到顶部只用了1分30秒，人的速度+扶梯速度＝1÷1.5；所以，人的速度是（）÷2，扶梯的速度是；如果此人不走，那么乘着扶梯从底到顶，也就是按扶梯的速度走了扶梯长度，用时1；如果停电，那么此人沿扶梯从底走到顶，也就是按照人的速度走了扶梯长度，用时1；然后再进一步解答．
【解答】解：把扶梯长度看作单位“1“；7分30秒＝7.5分，1分30秒＝1.5分；
人的速度﹣扶梯速度＝1÷7.5；
人的速度+扶梯速度＝1÷1.5；
所以，人的速度是（）÷2，扶梯的速度是；
如果人不走，需要1（分）＝3分45秒；
如果停电，人就需要1（分）＝2分30秒．
答：如果此人不走，那么乘着扶梯从底到顶要3分45秒，如果停电，那么此人沿扶梯从底走到顶要2分30秒．
【点评】本题关键是设出扶梯长度，根据流水行船问题，分别求出人的速度与扶梯速度，然后再进一步解答．
7．甲、乙两个圆柱体容器，底面积比为5：3，甲容器水深20厘米，乙容器水深10厘米．再往两个容器中注入同样多的水，使得两个容器中的水深相等．这时水深多少厘米？
【考点】L7：按比例分配．菁优网版权所有
【专题】45C：比和比例应用题．
【分析】此题可利用比例和差倍问题的思想来解答．由于甲乙两个容器的底面积之比是5：3，注入同样多的水，那么高度之比就该是3：5，所以，要使注入后高度相等，那么就要相差20﹣10＝10（厘米）深．那么乙容器就要注入10÷（5﹣3）×5＝25（厘米）所以这时的水深25+10＝35（厘米）．
【解答】解：（20﹣10）÷（5﹣3）×5+10，
＝25+10，
＝35（厘米）；
答：这时水深35厘米．
【点评】此题应利用比例和差倍问题的思想来解答，做题时应认真审题，找出题中的对应量，进而进行分析解答得出结论．
8．A、B两地相距207千米，甲、乙两车8：00同时从A地出发到B地，速度分别为60千米/小时，54千米/小时，丙车8：30从B地出发到A地，速度为48千米/小时．丙车与甲、乙两车距离相等时是几点几分？
【考点】NA：平均数问题．菁优网版权所有
【专题】45G：平均数问题．
【分析】根据题意，丙车与甲、乙两车距离相等时必在它们正中间，而这点正是甲、乙两车平均走过的路程，可以考虑用平均速度来算，（60+54）÷2＝57（千米/小时），即甲、乙两车平均速度57千米/小时；（207﹣57×0.5）÷（57+48）＝1.7（小时），8：30后1.7小时是10：12，丙车与甲乙两车距离相等，说明丙车行到了两车的中点上．我们假设丁也和甲乙两人同时从A地出发到B地，以（60+54）÷2＝57（千米/小时）的速度行驶，丁车就一直在甲乙两车的中点上．丙车和丁车相遇时，丙车就与甲乙两车距离相等了．丁车先行了57×30÷60＝28.5千米，又经过了（207﹣28.5）÷（57+48）＝1.7小时和丙车相遇，即丙车于10：12，与甲乙两车距离相等．
【解答】解：甲、乙两车平均速度是：
（60+54）÷2＝57（千米/小时）
（207﹣57×0.5）÷（57+48）
＝（207﹣28.5）÷105
＝178.5÷105
＝1.7（小时）
8：30后1.7小时（102分钟）是10：12
丙车与甲乙两车距离相等，说明丙车行到了两车的中点上．
我们假设丁也和甲乙两人同时从A地出发到B地，以（60+54）÷2＝57（千米/小时）的速度行驶，丁车就一直在甲乙两车的中点上．
丙车和丁车相遇时，丙车就与甲乙两车距离相等了．丁车先行了：
57×30÷60＝28.5（千米），
又经过了（207﹣28.5）÷（57+48）＝1.7（小时）和丙车相遇，
即丙车于10：12与甲乙两车距离相等．
答：丙车与甲、乙两车距离相等时是10点12分．
【点评】此题主要考查了平均数的含义和应用，考查了逻辑推理能力的应用，以及行程问题，要熟练掌握．
9．一个长方形的周长是130厘米，如果它的宽增加，长减少，就得到一个相同周长的新长方形．求原长方形的面积．
【考点】L7：按比例分配．菁优网版权所有
【专题】45C：比和比例应用题．
【分析】由这个长方形的“宽增加，长减少”可知，这个长形长与宽的比是8：5．用这个长方形的周长除以2就是长、宽之和，把长、宽之和平均分成（8+5）份，先求出1份是多少，再分别求出8份（长方形的长）、5份（长方形的宽）各是多少，然后根据长方形面积计算公式“S＝ab”即可解答．
【解答】解：因为宽增加，长减少，就得到一个相同周长的新长方形
所以宽的等于长的，即这个长方形原来的长与宽的比是8：5
130÷2÷（8+5）
＝65÷13
＝5（厘米）
5×8＝40（厘米）
5×5＝25（厘米）
40×25＝1000（平方厘米）
答：原长方形的面积是1000平方厘米．
【点评】解答此题的关键，也难点是求出这个长形原定长与宽的比，然后再根据按比例分配分别求出这个长方形原来的长、宽．
10．有一长方形，它的长与宽的比是5：2，对角线长29厘米，求这个长方形的面积．
【考点】L7：按比例分配．菁优网版权所有
【专题】45C：比和比例应用题．
【分析】如图，本题中的长方形实际是由两个直角边比为5：2，斜边长为29厘米的两个直角三角形组成的，所以可以通过一个由四个直角边比为5：2，斜边长为29厘米的直角三角形组成边长为29厘米的正方形来分析：正方形的面积为（29×29）厘米．三角形的直角边比为5：2，直角三角形的长直角边为5份，短宽直角边为2份，中间正方形的边长就是（5﹣2）份，即3份．那么四个直角三角形的面积和中间正方形的比就为：（5×2÷2×4）：（3×3）＝20：9，即阴影部分的面积占这个正方形面积的，根据分数乘法的意义就能求出阴影部分的面积，继而求出原长方形的面积．
【解答】解：如图

方形的面积为：29×29＝841（平方厘米）
由于由两个直角边比为5：2，5﹣2＝3
所以图中阴影部分和中间部分的比为：
（5×2÷2×4）：（3×3）＝20：9
即阴影部分面积占正方形面积的
阴影部分的面积为：
841
＝841
＝580（平方厘米）
原正方形实际是由两个这样的三角形组成，所以其面积为：
580÷4×2＝290（平方厘米）
答：这个长方形的面积为290平方厘米．
【点评】解答此题的关键，也难点是通过作图求出四个直角三角形面积占整个图形面积的几分之，进而求出四个三角形面积之和，再求出每个三角形的面积．

考点卡片
1．分数和百分数应用题（多重条件）
【知识点归纳】
下列五种基本类型的解题方法：
1．求：一个数的百分之几是多少？
方法：单位1×对应分率＝比较量
2．已知一个数的百分之几是多少，求这个数．
方法：比较量÷对应分率＝单位1；
或设这个数（单位1）为X，用方程解．
3．条件中有“比 多（少）百分之几（几分之几）”，
求：标准量（单位1）或比较量？
方法：（1）单位1±单位1×n%＝比较量
（2）单位1×（1±n%）＝比较量
（3）比较量÷（1±n%）＝单位1
找准单位一是关键．单位一是已经条件的用方法（1）（2），未知的用方法（3），设标准量为X．
4．求：“比 多（少）百分之几（几分之几）”？
方法：相差数÷单位1
5．“是（占、相当于） 的百分之几（几分之几）”
方法：比较量÷单位1
（提示：在出油率、发芽率、正确率、成活率、出勤率、含盐率等题目中，单位“1”是总数，即整体量．

【命题方向】
常考题型：
例1：甲、乙、丙三人合修一堵围墙，甲、乙合修6天完成了，乙、丙合修2天完成了余下工程的，剩下的再由甲、乙、丙三人合修5天完成，现在领工资共18000元，依工作量分配，甲、乙、丙应各得多少元？
分析：要求每人分得的钱数，因为按各人所完成的工作量的多少来合理分配工资，所以必须知道每人完成的工作量．要求每人完成的工作量，就要知道每人的工作效率；由题意得甲、乙、丙工作效率之和为：[1（1）]÷5，乙、丙合修2天修好余下的，乙、丙工作效率之和为：（1）2，甲的工作效率为：，同理可求出乙、丙的工作效率．然后求出各自的工作量．
解：甲分得的钱为：18000×{[1（1）]÷5﹣（1）2}×（6+5），
＝18000×{[1]÷52}×11，
＝18000×{}×11，
＝3300（元）；
丙分得的钱为：18000×{[1（1）]÷56}×（2+5），
＝18000×{[1]÷5}×（2+5），
＝18000×{}×（2+5），
＝180007，
＝5600（元）；
乙分得的钱为：18000﹣3300﹣5600＝9100（元）．
答：甲、乙、丙分别应得3300元、9100元、5600元．
点评：此题属于工程问题，解答此类题的关键是要知道工作量、工作时间、工作效率之间的关系．工作效率＝工作量÷工作时间．
2．按比例分配
【知识点归纳】
1．按比例分配定义：
在工农业生产和日常生活中，常常需要把一个数量按照一定的比来进行分配．这种分配方法通常叫做按比例分配．
2．解题方法：
（1）求总份数
（2）想各部分占总数量的几分之几
（3）用分数乘法求出各部分是多少．

【命题方向】
经典题型：
例1：一堆由苹果核梨子组成的水果，苹果的质量和梨子的质量之比是4：3，现加入8斤梨子，水果的总质量变为64斤，求加入梨子后，水果中苹果和梨子的质量之比为多少？
分析：根据题意，加入8斤梨子，水果总质量变为64斤，则原来这堆水果有64﹣8＝56斤，已知苹果的质量和梨子的质量之比是4：3，所以1份为：56÷（4+3）＝8斤，苹果：8×4＝32斤，梨子：8×3+8＝32斤，进而求出求加入梨子后，水果中苹果和梨子的质量之比即可．
解：1份量：（64﹣8）÷（4+3）＝8（斤）
苹果：8×4＝32（斤）
梨子：8×3+8＝32（斤）
苹果：梨子＝32：32＝1：1．
答：加入梨子后，水果中苹果和梨子的质量之比为1：1．
点评：此题考查的目的是理解掌握按比例分配应用题的结构特征及解答规律．
3．相遇问题
【知识点归纳】
两个运动物体作相向运动或在环形跑道上作背向运动，随着时间的发展，必然面对面地相遇，这类问题叫做相遇问题．它的特点是两个运动物体共同走完整个路程．　　小学数学教材中的行程问题，一般是指相遇问题．
相遇问题根据数量关系可分成三种类型：求路程，求相遇时间，求速度．
它们的基本关系式如下：
总路程＝（甲速+乙速）×相遇时间
相遇时间＝总路程÷（甲速+乙速）
另一个速度＝甲乙速度和﹣已知的一个速度．

【命题方向】
常考题型：
例1：根据算式选择问题．甲、乙两人同时从两地相向而行，甲骑车每小时行15千米，乙步行每小时行6千米，经过4小时两人相遇．
（1）甲、乙两人每小时共行多少千米？
（2）两地之间的路程是多少千米？
（3）相遇时，甲行了多少千米？
分析：（1）根据甲乙两人的速度求和，求出甲、乙两人每小时共行多少千米即可；
（2）根据速度×时间＝路程，用甲乙的速度之和乘以相遇用的时间，求出两地之间的路程是多少千米即可；
（3）根据速度×时间＝路程，用甲的速度乘以骑车的时间，求出相遇时甲行了多少千米即可．
解：（1）15+6＝21（千米）
答：甲、乙两人每小时共行21千米．

（2）21×4＝84（千米）
答：两地之间的路程是84千米．

（3）15×4＝60（千米）
答：相遇时，甲行了60千米．
点评：此题主要考查了行程问题中速度、时间和路程的关系：速度×时间＝路程，路程÷时间＝速度，路程÷速度＝时间，要熟练掌握．
4．流水行船问题
【知识点归纳】
船在江河里航行时，除了本身的前进速度外，还受到流水的推送或顶逆，在这种情况下计算船只的航行速度、时间和所行的路程，叫做流水行船问题．
流水行船问题，是行程问题中的一种，因此行程问题中三个量（速度、时间、路程）的关系在这里将要反复用到．此外，流水行船问题还有以下两个基本公式：
顺水速度＝船速+水速，（1）
逆水速度＝船速﹣水速．（2）
这里，船速是指船本身的速度，也就是在静水中单位时间里所走过的路程．水速，是指水在单位时间里流过的路程．顺水速度和逆水速度分别指顺流航行时和逆流航行时船在单位时间里所行的路程．
根据加减法互为逆运算的关系，由公式（l）可以得到：
水速＝顺水速度﹣船速，
船速＝顺水速度﹣水速．
由公式（2）可以得到：
水速＝船速﹣逆水速度，
船速＝逆水速度+水速．
这就是说，只要知道了船在静水中的速度，船的实际速度和水速这三个量中的任意两个，就可以求出第三个量．　　
另外，已知船的逆水速度和顺水速度，根据公式（1）和公式（2），相加和相减就可以得到：
船速＝（顺水速度+逆水速度）÷2，
水速＝（顺水速度﹣逆水速度）÷2．

【命题方向】
经典题型：
例1：一艘船在河里航行，顺流而下每小时行16千米．已知这艘船下行3小时恰好与上行4小时所行的路程相等，求静水船速和水速？
分析：根据题干，可以求得船逆水速度为：16×3÷4＝12千米/时，船速是指的静水速＝（顺水速+逆水速）÷2，水速＝（顺流速度﹣逆流速度）÷2，由此代入数据即可解决问题．
解：逆水速度：16×3÷4＝12（千米/时），
则船速：（12+16）÷2＝14（千米/时），
水速：（16﹣12）÷2＝2（千米/时），
答：船速为14千米/时；水速为2千米/时．
点评：解答此题的关键是，根据船速，水速，船逆水的速度，船顺水的速度，几者之间的关系，找出对应量，列式解答即可．

例2：一位少年短跑选手，顺风跑180米用了20秒，在同样的风速下，逆风跑140米也用了20秒．问：在无风的时候，他跑200米要用多少秒？
分析：根据顺风跑180米用了20秒钟，求出顺风时每秒的速度；再根据逆风跑140米，也用了20秒钟，求出逆风时每秒的速度；用二者之和除以2，求出无风时每秒的速度；要求跑200米要用多少秒，用200除以无风时的速度即可．
解：顺风时每秒的速度：
180÷20＝9（米），
逆风时每秒的速度：
140÷20＝7（米），
无风时每秒的速度：
（9+7）8（米/秒）
无风时跑200米需要200÷8＝25秒．
答：无风时跑200米需要25秒．
点评：本题考查了流水行船问题．解答此题的关键是根据（逆风速+顺风速）÷2＝无风速，求出无风时每秒的速度．
5．多次相遇问题
【知识点归纳】
多次相遇的基本公式和方法计算：
距离、速度、时间这三个量之间的关系，可以用下面的公式来表示：距离＝速度×时间．显然，知道其中的两个量，就可以求出第三个量．
还可以发现：当时间相同时，路程和速度成正比；当速度相同时，路程和时间成正比；当路程相同时，速度和时间成反比．也就是说：设甲、乙两个人，所走的路程分别为S甲、S乙；速度分别为V甲、V乙；所用时间分别为T甲、T乙时，由于S甲＝V甲×T甲，S乙＝V乙×T乙，有如下关系：
（1）当时间相同即T甲＝T乙时，有S甲：S乙＝V甲：V乙；
（2）当速度相同即V甲＝V乙时，有S甲：S乙＝T甲：T乙；
（3）当路程相同即S甲＝S乙时，有V甲：V乙＝T乙：T甲．
在多次相遇、追及问题中，用比例方法来解往往能收到很好的效果．

【命题方向】
经典题型：
例1：如图：A、B是圆直径的两端，小张在A点，小王在B点，同时出发反向而行，他们在C点第一次相遇，C点离A点100米，在D点第二次相遇，D点离A点有60米，求这个图的周长．

分析：由题意可知，第一次相遇于C点，两人合走了半个周长．从C点开始到第二次相遇于D点，两人合起来走了一个周长．因为两速度和一定，所以第一段所需时间是第二段的一半．对于小王而言，他第一段所走的行程是第二段的一半．则C，D的关系有如下两种情况：

对于第一种情况，小王第一段所走的行程为BC，第二段所走的为CD，则CD＝2BC，所以CD＝AC+AD＝160米，则BC＝160÷2＝80米，所以半圆周长是100+80＝180米，圆的周长是180×2＝360米．
对于第二种情况，小王所走的行程为BC，第二段所走的为CD，同样有CD＝2BC，CD＝AC﹣AD＝40米，则BC＝40÷2＝20米，则半圆周长是100+20＝120米，圆的周长是120×2＝240米．
即这个圆的周长为360米或240米．

解：由题可知，C，D的关系有如下两种情况：

对于第一种情况，CD＝2BC，所以CD＝AC+AD＝160米，则BC＝160÷2＝80米，
所以半圆周长是100+80＝180（米），
圆的周长是180×2＝360（米）．
对于第二种情况，CD＝2BC，CD＝AC﹣AD＝40米，则BC＝40÷2＝20米，
则半圆周长是100+20＝120（米），
圆的周长是120×2＝240（米）．
即这个圆的周长为360米或240米．
点评：完成本题要细心，注意分析所给条件，从两种情况进行分析解答．

6．牛吃草问题
【知识点归纳】
牛顿问题的难点在于草每天都在不断生长，草的数量都在不断变化．解答这类题目的关键是想办法从变化中找出不变量，我们可以把总草量看成两部分的和，即原有的草量加新长的草量．显而易见，原有的草量是一定的，新长的草量虽然在变，但如果是匀速生长，我们也能找到另一个不变量﹣﹣每天（每周）新长出的草的数量．
基本思路：假设每头牛吃草的速度为“1”份，根据两次不同的吃法，求出其中的总草量的差；再找出造成这种差异的原因，即可确定草的生长速度和总草量．
　　基本特点：原草量和新草生长速度是不变的；
　　关键问题：确定两个不变的量．
　　基本公式：
　　生长量＝（较长时间×长时间牛头数﹣较短时间×短时间牛头数）÷（长时间﹣短时间）；
　　原有草量＝较长时间×长时间牛头数﹣较长时间×生长量；
　　牛吃草问题常用到四个基本公式：
　　牛吃草问题又称为消长问题，是17世纪英国伟大的科学家牛顿提出来的．典型牛吃草问题的条件是假设草的生长速度固定不变，不同头数的牛吃光同一片草地所需的天数各不相同，求若干头牛吃这片草地可以吃多少天．由于吃的天数不同，草又是天天在生长的，所以草的存量随着吃的天数不断地变化．解决牛吃草问题常用到四个基本公式，分别是：
　　（1）草的生长速度＝（对应的牛头数×吃的较多天数﹣相应的牛头数×吃的较少天数）÷（吃的较多天数﹣吃的较少天数）；
　　（2）原有草量＝牛头数×吃的天数﹣草的生长速度×吃的天数；
　　（3）吃的天数＝原有草量÷（牛头数﹣草的生长速度）；
　　（4）牛头数＝原有草量÷吃的天数+草的生长速度．
　　这四个公式是解决消长问题的基础．
　　由于牛在吃草的过程中，草是不断生长的，所以解决消长问题的重点是要想办法从变化中找到不变量．牧场上原有的草是不变的，新长的草虽然在变化，但由于是匀速生长，所以每天新长出的草量应该是不变的．正是由于这个不变量，才能够导出上面的四个基本公式．

【命题方向】
经典题型：
例1：牧场上一片青草，每天牧草都匀速生长．这片牧草可供10头牛吃20天，或者可供15头牛吃10天．问：可供25头牛吃几天？
分析：这类题难就难在牧场上草的数量每天都在发生变化，我们要想办法从变化当中找到不变的量．总草量可以分为牧场上原有的草和新生长出来的草两部分．牧场上原有的草是不变的，新长出的草虽然在变化，因为是匀速生长，所以这片草地每天新长出的草的数量相同，即每天新长出的草是不变的．即：
（1）每天新长出的草量是通过已知的两种不同情况吃掉的总草量的差及吃的天数的差计算出来的．
（2）在已知的两种情况中，任选一种，假定其中几头牛专吃新长出的草，由剩下的牛吃原有的草，根据吃的天数可以计算出原有的草量．
（3）在所求的问题中，让几头牛专吃新长出的草，其余的牛吃原有的草，根据原有的草量可以计算出能吃几天．
解：设1头牛1天吃的草为“1“，由条件可知，前后两次青草的问题相差为10×20﹣15×10＝50．
为什么会多出这50呢？这是第二次比第一次多的那（20﹣10）＝10天生长出来的，所以每天生长的青草为50÷10＝5．
现从另一个角度去理解，这个牧场每天生长的青草正好可以满足5头牛吃．由此，我们可以把每次来吃草的牛分为两组，一组是抽出的15头牛来吃当天长出的青草，另一组来吃是原来牧场上的青草，那么在这批牛开始吃草之前，牧场上有多少青草呢？（10﹣5）×20＝100．
那么：第一次吃草量20×10＝200，第二次吃草量，15×10＝150；
每天生长草量50÷10＝5．
原有草量（10﹣5）×20＝100或200﹣5×20＝100．
25头牛分两组，5头去吃生长的草，其余20头去吃原有的草那么100÷20＝5（天）．
答：可供25头牛吃5天．
点评：解题关键是弄清楚已知条件，进行对比分析，从而求出每日新长草的数量，再求出草地里原有草的数量，进而解答题中所求的问题．
这类问题的基本数量关系是：
1、（牛的头数×吃草较多的天数﹣牛头数×吃草较少的天数）÷（吃的较多的天数﹣吃的较少的天数）＝草地每天新长草量．
2、牛的头数×吃草天数﹣每天新长量×吃草天数＝草地原有的草．
7．平均数问题
【知识点归纳】
求平均数问题是小学学习阶段经常接触的一类典型应用题，如“求一个班级学生的平均年龄、平均身高、平均分数…”
平均数问题包括算术平均数、加权平均数、连续数和求平均数、调和平均数和基准数求平均数．
解答这类应用题时，主要是弄清楚总数、份数、一份数三量之间的关系，根据总数除以它相对应的份数，求出一份数，即平均数．

【命题方向】
常考题型：
例1：在抗震救灾的日子里，解放军张叔叔前4天在一线共奋战了74小时，后3天平均每天在一线工作15小时，这一周，张叔叔平均每天在一线工作多少小时？
分析：根据题意可以求出张叔叔在7天一共工作了几小时，用总的小时数除以总天数，就是要求的答案．
解：（74+15×3）÷（4+3），
＝（74+45）÷7，
＝119÷7，
＝17（小时）；
答：这一周，张叔叔平均每天在一线工作17小时．
点评：此题是典型的解答平均数应用题，关键在于确定“总数量”以及和总数量对应的总份数．

例2：甲、乙、丙三种糖果每千克分别是14元、10元、8元．现把甲种糖果4千克，乙种糖果3千克，丙种糖果5千克混合在一起，问买2千克这种混合糖果需多少元？
分析：用三种糖混合糖的总钱数除以总千克数就是三种糖混合后的平均价，再用平均价乘2千克就是要求的答案．
解：甲、乙、丙三种糖混合后的平均价是：
（14×4+10×3+8×5）÷（4+3+5），
＝126÷12，
＝10.5（元），
买2千克混合糖果的价钱是：
10.5×2＝21（元），
答：买2千克这种混合糖果需21元．
点评：解答此题的关键是根据平均数的意义，先求出甲、乙、丙三种糖混合后的平均价，那2千克混合糖的价钱即可求出．
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日期：2019/5/6 9:12:25；用户：jiangwenxiu；邮箱：jiangwenxiu@xyh.com；学号：26799902