人教版新课标A选修1-13.3导数在研究函数中的应用教学设计

甘肃省金昌市第一中学2014年高中数学 3.3.3函数的最大（小） 值与导数教案 新人教A版选修1-1

（包括端点）处的函数中的最大（或最小）值必有的充分条件；

⒉使学生掌握用导数求函数的极值及最值的方法和步骤

教学重点：利用导数求函数的最大值和最小值的方法．

教学难点：函数的最大值、最小值与函数的极大值和极小值的区别与联系．

教学过程：

一．创设情景

我们知道，极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质．也就是说，如果是函数的极大（小）值点，那么在点附近找不到比更大（小）的值．但是，在解决实际问题或研究函数的性质时，我们更关心函数在某个区间上，哪个至最大，哪个值最小．如果是函数的最大（小）值，那么不小（大）于函数在相应区间上的所有函数值．

二．新课讲授

观察图中一个定义在闭区间上的函数的图象．图中与是极小值，是极大值．函数在上的最大值是，最小值是．

1．结论：一般地，在闭区间上函数的图像是一条连续不断的曲线，那么函数在上必有最大值与最小值．

说明：⑴如果在某一区间上函数的图像是一条连续不断的曲线，则称函数在这个区间上连续．（可以不给学生讲）

⑵给定函数的区间必须是闭区间，在开区间内连续的函数不一定有最大值与最小值．如函数在内连续，但没有最大值与最小值；

⑶在闭区间上的每一点必须连续，即函数图像没有间断，

⑷函数在闭区间上连续，是在闭区间上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．（可以不给学生讲）

2．“最值”与“极值”的区别和联系

⑴最值”是整体概念，是比较整个定义域内的函数值得出的，具有绝对性；而“极值”是个局部概念，是比较极值点附近函数值得出的，具有相对性．

⑵从个数上看，一个函数在其定义域上的最值是唯一的；而极值不唯一；

⑶函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个

⑷极值只能在定义域内部取得，而最值可以在区间的端点处取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值．

3．利用导数求函数的最值步骤:

由上面函数的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．

一般地，求函数在上的最大值与最小值的步骤如下：

⑴求在内的极值；

⑵将的各极值与端点处的函数值、比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值，得出函数在上的最值

三．典例分析

例1．（课本例5）求在的最大值与最小值 

解： 由例4可知，在上，当时，有极小值，并且极小值为，又由于，

因此，函数在的最大值是4，最小值是．

上述结论可以从函数在上的图象得到直观验证．

例2．求函数在区间上的最大值与最小值

解：先求导数，得

令＝0即解得

导数的正负以及，如下表

从上表知，当时，函数有最大值13，当时，函数有最小值4

例3．已知,∈(0,+∞).是否存在实数,使同时满足下列两个条件：（1）)在（0，1）上是减函数，在［1，+∞)上是增函数；（2）的最小值是1，若存在，求出，若不存在，说明理由.

解：设g(x)=

∵f(x)在（0，1）上是减函数，在［1，+∞)上是增函数

∴g(x)在（0，1）上是减函数，在［1，+∞)上是增函数.

∴    ∴   解得

经检验，a=1,b=1时，f(x)满足题设的两个条件.

四．课堂练习

1．下列说法正确的是(    )

A.函数的极大值就是函数的最大值 B.函数的极小值就是函数的最小值

C.函数的最值一定是极值         D.在闭区间上的连续函数一定存在最值

2．函数y=f(x)在区间［a,b］上的最大值是M，最小值是m,若M=m,则f′(x) (   )

A.等于0   B.大于0    C.小于0   D.以上都有可能

3．函数y=，在［－1，1］上的最小值为(    )

A.0    B.－2    C.－1    D.

4．求函数在区间上的最大值与最小值．

5．课本   练习

五．回顾总结

1．函数在闭区间上的最值点必在下列各种点之中：导数等于零的点，导数不存在的点，区间端点；

2．函数在闭区间上连续，是在闭区间上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件；

3．闭区间上的连续函数一定有最值；开区间内的可导函数不一定有最值，若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值  

4．利用导数求函数的最值方法．