试卷 2020-2021学年湖北省随州市随县部分学校九年级（下）第二次月考数学试卷 解析版

这是一份试卷 2020-2021学年湖北省随州市随县部分学校九年级（下）第二次月考数学试卷 解析版，共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．（3分）如图，直线AB∥CD，∠B＝50°，∠D＝20°，则∠E的度数是（ ）
A．20°B．30°C．50°D．70°
3．（3分）疫情期间，某口罩厂日生产量从原来的360万只增加到现在的480万只．把现在的口罩日生产量用科学记数法表示为（ ）
A．3.6×106B．3.6×107C．4.8×106D．4.8×107
4．（3分）某校男子篮球队10名队员进行定点投篮练习，每人投篮10次，他们投中的次数统计如表：
则这些队员投中次数的众数、中位数和平均数分别为（ ）
A．5，6，6B．2，6，6C．5，5，6D．5，6，5
5．（3分）如图，用尺规作图作∠AOC＝∠AOB的第一步是以点O为圆心，以任意长为半径画弧①，分别交OA、OB于点E、F，那么第二步的作图痕迹②的作法是（ ）
A．以点F为圆心，OE长为半径画弧
B．以点F为圆心，EF长为半径画弧
C．以点E为圆心，OE长为半径画弧
D．以点E为圆心，EF长为半径画弧
6．（3分）随州市尚市“桃花节”观赏人数逐年增加，据有关部门统计，2014年约为20万人次，2016年约为28.8万人次，设观赏人数年均增长率为x，则下列方程中正确的是（ ）
A．20（1+2x）＝28.8
B．28.8（1+x）2＝20
C．20（1+x）2＝28.8
D．20+20（1+x）+20（1+x）2＝28.8
7．（3分）不等式组的解集表示在数轴上，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
8．（3分）关于x的方程x2+2（m﹣1）x+m2﹣m＝0有两个实数根α，β，且α2+β2＝12，那么m的值为（ ）
A．﹣1B．﹣4C．﹣4或1D．﹣1或4
9．（3分）如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的表面积为（ ）
A．2πB．3πC．4πD．5π
10．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，下列结论：（1）4a+b＝0；（2）9a+c＞3b；（3）8a+7b+2c＞0；（4）若点A（﹣3，y1）、点B（﹣，y2）、点C（，y3）在该函数图象上，则y1＜y3＜y2；（5）若方程a（x+1）（x﹣5）＝﹣3的两根为x1和x2，且x1＜x2，则x1＜﹣1＜5＜x2．其中正确的结论有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，请把答案填在题中的横线上）
11．（3分）计算：﹣|2﹣2|+2tan45°＝ ．
12．（3分）如图，已知AB是⊙O的弦，半径OC垂直AB，点D是⊙O上一点，且点D与点C位于弦AB两侧，连接AD、CD、OB，若∠BOC＝70°，则∠ADC＝ 度．
13．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，BD，AE交于点O，若随机向平行四边形ABCD内投针，则针尖落在图中阴影部分的概率为 ．
14．（3分）在公园内，牡丹按正方形种植，在它的周围种植芍药，如图反映了牡丹的列数（n）和芍药的数量规律，那么当n＝11时，芍药的数量为 ．
15．（3分）如图，海中有一小岛A，它周围10.5海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行．在B点测得小岛A在北偏东60°方向上，航行12海里到达D点，这时测得小岛A在北偏东30°方向上．如果渔船不改变航线继续向东航行，那么渔船还需航行 海里就开始有触礁的危险．
16．（3分）如图，在矩形ABCD中，E为AB的中点，P为BC边上的任意一点，把△PBE沿PE折叠，得到△PFE，连接CF．若AB＝10，BC＝12，则CF的最小值为 ．
三、解答题（本大题共8小题，共72分，解答应写出必要的演算步骤、文字说明或证明）
17．（6分）先化简：（﹣）÷，再从不等式﹣2≤x＜3中选取一个合适的整数，代入求值．
18．（8分）如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，连接ED并延长至点F，使DF＝DE，连接AF，BF，BE．
（1）求证：△ADE≌△BDF．
（2）若∠ABE＝∠CBE，求证：四边形AFBE是矩形．
19．（9分）已知一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝的图象交于A（﹣3，2）、B（1，n）两点．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求△AOB的面积；
（3）点P在x轴上，当△PAO为等腰三角形时，直接写出点P的坐标．
20．（7分）“校园安全”越来越受到人们的关注，我市某中学对部分学生就校园安全知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图．根据图中信息回答下列问题：
（1）接受问卷调查的学生共有 人，条形统计图中m的值为 ；
（2）扇形统计图中“了解很少”部分所对应扇形的圆心角的度数为 ；
（3）若该中学共有学生1800人，根据上述调查结果，可以估计出该学校学生中对校园安全知识达到“非常了解”和“基本了解”程度的总人数为 人；
（4）若从对校园安全知识达到“非常了解”程度的2名男生和2名女生中随机抽取2人参加校园安全知识竞赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．
21．（8分）如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，CN为⊙O的切线，OM⊥AB于点O，分别交AC、CN于D、M两点．
（1）求证：MD＝MC；
（2）若⊙O的半径为5，AC＝4，求MC的长．
22．（10分）某出租公司有若干辆同一型号的货车对外出租，每辆货车的日租金实行淡季、旺季两种价格标准，旺季每辆货车的日租金比淡季上涨．据统计，淡季该公司平均每天有10辆货车未出租，日租金总收入为1500元；旺季所有的货车每天能全部租出，日租金总收入为4000元．
（1）该出租公司这批对外出租的货车共有多少辆？淡季每辆货车的日租金多少元？
（2）经市场调查发现，在旺季如果每辆货车的日租金每上涨20元，每天租出去的货车就会减少1辆，不考虑其它因素，每辆货车的日租金上涨多少元时，该出租公司的日租金总收入最高？
23．（12分）若一个两位数十位、个位上的数字分别为m，n，我们可将这个两位数记为，易知＝10m+n；同理，一个三位数、四位数等均可以用此记法，如＝100a+10b+c．
【基础训练】
（1）解方程填空：
①若+＝45，则x＝ ；
②若﹣＝26，则y＝ ；
③若+＝，则t＝ ；
【能力提升】
（2）交换任意一个两位数的个位数字与十位数字，可得到一个新数，则+一定能被 整除，﹣一定能被 整除，•﹣mn一定能被 整除；（请从大于5的整数中选择合适的数填空）
【探索发现】
（3）北京时间2019年4月10日21时，人类拍摄的首张黑洞照片问世，黑洞是一种引力极大的天体，连光都逃脱不了它的束缚．数学中也存在有趣的黑洞现象：任选一个三位数，要求个、十、百位的数字各不相同，把这个三位数的三个数字按大小重新排列，得出一个最大的数和一个最小的数，用得出的最大的数减去最小的数得到一个新数（例如若选的数为325，则用532﹣235＝297），再将这个新数按上述方式重新排列，再相减，像这样运算若干次后一定会得到同一个重复出现的数，这个数称为“卡普雷卡尔黑洞数”．
①该“卡普雷卡尔黑洞数”为 ；
②设任选的三位数为（不妨设a＞b＞c），试说明其均可产生该黑洞数．
24．（12分）如图所示，已知抛物线y＝a（x+3）（x﹣1）（a≠0），与x轴从左至右依次相交于A、B两点，与y轴相交于点C，经过点A的直线y＝﹣x+b与抛物线的另一个交点为D．
（1）若点D的横坐标为2，求抛物线的函数解析式；
（2）若在第三象限内的抛物线上有点P，使得以A、B、P为顶点的三角形与△ABC相似，求点P的坐标；
（3）在（1）的条件下，设点E是线段AD上的一点（不含端点），连接BE．一动点Q从点B出发，沿线段BE以每秒1个单位的速度运动到点E，再沿线段ED以每秒个单位的速度运动到点D后停止，问当点E的坐标是多少时，点Q在整个运动过程中所用时间最少？
2020-2021学年湖北省随州市随县部分学校九年级（下）第二次月考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题10个小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中，只有一个是正确答案。）
1．（3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐个判断即可．
【解答】解：既是轴对称图形，又是中心对称图形的图形是第一个图形和第三个图形，共2个，
故选：B．
2．（3分）如图，直线AB∥CD，∠B＝50°，∠D＝20°，则∠E的度数是（ ）
A．20°B．30°C．50°D．70°
【分析】根据平行线的性质，得出∠BMD＝∠B＝50°，再根据∠BMD是△CDE的外角，即可得出∠E．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠BMD＝∠B＝50°，
又∵∠BMD是△CDE的外角，
∴∠E＝∠BMD﹣∠D＝50°﹣20°＝30°．
故选：B．
3．（3分）疫情期间，某口罩厂日生产量从原来的360万只增加到现在的480万只．把现在的口罩日生产量用科学记数法表示为（ ）
A．3.6×106B．3.6×107C．4.8×106D．4.8×107
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：480万＝480×104＝4.8×106．
故选：C．
4．（3分）某校男子篮球队10名队员进行定点投篮练习，每人投篮10次，他们投中的次数统计如表：
则这些队员投中次数的众数、中位数和平均数分别为（ ）
A．5，6，6B．2，6，6C．5，5，6D．5，6，5
【分析】众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个；找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数；平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．
【解答】解：在这一组数据中5是出现次数最多的，故众数是5；
处于中间位置的两个数的平均数是（6+6）÷2＝6，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是6．
平均数是：（3+15+12+14+16）÷10＝6，
所以答案为：5、6、6，
故选：A．
5．（3分）如图，用尺规作图作∠AOC＝∠AOB的第一步是以点O为圆心，以任意长为半径画弧①，分别交OA、OB于点E、F，那么第二步的作图痕迹②的作法是（ ）
A．以点F为圆心，OE长为半径画弧
B．以点F为圆心，EF长为半径画弧
C．以点E为圆心，OE长为半径画弧
D．以点E为圆心，EF长为半径画弧
【分析】根据作一个角等于已知角的作法即可得出结论．
【解答】解：用尺规作图作∠AOC＝∠AOB的第一步是以点O为圆心，以任意长为半径画弧①，分别交OA、OB于点E、F，
第二步的作图痕迹②的作法是以点E为圆心，EF长为半径画弧．
故选：D．
6．（3分）随州市尚市“桃花节”观赏人数逐年增加，据有关部门统计，2014年约为20万人次，2016年约为28.8万人次，设观赏人数年均增长率为x，则下列方程中正确的是（ ）
A．20（1+2x）＝28.8
B．28.8（1+x）2＝20
C．20（1+x）2＝28.8
D．20+20（1+x）+20（1+x）2＝28.8
【分析】设这两年观赏人数年均增长率为x，根据“2014年约为20万人次，2016年约为28.8万人次”，可得出方程．
【解答】解：设观赏人数年均增长率为x，那么依题意得20（1+x）2＝28.8，
故选：C．
7．（3分）不等式组的解集表示在数轴上，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：大小小大中间找确定不等式组的解集，再根据“大于向右，小于向左，包括端点用实心，不包括端点用空心”的原则分析选项可得答案．
【解答】解：解不等式x﹣1≤7﹣x，得：x≤4，
解不等式5x﹣2＞3（x+1），得：x＞，
∴不等式组的解集为：＜x≤4，
故选：A．
8．（3分）关于x的方程x2+2（m﹣1）x+m2﹣m＝0有两个实数根α，β，且α2+β2＝12，那么m的值为（ ）
A．﹣1B．﹣4C．﹣4或1D．﹣1或4
【分析】根据方程的根的判别式，得出m的取值范围，然后根据根与系数的关系可得α+β＝﹣2（m﹣1），α•β＝m2﹣m，
结合α2+β2＝12即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：∵关于x的方程x2+2（m﹣1）x+m2﹣m＝0有两个实数根，
∴△＝[2（m﹣1）]2﹣4×1×（m2﹣m）＝﹣4m+4≥0，
解得：m≤1．
∵关于x的方程x2+2（m﹣1）x+m2﹣m＝0有两个实数根α，β，
∴α+β＝﹣2（m﹣1），α•β＝m2﹣m，
∴α2+β2＝（α+β）2﹣2α•β＝[﹣2（m﹣1）]2﹣2（m2﹣m）＝12，即m2﹣3m﹣4＝0，
解得：m＝﹣1或m＝4（舍去）．
故选：A．
9．（3分）如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的表面积为（ ）
A．2πB．3πC．4πD．5π
【分析】根据主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看所得到的图形，判断出几何体的形状，再根据三视图的数据，求出几何体的表面积即可．
【解答】解：根据三视图可得这个几何体是圆锥，
底面积＝π×12＝π，
侧面积为＝lR＝×2π×3＝3π，
则这个几何体的表面积＝π+3π＝4π；
故选：C．
10．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，下列结论：（1）4a+b＝0；（2）9a+c＞3b；（3）8a+7b+2c＞0；（4）若点A（﹣3，y1）、点B（﹣，y2）、点C（，y3）在该函数图象上，则y1＜y3＜y2；（5）若方程a（x+1）（x﹣5）＝﹣3的两根为x1和x2，且x1＜x2，则x1＜﹣1＜5＜x2．其中正确的结论有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【分析】（1）正确．根据对称轴公式计算即可．
（2）错误，利用x＝﹣3时，y＜0，即可判断．
（3）正确．由图象可知抛物线经过（﹣1，0）和（5，0），列出方程组求出a、b即可判断．
（4）错误．利用函数图象即可判断．
（5）正确．利用二次函数与二次不等式关系即可解决问题．
【解答】解：（1）正确．∵﹣＝2，
∴4a+b＝0．故正确．
（2）错误．∵x＝﹣3时，y＜0，
∴9a﹣3b+c＜0，
∴9a+c＜3b，故（2）错误．
（3）正确．由图象可知抛物线经过（﹣1，0）和（5，0），
∴解得，
∴8a+7b+2c＝8a﹣28a﹣10a＝﹣30a，
∵a＜0，
∴8a+7b+2c＞0，故（3）正确．
（4）错误，∵点A（﹣3，y1）、点B（﹣，y2）、点C（，y3），
∵﹣2＝，2﹣（﹣）＝，
∴＜
∴点C离对称轴的距离近，
∴y3＞y2，
∵a＜0，﹣3＜﹣＜2，
∴y1＜y2
∴y1＜y2＜y3，故（4）错误．
（5）正确．∵a＜0，
∴（x+1）（x﹣5）＝﹣3/a＞0，
即（x+1）（x﹣5）＞0，
故x＜﹣1或x＞5，故（5）正确．
∴正确的有三个，
故选：B．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，请把答案填在题中的横线上）
11．（3分）计算：﹣|2﹣2|+2tan45°＝ 4 ．
【分析】直接利用二次根式的性质结合绝对值的性质以及特殊角的三角函数值分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝2﹣（2﹣2）+2×1
＝2﹣2+2+2
＝4．
故答案为：4．
12．（3分）如图，已知AB是⊙O的弦，半径OC垂直AB，点D是⊙O上一点，且点D与点C位于弦AB两侧，连接AD、CD、OB，若∠BOC＝70°，则∠ADC＝ 35 度．
【分析】首先利用垂径定理证明，＝，推出∠AOC＝∠COB＝70°，可得∠ADC＝AOC＝35°．
【解答】解：如图，连接OA．
∵OC⊥AB，
∴＝，
∴∠AOC＝∠COB＝70°，
∴∠ADC＝AOC＝35°，
故答案为35．
13．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，BD，AE交于点O，若随机向平行四边形ABCD内投针，则针尖落在图中阴影部分的概率为 ．
【分析】利用平行四边形的性质得到BC＝AD，BC∥AD，再证明△BOE∽△DOE，利用相似比得到＝＝＝，则S△AOB＝2S△BOE，S△AOD＝4S△BOE，然后根据针尖落在图中阴影部分的概率＝进行计算．
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴BC＝AD，BC∥AD，
∵E为BC的中点，
∴BE＝AD，
∵BE∥AD，
∴△BOE∽△DOE，
∴＝＝＝，
∴S△AOB＝2S△BOE，S△AOD＝4S△BOE，
∴S△ADB＝6S△BOE，
S四边形ABCD＝12S△BOE，
∴针尖落在图中阴影部分的概率＝＝．
故答案为．
14．（3分）在公园内，牡丹按正方形种植，在它的周围种植芍药，如图反映了牡丹的列数（n）和芍药的数量规律，那么当n＝11时，芍药的数量为 88株 ．
【分析】根据题目中的图形，可以发现其中的规律，从而可以求得当n＝11时的芍药的数量．
【解答】解：由图可得，
当n＝1时，芍药的数量为：4+1×4＝8，
当n＝2时，芍药的数量为：4+3×4＝16，
当n＝3时，芍药的数量为：4+5×4＝24，
当n＝4时，芍药的数量为：4+7×4＝32，
…，
故芍药的数量为：4+4（2n﹣1）＝4+8n﹣4＝8n，
∴当n＝11时，芍药的数量为：8×11＝88（株），
故答案为：88株．
15．（3分）如图，海中有一小岛A，它周围10.5海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行．在B点测得小岛A在北偏东60°方向上，航行12海里到达D点，这时测得小岛A在北偏东30°方向上．如果渔船不改变航线继续向东航行，那么渔船还需航行 4.5 海里就开始有触礁的危险．
【分析】过A作AC⊥BD于点C，求出∠CAD、∠CAB的度数，求出∠BAD和∠ABD，根据等角对等边得出AD＝BD＝12，根据含30度角的直角三角形性质求出CD，根据勾股定理求出AC即可．
【解答】解：只要求出A到BD的最短距离是否在以A为圆心，以10.5海里的圆内或圆上即可，
如图，过A作AC⊥BD于点C，则AC的长是A到BD的最短距离，
∵∠CAD＝30°，∠CAB＝60°，
∴∠BAD＝60°﹣30°＝30°，∠ABD＝90°﹣60°＝30°，
∴∠ABD＝∠BAD，
∴BD＝AD＝12海里，
∵∠CAD＝30°，∠ACD＝90°，
∴CD＝AD＝6海里，
由勾股定理得：AC＝＝6（海里），
如图，设渔船还需航行x海里就开始有触礁的危险，即到达点D′时有触礁的危险，
在直角△AD′C中，由勾股定理得：（6﹣x）2+（6）2＝10.52．
解得x＝4.5．
渔船还需航行4.5海里就开始有触礁的危险．
故答案是：4.5．
16．（3分）如图，在矩形ABCD中，E为AB的中点，P为BC边上的任意一点，把△PBE沿PE折叠，得到△PFE，连接CF．若AB＝10，BC＝12，则CF的最小值为 8 ．
【分析】如图所示点F在以E为圆心EA为半径的圆上运动，当E、F、C共线时时，此时FC的值最小，根据勾股定理求出CE，根据折叠的性质可知BE＝EF＝5，即可求出CF．
【解答】解：如图所示，点F在以E为圆心EA为半径的圆上运动，当E、F、C共线时时，此时CF的值最小，
根据折叠的性质，△EBP≌△EFP，
∴EF⊥PF，EB＝EF，
∵E是AB边的中点，AB＝10，
∴AE＝EF＝5，
∵AD＝BC＝12，
∴CE＝＝＝13，
∴CF＝CE﹣EF＝13﹣5＝8．
故答案为：8．
三、解答题（本大题共8小题，共72分，解答应写出必要的演算步骤、文字说明或证明）
17．（6分）先化简：（﹣）÷，再从不等式﹣2≤x＜3中选取一个合适的整数，代入求值．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，求出x的值，代入计算即可求出值．
【解答】原式＝•
＝•
＝，
由不等式﹣2≤x＜3的整数解为﹣2，﹣1，0，1，2，
其中x＝﹣2，0，1，2时，原式都没有意义，
当x＝﹣1时，原式＝＝﹣1．
18．（8分）如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，连接ED并延长至点F，使DF＝DE，连接AF，BF，BE．
（1）求证：△ADE≌△BDF．
（2）若∠ABE＝∠CBE，求证：四边形AFBE是矩形．
【分析】（1）由SAS即可得出结论；
（2）先证四边形AFBE是平行四边形，再证DE是△ABC的中位线，得DE∥BC，则∠DEB＝∠CBE，然后证DB＝DE，得AB＝EF，即可得出结论．
【解答】证明：（1）∵点D是AB的中点，
∴AD＝BD，
在△ADE和△BDF中，
，
∴△ADE≌△BDF（SAS）；
（2）∵AD＝BD，DF＝DE，
∴四边形AFBE是平行四边形，
∵点D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，
∴∠DEB＝∠CBE，
∵∠ABE＝∠CBE，
∴∠DEB＝∠ABE，
∴DB＝DE，
∴AB＝EF，
∴平行四边形AFBE是矩形．
19．（9分）已知一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝的图象交于A（﹣3，2）、B（1，n）两点．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求△AOB的面积；
（3）点P在x轴上，当△PAO为等腰三角形时，直接写出点P的坐标．
【分析】（1）利用待定系数法求解即可．
（2）如图设直线AB交y轴于C，则C（0，﹣4），根据S△AOB＝S△OCA+S△OCB求解即可．
（3）分三种情形：①AO＝AP，②OA＝OP，③PA＝PO分别求解即可．
【解答】解：（1）∵反比例函数y＝经过点A（﹣3，2），
∴m＝﹣6，
∵点B（1，n）在反比例函数图象上，
∴n＝﹣6．
∴B（1，﹣6），
把A，B的坐标代入y＝kx+b，
则有，
解得，
∴一次函数的解析式为y＝﹣2x﹣4，反比例函数的解析式为y＝﹣．
（2）如图设直线AB交y轴于C，则C（0，﹣4），
∴S△AOB＝S△OCA+S△OCB＝×4×3+×4×1＝8．
（3）由题意OA＝＝，
当AO＝AP时，可得P1（﹣6，0），
当OA＝OP时，可得P2（﹣，0），P4（，0），
当PA＝PO时，过点A作AJ⊥x轴于J．设OP3＝P3A＝x，
在Rt△AJP3中，则有x2＝22+（3﹣x）2，
解得x＝，
∴P3（﹣，0），
综上所述，满足条件的点P的坐标为（﹣6，0）或（﹣，0）或（，0）或（﹣，0）．
20．（7分）“校园安全”越来越受到人们的关注，我市某中学对部分学生就校园安全知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图．根据图中信息回答下列问题：
（1）接受问卷调查的学生共有 60 人，条形统计图中m的值为 10 ；
（2）扇形统计图中“了解很少”部分所对应扇形的圆心角的度数为 96° ；
（3）若该中学共有学生1800人，根据上述调查结果，可以估计出该学校学生中对校园安全知识达到“非常了解”和“基本了解”程度的总人数为 1020 人；
（4）若从对校园安全知识达到“非常了解”程度的2名男生和2名女生中随机抽取2人参加校园安全知识竞赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．
【分析】（1）用“基本了解”的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数；
（2）用360°乘以扇形统计图中“了解很少”部分所占的比例即可；
（3）用总人数1800乘以达到“非常了解”和“基本了解”程度的人数所占的比例即可；
（4）画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出恰好抽到1个男生和1个女生的结果数，然后利用概率公式求解．
【解答】解：（1）接受问卷调查的学生共有30÷50%＝60（人），m＝60﹣4﹣30﹣16＝10；
故答案为：60，10；
（2）扇形统计图中“了解很少”部分所对应扇形的圆心角的度数＝360°×＝96°；
故答案为：96°；
（3）该学校学生中对校园安全知识达到“非常了解”和“基本了解”程度的总人数为：1800×＝1020（人）；
故答案为：1020；
（4）由题意列树状图：
由树状图可知，所有等可能的结果有12 种，恰好抽到1名男生和1名女生的结果有8种，
∴恰好抽到1名男生和1名女生的概率为＝．
21．（8分）如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，CN为⊙O的切线，OM⊥AB于点O，分别交AC、CN于D、M两点．
（1）求证：MD＝MC；
（2）若⊙O的半径为5，AC＝4，求MC的长．
【分析】（1）连接OC，利用切线的性质证明即可；
（2）根据相似三角形的判定和性质以及勾股定理解答即可．
【解答】解：（1）连接OC，
∵CN为⊙O的切线，
∴OC⊥CM，∠OCA+∠ACM＝90°，
∵OM⊥AB，
∴∠OAC+∠ODA＝90°，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∴∠ACM＝∠ODA＝∠CDM，
∴MD＝MC；
（2）由题意可知AB＝5×2＝10，AC＝4，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴BC＝，
∵∠AOD＝∠ACB，∠A＝∠A，
∴△AOD∽△ACB，
∴，即，
可得：OD＝2.5，
设MC＝MD＝x，在Rt△OCM中，由勾股定理得：（x+2.5）2＝x2+52，
解得：x＝，
即MC＝．
22．（10分）某出租公司有若干辆同一型号的货车对外出租，每辆货车的日租金实行淡季、旺季两种价格标准，旺季每辆货车的日租金比淡季上涨．据统计，淡季该公司平均每天有10辆货车未出租，日租金总收入为1500元；旺季所有的货车每天能全部租出，日租金总收入为4000元．
（1）该出租公司这批对外出租的货车共有多少辆？淡季每辆货车的日租金多少元？
（2）经市场调查发现，在旺季如果每辆货车的日租金每上涨20元，每天租出去的货车就会减少1辆，不考虑其它因素，每辆货车的日租金上涨多少元时，该出租公司的日租金总收入最高？
【分析】（1）根据题意可以列出方程，进而求得结论；
（2）根据题意可以求得总收入和上涨价格之间的函数解析式，然后化为顶点式即可解答本题．
【解答】解：（1）该出租公司这批对外出租的货车共有x辆，
根据题意得，，
解得：x＝20，
经检验：x＝20是分式方程的根，
∴1500÷（20﹣10）＝150（元），
答：该出租公司这批对外出租的货车共有20辆，淡季每辆货车的日租金150元；
（2）设每辆货车的日租金上涨a元时，该出租公司的日租金总收入为W元，
根据题意得，W＝[a+150×（1+）]×（20﹣），
∴W＝﹣a2+10a+4000＝﹣（a﹣100）2+4500，
∵﹣＜0，
∴当a＝100时，W有最大值，
答：每辆货车的日租金上涨100元时，该出租公司的日租金总收入最高．
23．（12分）若一个两位数十位、个位上的数字分别为m，n，我们可将这个两位数记为，易知＝10m+n；同理，一个三位数、四位数等均可以用此记法，如＝100a+10b+c．
【基础训练】
（1）解方程填空：
①若+＝45，则x＝ 2 ；
②若﹣＝26，则y＝ 4 ；
③若+＝，则t＝ 7 ；
【能力提升】
（2）交换任意一个两位数的个位数字与十位数字，可得到一个新数，则+一定能被 11 整除，﹣一定能被 9 整除，•﹣mn一定能被 10 整除；（请从大于5的整数中选择合适的数填空）
【探索发现】
（3）北京时间2019年4月10日21时，人类拍摄的首张黑洞照片问世，黑洞是一种引力极大的天体，连光都逃脱不了它的束缚．数学中也存在有趣的黑洞现象：任选一个三位数，要求个、十、百位的数字各不相同，把这个三位数的三个数字按大小重新排列，得出一个最大的数和一个最小的数，用得出的最大的数减去最小的数得到一个新数（例如若选的数为325，则用532﹣235＝297），再将这个新数按上述方式重新排列，再相减，像这样运算若干次后一定会得到同一个重复出现的数，这个数称为“卡普雷卡尔黑洞数”．
①该“卡普雷卡尔黑洞数”为 495 ；
②设任选的三位数为（不妨设a＞b＞c），试说明其均可产生该黑洞数．
【分析】（1）①②③均按定义列出方程求解即可；
（2）按定义式子展开化简即可；
（3）①选取题干中数据，按照定义式子展开，化简到出现循环即可；
②按定义式子化简，注意条件a＞b＞c的应用，化简到出现循环数495即可．
【解答】解：（1）①∵＝10m+n
∴若+＝45，则10×2+x+10x+3＝45
∴x＝2
故答案为：2．
②若﹣＝26，则10×7+y﹣（10y+8）＝26
解得y＝4
故答案为：4．
③由＝100a+10b+c．及四位数的类似公式得
若+＝，则100t+10×9+3+100×5+10t+8＝1000×1+100×3+10t+1
∴100t＝700
∴t＝7
故答案为：7．
（2）∵+＝10m+n+10n+m＝11m+11n＝11（m+n）
∴则+一定能被 11整除
∵﹣＝10m+n﹣（10n+m）＝9m﹣9n＝9（m﹣n）
∴﹣一定能被9整除．
∵•﹣mn＝（10m+n）（10n+m）﹣mn＝100mn+10m2+10n2+mn﹣mn＝10（10mn+m2+n2）
∴•﹣mn一定能被10整除．
故答案为：11；9；10．
（3）①若选的数为325，则用532﹣235＝297，以下按照上述规则继续计算
972﹣279＝693
963﹣369＝594
954﹣459＝495
954﹣459＝495…
故答案为：495．
②当任选的三位数为时，第一次运算后得：100a+10b+c﹣（100c+10b+a）＝99（a﹣c），
结果为99的倍数，由于a＞b＞c，故a≥b+1≥c+2
∴a﹣c≥2，又9≥a＞c≥0，
∴a﹣c＜9
∴a﹣c＝2，3，4，5，6，7，8，
∴第一次运算后可能得到：198，297，396，495，594，693，792，891，
再让这些数字经过运算，分别可以得到：
981﹣189＝792，972﹣279＝693，963﹣369＝594，954﹣459＝495，954﹣459＝495…故都可以得到该黑洞数495．
24．（12分）如图所示，已知抛物线y＝a（x+3）（x﹣1）（a≠0），与x轴从左至右依次相交于A、B两点，与y轴相交于点C，经过点A的直线y＝﹣x+b与抛物线的另一个交点为D．
（1）若点D的横坐标为2，求抛物线的函数解析式；
（2）若在第三象限内的抛物线上有点P，使得以A、B、P为顶点的三角形与△ABC相似，求点P的坐标；
（3）在（1）的条件下，设点E是线段AD上的一点（不含端点），连接BE．一动点Q从点B出发，沿线段BE以每秒1个单位的速度运动到点E，再沿线段ED以每秒个单位的速度运动到点D后停止，问当点E的坐标是多少时，点Q在整个运动过程中所用时间最少？
【分析】（1）根据二次函数的交点式确定点A、B的坐标，进而求出直线AD的解析式，接着求出点D的坐标，将D点坐标代入抛物线解析式确定a的值．
（2）由于没有明确说明相似三角形的对应顶点，因此需要分情况讨论：①当△BPA∽△ABC时；②当△PBA∽△ABC时．
（3）作DM∥x轴交抛物线于M，作DN⊥x轴于N，作EF⊥DM于F，根据正切的定义求出Q的运动时间t＝BE+EF时，t最小即可．
【解答】解：（1）∵y＝a（x+3）（x﹣1），
∴点A的坐标为（﹣3，0）、点B两的坐标为（1，0），
∵直线y＝﹣x+b经过点A，
∴b＝﹣3，
∴y＝﹣x﹣3，
当x＝2时，y＝﹣5，
则点D的坐标为（2，﹣5），
∵点D在抛物线上，
∴a（2+3）（2﹣1）＝﹣5，
解得，a＝﹣，
则抛物线的解析式为y＝﹣（x+3）（x﹣1）＝﹣x2﹣2x+3；
（2）如图1中，设P（m，n），作PH⊥x轴于H．
①当△BPA∽△ABC时，∠BAC＝∠PBA，
∴tan∠BAC＝tan∠PBA，即＝，
即＝．解得n＝﹣a（m﹣1）．
∴，
解得m＝﹣4或1（舍弃），
当m＝﹣4时，n＝5a，
∵＝，即AB2＝AC•PB，
∴AB2＝•，
即42＝•，
解得a＝﹣或（舍弃），
∴P（﹣4，﹣）．
②当△PBA∽△ABC时，∠CBA＝∠PBA，
∴tan∠CBA＝tan∠PBA，即＝，
∴＝，
∴n＝﹣3a（m﹣1），
∴，
解得m＝﹣6或1（舍弃），
当m＝﹣6时，n＝21a，
∵＝，即AB2＝BC•PB＝，
∴42＝•，
∴a＝﹣或（舍弃），
∴P（﹣6，﹣3）．
（3）如图2中，作DM∥x轴交抛物线于M，作DN⊥x轴于N，作EF⊥DM于F，
则tan∠DAN＝＝＝，
∴∠DAN＝60°，
∴∠EDF＝60°，
∴DE＝＝EF，
∴Q的运动时间t＝+＝BE+EF，
∴当BE和EF共线时，t最小，
则BE⊥DM，此时点E坐标（1，﹣4）．
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