高中数学人教版新课标A选修2-21.1变化率与导数教案设计

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这是一份高中数学人教版新课标A选修2-21.1变化率与导数教案设计，共6页。教案主要包含了学情分析，教学目标，教学重点，教学难点，教学过程设计等内容，欢迎下载使用。

§3．1.1 变化率问题

§3．1.2 导数的概念

【学情分析】：

本节的中心任务是形成导数的概念.概念形成划分为两个层次：

1、借助气球膨胀率问题，了解变化率的含义；借助高台跳水问题，明确瞬时速度的含义.

2、以速度模型为出发点，结合其他实例抽象出导数概念，使学生认识到导数就是瞬时变化率，了解导数内涵.

学生对导数概念的理解会有些困难，所以要对课本上的两个问题进行深入的探讨，以便顺利地使学生形成导数的概念。

【教学目标】：

知道了物体的运动规律，用极限来定义物体的瞬时速度，学会求物体的瞬时速度掌握导数的定义.

【教学重点】：

理解掌握物体的瞬时速度的意义和导数的定义.

【教学难点】：

理解掌握物体的瞬时速度的意义和导数的定义.

【教学过程设计】：

教学环节	教学活动	设计意图
问题1 气球膨胀率（一）问题提出	问题1 气球膨胀率我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?  气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是  如果将半径r表示为体积V的函数,那么分析: ，（1）当V从0增加到1时,气球半径增加了气球的平均膨胀率为（2）当V从1增加到2时,气球半径增加了气球的平均膨胀率为可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了．思考：当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少?	为导数概念的引入做铺垫
	问题2 高台跳水在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系h(t)= -4.9t2+6.5t+10.如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态? 思考计算：和的平均速度在这段时间里，；在这段时间里，探究：计算运动员在这段时间里的平均速度，并思考以下问题：（1）运动员在这段时间内使静止的吗？（2）你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？探究过程：如图是函数h(t)= -4.9t2+6.5t+10的图像，结合图形可知，，所以，虽然运动员在这段时间里的平均速度为，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态．
（二）平均变化率概念:	1．上述问题中的变化率可用式子表示, 称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率 2．若设, (这里看作是对于x1的一个“增量”可用x1+代替x2,同样) 3．则平均变化率为思考：观察函数f(x)的图象平均变化率表示什么? （1）一起讨论、分析，得出结果；（2）计算平均变化率的步骤： ①求自变量的增量Δx=x2-x1； ②求函数的增量Δf=f(x2)-f(x1)； ③求平均变化率. 注意：①Δx是一个整体符号，而不是Δ与x相乘； ②x2= x1+Δx； ③Δf=Δy=y2-y1；
三．典例分析	例1．已知函数f(x)=的图象上的一点及临近一点,则．解：， ∴ 例2．求在附近的平均变化率。解：，所以所以在附近的平均变化率为	让学生进一步认识瞬时速度，为引入导数的概念做好铺垫.
四、瞬时速度	我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。运动员的平均速度不能反映他在某一时刻的瞬时速度，那么，如何求运动员的瞬时速度呢？比如，时的瞬时速度是多少？考察附近的情况：思考：当趋近于0时，平均速度有什么样的变化趋势？结论：当趋近于0时，即无论从小于2的一边，还是从大于2的一边趋近于2时，平均速度都趋近于一个确定的值．从物理的角度看，时间间隔无限变小时，平均速度就无限趋近于史的瞬时速度，因此，运动员在时的瞬时速度是为了表述方便，我们用表示“当，趋近于0时，平均速度趋近于定值” 小结：局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。
五、导数的概念	设函数在处附近有定义，当自变量在处有增量时，则函数相应地有增量，如果时，与的比（也叫函数的平均变化率）有极限即无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数在处的导数，记作，即注意：（1）函数应在点的附近有定义，否则导数不存在（2）在定义导数的极限式中，趋近于0可正、可负、但不为0，而可能为0 （3）导数即为函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率（4）是函数对自变量在范围内的平均变化率. （5），当时，，所以（定义的变形）	要让学生理解导数概念
六、典例分析	例3、求y=x2在点x=1处的导数. 分析：根据求函数在一点处的导数的方法的三个步骤，先求Δy，再求，最后求. 解：Δy=(1+Δx)2－12=2Δx+(Δx)2，=2+Δx ∴= (2+Δx)=2. ∴y′\|x=1=2. 注意：(Δx)2括号别忘了写. 例4、求函数f(x)=在附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．解：例5、（课本例1）将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如果第时，原油的温度（单位：）为，计算第时和第时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．解：在第时和第时，原油温度的瞬时变化率就是和根据导数定义，所以同理可得: 在第时和第时，原油温度的瞬时变化率分别为和5，说明在附近，原油温度大约以的速率下降，在第附近，原油温度大约以的速率上升．注：一般地，反映了原油温度在时刻附近的变化情况．
七、引申	例6、函数满足，则当x无限趋近于0时，（1）（2）变式:设f(x)在x=x0处可导，（3）无限趋近于1，则=___________ （4）无限趋近于1，则=________________ （5）当△x无限趋近于0，所对应的常数与的关系。
八、课堂小结	（1）理解平均变化率、导数的概念。（2）求函数的导数的一般方法： ①求函数的改变量. ②求平均变化率. ③取极限，得导数＝.
补充题目：1.一直线运动的物体，从时间到时，物体的位移为，那么为（）Ａ．从时间到时，物体的平均速度；Ｂ．在时刻时该物体的瞬时速度；Ｃ．当时间为时物体的速度；Ｄ．从时间到时物体的平均速度 2．一球沿一斜面自由滚下，其运动方程是s=s(t)=t2(位移单位：m，时间单位：s)，求小球在t=5时的瞬时速度解：瞬时速度v= (10+Δt)=10 m/s. ∴瞬时速度v=2t=2×5=10 m/s. 3.质点M按规律s=2t2+3做直线运动(位移单位：cm，时间单位：s)，求质点M在t=2时的瞬时速度. 解：瞬时速度v= =(8+2Δt)=8 cm/s.