高中数学人教版新课标A选修2-21.3导数在研究函数中的应用教案设计

教学环节

教学活动

设计意图

复习引入

设函数f(x)在点x0附近有定义，f(x0)是函数f(x)的一个极大值f(x0)，x0是极大值点，则对x0附近的所有的点，都有f(x)____f(x0)

设函数f(x)在点x0附近有定义，f(x0)是函数f(x)的一个极小值f(x0)，x0是极小值点，则对x0附近的所有的点，都有f(x)____f(x0)

知识的巩固

概念对比

回顾以前所学关于最值的概念，形成对比认识：

函数最大值的概念：

设函数y=f(x)的定义域为I.如果存在实数M满足：

（1）对于任意的_____，都有f(x)___M

（2）存在__________ ，使得_______

则称M为函数y=f(x)的最________值

函数最小值的概念：

设函数y=f(x)的定义域为I.如果存在实数M满足：

（1）对于任意的_____，都有f(x)___M

（2）存在__________ ，使得_______

则称M为函数y=f(x)的最________值

思考：你觉得极值与最值的区别在哪里？

让学生发现极值与最值的概念区别，

概念辨析练习

（1）函数的极大（小）值一定是函数的最大（小）值，极大（小）值点就是最大（小）值点

（2）函数的最大（小）值一定是函数的极大（小）值，最大（小）值点就是极大（小）值点

（3）函数y=f(x)在x=a处取得极值是函数y=f(x)在x=a处

取得最值的____________（充要性）

通过练习深化他们对函数取极值与最值的区别

对极值与最值概念的深化理解

（1）函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．

（2）函数的最值是描述函数在整个定义域上的整体性质，函数的极值是描述函数在某个局部的性质

（3）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个

点评提高

闭区间上的函数最值问题

（1）在闭区间上函数最值的存在性：

通过观察一系列函数在闭区间上的函数图像，并指出函数的最值及相应的最值点：

一般性总结：

在闭区间上连续的函数在上必有最大值与最小值．

（连续函数的闭区间定理——数学分析）

（2）在闭区间上函数最值点的分析：

既然在闭区间上连续的函数在上必有最值，那么最值点会是哪些点呢？

通过上述图像的观察，可以发现最值点可能是闭区间的端点，函数的极值点

有无其他可能？

没有——反证法可说明

本节的主要内容及主要结论，也是求函数最值的理论根据和方法指引

需要注意的地方

判断正误：

（1）在开区间内连续的函数一定有最大值与最小值

（2）函数在闭区间上一定有最大值与最小值

（3）函数在闭区间上连续，是在闭区间上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．

说明：

开区间内的可导函数不一定有最值，若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值  

（1）F；（2）F；（3）T

例题精讲

例1．（课本例5）求在的最大值与最小值 

解： 由例4可知，在上，当时，有极小值，并且极小值为，又由于，

因此，函数在的最大值是4，最小值是．

上述结论可以从函数在上的图象得到直观验证．

例2．求函数在区间上的最大值与最小值

解：先求导数，得

令＝0即解得

导数的正负以及，如下表

从上表知，当时，函数有最大值13，当时，函数有最小值4

例3．已知,∈(0,+∞).是否存在实数,使同时满足下列两个条件：（1）)在（0，1）上是减函数，在［1，+∞)上是增函数；（2）的最小值是1，若存在，求出，若不存在，说明理由.

解：设g(x)=

∵f(x)在（0，1）上是减函数，在［1，+∞)上是增函数

∴g(x)在（0，1）上是减函数，在［1，+∞)上是增函数.

∴    ∴   解得

经检验，a=1,b=1时，f(x)满足题设的两个条件.

求闭区间上连续函数最值的方法与步骤总结

设函数在上连续，在内可导，则求在上的最大值与最小值的步骤如下：

⑴求在内的极值；

⑵将的各极值与、比较得出函数在上的最值