人教版新课标A选修2-21.3导数在研究函数中的应用教案

教学环节

教学活动

设计意图

一、复习

引入

1、导数概念及其几何意义；

2、求函数的导数的方法是:

（1）求函数的改变量

（2）求平均变化率

（3）取极限，得导数

为课题引入作铺垫.

二、讲授新课

1．函数的导数

 根据导数定义，因为

所以

表示函数图像（图3.2-1）上每一点处的切线的斜率都为0．若表示路程关于时间的函数，则可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即物体一直处于静止状态．

2．函数的导数

因为

所以

表示函数图像（图3.2-2）上每一点处的切线的斜率都为1．若表示路程关于时间的函数，则可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动．

（以教师计算演示为主,说明根据定义求导数这种方法的具体操作过程.）

教师板演

形成规范

深刻认识函数的内涵，养成用数学知识解释现实问题的习惯.

让学生模仿, 根据具体步骤亲自尝试求导过程.

3．函数的导数

因为

所以

表示函数图像（图3.2-3）上点处的切线的斜率都为，说明随着的变化，切线的斜率也在变化．另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，表明：当时，随着的增加，函数减少得越来越慢；当时，随着的增加，函数增加得越来越快．若表示路程关于时间的函数，则可以解释为某物体做变速运动，它在时刻的瞬时速度为．

4．函数的导数

因为

所以

5．函数的导数

因为

所以

推广：若，则。

说明：请注意公式中的条件是,但根据我们所掌握的知识,只能就

的情况加以证明.这个公式称为幂函数的导数公式.事实上可以是任意实数.

让学生上黑板演示，教师作出评价，并且引导学生归纳出幂函数的导数公式.

探究1：在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，并根据导数的定义，求它们的导数.

(1)从图象上看，它们的导数分别表示什么？

(2)这三个函数中，哪一个增加得最快？哪一个增加得最慢？

(3)函数增（减）的快慢与什么有关？

教师指导学生分组进行探究性学习，分别展示探究结论，教师给予分析、评价并总结.

探究2：画出函数的图象.根据图象，描述它的变化情况，并求出曲线在点处的切线方程.

问题逐层深入，为后继学习做个铺垫。

培养学生数形结合的能力，并掌握求切线方程的方法

四、运用新知，体验成功

练习1．求下列函数的导数.

练习2．求三次曲线在点处的切线方程.

通过多角度的练习，并对典型错误进行讨论与矫正，使学生巩固所学内容，同时完成对新知的迁移。

五、课堂小结

(1)求函数的导数的一般方法：

①求函数的改变量.

②求平均变化率.

③取极限，得导数＝.

(2)常见函数的导数公式：； .

(12)作业布置:教科书P13探究二(函数变式: ),P18A组1,2,5

注:如果环节(8) ③中未完成则课后做作业.