试卷 2021年中考数学二轮复习重难题型突破 二次函数与三角形全等、相似（位似）有关的问题（附答案）

类型五 二次函数与三角形全等、相似（位似）有关的问题

【典例1】如图，已知抛物线y＝ax2+bx+6经过两点A（﹣1，0），B（3，0），C是抛物线与y轴的交点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点P（m，n）在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，设△PBC的面积为S，求S关于m的函数表达式（指出自变量m的取值范围）和S的最大值；

（3）点M在抛物线上运动，点N在y轴上运动，是否存在点M、点N使得∠CMN＝90°，且△CMN与△OBC相似，如果存在，请求出点M和点N的坐标．

【典例2】如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C．直线经过B、C两点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点P是抛物线上的一动点，过点P且垂直于x轴的直线与直线及x轴分别交于点D、M．，垂足为N．设．

①点P在抛物线上运动，若P、D、M三点中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外）．请直接写出符合条件的m的值；

②当点P在直线下方的抛物线上运动时，是否存在一点P，使与相似．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【典例3】如图，抛物线与x轴正半轴交于点A，与y轴交于点B．

（1）求直线的解析式及抛物线顶点坐标；

（2）如图1，点P为第四象限且在对称轴右侧抛物线上一动点，过点P作轴，垂足为C，交于点D，求的最大值，并求出此时点P的坐标；

（3）如图2，将抛物线向右平移得到抛物线，直线与抛物线交于M，N两点，若点A是线段的中点，求抛物线的解析式．

【典例4】在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，顶点为点．

（1）当时，直接写出点，，，的坐标：

______，______，______，______；

（2）如图1，直线交轴于点，若，求的值和的长；

（3）如图2，在（2）的条件下，若点为的中点，动点在第三象限的抛物线上，过点作轴的垂线，垂足为，交于点；过点作，垂足为．设点的横坐标为，记．

①用含的代数式表示；

②设，求的最大值．

【典例5】如图①，直线l经过点（4，0）且平行于y轴，二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a、c是常数，a＜0）的图象经过点M(﹣1，1)，交直线l于点N，图象的顶点为D，它的对称轴与x轴交于点C，直线DM、DN分别与x轴相交于A、B两点．

（1）当a＝﹣1时，求点N的坐标及的值；

（2）随着a的变化，的值是否发生变化？请说明理由；

（3）如图②，E是x轴上位于点B右侧的点，BC＝2BE，DE交抛物线于点F．若FB＝FE，求此时的二次函数表达式．

【典例6】若一次函数的图象与轴，轴分别交于A，C两点，点B的坐标为，二次函数的图象过A，B，C三点，如图（1）．

（1）求二次函数的表达式；

（2）如图（1），过点C作轴交抛物线于点D，点E在抛物线上（轴左侧），若恰好平分．求直线的表达式；

（3）如图（2），若点P在抛物线上（点P在轴右侧），连接交于点F，连接，．

①当时，求点P的坐标；

②求的最大值．

【典例7】如图，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C，顶点为D，连接与抛物线的对称轴l交于点E．

（1）求抛物线的表达式；

（2）点P是第一象限内抛物线上的动点，连接，当时，求点P的坐标；

（3）点N是对称轴l右侧抛物线上的动点，在射线上是否存在点M，使得以点M，N，E为顶点的三角形与相似？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．

附答案

类型五 二次函数与三角形全等、相似（位似）有关的问题

【典例1】如图，已知抛物线y＝ax2+bx+6经过两点A（﹣1，0），B（3，0），C是抛物线与y轴的交点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点P（m，n）在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，设△PBC的面积为S，求S关于m的函数表达式（指出自变量m的取值范围）和S的最大值；

（3）点M在抛物线上运动，点N在y轴上运动，是否存在点M、点N使得∠CMN＝90°，且△CMN与△OBC相似，如果存在，请求出点M和点N的坐标．

【答案】（1）y＝﹣2x2+4x+6；（2）S△PBC＝﹣3m2+9m（0＜m＜3）；（3）M（1，8），N（0，）或M（，），N（0，）或M（，），N（0，）或M（3，0），N（0，﹣）

【解析】

【分析】

（1）根据点A、B的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；

（2）过点P作PF∥y轴，交BC于点F，利用二次函数图象上点的坐标特征可得出点C的坐标，根据点B、C的坐标利用待定系数法即可求出直线BC的解析式，设点P的坐标为（m，﹣2m2+4m+6），则点F的坐标为（m，﹣2m+6），进而可得出PF的长度，利用三角形的面积公式可得出S△PBC＝﹣3m2+9m，配方后利用二次函数的性质即可求出△PBC面积的最大值；

（3）分两种不同情况，当点M位于点C上方或下方时，画出图形，由相似三角形的性质得出方程，求出点M，点N的坐标即可．

【详解】

（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）代入y＝ax2+bx+6，

得：，解得：，

∴抛物线的解析式为y＝﹣2x2+4x+6．

（2）过点P作PF∥y轴，交BC于点F，如图1所示．

当x＝0时，y＝﹣2x2+4x+6＝6，

∴点C的坐标为（0，6）．

设直线BC的解析式为y＝kx+c，

将B（3，0）、C（0，6）代入y＝kx+c，得：

，解得：，

∴直线BC的解析式为y＝﹣2x+6．

设点P的坐标为（m，﹣2m2+4m+6），则点F的坐标为（m，﹣2m+6），

∴PF＝﹣2m2+4m+6﹣（﹣2m+6）＝﹣2m2+6m，

∴，

∴当时，△PBC面积取最大值，最大值为 ．

∵点P（m，n）在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，

∴0＜m＜3．

（3）存在点M、点N使得∠CMN＝90°，且△CMN与△OBC相似．

如图2，∠CMN＝90°，当点M位于点C上方，过点M作MD⊥y轴于点D，

∵∠CDM＝∠CMN＝90°，∠DCM＝∠NCM，

∴△MCD∽△NCM，

若△CMN与△OBC相似，则△MCD与△NCM相似，

设M（a，﹣2a2+4a+6），C（0，6），

∴DC＝﹣2a2+4a，DM＝a，

当 时，△COB∽△CDM∽△CMN，

∴ ，

解得，a＝1，

∴M（1，8），

此时，

∴N（0，），

当时，△COB∽△MDC∽△NMC，

∴ ，

解得 ，

∴M（，），

此时N（0，）．

如图3，当点M位于点C的下方，

过点M作ME⊥y轴于点E，

设M（a，﹣2a2+4a+6），C（0，6），

∴EC＝2a2﹣4a，EM＝a，

同理可得：或，△CMN与△OBC相似，

解得或a＝3，

∴M（，）或M（3，0），

此时N点坐标为，N（0，）或N（0，﹣）．

综合以上得，M（1，8），N（0，）或M（，），N（0，）或M（，），，N（0，）或M（3，0），N（0，﹣），使得∠CMN＝90°，且△CMN与△OBC相似．

【点睛】

此题考查二次函数综合题，综合考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的最大值，相似三角形的判定与性质，以及渗透分类讨论思想．

【典例2】如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C．直线经过B、C两点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点P是抛物线上的一动点，过点P且垂直于x轴的直线与直线及x轴分别交于点D、M．，垂足为N．设．

①点P在抛物线上运动，若P、D、M三点中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外）．请直接写出符合条件的m的值；

②当点P在直线下方的抛物线上运动时，是否存在一点P，使与相似．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）；（2）-2，，1；（3）存在，（3，-2）

【解析】

【分析】

（1）根据直线经过B、C两点求出B、C两点的坐标，将B、C坐标代入抛物线可得答案；
（2）①由题意得P（m，），D（m，）；根据P、D、M三点中恰有一点是其它两点所连线段的中点列式计算即可求得m的值；
②先证明，得出，再根据与相似得出，则，可得出，求出点P的纵坐标，代入抛物线，即可求得点P的横坐标．

【详解】

解：（1）由直线经过B、C两点得B（4，0），C（0，-2）

将B、C坐标代入抛物线得

，解得，

∴抛物线的解析式为：；

（2）①∵，垂足为N．

∴P（m，），D（m，），

分以下几种情况：

M是PD的中点时，MD=PM，即0-（）=

解得，（舍去）；

P是MD的中点时，MD=2MP，即=2（）

解得，（舍去）；

D是MP的中点时，2MD=MP，即=2（）

解得，（舍去）；

∴符合条件的m的值有-2，，1；

②∵抛物线的解析式为：，

∴A（-1，0），B（4，0），C（0，-2）

∴AO=1，CO=2，BO=4，

∴，又=90°，

∴，

∴，

∵与相似

∴，

∴，

∴ ，

∴点P的纵坐标是-2，代入抛物线，得

解得：（舍去），，

∴点P的坐标为：（3，-2）

【点睛】

本题考查二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和相似三角形的判定和性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质，记

【典例3】如图，抛物线与x轴正半轴交于点A，与y轴交于点B．

（1）求直线的解析式及抛物线顶点坐标；

（2）如图1，点P为第四象限且在对称轴右侧抛物线上一动点，过点P作轴，垂足为C，交于点D，求的最大值，并求出此时点P的坐标；

（3）如图2，将抛物线向右平移得到抛物线，直线与抛物线交于M，N两点，若点A是线段的中点，求抛物线的解析式．

【答案】（1）直线的解析式为，抛物线顶点坐标为；（2）当时，的最大值为； ；（3）．

【解析】

【分析】

（1）先根据函数关系式求出A、B两点的坐标，设直线的解析式为，利用待定系数法求出AB的解析式，将二次函数解析式配方为顶点式即可求得顶点坐标；

（2）过点D作轴于E，则．求得AB=5，设点P的坐标为，则点D的坐标为，ED=x，证明，由相似三角形的性质求出，用含x的式子表示PD，配方求得最大值，即可求得点P的坐标；

（3）设平移后抛物线的解析式，将L′的解析式和直线AB联立，得到关于x的方程，设，则是方程的两根，得到，点A为的中点，，可求得m的值，即可求得L′的函数解析式．

【详解】

（1）在中，

令，则，解得，

∴．

令，则，∴．

设直线的解析式为，则，解得：，

∴直线的解析式为．

，

∴抛物线顶点坐标为

（2）如图，过点D作轴于E，则．

∵，

∴，

设点P的坐标为，

则点D的坐标为，

∴．

∵，

∴，

∴，

∴，

∴．

而，

∴，

∵，，由二次函数的性质可知：

当时，的最大值为．

，

∴．

（3）设平移后抛物线的解析式，

联立，

∴，

整理，得：，

设，则是方程的两根，

∴．

而A为的中点，∴，

∴，解得：．

∴抛物线的解析式．

【点睛】

本题考查二次函数的图象和性质、相似三角形的判定与性质、待定系数法求一次函数解析式，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质．

住两点间的距离公式；会利用分类讨论的思想解决数学问题．

【典例4】在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，顶点为点．

（1）当时，直接写出点，，，的坐标：

______，______，______，______；

（2）如图1，直线交轴于点，若，求的值和的长；

（3）如图2，在（2）的条件下，若点为的中点，动点在第三象限的抛物线上，过点作轴的垂线，垂足为，交于点；过点作，垂足为．设点的横坐标为，记．

①用含的代数式表示；

②设，求的最大值．

【答案】（1），，，；（2）；；（3）①；②．

【解析】

【分析】

（1）求出时，x的值可得点A、B的坐标，求出时，y的值可得点C的坐标，将二次函数的解析式化为顶点式即可得点D的坐标；

（2）先求出顶点D的坐标，从而可得DK、OK的长，再利用正切三角函数可得EK、OE、OC的长，从而可得出点C的坐标，然后将点C的坐标代入二次函数的解析式可得a的值，利用勾股定理可求出CE的长；

（3）①如图，先利用待定系数法求出直线AN的解析式，从而可得点F的坐标，由此可得出PF的长，再利用待定系数法求出直线CE的解析式，从而可得点J的坐标，由此可得出FJ的长，然后根据相似三角形的判定与性质可得，从而可得FH的长，最后根据的定义即可得；

②先将的表达式化为顶点式，从而得出其增减性，再利用二次函数的性质即可得．

【详解】

（1）当时，

当时，，解得或

则点A的坐标为，点B的坐标为

当时，

则点C的坐标为

将化成顶点式为

则点D的坐标为

故答案为：，，，；

（2）如图，作轴于点

将化成顶点式为

则顶点D的坐标为

∴，

在中，，即

解得

在中，，即

解得

，

将点代入得：

解得；

（3）①如图，作与的延长线交于点

由（2）可知，，

∴

当时，，解得或

∴，

为OC的中点

∴

设直线AN的解析式为

将点，代入得：，解得

则直线AN的解析式为

∵

∴

∴

由（2）知，

，

设直线CE的解析式为

将点，代入得：，解得

则直线CE的解析式为

∴

∴

∵，轴

∴，

∴

∴，即

解得

∴

即；

②将化成顶点式为

由二次函数的性质可知，当时，随t的增大而增大；当时，随t的增大而减小

因此，分以下两种情况：

当时

在内，随t的增大而增大

则当时，取得最大值，最大值为

又当时，

当时

在内，随t的增大而增大；在内，随t的增大而减小

则当时，取得最大值，最大值为

综上，的最大值为．

【点睛】

本题考查了利用待定系数法求二次函数的表达式、二次函数的图象与性质、正切三角函数、相似三角形的判定与性质等知识点，较难的是题（3）①，通过作辅助线，构造相似三角形求出的长是解题关键．

【典例5】如图①，直线l经过点（4，0）且平行于y轴，二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a、c是常数，a＜0）的图象经过点M(﹣1，1)，交直线l于点N，图象的顶点为D，它的对称轴与x轴交于点C，直线DM、DN分别与x轴相交于A、B两点．

（1）当a＝﹣1时，求点N的坐标及的值；

（2）随着a的变化，的值是否发生变化？请说明理由；

（3）如图②，E是x轴上位于点B右侧的点，BC＝2BE，DE交抛物线于点F．若FB＝FE，求此时的二次函数表达式．

【答案】（1）N(4，﹣4)，＝；（2）不变，理由见解析；（3）y＝﹣x2+x+或y＝﹣x2+x+．

【解析】

【分析】

（1）证明△DME∽△DAC，△DCB∽△DFN，则，，求出AC＝，BC＝，即可求解；

（2）点D(1，1﹣4a)，N(4，1+5a)，则ME＝2，DE＝﹣4a，由（1）的结论得：AC＝，BC＝，即可求解；

（3）利用△FHE∽△DCE，求出F(﹣，﹣)，即可求解．

【详解】

解：（1）分别过点M、N作ME⊥CD于点E，NF⊥DC于点F，

∵ME∥FN∥x轴，

∴△DME∽△DAC，△DCB∽△DFN，

∴，，

∵a＝﹣1，则y＝﹣x2+2x+c，

将M(﹣1，1)代入上式并解得：c＝4，

∴抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+4，

则点D(1，5)，N(4，﹣4)，

则ME＝2，DE＝4，DC＝5，FN＝3，DF＝9，

∴，解得：AC＝，BC＝，

∴＝；

（2）不变，理由：

∵y＝ax2﹣2ax+c过点M(﹣1，1)，则a+2a+c＝1，

解得：c＝1﹣2a，

∴y＝ax2﹣2ax+(1﹣3a)，

∴点D(1，1﹣4a)，N(4，1+5a)，

∴ME＝2，DE＝﹣4a，

由（1）的结论得：AC＝，BC＝，

∴＝；

（3）过点F作FH⊥x轴于点H，则FH∥l，则△FHE∽△DCE，

∵FB＝FE，FH⊥BE，

∴BH＝HE，

∵BC＝2BE，

则CE＝6HE，

∵CD＝1﹣4a，

∴FH＝，

∵BC＝，

∴CH＝×＝，

∴F(﹣，﹣)，

将点F的坐标代入y＝ax2﹣2ax+(1﹣3a)＝a(x+1)(x﹣3)+1得：

﹣a＝a(﹣+1)(﹣﹣3)+1，

解得：a＝﹣或﹣，

故y＝﹣x2+x+或y＝﹣x2+x+．

【点睛】

本题考查了相似三角形的判定与性质，二次函数的综合运用等知识．综合性强．

【典例6】若一次函数的图象与轴，轴分别交于A，C两点，点B的坐标为，二次函数的图象过A，B，C三点，如图（1）．

（1）求二次函数的表达式；

（2）如图（1），过点C作轴交抛物线于点D，点E在抛物线上（轴左侧），若恰好平分．求直线的表达式；

（3）如图（2），若点P在抛物线上（点P在轴右侧），连接交于点F，连接，．

①当时，求点P的坐标；

②求的最大值．

【答案】（1）；（2）；（3）①点或；②

【解析】

【分析】

（1）先求的点A、C的坐标，再用待定系数法求二次函数的解析式即可；

（2）设交于点M．由可得，．再由，根据平行线的性质可得，所以．已知平分，根据角平分线的定义可得．利用AAS证得．由全等三角形的性质可得． 由此即可求得点M的坐标为（0，-1）．再由，即可求得直线解析式为；

（3）①由可得．过点P作交于点N，则．根据相似三角形的性质可得．由此即可求得．设，可得．所以．由此即可得=2，解得．即可求得点或；②由①得．即．再根据二次函数的性质即可得．

【详解】

（1）解：令，得．令时，．

∴．

∵抛物线过点，

∴．

则，将代入得

解得

∴二次函数表达式为．

（2）解：设交于点M．

∵，

∴，．

∵，

∴．

∴．

∵平分，

∴．

又∵，

∴．

∴．

由条件得：．

∴．

∴．

∴．

∵，

∴直线解析式为．

（3）①，

∴．

过点P作交于点N，则．

∴．

∵，

∴．

∵直线的表达式为，

设，

∴．

∴．

∴，则，解得．

∴点或．

②由①得：．

∴．

∴有最大值，．

【点睛】

本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数与坐标轴的交点坐标、待定系数法求二次函数及一次函数的解析式，相似三角形的判定与性质，解决第（2）问时，求得点M的坐标是关键；解决（3）①问时，作出辅助线求得是解题的关键；解决（3）②问时，构建函数模型是解决问题的关键．

【典例7】如图，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C，顶点为D，连接与抛物线的对称轴l交于点E．

（1）求抛物线的表达式；

（2）点P是第一象限内抛物线上的动点，连接，当时，求点P的坐标；

（3）点N是对称轴l右侧抛物线上的动点，在射线上是否存在点M，使得以点M，N，E为顶点的三角形与相似？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）；（2）；（3）在射线上存在点M，使得以点M，N，E为顶点的三角形与相似，点M的坐标为：，或．

【解析】

【分析】

（1）直接将和点代入，解出a，b的值即可得出答案；

（2）先求出点C的坐标及直线BC的解析式，再根据图及题意得出三角形PBC的面积；过点P作PG轴，交轴于点G，交BC于点F，设，根据三角形PBC的面积列关于t的方程，解出t的值，即可得出点P的坐标；

（3）由题意得出三角形BOC为等腰直角三角形，然后分MN=EM，MN=NE，NE=EM三种情况讨论结合图形得出边之间的关系，即可得出答案．

【详解】

（1）抛物线过点和点

抛物线解析式为：

（2）当时，

直线BC解析式为：

过点P作PG轴，交轴于点G，交BC于点F

设

即

（3）

为等腰直角三角形

抛物线的对称轴为

点E的横坐标为3

又点E在直线BC上

点E的纵坐标为5

设

①当MN=EM，,时

解得或（舍去）

此时点M的坐标为

②当ME=EN，时

解得：或（舍去）

此时点M的坐标为

③当MN=EN，时

连接CM，易知当N为C关于对称轴l的对称点时，，

此时四边形CMNE为正方形

解得：（舍去）

此时点M的坐标为

在射线上存在点M，使得以点M，N，E为顶点的三角形与相似，点M的坐标为：，或．

【点睛】

本题是一道综合题，涉及到二次函数的综合、相似三角形的判定及性质、等腰三角形的性质、勾股定理、正方形的性质等知识点，综合性比较强，解答类似题的关键是添加合适的辅助线．