数学人教版新课标A第一章 坐标系综合与测试练习题

这是一份数学人教版新课标A第一章 坐标系综合与测试练习题，共3页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．将一个圆作伸缩变换后所得到的图形不可能是( )
A．椭圆 B．比原来大的圆
C．比原来小的圆 D．双曲线
解析：选D 由伸缩变换的意义可得．
2．已知线段BC长为8，点A到B，C两点距离之和为10，则动点A的轨迹为( )
A．直线 B．圆
C．椭圆 D．双曲线
解析：选C 由椭圆的定义可知，动点A的轨迹为一椭圆．
3．已知两点M(－2,0)，N(2,0)，点P为坐标平面内的动点，满足|eq \(MN,\s\up7(―→))|·|eq \(MP,\s\up7(―→)) |＋eq \(MN,\s\up7(―→))·eq \(NP,\s\up7(―→))＝0，则动点P(x，y)的轨迹方程为( )
A．y2＝8x B．y2＝－8x
C．y2＝4x D．y2＝－4x
解析：选B 由题意，得eq \(MN,\s\up7(―→))＝(4,0)，eq \(MP,\s\up7(―→))＝(x＋2，y)，eq \(NP,\s\up7(―→))＝(x－2，y)，由|eq \(MN,\s\up7(―→))|·|eq \(MP,\s\up7(―→))|＋eq \(MN,\s\up7(―→))·eq \(NP,\s\up7(―→))＝0，
得4eq \r(x＋22＋y2)＋4(x－2)＝0，整理，得y2＝－8x.
4．在同一坐标系中，将曲线y＝3sin 2x变为曲线y′＝sin x′的伸缩变换是( )
A.eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2x′,y＝\f(1,3)y′)) B.eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x′＝2x,y′＝\f(1,3)y))
C.eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2x′,y＝3y′)) D.eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x′＝2x,y′＝3y))
解析：选B 设eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x′＝λx，λ>0，,y′＝μy，μ>0，))则μy＝sin λx，
即y＝eq \f(1,μ)sin λx.
比较y＝3sin 2x与y＝eq \f(1,μ)sin λx，则有eq \f(1,μ)＝3，λ＝2.
∴μ＝eq \f(1,3)，λ＝2.∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x′＝2x，,y′＝\f(1,3)y.))
二、填空题
5．y＝cs x经过伸缩变换eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x′＝2x，,y′＝3y))后，曲线方程变为________．
解析：由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x′＝2x，,y′＝3y，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(1,2)x′，,y＝\f(1,3)y′，))代入y＝cs x，
得eq \f(1,3)y′＝cseq \f(1,2)x′，即y′＝3cseq \f(1,2)x′.
答案：y＝3cseq \f(x′,2)
6．把圆X2＋Y2＝16沿x轴方向均匀压缩为椭圆x2＋eq \f(y2,16)＝1，则坐标变换公式是________．
解析：设eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝λX λ>0，,y＝μY μ>0，))
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(X＝\f(x,λ)，,Y＝\f(y,μ).))代入X2＋Y2＝16得 eq \f(x2,16λ2)＋eq \f(y2,16μ2)＝1.
∴16λ2＝1,16μ2＝16.
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ＝\f(1,4)，,μ＝1.))故eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(X,4)，,y＝Y.))
答案：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(X,4)，,y＝Y))
7．△ABC中，B(－2,0)，C(2,0)，△ABC的周长为10，则点A的轨迹方程为________．
解析：∵△ABC的周长为10，
∴|AB|＋|AC|＋|BC|＝10.其中|BC|＝4，
即有|AB|＋|AC|＝6＞4.
∴点A轨迹为椭圆除去B，C两点，且2a＝6,2c＝4.
∴a＝3，c＝2，b2＝5.
∴点A的轨迹方程为eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,5)＝1(y≠0)．
答案：eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,5)＝1(y≠0)
三、解答题
8. 在同一平面直角坐标系中，将曲线x2－36y2－8x＋12＝0变成曲线x′2－y′2－4x′＋3＝0，求满足条件的伸缩变换．
解：x2－36y2－8x＋12＝0可化为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x－4,2)))2－9y2＝1.①
x′2－y′2－4x′＋3＝0可化为(x′－2)2－y′2＝1.②
比较①②，可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x′－2＝\f(x－4,2)，,y′＝3y，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x′＝\f(x,2)，,y′＝3y.))
所以将曲线x2－36y2－8x＋12＝0上所有点的横坐标变为原来的eq \f(1,2)，纵坐标变为原来的3倍，就可得到曲线x′2－y′2－4x′＋3＝0的图象．
9．已知△ABC是直角三角形，斜边BC的中点为M，建立适当的平面直角坐标系，证明：|AM|＝eq \f(1,2)|BC|.
证明：以Rt△ABC的直角边AB，AC所在直线为坐标轴，建立如图所示的平面直角坐标系．
设B，C两点的坐标分别为(b,0)，(0，c)．
则M点的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,2)，\f(c,2))).
由于|BC|＝eq \r(b2＋c2)，
|AM|＝ eq \r(\f(b2,4)＋\f(c2,4))＝eq \f(1,2)eq \r(b2＋c2)，
故|AM|＝eq \f(1,2)|BC|.
10．如图，椭圆C0：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0，a，b为常数)，动圆C1：x2＋y2＝teq \\al(2,1)，b解：设 A(x1，y1)，B(x1，－y1)，又知A1(－a,0)，A2(a,0)，
则直线A1A的方程为y＝eq \f(y1,x1＋a)(x＋a)，①
直线A2B的方程为y＝eq \f(－y1,x1－a)(x－a)．②
由①②，得y2＝eq \f(－y\\al(2,1),x\\al(2,1)－a2)(x2－a2)．③
由点A(x1，y1)在椭圆C0上，故eq \f(x\\al(2,1),a2)＋eq \f(y\\al(2,1),b2)＝1.
从而yeq \\al(2,1)＝b2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(x\\al(2,1),a2)))，代入③，得
eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(x<－a，y<0)，此方程即为点M的轨迹方程．